Lista 2: Retas, Planos e Distâncias - Engenharia Mecânica
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

{
 x = 2 + 2t
z−6
x+5
y = mt
1. Determine os valores de m para que as retas r :
e s:
=y+m=

−1
m
z = 4 + 5t
(b) paralelas
(c) coplanares.
sejam: (a) ortogonais

 x = 3 + at
y = 2 − bt seja paralela à reta que é simultane2. Calcule os valores de a e b para que a reta r :

z = 7 − 2t
amente ortogonal às retas
{
r:
{
y = 2x − 8
z = −3x + 1
e
s:
x−4
y+2
z−6
=
=
.
3
3
6
3. Determine as equações reduzidas
da reta r que passa pelo ponto P (3, 5, 2) e é simultaneamente
{
ortogonal ao eixo x e à reta s :
x=1
y−3
=z+1
−2
{
4. Calcule o(s) valor(s) de m para o(s) qual(is) a reta r :
determinada pelos pontos A(4, 0, m) e B(−5, 2m, 3m).
x = my + 3
seja ortogonal à reta
z = (m + 1)y − 7
5. Estabeleça as equações simétricas
da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r :

{
z−2
1−x=y =
2
e s:
 x = 4 + 2t
y = 3 + 4t e é, ao mesmo tempo, ortogonal a essas retas.

z = 6 + 6t
6. Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1, −1, 1) e é ortogonal
à reta r :
x−2
=y=z
−2
7. Calcular
as equações da reta r que contém o ponto A(2, −1, 1) e que interceptam a reta s :

 x = 1 + 2t
π
y = −1 segundo um ângulo de rad

4
z=t
8. Considere o paralelogramo de vértices A(1, −2, 3), B(4, 3, −1), C(5, 7, −3) e D(2, 2, 1).
A
D
B
C
Determine:
1
(a) as equações paramétricas da reta que contém o ponto de interseção das diagonais deste
paralelogramo e é simultaneamente ortogonal a estas duas diagonais.
(b) a equação geral do plano que contém este paralelogramo.
9. Determine a posição relativa entre:
{
(a) as retas r :
{
x = −1
y=3
e s:
y = 4x + 7
z=x

 x = 1 + 3t
(b) a reta r : y = −1 − 2t e o plano x + 2y + z + 1 = 0

z=t
(c) os planos −2x + 3y + 4z = 9 e 3x − 2y + 3z = 10.
10. Dados os planos π1 : −4x + 4y − 4 = 0 e π2 : −2x + y + z = 0, determine:
(a) a interseção entre π1 e π2 .
(b) o ângulo entre π1 e π2 .
{
y = 2x + 1
z
{ =x−3
x = −z + 4
com o plano π : 2x+2y−3z+4 = 0 e que é simultaneamente ortogonal às retas r :
y = 3z − 6
{
x=4
e s:
.
z = 2y + 1
{ x−1
{
z−1
x = 2y + 5
=
12. Estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r :
.
e s:
3
5
z = −2y − 1
y = −1
11. Obtenha a equação simétrica da reta que passa pelo ponto de interseção da reta t :

 x = 1 − 5t
13. Determine a equação geral do plano que contém o ponto P (1, 3, 4) e a reta r : y = 2 + 3t .

z = 2 − 7t
14. Determinar a equação do plano que passa pela reta interseção dos planos x − 3y − z + 3 = 0 e
3x + y − 2z + 2 = 0 e é perpendicular ao plano yz.
15. Determinar um vetor unitário ortogonal ao plano
√
2x + y − z + 5 = 0.
16. O plano π : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Determine a
área e a altura do triângulo ABC.
{
17. Determine as equações paramétricas do plano que contém a reta
ao plano 2x + y − z + 5 = 0.
18. Determine a posição relativa entre:
{
(a) a reta r :
{
(b) a reta s :
x−1=
z=0
y+1
−2 e o plano 2x + y − 3z − 1 = 0.
y = 2x − 3
e o plano 3x − 2y − z − 2 = 0.
z = −x + 4
2
y = 2x − 3
e é perpendicular
z = −x + 2

 x=t+3
y = 2t − 3 esteja contida no plano π :
19. Calcule os valores de m e n para que a reta r :

