CES - Lafaiete
Lançamentos e MCU
Fundamentos de Mecânica - Prof. Aloísio Elói
Lançamento Horizontal
Vx = V0
Vy = gt
V = Vx + V y
V 2 = Vx2 + Vy2
tgα = Vy/Vx
X = Vxt
Y = gt2/2
Obs.: O tempo de queda NÃO
depende do valor de V0.
Lançamento Oblíquo
Vx = V0x = V0cosθ
V = Vx + Vy
X = Vxt
Vy = V0senθ - gt
V 2 = Vx2 + V y2
tgα = Vy/Vx
Y = V0senθt - gt2/2
Acelerações Centrípeta e Tangencial
Tangencial: aT = ∆V/∆t (O módulo de V varia)
Centrípeta: ac = V2/R (A direção de V varia: curva)
Resultante: a2 = aT2 + ac2
a = aC + aT
v
Movimento Circular Uniforme - MCU
v
Eixo: wA = wB
V = d/t = 2πR/T= 2πRf
ω = θ/t = 2π (rad)/T = 2πf
V = ωR
f = 1/T
ac = V2/R = ω2R
Contato e correia: VA = VB
01) Um corpo é lançado horizontalmente de uma plataforma de 45 m de
altura, com velocidade v0 = 12 m/s, conforme mostra a figura. Despreze a
resistência do ar, adote g = 10 m/s2. Determine:
A) O tempo que o corpo leva para atingir o solo.
B) A distância AB indicada na figura.
02) Uma pequena bola foi rolada numa marquise de 5,0 m de altura, indo
chocar-se com o solo a 4,0 m da marquise, conforme a figura. Despreze a
resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:
A) O tempo de queda da bola.
B) A velocidade v0 que a bola possuía ao deixar a marquise.
03) Um projétil é atirado horizontalmente com velocidade inicial de
1000 m/s. Calcule quanto ele cai durante o primeiro segundo de movimento.
Seja g =10 m/s2 e despreze a resistência do ar.
04) Uma bola é lançada horizontalmente, do alto de um elevado, com
velocidade de 2,45 m/s. Sendo a aceleração da gravidade no local de 9,80 m/s2,
a velocidade da bola após 1/4 s vale, em m/s:
a) 4,9 b) 4,0 c) Zero d) 2,45 2 e) 2,45.
05) Um projétil é lançado obliquamente, com velocidade inicial
vo = 50 m/s, inclinado de θ =37° com a horizontal. Despreze a
resistência do ar. Dados: g =10 m/s2, sen37° = 0,6; cos37° = 0,8.
Determine:
A
02
a)
Os componentes das velocidades v0 e v A , segundo os eixos
Ox e Oy (A é o vértice da parábola);
b)
O tempo que o projétil gasta para ir de O até A (tempo de
subida) e a altura máxima (hmáx);
c)
A distância a=OB (alcance horizontal).
06) Um projétil é lançado com velocidade inicial de 400 m/s, segundo
um ângulo de 45° com a horizontal no ponto de lançamento.
Considerando g =10 m/s2 e sen45° = cos45° = 2 /2, determine:
a)
o tempo gasto pelo projétil para atingir o ponto mais alto da trajetória;
b)
a altura máxima alcançada pelo projétil;
c)
o alcance horizontal do projétil.
07) Um móvel é lançado obliquamente, com uma velocidade que vale 10 m/s, formando um ângulo de 60° com a
horizontal. Após o lançamento, fica sujeito unicamente à ação da força-peso. Considere sen60° = 0,87 e
cos 60° = 0,50. A velocidade do projétil no ponto mais alto da trajetória vale, em m/s:
a) zero
b) 5,0
c) 7,0
d) 8,6
e) 10
08) Lança-se uma bola, com velocidade de 10 m/s, numa direção que faz um ângulo de 45° com a horizontal. A
bola bate numa parede que se encontra a 3,0 m da posição de lançamento. Sendo g =10 m/s2, a altura da bola, no
momento do impacto contra a parede, em relação ao nível de referência, é:
a) 10m acima; b) 2,1m acima;
c) 5,1m abaixo;
d) 1,6m abaixo.
09) Um projétil é lançado com velocidade v0 = 100 m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Dados:
sen30° = 0,50; cos30° = 0,87 e g =10m/s2. Determine os componentes da velocidade v do projétil, no instante
t = 3,0 s, e o módulo de v .
