8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA
Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007
PONTOS CRÍTICOS EM PÓRTICOS ESPACIAIS
Eliseu Lucena Neto*, Francisco Delano Pinheiro Barrosoº
* Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 12228-900 São José dos Campos - SP, Brazil
e-mail: [email protected]
º Tecsis, Rua Moacyr Ozeas Guitti, 36, 18086-390 Sorocaba - SP, Brazil
e-mail: [email protected]
RESUMO
A eficiência de um algoritmo para detecção de pontos de bifurcação e pontos limites é testada usando um modelo de
elementos finitos para pórticos espaciais sob pequenas deformações mas grandes rotações, baseado na teoria de vigas
de Euler-Bernoulli com torção uniforme.
Palavras-chave: Flambagem, Ponto crítico, Ponto de bifurcação, Ponto limite
INTRODUÇÃO
Sistemas conservativos se tornam instáveis em pontos de bifurcação ou em pontos limites [1]. São pontos críticos
que podem também ocorrer em sistemas não conservativos que se comportam como estáticos no instante da perda de
estabilidade. Os procedimentos comumente empregados no traçado das trajetórias de equilíbrio não são capazes de
determinar direta e precisamente os pontos críticos. Um procedimento mais específico, em que se resolvem as
equações de equilíbrio simultaneamente com outras que caracterizam os pontos críticos (sistema estendido), é de
restrita convergência. Identificamos pelo símbolo wrg o algoritmo desse procedimento proposto por Wriggers et al.
[2]. Para melhorar seu desempenho, Lucena Neto et al. [3] propõem o algoritmo modificado wrgm. Aplicam-se neste
trabalho os algoritmos wrg e wrgm a pórticos originalmente planos que flambam movendo-se para fora do plano. O
modelo estrutural é descrito por uma formulação co-rotacional de elementos finitos para pórticos espaciais sob
pequenas deformações mas grandes rotações [4]. O elemento é descrito localmente pela teoria de vigas de EulerBernoulli com torção uniforme.
APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Compara-se a seguir o desempenho dos algoritmos wrg e wrgm. No traçado das trajetórias de equilíbrio, resolvem-se
as equações algébricas não lineares pelo método de Newton-Raphson com controle de deslocamento ou carga.
Considera-se que um ponto crítico tenha sido atingido quando o menor autovalor φ , em módulo, da matriz de
rigidez tangente [Kt] e a norma euclidiana do vetor das forças nodais desequilibradas Ψ satisfizerem
φ , Ψ < 10 −6.
No uso do algoritmo wrgm, dois critérios são testados quanto à necessidade de se fazer correções (trazer as iterações
com o sistema estendido para mais próximo da trajetória de equilíbrio). No primeiro critério a correção é feita se
φ i +1 > φ i
onde
φi
e
φ i +1
são os valores de
φ
e
Ψ > 10 −6 ,
em duas iterações sucessivas. No segundo critério faz-se a correção quando
‰+ ‰!tol,
podendo-se atribuir a tol o valor que parecer mais conveniente. O algoritmo wrgm com o primeiro critério será
identificado por wrgm1 e com o segundo critério por wrgm2. Nas correções aplica-se o método de Newton-Raphson
com controle de deslocamento.
Arco circular rotulado e engastado 3D
Fig. 1: Arco circular rotulado e engastado 3D.
O arco circular da Figura 1, de seção transversal quadrada, tem a extremidade direita completamente engastada e a
extremidade esquerda dotada de uma rótula que só permite livre rotação no plano. Na análise da estrutura,
discretizada em 20 elementos, nenhuma restrição é imposta quanto à possibilidade de deformação fora do plano. A
Figura 2 mostra a trajetória de equilíbrio traçada pelo método de Newton-Raphson com controle de carga. Um ponto
de bifurcação, confirmado pelo determinante nulo de [Kt], ocorre próximo ao deslocamento d = 12.
Fig. 2: Trajetórias de equilíbrio e determinante de [Kt] nos pontos da trajetória primária.
O comportamento dos algoritmos na determinação do ponto de bifurcação (dcr = 11,979; Pcr = 257,038) é mostrado
na Tabela 1. Os resultados são todos convergentes. O algoritmo wrg apresenta, em média, um menor número de
iterações, porém é o algoritmo wrgm que menos utiliza o sistema estendido, em alguns casos muito menos como
acontece para a busca iniciada no ponto mais distante P = 400. Fazendo a carga P crescer a partir de zero, o arco
permanece plano até o valor Pcr = 257,038. A partir daí aparecem duas trajetórias: o arco permanece plano, se não
houver nenhuma perturbação, ou flamba para fora do plano e alcança uma nova configuração de equilíbrio. O
deslocamento ∆ do ponto central, na direção perpendicular ao plano, é mostrado na Figura 3 em função da carga
aplicada.
