TRIGONOMETRIA
Matemática II
1a Série do Ensino Médio – 1o Semestre
Prof. Sérgio Tambellini
Aluno: ............................................................................... Turma: ......................
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
1
Radiciação
Exemplo:
350 = 2 . 52 . 7 , pois 350 2
175 5
35 5
7 7
1 2 . 52 . 7
Tópicos da aula
 Definição de raiz
 Potência com expoente racional
 Decomposição em fatores primos
Resumo teórico
Considere a um número real e n um número natural não
nulo. Chama-se de raiz enésima de a o número x se, e
somente se, x elevado à n resulta o valor de a.
n
a x

O valor da raiz enésima de um número natural pode ser
obtido por meio de uma calculadora científica, ou por
decomposição em fatores primos do radicando.
Obs.: caso a raiz enésima de um número natural não for
exata pode-se escrever a raiz na forma simplificada.
Exemplos:
xn  a
Conclusões importantes:
5
0 0
b)
36  6
d)
3
82
3
8   2
4
3
8000  2 3.2 3.5 3  2.2.5  20
3
45  3 2.5  3 5
c)
 36   6
Atenção,
225  3 2.5 2  3.5  15
a)
5
448  2 5.2.7  25 2.7  25 14
5
36 não é ± 6.
Exercícios de aula
1) (UNIP) O valor de
 16  não existe no conjunto dos números reais
a) 2 3 .
b) 3 2 .
Expoente racional de uma potência:
Considere a um número real positivo, n um número
c)
m
natural não nulo e
um número racional na forma
n
d) 2 5 .
irredutível. Desta forma, define-se
e) 5 2 .
m
a n  n am
Exemplos:
2
2
a) 5 7  5
7
75
6.
3
0,75
 2 100  2 4  2 3
b) 2
4
Números primos
Um número natural, não nulo, é chamado de número
primo se este número possui dois divisores naturais
distintos, o número 1 e ele mesmo.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...}
Decomposição de um no natural em fatores primos
Todo número natural, não nulo e não primo, pode ser
decomposto em fatores de números primos.
1
8  14  3 6  4 é
2) Considere as aproximações para os valores das
seguintes raízes:
2  1,41 ,
3  1,73 e
2) Simplifique cada uma das raízes abaixo.
5  2,24.
A soma 50  48  20 é aproximadamente igual a
a) 17,25.
b) 17,45.
c) 17,85.
d) 18,05.
e) 18,45.
a)
80
c)
3
40
b)
252
d)
7
256
2352 corresponde a
3) (UEMT) O número
a) 4 7 .
d) 28 21 .
b) 4 21 .
e) 56 3 .
c) 28 3 .
4) (INATEL) O valor de
a) 43.
b) 25.
c) 11.
3
(9) 2
 (32) 0,8 é
d) 36.
e) 17.
5) A geometria analítica, com recursos da álgebra e da
geometria plana, permite localizar pontos, calcular a
distância entre dois pontos, calcular a medida de uma área.
Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(x A , yA) e
B(xB , yB) do plano bidimensional é possível calcular a
distância entre eles utilizando a fórmula
d(A, B) 
3) Considere os números reais x, y e z dados a seguir
y=
Problema: Na cidade de Ouro Branco o prefeito decidiu
construir uma linha retilínea de metrô, buscando melhorias
na qualidade do transporte da cidade. A linha do metrô
ligou dois pontos importantes da cidade, o bairro
Andorinhas e o bairro Bela Vista. Utilizando o sistema de
eixos coordenados cartesiano abaixo, com escala em
quilômetros, onde cada quadrado tem lado de
comprimento 1 km, calcule o comprimento da linha do
metrô do ponto A (bairro Andorinhas) ao ponto B (bairro
Bela Vista).
51
x=
3
x A  x B 2  y A  y B 2
130
z = 4 1520
É certo afirmar que
a) x < y < z.
b) x < z < y.
c) y < x < z.
d) y < z < x.
e) z < x < y.
y
A
B
0
Tarefa de casa
1) Calcule os valores das raízes abaixo, utilizando o
processo de decomposição em fatores primos.
a)
196
b)
2025
c)
3
1000
d)
5
1024
x
Questão de raciocínio lógico
Uma sequência de sete números naturais é formada
utilizando algumas das operações matemáticas de adição,
subtração, multiplicação ou divisão, mantendo uma mesma
lógica operacional. Obtenha o sétimo número da
sequência.
24
2
48
45
9
18
15
?
Matemática II
2
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Propriedades de Radiciação
1o caso: O denominador possui uma única raiz.
Exemplos
6
a) Escrever a fração
na forma racionalizada
7 2
3
Tópicos da aula
 Propriedades de radiciação
 Racionalização de denominadores
Resumo teórico
Considere a e b números reais positivos, m, n e p números
naturais não nulos. Nestas condições são válidas as
seguintes propriedades:
6
7