10) Um corpo é lançado obliquamente, com velocidade v0 = 50 m/s, inclinado de 30° com a horizontal. Sendo
sen37° = 0,60; cos37° = 0,80 e g = 10m/s2, determine os componentes da velocidade do corpo nos instantes 2,0 s e
4,0 s. Nesses instantes, o corpo está subindo ou descendo?
11)Ganhou destaque no voleibol brasileiro a jogada denominada “jornada nas estrelas”, na qual a bola,
arremessada de um lado da quadra, sobe cerca de 20 m de altura antes de chegar ao adversário do outro lado.
Quanto tempo, em segundos, a bola permanece no ar?
12) Determine o período, a freqüência e a velocidade angular do MCU realizado:
a) pelo ponteiro dos segundos de um relógio;
b) por um ponto do equador terrestre, em torno do eixo da Terra (R=6.400 km).
13) A velocidade angular, em radianos por segundo, de um antigo disco de 45 rpm é:
a) π/4
b) π/3
c) π/2
d) 2π/3
e) 3π/2
14) Um disco gira com velocidade angular constante. Sobre esse disco colocam-se dois objetos, A e B, às distância
r/3 e r/2 do centro, respectivamente. Com relação aos períodos desses objetos, podemos afirmar que:
a) TA = TB
b) TA = 2 TB/3
c) TA =3TB/2
d) TA = 4TB/9
e) TA = 9TB/4
15) Quando há transmissão de movimento circular entre duas rodas, seja por contato, seja através de uma correia,
a velocidade escalar se conserva, variando a velocidade angular se os raios são diferentes. No sistema de
engrenagens da figura temos RA = RB/3 e o período da engrenagem B é 0,25 s. Com base na informação dada,
determine as freqüências e as velocidades angulares das engrenagens.
16) (UFRN) A figura representa uma correia passando pelas roldanas A e B. Sabendo que RA = 2RB, a velocidade
angular da roldana A em relação à da roldana B é:
b) ωA = 2ωB
c) ωA = ωB
d) ωA = ωB /2
e) ωA = ωB/4
a) ωA = 4ωB
17) Dois móveis A e B percorrem a mesma pista circular de 25 m de raio, partindo de um mesmo ponto. Verifica-se
que os dois móveis se cruzam a cada 50 s quando se movimentam no mesmo sentido e a cada 25 s quando os
movimentos têm sentidos opostos. Determine as velocidades vA e vB dos móveis, sabendo que vA> vB .
18) (PUCC) Dois corredores percorrem uma mesma pista circular de raio R = 60 m.Partindo de um mesmo ponto,
os corredores se encontram a cada 30 s quando os movimentos ocorrem no mesmo sentido e a cada 9 s quando os
movimentos ocorrem em sentido contrário. Determine as velocidades escalares e as velocidades angulares dos
corredores.
19) (PUCC) Uma pista circular é percorrida por dois ciclistas que circulam em sentidos opostos com velocidades
de 16 m/s e 4 m/s, respectivamente. Eles partem de dois pontos, A e B, diametralmente opostos, e se cruzam num
ponto C, distante 140 m de B, ao longo da curva. Determine o comprimento da pista.
20) ((FEI-SP)) Uma partícula incide horizontalmente, com velocidade v = 200 m/s. sobre um cilindro de raio
R=π/10 m, conforme indica a figura. O cilindro possui um orifício por onde a partícula entra. Determine o menor
valor da velocidade angular ω do cilindro para que a partícula saia pelo mesmo cilindro pelo qual penetrou. A ação
da gravidade sobre a partícula pode ser desprezada.
21) (Vunesp-SP) Um disco horizontal de raio R = 0,50 m gira em torno de seu eixo com velocidade angular
ω = 2π rad/s. Um projétil é lançado de fora, no mesmo plano do disco e rasante a ele, sem toca-lo, com velocidade
vo (figura), passando sobre o ponto P. O projétil sai do disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P está
passando por aí pela primeira vez. Qual é a velocidade vo ?
16
22
20
21
15
22) (Vunesp-SP) Duas engrenagens, A e B, têm números de dentes que estão entre si na razão de 9 para 5. A roda
A dá 10 voltas por hora. Sobre as duas rodas dentadas, foram pintadas flechas, conforme está ilustrado na figura.
Qual é o intervalo de tempo necessário para que as pontas das duas setas voltem a ocupar a mesma posição
simultaneamente?
23) (UFPA) A hélice de um avião gira a 2100/π rpm, estando o avião parado. Sabendo que a distância entre o eixo
de rotação e a extremidade da hélice é de 2 m, determine o módulo da aceleração na extremidade.