Tabela 1: Número de iterações para atingir o ponto de bifurcação (dcr = 11,979; Pcr = 257,038).
Ponto de início
P = 100
P = 200
P = 300
P = 400
wrg
7
6
5
12
wrgm1
9 ( 5 )*
6 (4)
6 (4)
11 ( 5 )
wrgm2 ( tol = 100 )
11 ( 5 )
8 (4)
8 (4)
14 ( 5 )
wrgm2 ( tol = 101 )
10 ( 5 )
7 (4)
7 (4)
12 ( 5 )
8 (5)
6 (5)
6 (5)
10 ( 5 )
wrgm2 ( tol = 103 )
* 9: número total de iterações; 5: iterações com o sistema estendido.
Fig. 3: Trajetória de equilíbrio fora do plano.
Viga em balanço com carga transversal
Fig. 4: Viga em balanço com carga transversal.
Seja a viga da Figura 4. A trajetória de equilíbrio da Figura 5 é traçada pelo método de Newton-Raphson com
controle de carga e com a viga discretizada em 20 elementos. Um ponto de bifurcação, confirmado pelo determinante
nulo de [Kt] , ocorre próximo ao deslocamento d = 1,6.
Numericamente, fazendo a carga crescer a partir de zero, a viga deflete permanecendo plana até o valor λcr = 4,181.
A partir daí aparecem duas trajetórias: a viga permanece plana, se não houver nenhuma perturbação, ou flamba para
fora do plano e alcança uma nova configuração de equilíbrio. O parâmetro λ é definido em
P=
λ
2
L
GJEI y
G=
E
.
2(1 + ν )
Fig. 5: Trajetórias de equilíbrio e determinante de [Kt] nos pontos da trajetória primária.
O comportamento dos algoritmos na determinação do ponto de bifurcação (dcr = 1, 673; λcr = 4,181) é mostrado na
Tabela 2 (o valor de λcr muda para 4,124 e 4,097 quando a discretização é em 40 e 80 elementos, respectivamente).
O algoritmo wrg apresenta comportamento semelhante a wrgm2, com tol = 103, para buscas iniciadas em pontos
próximos ao ponto crítico. Porém, wrg não converge se a busca for inicializada em pontos mais distantes.
A influência da flexão no plano vertical sobre o valor da carga crítica reduz com o aumento da rigidez EIz.
Timoshenko e Gere [5] trazem o valor teórico λcr = 4,085 para uma relação h/b = 10. Neste caso em que a seção
transversal retangular é fina (h » b), a torção não uniforme deixa de ser relevante. Se a contribuição da flexão no
plano vertical é desprezada no cálculo da carga crítica, o resultado teórico é λcr = 4,013 e os resultados numéricos
convergem para λcr = 4,118 (este resultado muda para 4,063 e 4,037 quando a discretização é em 40 e 80 elementos,
respectivamente).
Tabela 2: Número de iterações para atingir o ponto de bifurcação (dcr = 1, 673; λcr = 4,181).
Ponto de início
λ=2
λ=3
λ=5
λ=6
wrg
não
5
4
não
wrgm1
não
7 ( 5 )*
5 (4)
11 ( 7 )
não
6 (5)
6 (5)
6 (5)
wrgm2 ( tol = 100 )
wrgm2 ( tol = 101 )
não
6 (5)
4 (4)
6 (5)
não
5 (5)
4 (4)
9 (7)
wrgm2 ( tol = 103 )
* 7: número total de iterações; 5: iterações com o sistema estendido.
Viga biapoiada com carga momento nas extremidades
Fig. 6: Viga biapoiada com carga-momento nas extremidades.
A viga da Figura 6 tem seção transversal em I e está sujeita a carga-momento nas extremidades. Os apoios não
permitem nenhum tipo de translação e nem rotação em torno do eixo da viga. A estrutura pode flambar lateralmente
com torção, em vários pontos de bifurcação. A Figura 7 mostra o trecho inicial da trajetória de equilíbrio, com dois
pontos de bifurcação, traçada pelo método de Newton-Raphson com controle de carga e com a viga discretizada em
16 elementos. O primeiro ponto de bifurcação, confirmado pelo determinante nulo de [Kt], ocorre próximo à carga
M = 3,5.