32
6 . 7 35
7
7
5
32 . 3
7
6 . 35

7
1)
n
1
3
n
a
n
b
n
a
b
4
Exemplos:
18
4
4
18 4
 6
3

15
5

6
2
3
15
6
3)
n m
5 2

3 5
37  3.5 37  15 37
4)
 a
n
 a
n
7
2
7
37

1
 5  2
  5  2
 7 32  7 9
1.
.
5 2 .
 5  2
25  10  10  4
3
4 7
na forma racionalizada



3. 4  7
. 4 7


4  7 . 4  7 16  4 7  4 7  49
3
16  7
9
7
3
4
5)
n
am 
6)
n
am 
Exemplos:
Exercícios de aula
a m.p
Exemplos:
n p
7
6 . 35
3
na forma racionalizada
 
 
4 7 
3 . 4  7  3 . 4  7  4 



 3 5 2   3 5 2.4  3 5 8




n.p

5 2
5 2

52
3
3
m
 3
Exemplos:

b) Escrever a fração
3  2.2.2 3  8 3
m
3 25
7
6 . 35

1
a  n.m a
Exemplos:
7

1 . 5 1. 5
5
5



1

1
2
5
.
5
5
5
5
5
o
2 caso: O denominador possui uma soma de raízes
quadradas ou a soma de uma raiz quadrada e um número
inteiro.
Exemplos
1
a) Escrever a fração
na forma racionalizada
5 2
5 . 3 4  3 5.4  3 20
2 . 5 . 7  2.5.7  70
2)
7
6 . 35
5
a . n b  n a.b
Exemplos:
3 2.35
1
b) Escrever a fração

1) O resultado da operação
5
2 
6
7
3
5.4
2
6.5 1.5
7

3.4

14
20 12
30
2
7
a) 0,2.
b) 0,3.
c) 0,4.
d) 0,5.
e) 0,6.
5
a m p
8 2
5 62  4 5 3
8
56 
9
64  2 6 
9
93
5
2 63  2 2  3 4
3
Racionalização de denominadores:
Racionalizar o denominador de uma fração é eliminar a
raiz que existe no denominador buscando, por meio de
operações adequadas, uma fração equivalente com
denominador inteiro não nulo.
3
.
7
10
é igual a

3
2) O produto
a)
12
b)
12
8.
c)
12
16 .
d)
12
128 .
e)
12
256 .
2 . 4 2 é igual a
4) Sabendo que
4.
3) Se A =
da operação
6
3
25  2,924 , é certo afirmar que o valor
625 
9
é aproximadamente igual a
4
a) 1,424.
b) 1,924.
c) 2,258.
d) 3,591.
e) 4,424.
1
3
10
,B=
1
30
eC=
1
4
15
é certo afirmar
Tarefa de casa
que
a) A > B > C.
b) B > A > C.
c) B > C > A.
d) C > A > B.
e) C > B > A.
1) Se x =
8 , então o valor de x-1 é igual a
a)
2
.
2
d)
2
.
6
b)
2
.
3
e)
2
.
8
c)
2
.
4
2) Sabendo que
10  3,16 e
21  4,58 é certo afirmar
que o resultado do produto
aproximadamente igual a
a) 7,7423.
d) 14,4728.
b) 12,7474.
e) 16,2534.
c) 13,0567.
2 . 3. 5 . 7
é
3) Qual valor é maior? O cubo da raiz quadrada de dois ou
o quadrado da raiz cúbica de três? Justifique sua resposta.
Questão de raciocínio lógico
Um caramujo encontra-se no chão e deseja subir
completamente uma parede vertical de 2 metros de altura.
No primeiro dia ele sobe verticalmente 40cm e no segundo
dia ele escorrega verticalmente para baixo 20cm, e assim
sucessivamente, subindo 40cm num dia e descendo 20cm
no outro dia. Em quantos dias, após o início da escalada,
ele conseguirá subir completamente a parede?
4
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3
Operações com raízes
Tópicos da aula
 Elementos importantes da raiz
 Adição e subtração de raízes
 Multiplicação e divisão de raízes
 Potência de raiz
Exercícios de aula
1) (UNIFOR) A expressão
18  50 é equivalente a
a) 2 17 .
b) 34 2 .
c) 8 2 .
Resumo teórico
Elementos importantes da raiz:
radical
índice
d) 5 3.
e) 2 2 .
4.3 5
coeficiente
radicando
Adição e subtração de raízes:
O que é necessário?
As raízes precisam ter índices iguais e radicandos iguais.
Como realizar a operação?
Somar (ou subtrair) os coeficientes e conservar a raiz
(mesmo índice e mesmo radicando).
Exemplos:
a) 5 . 3 2  6 . 3 2  11. 3 2
b)
4
2) (FUVEST-SP) O valor da expressão
5  4 5  4 5  3. 4 5
c) 8 . 3  5 . 3  4 3  7 . 3
b)
Multiplicação e divisão de raízes:
O que é necessário?
As raízes precisam ter apenas índices iguais.
Como realizar a operação?
Multiplicar (ou dividir) os coeficientes entre si, multiplicar
(ou dividir) os radicandos entre si e conservar os índices.
Exemplos:


d)
e)

 10  35
  .
 2. 5
5 7
5. 7
10 . 35
Potência de raiz:
Como realizar a operação?
Elevar o coeficiente no expoente dado e elevar também o
radicando no expoente dado.
Exemplos:

a) 4 . 5 2

3
 4 3 . 2 3  64 . 5 8
5
4
9 8
4 9 2.4
 9 2
9
b)  2 . 3   2 . 3  16 . 3  16 . 6561

1
.
2
c) 2.
a) 4 . 3 2 . 6 . 3 5  4 . 6 . 3 2 . 5  24 . 3 10
b)
2.
a)

5
1
.
2
2  1.
2- 2
2 1
é
3) Se x =
 2  8  , então é certo afirmar que x é
2
Tarefa de casa
1) (U.C.Salvador) A média geométrica de dois números
a) um número irracional.
b) um número primo.
c) um número múltiplo de 3.
d) um número decimal exato.
e) um número divisível por 4.
positivos a e b é igual a a.b . Sabendo-se que a média
geométrica de dois números é igual a 6 e um deles é o
quádruplo do outro, então
a) o menor deles é um número primo.
b) o maior deles é um número ímpar.
c) o menor deles é um número quadrado perfeito.
d) o maior deles é um número primo.
e) o menor deles é um número par.
2) (U.F.RN) O valor que devemos adicionar a 5 para
obtermos o quadrado de
a)
3.
d) 2 3.
b)
6.
e) 2 6 .
2 3 é
c) 2 2 .


3) (UFMG-MG) O quociente 7 3  5 48  2 192 : 3 3
é igual a
a) 3 3.
b) 2 3.
c)
3
.
3
d) 2.
e) 1.
4) Sendo x um número real positivo, y = 2 2 e z = 2 7 ,
então obtenha o valor de x, de modo que o quadrado de x
seja igual à soma dos quadrados de y e de z.
4) (U.F.CE) Sejam p e q números reais. Se p = 5  2 5 e
p.q = 1, então p + 5q é igual a
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
Questão de raciocínio lógico
Pedrinho e Paulinho pediram para sua avó fazer um
delicioso bolo de chocolate. Após o bolo ficar pronto a avó
dos meninos deu a Pedrinho a metade de um terço do bolo,
e para Paulinho deu um terço da metade do bolo. Quem
ficou com o pedaço maior? Pedrinho ou Paulinho?
6
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4
Teorema de Pitágoras
Tópicos da aula
 Elementos do triângulo retângulo
 Propriedade dos ângulos agudos
 Teorema de Pitágoras
Exercícios de aula
1) Sendo x + 18o e 2x – 42o as medidas, em graus, dos
ângulos agudos de um triângulo retângulo, é certo afirmar
que a medida do maior destes ângulos agudos é igual a
a) 34o.
b) 38o.
c) 56o.
d) 64o.
e) 72o.
Resumo teórico
Elementos do triângulo retângulo:
C
y
a
b
x