z = −t + 4
nx + my − z − 5 = 0.
20. Determine um ponto P de coordenadas inteiras que pertença à reta interseção dos planos: π1 :
3x − 4y + z − 3 = 0 e π2 : x + 3y − z = 0 e cuja distância ao ponto Q(1, 1, −1) é 9 unidades de
medida.
21. Considere as retas:
{
r:
x =
1
;
z = 2y − 6

 x = −1 + t
y = −1 + 3t ;
s:

z = 6−t
{
e
t:
y−1
z
x+2
.
=
=
2
6
−2
(a) Determine a posição relativa das retas a seguir e, se houver, seu ponto de interseção:
(i) r e s;
(ii) r e t;
(iii) t e s.
(b) Determine, se houver, a equação do plano que contém as retas:
(i) r e s;
(ii) r e t;
(iii) t e s.
(c) Determine a equação de uma reta l que é ortogonal a r, forma um ângulo de 60◦ com o eixo
das ordenadas e intercepta o eixo das abscissas em x = 2.
22. Classique as armações abaixo em verdadeiras ou falsas e justique sua resposta.
(a) A reta que passa pelos pontos A(2, 1, 3) e B(2, 4, 3) é paralela ao plano coordenado xz.
(b) O plano que passa pelos pontos C(1, 0, 0), D(0, 0, 4) e E(2, 3, −4) é paralelo ao eixo y.
{
(c) O plano que contém a reta
x = 2
e passa pelo ponto (1, 3, 4) é paralelo ao plano xy.
z = 4
{
x−1
z
e o plano β : 2x + y − z + d = 0. Determine,
= −y + 2 =
a
2
existirem, os valores de a e d tais que:
23. Considere a reta u :
se
(a) u esteja contida em β;
(b) u seja paralela a β;
(c) u seja ortogonal a β.
24. Determine {
as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(1, −1, 1) e é perpendicular
x = −2y + 2
à reta s :
. (Lembre que duas retas são perpendiculares se são ortogonais e
z =
concorrentes.)
y
25. No paralelepípedo da gura abaixo tem-se: E(0, 0, 3) e B(2, 4, 0).
3
z
E
D
P
F
O
C
A
y
B
x
(a) Determine a equação do plano que passa pelos pontos O, P e D.
(b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento OA e é perpendicular
ao plano z = 3.
(c) Determine a equação do plano que contém a face BCDP
4
Respostas:
1
1. (a) m =
3
(b) não existe m
(c) m =
7±
√
829
10
2. a = 14 e b = 10
{
3. r :
x=3
z = 2y − 8
4. m = 0 ou m =
5.
5
2
x−2
y+1
z
=
= .
−2
−2
2
6. Uma das

 x
y
soluções possíveis:

z

= 2 + 3t

= −1
ou r :

= 1−t

 x
y
7. r :

z

 x = 3 + 12t
y = 52 + 4t
8. (a)

z = 14t
= 1
= −1 − t
= 1+t
x = 2−t
y = −1
z = 1 − 3t
(b) 6x + 2y + 7z − 23 = 0
9. (a) Concorrentes
{
10. (a)
11.
{
x+5
5
(b) r está contida no plano
y = z+2
x = z+1
=
y+9
2
=
(b) θ =
π
6
z+8
−1
12. Estas retas são reversas.
13. 13x + 10y − 5z − 23 = 0
14. 10y + z − 7 = 0
1 √
2
√
16. A = 2 3

 x =
y =
17.

z =
15. ± ( 2, 1, −1)
u.a. e h =
√
6 u.c.
t + 2h
−3 + 2t + h
2−t−h
18. (a) e (b) r está contida no plano
19. m = − 43 e n =
5
3
20. P (0, −3, −9)
21. (a)
i. concorrentes com I(1, 5, 4)
5
(c) Perpendiculares
ii.
iii.
(b) i.
ii.
iii.
reversas
paralelas distintas
−7x + 2y − z + 1 = 0
Não existe plano que contém as retas r e t, pois elas são reversas.
−16x + 7y + 5z − 39 = 0
{
x−2
y
√
(c) l :
=− =z
2
11
22. (a) Falsa, a reta é ortogonal ao plano xz.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
23. (a) d = −4 e a = 32
(b) a = 32 e d pode assumir qualquer valor.
(c) Não existem valores a e d para que a reta u seja ortogonal ao plano β.

 x = 1−t
y = −1 − 4t
24.

z = 1 + 2t
25. (a) −3y + 4z = 0
{
(b) r :
x=1
y=0
(c) y = 4.
6