Fig. 7: Trajetórias de equilíbrio e determinante de [Kt] nos pontos da trajetória primária.
A Tabela 3 traz detalhes da determinação do primeiro ponto de bifurcação (dcr = 8, 984 × 10-3; Mcr = 3,467). Todos
os algoritmos alcançam convergência com poucas iterações e comportam-se de maneira semelhante.
A influência da flexão no plano vertical sobre o valor do momento crítico reduz com o aumento da rigidez EIz.
Desprezando-se essa influência, Timoshenko e Gere [5] traz o seguinte valor teórico
Mcr
2
E EI y GJ E#E
2
L
L
4, 619
onde Γ = 3,58829× 10-7 é a constante de empenamento da seção transversal. Desprezar a não uniformidade da torção
significa remover a parcela que contém Γ na expressão acima:
M
cr
E EI y GJ
L
3, 372.
Os resultados numéricos obtidos para valores bem elevados de EIz convergem para Mcr = 3,377 (este resultado muda
para 3,373 quando a discretização é em 32 elementos). Neste problema é importante a consideração da não
uniformidade da torção, não incorporada no elemento utilizado.
Tabela 3: Número de iterações para atingir o ponto de bifurcação (dcr = 8, 984 × 10-3; Mcr = 3,467).
Ponto de início
M=2
M=3
M=5
M=6
wrg
5
4
4
4
wrgm1
7 ( 5 )*
4 (4)
4 (4)
4 (4)
wrgm2 ( tol = 100 )
6 (5)
4 (4)
4 (4)
4 (4)
5 (5)
4 (4)
4 (4)
4 (4)
wrgm2 ( tol = 101 )
5 (5)
4 (4)
4 (4)
4 (4)
wrgm2 ( tol = 103 )
* 7: número total de iterações; 5: iterações com o sistema estendido.
Pórtico em L
Fig. 8: Pórtico em L.
Considere o pórtico da Figura 8 com as duas barras discretizadas em 8 elementos cada. Com o aumento da carga P, a
estrutura pode flambar lateralmente com torção. A trajetória de equilíbrio traçada pelo método de Newton-Raphson
com controle de carga é mostrada na Figura 9. O determinante nulo de [Kt] confirma um ponto de bifurcação
próximo ao deslocamento d = 65.
Fig. 9: Trajetórias de equilíbrio e determinante de [Kt] nos pontos da trajetória primária.
Um resumo da determinação do ponto de bifurcação (dcr = 64,141; Pcr = 1,213) está na Tabela 4. Todos os
algoritmos comportam-se de maneira semelhante, convergindo com poucas iterações. Nenhum dos algoritmos
converge se a busca for inicializada em pontos mais distantes.
Tabela 4: Número de iterações para atingir o ponto de bifurcação (dcr = 64,141; Pcr = 1,213).
Ponto de início
P = 1,0
P = 1,2
P = 1,4
P = 1,6
wrg
6
4
6
não
wrgm1
6 ( 3 )*
4 (2)
6 (4)
não
wrgm2 ( tol = 100 )
6 (4)
4 (3)
6 (4)
não
wrgm2 ( tol = 101 )
6 (5)
4 (4)
6 (5)
não
wrgm2 ( tol = 103 )
6 (6)
4 (4)
6 (6)
não
* 6: número total de iterações; 3: iterações com o sistema estendido.
Pórtico de Lee
Fig. 10: Pórtico de Lee.
O pórtico em L mostrado na Figura 10 é conhecido na literatura como pórtico de Lee [6]. Os apoios restringem todos
os graus de liberdade, exceto a rotação no plano da estrutura. Com o aumento da carga P, a estrutura pode flambar
lateralmente com torção. Discretizando-se as duas barras em 8 elementos cada, obtém-se a trajetória de equilíbrio
indicada na Figura 11 pelo método de Newton-Raphson com controle de deslocamento. O determinante nulo de [Kt]
confirma um ponto de bifurcação próximo ao deslocamento d = 35.
Fig. 11: Trajetórias de equilíbrio e determinante de [Kt] nos pontos da trajetória primária.