B
A
c


Catetos = lados que formam o ângulo reto AC e AB
 
Hipotenusa = lado oposto ao ângulo reto BC

Ângulo reto = B A C


Ângulos agudos = A B C e A C B
Medidas:
 
m AC = b
m AB = c
a = medida da hipotenusa BC  m BC = a
b = medida do cateto AC

c = medida do cateto AB 


2) Um triângulo retângulo possui um de seus catetos de

medida 8cm e hipotenusa 4 13 cm. A razão entre a
medida do maior cateto pela medida do menor cateto é
igual a
a) 0,7.
b) 1,5.
c) 1,8.
d) 2,4.
e) 3,6.

x = medida do ângulo agudo A B C  m  A B C  = x






y = medida do ângulo agudo A C B  m  A C B  = y


Propriedade dos ângulos agudos:
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são
complementares, ou seja, x + y = 90o.
Teorema de Pitágoras:
“Em todo triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.”
Pitágoras
a2 = b 2 + c 2
570 – 490 a.C.
7
3) Sabendo que as medidas dos lados de um triângulo
retângulo são três números inteiros positivos e
consecutivos, obtenha estas três medidas.
5) Sendo p e q números inteiros positivos, verifique
algebricamente que a terna (2.p.q , p2 – q2 , p2 + q2) é uma
terna pitagórica.
Tarefa de casa
1) Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo
retângulo de catetos 25cm e 60cm.
2) Um triângulo retângulo possui hipotenusa de medida
20cm. Sabendo que um de seus catetos mede 12cm,
calcule a medida do outro cateto deste triângulo.
4) Uma Terna Pitagórica de números inteiros é uma
sequência de três números inteiros positivos que
satisfazem o Teorema de Pitágoras. Por exemplo, a terna
(3, 4, 5) onde 3 e 4 são as medidas dos catetos e 5 a
medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é uma
Terna Pitagórica, pois esta sequência satisfaz o Teorema
de Pitágoras, ou seja, 32 + 42 = 52.
Uma maneira de descobrir tais Ternas Pitagóricas é
encontrar dois números inteiros positivos
p e q
diferentes (com p > q), de modo que os catetos tenham as
medidas 2.p.q e p2 – q2 , e que a hipotenusa tenha a
medida de p2 + q2.
Obtenha as quatro Ternas Pitagóricas possíveis de
números inteiro com p = 5 e complete a tabela abaixo.
p
q
cateto
2.p.q
cateto
p2 – q2
hipotenusa
p2 + q 2
3) Das ternas apresentadas abaixo a única que não é uma
terna pitagórica é a terna
a) (8, 15, 17).
d) (5, 12, 13).
b) (10, 24, 26). e) (7, 24, 25).
c) (9, 12, 16).
4) Sendo p e q são dois número inteiros positivos e
distintos (com p > q) a terna (2.p.q , p2 – q2 , p2 + q2)
constitui uma terna pitagórica. Obtenha as cinco ternas
pitagóricas possíveis com p = 6.
5) Sabendo que a soma dos quadrados das medidas dos
três lados de um triângulo retângulo é igual a 32, calcule a
medida da hipotenusa.
Terna
Pitagórica
Questão de raciocínio lógico
Você é bom de olho?
Na figura abaixo quantos triângulos você vê?
a) 9 triângulos.
b) 10 triângulos.
c) 12 triângulos.
d) 13 triângulos.
e) 18 triângulos.
8
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5
Aplicações do Teorema de Pitágoras
Tópicos da aula
 Problemas envolvendo o Teorema de Pitágoras
Resumo teórico
Teorema de Pitágoras:
a
b

