Cultura Alexandrina
ASSUNTO: EUCLIDES
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Componentes:
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Isaias, Marcos e Raimundo
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OBJETIVO
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O presente trabalho tem como meta de aprimorarmos nossos
conhecimentos a:
•
Biografia do Euclides;
•
Contexto Histórico;
•
Postulados e Teoremas;
• Obra dos “Elementos”;
• Algoritmo de Euclides e
• Conclusão
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Biografia
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• Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.),
Professor,
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matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da
famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico
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e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se
manteve
incólume
no
pensamento
matemático
medieval
e
renascentista, pois somente nos tempos modernos, puderam ser
construídos modelos de geometrias não-euclidianas.
Biografia
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• Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão,
em pleno florescimento da cultura helenística, em Atenas, mas não há
provas.
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Contexto Histórico
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• Em 338 a.C., Filipe II, da Macedônia, passou a controlar a maior parte
do mundo grego.
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• Após ser assassinado em 336 a.C., o poder passou às mãos de seu
filho, Alexandre de apenas 20 anos.
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• Em 334 a.C., Alexandre deu início à conquista do Império Persa. O
Egito foi conquistado em 332 a.C., e ali no delta do Nilo, ele fundou
Alexandria
Contexto Histórico
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• Após sua morte, em 323 a.C., o império foi dividido, cabendo o Egito
a Ptolomeu, terminando a dinastia com Cleópatra.
• Criação da Universidade de Alexandria
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• Por volta de 300 a.C., surgiu um gênio que se encarregou de sintetizar
e sistematizar o conhecimento matemático.
• Este homem foi Euclides, autor dos Elementos.
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Contexto Histórico
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• Não se sabe onde nasceu;
• Parece provável que tenha estudado em Atenas;
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• Revelou seu talento em Alexandria, onde dirigiu a área de Matemática
do Museu e escreveu vários livros, entre eles os célebres Elementos.
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• Euclides recolheu todo o saber matemático, organizá-lo, suprimir
lacunas, e introduzir novas noções. O resultado desse trabalho foi uma
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obra imortal Os Elementos , compêndio em treze livros, dos quais
cinco dedicados à geometria de figuras planas, e três versando a
geometria a três dimensões.
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Postulados e Teoremas
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• Postulados
- Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
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• Axiomas - Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
• Postulados
-
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Se parcelas iguais forem adicionadas a quantidades
iguais, as somas continuarão a ser iguais.
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• Axiomas - Um segmento de reta a pode ser prolongado
indefinidamente para construir uma reta .
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• Postulados
-
Se as mesmas quantidades forem subtraídas de
quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais.
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• Axiomas - Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer
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pode-se construir um circulo de centro naquele ponto e com raio igual
à distância dada.
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• Postulados - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
• Axiomas - Todos os ângulos retos são iguais.
• Postulados - 0 todo é maior que as partes.
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• Axiomas - Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma
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dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois
retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas,
cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.
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• Trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a matemática
elementar;
• Aritmética – teoria dos números;
• Geometria sintética – pontos, retas, círculos e esferas;
• Álgebra – no campo geométrico e
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• Foi considerada a mais renomada na historia da matemática
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• Os Elementos de Euclides chegaram até nós através de numerosas
transcrições, sobretudo de copistas árabes, e tiveram um profundo
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impacto não apenas na matemática, mas na construção da própria
identidade lógica do mundo ocidental.
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• Escritos em 13 livros, realizam o prodigioso trabalho de sistematizar
os conhecimentos da Geometria elementar, de forma rigorosa e ,
partindo de um mínimo de definições e de verdades aceitas sem
provas.
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• Os elementos trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a
matemática elementar – isto é , ( no sentido da “teoria dos números”
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), geometria sintética ( de pontos, retas, círculos e esferas ), e álgebra (
não no sentido simbólico moderno, mas um equivalente em roupagem
geométrica ).
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Outras Obras
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• Os Dados;
• Divisão de figuras – Divisão de configurações planas.
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• Os fenômenos – Semelhante a A esfera de Autolico (geometria usada
para uso dos astrônomos)
• Optica – Grande influencia em fenômenos físicos.
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Algoritmo de Euclides
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• algoritmo de Euclides busca encontrar o máximo divisor comum entre
dois números inteiros diferentes de zero. É um dos algoritmos mais
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antigos conhecidos, desde que apareceu na obra Elementos de Euclides
por volta de 300 aC. O algoritmo não requer fatoração.
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Algoritmo de Euclides
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• O Algoritmo de Euclides para a obtenção do máximo divisor comum
entre dois números naturais é um processo bem simples. Não desista
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ao ler a explicação pelo roteiro, mas acompanhe o roteiro juntamente
com os exemplos numéricos que virão a seguir - vai ficar bem mais
fácil.
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Algoritmo de Euclides
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• Obtendo o mdc entre dois números naturais X e Y onde X > Y.
• Divida X por Y e obtenha o resto R1. Se R1 for zero, o mdc entre X e
Y é Y.
• Se R1 não for zero, divida Y por R1 e obtenha o resto R2. Se R2 for
zero, o mdc entre X e Y é R1.
• Se R2 não for zero, divida R1 por R2 e obtenha o resto R3. Se R3 for
zero, o mdc entre X e Y é R2.
• ...
• Se Rn não for zero, divida Rn-1 por Rn e obtenha o resto Rn+1. Se
Rn+1 for zero, o mdc entre X e Y é Rn.
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Algoritmo de Euclides
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• Exemplo - Obter, pelo Algoritmo de Euclides, o mdc entre 10 e 15.
• Dividimos 15 por 10 (porque 15 é maior que 10).
Dividendo: 15
Divisor: 10
Resto: 5
Quociente: 2
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• Como o resto é 5 (não vale zero), devemos dividir o divisor 10 por 5,
temos:
Dividendo: 10
Divisor: 5
Resto: 0
Quociente: 2
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• O resto é zero, portanto o mdc entre 15 e 10 é 5 (o divisor da divisão
cujo resto é zero).
Algoritmo de Euclides
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• O Algoritmo de Euclides pode requistar muitas divisões sucessivas até
que se chegue ao resto zero (sempre se chegará). Por conta disso, é
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melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores
deixa espaços para os próximos, caso sejam necessários.
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CONCLUSÃO
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Esperamos contribuir com todos que, de uma forma ou de outra, participam
do processo de ensino-aprendizagem do conteúdo Histórico de Euclides na
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matemática e de uma maneira direta com a Geometria e na algebra. Todo
esforço é no intuito de mostrar nós, futuros docentes o que houve no
passado e que se aplica nos dias atuais.
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BIBLIOGRAFIA
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•
Biblioteca da Matemática Moderna;
• BOYERR, Carl Beijamin, História da Matemática 2ª ed. São Paulo, Edgard
Blucher, 1996.
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FIM
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