24) Um corpo realiza um MCU com velocidade angular de 50rad/s e raio da
trajetória igual a 2m. Determine o módulo da aceleração centrípeta desse
corpo.
25
25) Um corpo de massa m = 5 kg, preso a um fio ideal, realiza um MCU de
raio R = 0,5 m, com velocidade angular ω = 2 rad/s, sobre um plano
horizontal sem atrito, conforme a figura. Determine:
a) a velocidade escalar do móvel.
b) o módulo da aceleração centrípeta.
c) a intensidade da tração no fio *.
26
26) (Santa Casa-SP) *Dois corpos, de massas M e M’, ligados por fios f e f’, de
massas desprezíveis, ao ponto fixo O, como se representa na figura, giram com
velocidades angulares iguais, numa superfície horizontal sem atrito. F e F” são os
módulos das trações em f e f’, respectivamente. A razão F/F’ é igual a:
a) 2M/3M’
b) 3M/2M’
c) 2M’/3M
d) 3M’/2M
e) 2M’/N
27) (UFGO) *Na figura, um disco de 3,0 kg de massa encontra-se preso a uma mola
de constante elástica 3.104 N/m, podendo mover-se em torno do ponto O, num plano
horizontal sem atrito. Para que o disco possa executar um MCU com velocidade
escalar de 5,0 m/s, numa trajetória de 10 cm de raio, qual deverá ser a
deformação apresentada pela mola?
27
28)* A figura a seguir mostra um corpo preso à extremidade de um fio fino,
executando um MCU de raio R, num plano horizontal. Determine a
velocidade angular do corpo. Dado: tg45° = sen45°/cos45° = 1.
29)* (Cesgranrio-RJ) Uma esfera de aço suspensa por um fio descreve
uma trajetória circular de centro O em um plano horizontal no laboratório. As forças
28
exercidas sobre a esfera (desprezando-se a resistência do ar) são (assinale):
30)* Uma partícula suspensa por um fio ideal, como mostra a figura, descreve um
MCU num plano horizontal, de raio R = 2 m. Sendo o ângulo θ tal que senθ = 0,6 e
cosθ = 0,8, determine a velocidade escalar e a velocidade angular da partícula.
31) * (Cesesp-SP) Um caminhão transporta em sua carroceria uma carga de 2,0 t.
Determine a intensidade da força normal exercida pela carga sobre o piso da carroceria
quando ele passa, a 30 m/s, pelo ponto mais baixo de uma depressão com
raio de 300 m.
32) *(UFMG) Uma pedra é amarrada em
um cordão e posta a girar em um plano
30
vertical. Qual a velocidade mínima da pedra
no ponto mais alto da trajetória para que ela
possa descrever uma trajetória circular?
33) Um veículo de massa m =1500 kg deve
fazer uma curva de raio R = 40 m, no plano,
numa estrada sem inclinação. Se o coeficiente
de atrito entre os pneus e a
estrada for µ = 0,50, com que
velocidade máxima v o
motorista pode fazer a curva
sem derrapar?(g = 9,8 m/s2).
31
29
34) * (UFSC) No globo da morte, o conjunto “motociclista-moto” não cai ao atingir o
ápice do globo porque:
a) o peso do conjunto é maior que a força centrípeta.
b) o peso do conjunto é menor ou igual à força centrípeta.
c) a força centrípeta sobre o conjunto é nula.
d) o peso do conjunto é nulo.
e) o conjunto está em equilíbrio dinâmico.
35) *(UFPA) Considere que um automóvel de 1000 kg de massa vai
descrever uma curva, cujo raio é R = 250 m, em uma estrada plana e
horizontal.. O coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada vale 0,50.
Qual a máxima velocidade que o automóvel pode atingir nessa curva sem
derrapar?
36)*Para permitir velocidades maiores nas curvas, evitando situações
perigosas, as estradas são freqüentemente construídas com sobrelevação
(sua margem externa é mais elevada em relação à interna), isto é, a pista é
inclinada de um certo ângulo θ em relação ao plano horizontal. Determine
o ângulo de sobrelevação de uma pista de raio R = 60 m, para que um
automóvel possa realizar uma curva com segurança, com velocidade de
108km/h. Dê como resposta uma função trigonométrica do ângulo.
37) * (PUCC) O raio de uma curva ferroviária é de 400 m e um trem
deve percorre-la com velocidade de 72 km/h. De quanto deve estar
elevado o trilho externo, para reduzir a um mínimo a força para fora sobre ele?
36
A distância entre os trilhos é de 1,2 m.