c
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.
a2 = b 2 + c 2
2) (ENEM 2006)
Exercícios de aula
1) Um andarilho fez o seguinte percurso, numa região
plana e sem obstáculos:
Saiu de um ponto A e caminhou 2 Km na direção norte até
chegar no ponto B; em seguida saiu do ponto B e
caminhou mais 9 Km na direção leste até chegar no ponto
C; e depois saiu do ponto C seguindo na direção norte
novamente e caminhou mais 4 Km até chegar no ponto D;
e por fim, saiu do ponto D e caminhou na direção oeste por
mais 1 Km até chegar no ponto E.
a) Faça uma figura ilustrativa do problema e calcule
quantos quilômetros o andarilho percorreu nesta trajetória.
b) Calcule quantos quilômetros teria andado o andarilho,
se ele tivesse caminhado em linha reta do ponto A até o
ponto E.
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual a
a) 1,8m.
b) 1,9m.
c) 2,0m.
d) 2,1m.
e) 2,2m.
N
O
L
S
9
“Cúbito”ou “côvado”é uma das unidades de medida mais
antigas das quais se tem notícia, utilizada no velho Egito há
cerca de 50 séculos e definido pelo comprimento do braço
medido do cotovelo à extremidade do dedo médio distendido. O
“cúbito”equivale a pouco mais de 0,5 metro.
Acesso: www.dicionarioinformal.com.br
3) A tirolesa é um tipo de técnica usada para transpor
equipamentos ou pessoas entre um ponto e outro. Para
isso, é fixada uma corda ou cabo de aço entre dois pontos
(sendo que um deles frequentemente está mais alto do que
o outro), onde as pessoas são conectadas por polias que
deslizam nestas cordas. Daí em diante é só escorregar
preso a estas polias e curtir a velocidade, além das
exuberantes paisagens onde normalmente são montadas.
Esta atividade é muito realizada em áreas destinadas ao
turismo e lazer.
Um esportista deseja realizar uma tirolesa urbana. Para isto
escolhe dois grandes prédios de uma cidade para realizar
tal aventura. Os prédios estão a uma distância de 60 metros
um do outro, sendo que o primeiro prédio tem altura de 30
metros e o segundo 55 metros. Fixando em um ponto A
numa extremidade do topo do primeiro prédio e num ponto
B na extremidade do topo do segundo prédio, o esportista
precisará ligar estes pontos por um cabo de aço, para
realizar a tirolesa.
a) Faça uma figura ilustrativa do problema;
b) Calcule o comprimento do cabo de aço que ligará (em
linha reta) os pontos A e B dos topos dos dois prédios.
Tarefa de casa
1) Com cinco quadrados idênticos de lado 2cm forma-se
uma cruz. Unindo quatro vértices específicos desta cruz
forma-se o quadrado ABCD, conforme a figura abaixo:
a) Calcule o comprimento
B
do lado do quadrado ABCD.
b) Calcule a área do
quadrado ABCD.
C
2cm
A
D
2) Um trapézio isósceles tem perímetro 48cm. Sabendo
que as bases deste trapézio medem 6cm e 16cm, calcule a
área do trapézio.
3) Uma escada de 2,5m de comprimento está apoiada
numa parede vertical, de modo que o pé da escada
encontra-se a uma distância de 70cm da parede. Se o pé da
escada escorregar 80cm afastando-se horizontalmente da
parede, quantos centímetros o ponto de apoio da escada na
parede descerá?
4) Um grande matemático hindu chamado Bhaskara
registrou em sua obra Lilavati, um antigo problema chinês,
o problema do bambu quebrado, que diz o seguinte:
Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado pelo
vento, de modo que a ponta encontra o chão a 16 cúbitos
da base, a que altura a partir do chão ele foi quebrado?
Questão de raciocínio lógico:
Quatro tartarugas, cada uma de um bairro diferente da
cidade, foram inscritas na Corrida Anual de Tartarugas no
Rio de Janeiro. Com base nas indicações abaixo, você
conseguiria determinar de que bairro é cada tartaruga, e em
que colocação cada uma terminou a corrida?
– A tartaruga do Bairro Leste venceu a corrida, e
Margarida chegou em segundo lugar.
– Patrícia não é do Bairro Sul nem do Bairro Leste.
– Fritz terminou a corrida em último lugar, logo depois da
tartaruga do Bairro Norte.
– Margarida e Jacó são de bairros opostos da cidade.
10
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
6
Trigonometria no triângulo retângulo
Tópicos da aula
 Razões trigonométricas
 Razões trigonométricas inversas
 Consequências da tangente e da cotangente
Exercícios de aula
1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou
se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular
o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de
inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de
inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a
rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo.
Resumo teórico
Razões trigonométricas:
rampa 1
a
rampa 2
b
60o
x

c
Seno de x =
medida do cateto oposto à x
medida da hipotenusa
Cosseno de x =
 senx 
Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a
rampa 2, pois 60o > 35o.
Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta
calcular a razão entre a altura da rampa e o seu
afastamento, conhecida também como índice de subida. O
índice de subida é numericamente igual ao valor da
tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto
maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a
rampa.
b
a
med. do cateto adjacente à x
c
 cos x 
medida da hipotenusa
a
Tangente de x =
35o
med. do cateto oposto à x
b
 tgx 
med. do cateto adjacente à x
c
rampa
altura
Razões trigonométricas inversas:
Cossecante de x  cos sec x 
Secante de x
 sec x 
1
senx
1
cos x
1
Cotangente de x  cot gx 
tgx

