Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1] ano
Funções trigonométricas seno e suas relações
com os fenômenos que apresentam comportamento periódico
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os
fenômenos que apresentam comportamento periódico
Abordaremos o assunto
funções trigonométricas,
mais especificamente a
função seno, e suas
relações com os
fenômenos que
apresentam
comportamento periódico.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os
fenômenos que apresentam comportamento periódico
Fenômenos periódicos:
O que são?
Chamamos de um fenômeno periódico aquele que se repete sempre após o
mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno periódico é
o dia. O movimento do Sol, que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até
novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia.
Um outro conceito, que ajuda a complementar o anterior, é que os fenômenos
periódicos são aqueles que se repetem periodicamente, ou seja, a cada período
inteiro.
Extraído de: http://traprendizado.blogspot.com.br/2011_08_01_archive.html
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Funções trigonométricas seno e suas relações com os
fenômenos que apresentam comportamento periódico
Fenômenos periódicos:
Por que são importantes?
Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo.
Os corpos celestes são muito importantes porque, entre eles, há diversos que
executam um movimento periódico que pode ser percebido por nós e, por isso, eles
foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra como nós
estamos e olhando para o céu, nós podemos perceber muitos movimentos
periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e o da Lua.
Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são
periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Um outro exemplo que
colabora com essa afirmação é o nascer e o pôr do sol.
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Fenômenos periódicos:
Um outro bom exemplo é a função sen x, pois a cada período de 2π tudo volta a se
repetir:
sen 0 = 0
sen 90º= 1
sen 180º= 0
sen 270º= -1
sen 360º(ou 0º) = 0.
A partir daí, mais uma volta completa (2π), com todos os valores se repetindo,
sucessivamente.
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fenômenos que apresentam comportamento periódico
Fenômenos periódicos:
Antes de começar a apresentar a função seno, é importante destacar algumas
informações:
As funções trigonométricas são funções angulares, que caracterizam uma grande
importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos,
sendo considerada um ramo da matemática.
E não para por aí! ...
Além de estudar esses itens, estudam-se também as funções circulares: seno,
cosseno e tangente. Logo a seguir, será explicada detalhadamente a função seno.
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Funções trigonométricas seno e suas relações com os
fenômenos que apresentam comportamento periódico
As funções trigonométricas podem ser modelo matemático de vários fenômenos
que se repetem, como as variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre,
a pressão sanguínea do coração ou, ainda, o nível de água de uma bacia marítima,
devido à periodicidade da maré.
Extraído de: http://www.liberato.com.br/upload/arquivos/0131010717393616.pdf
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Também são periódicos fenômenos como a tensão e a corrente elétrica
domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no micro-ondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, o fluxo de
caixa em negócios sazonais e o funcionamento de máquinas rotativas.
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Ainda podem ser citados como fenômenos periódicos as fases da Lua, as estações
do ano, o clima, o movimento dos planetas, entre outros.
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Função
trigonométrica
seno no triângulo
retângulo
catetooposto b
ˆ
senB 

hipotenusa a
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A
Relações num
triângulo qualquer
b
c
R
Lei dos senos
(2 ângulos e 1 lado)
a
b
c


 2R
ˆ senB
ˆ senC
ˆ
senA
O
B
a
C
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B
Comprimento de
um arco
l
R

l   .R
O
 : ângulo central(em radianos)
180   rad
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A
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D
Círculo e
funções
trigonométricas
cotg
C
sen
E
cos
B

A
sen  EF
OE  R  1
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Relações fundamentais:
1) sen² x  cos ² x  1
senx
2)tgx 
cos x
cos x
3) cot gx 
senx
1
4) sec x 
cos x
1
5) cossec x 
senx
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Relações auxiliares:
sen ² x  cos ² x  1
 sen² x
sen ² x cos ² x
1