38)* Determine a inclinação θ que deve ter uma rua em uma curva de 100 m de
raio, para que a ciclista da figura, com velocidade de 36 km/h, não derrape,
independentemente do coeficiente de atrito.
39) O ponteiro das horas de um relógio mede 0,360 m e o dos minutos, 0540 m.
Quais são os módulos das velocidades das extremidades dos ponteiros das horas
(vH) e dos minutos (vM)m respectivamente?(Vunesp-SP).
A
B
C
D
E
vH(m/s)
1,45.10-4
5,24.10-4
5,24.10-5
9,42.10-4
5,24.10-2
34
35
vM(m/s)
1,75.10-3
5,24.10-4
9,42.10-4
5,24.10-5
9,42.10-1
40) (PUC-SP) Após 50 min de uma prova ciclística, um participante percorreu 15,70 km. Se o raio das rodas da
bicicleta mede 0,25 m, a a freqüência média das rodas, em rotações por minuto (rpm) vale:
a) 0,02
b) 1,57
c) 10
d) 200
e) 10.000
41) Os pneus de um carro giram sem deslizar com freqüência de 10 Hz. Sendo de 30 cm o raio dos mesmos, a
velocidade do carro é, aproximadamente, de:
a) 44 m/s
b) 36 m/s
c) 30 m/s
d) 22 m/s
e) 19 m/s (MACK-SP)
42)(PUCC) Uma menina brinca com um bambolê que possui um adesivo colado. Sabe-se que o bambolê possui
1,50 m de perímetro e que, com o corpo, a menina consegue impulsiona-lo de forma que mantenha a velocidade
média de 3,0 m/s. O número de voltas dadas pelo adesivo em 5 min de movimento é :
a) 1500
b) 900
c) 600
d) 450
e) 300
43) (UFPA) Uma partícula em MCU realiza um percurso de 250 cm em πs, sob uma
38
aceleração centrípeta de 500 cm/s2. Nestas condições, o período do movimento, em
segundos, é de:
a) 0,5
b) 1,0
c) 1,25
d) 1,50
e) 2,0
CES - Lafaiete
Fundamentos de Mecânica
Gabarito – Lançamentos e MCU
Prof. Aloísio Elói
01 a) t = 3 s
b) AB = 36 m
02 a) t = 1 s
b) v0 = 4 m/s
03 dy = 5 m
04 D
05 a) v0x = 40 m/s; v0y = 30 m/s; vAx = 40 m/s; vAy = 0
b) ts = 3 s; H = 45 m
c) a = 240 m
06 a) ts = 20 2m / s ≅ 28 s
b) H = 4 000 m/s
c) A = 16 km
07
08
09
10
B
B
Vx = 87 m/s; vy = 20 m/s; v ≅ 89 m/s
t = 2 s: vx = 40 m/s; vy = 10 m/s; subindo.
t = 4 s: vx = 40 m/s; vy = - 10 m/s; descendo.
11 t = 4 s
12 a) T = 1 min = 60s
f = 1 rpm = (1/60) Hz
w = 2π rad/min = (π/30) rad/s
v = (2π/3) cm/s (ponto da periferia de ponteiro de 20 cm
b) T = 1 dia = 24 h
f = 1 rot/dia = (1/24) rot/hora
w = 2π rad/dia = (π/12) rad/hora
v = (1600π/3) km/h ≅ 1675 km/h
c) T = 1 dia = 24 h
f = 1 rot/dia = (1/24) rot/hora
w = 2π rad/dia = (π/12) rad/hora
v = (800π/3) km/h ≅ 837 km/h (latitude de 60°)
w = (3π/2) rad/s
A
12 Hz; 24 π rad/s; 4 Hz; 8 π rad/s
D
vA = (3π/2) m/s; vB = (π/2) m/s
13
14
15
16
17
18 (26π/3) m/s; (14π/3) m/s; (13π/90) rad/s; (7π/90) rad/s
19 1 400 m
20 w = 1 000 rad/s
21
22
23
24
25
1,5 3m / s
0,5 h
9 800 m/s2
ac = 5 000 m/s2
a) 1 m/s
b) 2 m/s2
c) 10 N
26 B
27 2,5 cm
28 ω = g / R
29 E
30 15m / s ;  15  rad/s
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43

4
2
2,6 x 10 N
v = 20 m/s, com um cordão de 40 cm.
v = 50, 4 km/h
B
25 2m / s
tgθ = 1,5
12 cm
tg θ = 0,1
C
D
E
C
B