A determinação do ponto de bifurcação (dcr = 36,079; Pcr = 173,306) é mostrada na Tabela 5. O algoritmo wrg tem
uma performance ruim, enquanto todos os demais convergem mesmo se inicializada a busca em pontos mais
distantes. Todas as versões do algoritmo modificado apresentam comportamento semelhante, exceto wrgm2 com
tol = 103 inicializado em d = 10, que requer bem mais iterações para alcançar o ponto crítico.
Tabela 5: Número de iterações para atingir o ponto de bifurcação (dcr = 36,079; Pcr = 173,306).
Ponto de início
d = 10
d = 20
d = 30
d = 40
wrg
não
não
não
6
wrgm1
13 ( 7 )*
9 (4)
7 (5)
6 (5)
wrgm2 ( tol = 100 )
14 ( 5 )
10 ( 4 )
7 (4)
7 (4)
wrgm2 ( tol = 101 )
11 ( 4 )
9 (4)
7 (4)
6 (5)
wrgm2 ( tol = 103 )
23 ( 14 )
10 ( 7 )
7 (6)
6 (5)
* 13: número total de iterações; 7: iterações com o sistema estendido.
CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS
As seguintes conclusões podem ser extraídas dos resultados numéricos:
• quanto menor é a tolerância tol adotada para a correção da trajetória de equilíbrio, mais uso se faz da solução do
sistema que contém exclusivamente as equações de equilíbrio. Por outro lado, uma vez efetuadas as correções o
algoritmo com o sistema estendido se torna mais eficiente devido às avaliações numéricas serem efetuadas mais
próximas da trajetória de equilíbrio. Verifica-se tal comportamento quando, por exemplo, a tolerância é reduzida
em wrgm2 (103 → 100) e o algoritmo passa a executar um número maior de iterações totais das quais poucas
lidam com o sistema estendido;
• há ganho de eficiência do algoritmo modificado em relação ao clássico, como realçam os exemplos da viga em
balanço com carga transversal e do pórtico de Lee. No entanto, nas trajetórias de equilíbrio aproximadamente
lineares, como as dos exemplos da viga biapoiada com carga-momento nas extremidades e do pórtico em L, as
modificações têm pouco impacto;
• convergência com o algoritmo clássico implica convergência com o algoritmo modificado. Porém, à medida que
o ponto de início de busca se afasta do ponto crítico a eficiência do algoritmo clássico se torna vulnerável bem
mais cedo do que a do algoritmo modificado;
• o mau-condicionamento da matriz de rigidez tangente nas proximidades de um ponto crítico pode ser aliviado
usando maiores tolerâncias com o critério de convergência.
O custo computacional em uma iteração que utiliza somente as equações de equilíbrio é bem menor do que uma que
utiliza o sistema estendido. Portanto, nem sempre o algoritmo que executa um maior número de iterações é o que tem
custo mais elevado. O exemplo do arco circular rotulado e engastado 3D ilustra bem o fato. Os algoritmos wrg e
wrgm2 (tol = 100) são utilizados na determinação do ponto crítico, com início de busca em P = 400. O algoritmo wrg
usa 12 iterações, todas com o sistema estendido, enquanto wrgm2 usa 14 iterações, mas apenas 5 delas com o sistema
estendido. O custo computacional de wrg é bem maior mesmo executando menos iterações.
Sugerimos que o elemento finito seja modificado localmente para incluir torção não uniforme, inclusive segundo a
teoria de vigas de Timoshenko.
REFERÊNCIAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
J.M.T. Thompson, Basic Theorems of Elastic Stability, Int. J. Eng. Sci., vol. 8, pp. 307-313, 1970.
P. Wriggers, W. Wagner and C. Miehe, A Quadratically Convergent Procedure for the Calculation of Stability
Points in Finite Element Analysis, Int. J. Num. Meth. Eng., vol. 70, pp. 329-347, 1988.
E. Lucena Neto, F.D.P. Barroso e F.A.C. Monteiro, Determinação Direta de Pontos de Bifurcação e Limites na
Mecânica das Estrutura, Anais (em CD) do CMNE/CILAMCE, 2007.
F.A.C. Monteiro, Uma Formulação Co-rotacional Geral: Aplicação a Pórticos Espaciais, Tese de Mestrado,
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, 2004.
S.P. Timoshenko and J.M. Gere, Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, 1961.
S.L. Lee, F.S. Manuel and E.C. Rossow, Large Deflections and Stability of Elastic Frames, J. Eng. Mech. Div.,
ASCE, vol. 94, pp. 521-547, 1968.