 cos sec x 
 sec x 
a
b
afastamento
a
c
índice de subida 
altura da rampa
afastament o
Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de
cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas
rampas é mais íngreme.
c
 cot gx 
b
rampa 1
Consequências da tangente e da cotangente:
Com relação ao triângulo retângulo dado no início do
resumo teórico, temos:
senx

cos x
b
a
c
a

b a b
.   tgx
a c c
 tgx 
7m
senx
cos x
11m
rampa 2
cos x

senx
c
a
b
a

c a c
cos x
.   cot gx  cot gx 
a b b
senx
5m
11
8m
2) No triângulo retângulo ABC dado abaixo, sabe-se que
sen = 0,8. Calcule o valor da tgÂ.
C
c) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule o

valor da tg A em cada um dos triângulos, respectivamente.
30cm

B
A
d) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os



valores de sen G , sen F e sen E , respectivamente.
e) Com relação aos resultados obtidos das razões
trigonométricas nos itens (b), (c) e (d) o que se pode
concluir?
3) Na figura dada abaixo, os triângulo retângulos ABG,
ACF e ADE são semelhantes, com AB = 6cm, AC = 9cm,
AD = 12cm, AG = 10cm, AF = 15cm e AE = 20cm.
E
F
G
4) (U.F.BA) Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa
mede 10cm e a medida de AB é o dobro da medida de

A

B


C
D
a) 4.
a) Calcule as medidas dos catetos BG , CF e DE .
b) 
17
.
10
c)
3 5  10
.
5
d)
6 5 5
.
10
e) 3 5  10 .
b) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os




BC . O valor de sen C cos C tg C é

valores de cos G , cos F e cos E , respectivamente.
12
Questão de raciocínio lógico:
Os dois grupos de letras representados abaixo guardam
entre si uma relação. Essa mesma relação deve existir entre
o terceiro e o quarto grupo, que está faltando.
Tarefa de casa
1) (U.F.PA) No triângulo retângulo temos:
I)
sent =
II) cost =
1
2
2
(K P Q R) está para (K S T U)
assim como (M C D E) está para ( ?
1
5
t
III) tgt = 2

Considerando que a ordem alfabética é a oficial, o grupo
de letras que deve substituir corretamente o ponto de
interrogação é
2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) I.
d) II e III.
b) II.
e) I, II e III.
c) III.
a) M B C D
b) M F G H
c) M J K L
d) N K L M
e) N S T U
2) (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo
retângulo é . Se tg = 2,4 , os lados desse triângulo são
proporcionais a
a) 30, 40, 50.
d) 50, 120, 130.
b) 80, 150, 170.
e) 61, 60, 11.
c) 120, 350, 370.
3) No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, tem-se
que o valor de cossec – cotg é igual a
1
.
3
b) 3.
1
c) .
6
d) 6.
4
e) .
5
C
a)
10cm
6cm

