Bifurcações em Osciladores não Lineares Acoplados e com
Amortecimento
Márcio José Horta Dantas
Faculdade de Matemática, UFU, 38408-100, Uberlândia, MG, E-MAIL:[email protected]
José Manoel Balthazar
Departamento de Estatística, Matemática Aplicada e Computação, UNESP, 13500-230,
Rio Claro, SP, E-MAIL: [email protected]
RESUMO
Considere o seguinte sistema vibratório com
dois graus de liberdade
 q1 + ω 12 q1 + µ1q1 + α 1 q1 q2 = 0

.
g

2
2
q2 + ω 2 q2 + µ 2 q2 + α 2 q1 + L = 0
Tais equações surgem da modelagem das
vibrações planas de um estrutura aporticada
constituído por duas colunas verticais elásticas
com uma distância L entre elas e uma coluna
horizontal elástica, apoiada nas extremidades
das duas colunas anteriores. No ponto médio
da barra horizontal coloca-se uma massa M.
Aqui q1 representa o deslocamento horizontal,
q 2 o seu deslocamento vertical, ω 1 ,ω 2 são as
freqüências naturais do sistema, µ 1 , µ 2 são os
amortecimentos
horizontal
e
vertical
respectivamente.
Além disso α 1 ,α 2 são
constantes positivas associadas à não
linearidade da resposta mecânica da estrutura.
Para maiores detalhes deste modelo ver [1] e
[2], onde também outras questões são tratadas.
Nesta referências os parâmetros são escolhidos
de tal forma que se tenha ressonância interna
1
do tipo 1:2, isto é, ω 1
≈ . Ressalta-se que
ω2 2
uma estratégia de controle, baseada no
fenômeno de saturação e ressonâncias internas
foi abordado em [3].
Obtemos, da análise do problema, que se
α 1 < ω 12 ω 22 L g
temos três pontos de
equilíbrio, sendo que dois são instáveis e o
ponto de equilíbrio situado do ponto médio da
viga horizontal é assintóticamente estável. Se
α 1 > ω 12 ω 22 L g só existe um único ponto de
equilíbrio, que está no ponto médio da viga
horizontal e é instável. Provamos que aí ocorre
uma bifurcação transcrítica. Usando a técnica
de redução à variedade central, temos que se o
amortecimento horizontal é nulo, o sistema
tem comportamento dinâmico análogo ao
anterior, embora o decaimento horizontal seja
do tipo t −1 2 e não de ordem exponencial,
como no caso anterior e a bifurcação
envolvida é mais complicada. Se o
amortecimento vertical for nulo verificamos
que existem órbitas periódicas e se
α 1 < ω 12 ω 22 L g o ponto de equilíbrio no ponto
médio da viga horizontal é estável e não
assintóticamente estável, como nos dois casos
anteriores. Para valores maiores que o valor
crítico ω 12 ω 22 L g , temos instabilidade.
Referencias
[1] Brasil, R.M.L.R.F. and Balthazar, J.M. On
Chaotic Oscillations of a Machine
Foundation: Perturbation and Numerical
Studies , In: New Trends in Dynamics
and Control, 3, 36-52, (2002)
[2] Balthazar, J.M., Mook, D.T., Chin,C.C.
and Brasil, R.M.L.R.F., On Free
Oscillations of a Simple Portal Frame
Structure with two Degrees of Freedom
Containing Quadratic Nonlinearities and
with Internal Resonance 1:2, In: Applied
Mechanics in the Americas , vol.4, 322325,(1997)
[3] Palacios, J.F, Balthazar, J.M. and Brasil,
R.M.L.R.F.,Some Comments on a Control
Tecnique to a Simple Machine Foundation
by Using Intenal Resonance and
Saturation Phenomena, Vibration and
Control, Submitted, (2002)
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