sen ² x sen ² x sen ² x
cossec ² x  1  cot g ² x
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Função seno (y = sen x)
Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a
cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua
representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) =
sem x é positivo no 1º e 2º quadrantes e é negativo quando x pertence ao
3º e 4º quadrantes. Observe as imagens seguintes:
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Variação da função básica
Função
Domínio
Período
Imagem
y  a  b.senx
R
2
[a  b, a  b]
Par ou ímpar
senx  sen( x)  ímpar
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Variação da função básica
Crescente ou decrescente
Sinais
++
- -
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
crescente
decrescente
decrescente
crescente
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Operações com arcos
•Adição e subtração:
sen(a  b)  sena. cosb  cosa.senb
•Arco duplo:
sen(2a)  2sena.2 cosa
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Amplitude, domínio, período e imagem:
Amplitude
A amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo e um
ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin).
Domínio
O conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto que possui a
função definida, ou seja, contém todos os elementos x para os quais a função
deve ser definida, sendo um conjunto de saída; é, pois, o conjunto dos
elementos que utilizamos como x na função.
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Amplitude, domínio, período e imagem:
Período
Denominamos período a distância entre dois pontos máximos ou o intervalo
de repetição da função.
Imagem
Um outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o
intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e
Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido à amplitude, que é 1.
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Exemplo de gráfico:
Amplitude
Deslocamento
Período
Tempo (s)
http://3.bp.blogspot.com/-GFgyAdrQJuc/Tj7-HSTYruI/AAAAAAAAAAs/LZqrhv07JBs/s1600/Figura15.jpg
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Gráfico da função seno:
y
Imagem
cossec x
cossec x
1

Imagem
senx
Imagem
cossec x
0
-1
3
2
2

2
x
senx
cossec x
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Software de simulação:
A simulação a seguir apresenta dados
referentes às funções trigonométricas no
círculo trigonométrico. Neste mesmo
software, as funções seno, cosseno e
tangente estão sendo representadas por
meio da circunferência, apresentando seus
respectivos gráficos.
www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigonometricasgraficosi.programa.exe
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Software de simulação:
www.cienciamao.usp.br/dados/tex/_funcaotrigo
nometricasgraficosi.programa.exe
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Vídeo: Funções trigonométricas
Este vídeo explica detalhadamente a construção dos gráficos da função
Seno (assim como também das funções Cosseno e Tangente).
http://www.youtube.com/watch?v=8e0Q6d
S_5lQ&feature=related
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Extra: problema 1 (com ilustração)
Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num
terreno horizontal. Um cabo de tensão vai do solo até o ponto mais alto
da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do
cabo?
60m
55°
Imagem: Torsten Bätge / Torre /
GNU Free Documentation
License
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Extra: problema 1 - solução
Como se trata de um triângulo retângulo, podemos afirmar que sen 55º =
60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas,
temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m, aproximadamente, o
comprimento do cabo.
http://1.bp.blogspot.com/-_OCNIZUEsZE/TkbRrQq36UI/AAAAAAAAADg/biw58OCSFVI/s1600/3-cd09441330+%25282%2529.jpg
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Extra: problema 2 (sem ilustração)
Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical.
O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º
= 0,88, calcule a altura h.
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Extra: problema 2 - solução
Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se
torna um retângulo. Então,
sen 62º= h/4,5
h = 4,5 . sen 62°
h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d)
0 3,96 é a altura h, aproximadamente.
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Extra: problema 3 (pesquisa)
Tire uma foto de algum fenômeno periódico. Promova pesquisas de
aprofundamento do tópico desenvolvido no material de apoio
apresentado e conceitue-o. (As pesquisas realizadas podem ser
anexadas a esta apresentação posteriormente).
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Funções trigonométricas seno e suas relações com os
fenômenos que apresentam comportamento periódico
Extra: problema 3 - solução
As funções trigonométricas podem ser modelos
matemáticos de vários fenômenos que se repetem; entre
elas poderão ser apresentadas fotos a respeito das
variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre,
a pressão sanguínea do coração ou ainda o nível de
água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da
maré.
Tabela de Imagens
n° do
slide
27
direito da imagem como está ao lado da
foto
Torsten Bätge / Torre / GNU Free
Documentation License
link do site onde se consegiu a informação
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sender_Da 11/09/2012
nnenberg_Zernien_7675.jpg