A
)
B
1
, se nos afastarmos
2
50m, a quantos metros nos elevamos do chão?
4) Numa subida de índice igual a
2
, se nos elevarmos a
5
uma altura de 4 metros, qual será o afastamento
correspondente?
5) Numa subida de índice igual a
5
, se nos deslocarmos
12
52 metros sobre a rampa desde o seu início, quantos
metros nos elevaremos do chão?
6) Numa subida de índice igual a
13
Matemática II
7
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
Tabela de valores reais das razões trigonométricas
2) As rampas de acessibilidade para deficientes físicos
devem ter no máximo uma inclinação de 5º, conforme a
legislação brasileira. Sabendo que um estabelecimento
bancário foi construído 30cm acima do nível da calçada,
calcule:
a) o comprimento, em metros, da rampa;
b) o afastamento, em metros, da rampa.
Tópicos da aula
 Tabela de valores reais
 Razões trigonométricas para ângulos complementares
Resumo teórico
Tabela de valores reais das razões trigonométricas:
Na ausência de uma calculadora científica usa-se a tabela
de valores reais para o seno, o cosseno e a tangente de um
determinado ângulo. Tal tabela pode ser consultada na
página 15.
comprimento
da rampa
Razões trigonométricas para ângulos complementares:
Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um
triângulo retângulo, ou seja, se x + y = 90 o, então
senx = cosy
tgx = cotgy
cossecx = secy
Exemplos:
1) sen40o = cos50o
2) cos20o = sen70o
3) tg5o = cotg85o
4) cotg13o = tg77o
5) sec65o = cossec25o
6) cossec42o = sec48o
,
,
,
,
,
,
e
e
e
altura
5o
afastamento
Fonte: Google imagens
seny = cosx
tgy = cotgx
cossecy = secx
pois 40o + 50o = 90o
pois 20o + 70o = 90o
pois 5o + 85o = 90o
pois 13o + 77o = 90o
pois 65o + 25o = 90o
pois 42o + 48o = 90o
3) O astrônomo grego Aristarco de Samos (310-230a.C.)
determina a distância dS da Terra ao Sol. Para isso, mediu
o ângulo  formado entre o Sol e a Lua na situação
mostrada na figura a seguir, em que dL representa a
distância entre a Terra e a Lua.
Sabendo-se que  = 89,85o , dL = 3,9 . 108 m e
sen(0,15o) = 2,6 . 10-3 , o valor de dS , em metros, é igual a
a) 1,5 . 10-11.
b) 1,5 . 105.
c) 1,5 . 1011.
d) 6,7 . 105.
e) 6,7 . 1011.
Exercícios de aula
1) Ao meio dia, sol a pino, um garoto empina papagaio, e a
linha, bem esticada, forma com o chão um ângulo de 50º.
Calcule a altura do papagaio, em metros, sabendo que sua
sombra (no chão) está a 20m do garoto.
OBS.: desconsiderar a altura do garoto
Terra

dS
dL

Lua
14
Sol
Tabela de valores reais das razões trigonométricas
x
1o
2o
3o
4o
5o
6o
7o
8o
9o
10o
11o
12o
13o
14o
15o
16o
17o
18o
19o
20o
21o
22o
23o
24o
25o
26o
27o
28o
29o
30o
31o
32o
33o
34o
35o
36o
37o
38o
39o
40o
41o
42o
43o
44o
45o
sen x
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
cos x
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
x
46o
47o
48o
49o
50o
51o
52o
53o
54o
55o
56o
57o
58o
59o
60o
61o
62o
63o
64o
65o
66o
67o
68o
69o
70o
71o
72o
73o
74o
75o
76o
77o
78o
79o
80o
81o
82o
83o
84o
85o
86o
87o
88o
89o
tg x
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
15
sen x
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
cos x
0,6947
0,6820
0,6691
0,6561
0,6428
0,6293
0,6157
0,6018
0,5878
0,5736
0,5592
0,5446
0,5299
0,5150
0,5000
0,4848
0,4695
0,4540
0,4384
0,4226
0,4067
0,3907
0,3746
0,3584
0,3420
0,3256
0,3090
0,2924
0,2756
0,2588
0,2419
0,2250
0,2079
0,1908
0,1736
0,1564
0,1392
0,1219
0,1045
0,0872
0,0698
0,0523
0,0349
0,0175
tg x
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
4) Durante um vendaval, um poste (vertical) de iluminação
quebrou-se em um ponto à certa altura do solo
(horizontal). A parte do poste acima da fratura inclinou-se
e sua extremidade superior encostou no solo a uma
distância de 4m da base dele e formando um ângulo de 50°
como o solo. Determine, em metros, a altura H do poste.
Dados: sen 50° = 0,77 , cos 50° = 0,64 e tg 50° = 1,20.
Tarefa de casa
1) Um avião levanta vôo de um aeroporto A, e sobe
fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal.
Determinar, em quilômetros, com aproximação de 2 casas
decimais, a altura do solo e qual a distância percorrida
quando passar pela vertical que passa por um prédio
situado a 2 quilômetros do ponto de partida A, ou seja
AP = 2km.
Dados:
sen15° = 0,2588; cos15° = 0,9659 e tg15° = 0,2679
y
H
y
x
15°
A
P
50°

4m
2) Um cabo de aço preso no chão (horizontal) e no topo de
uma torre (vertical) forma com o chão um ângulo de 70°,
como mostra a figura abaixo. Sabendo que o cabo de aço
foi fixado no chão a uma distância de 42m do pé da torre,
calcule, em metros, com aproximação de 2 casas decimais:
a) o comprimento do cabo de aço.
b) a altura da torre.
Dados:
sen70o = 0,9397
cos70o = 0,3420
tg70o = 2,7475
70°
Questão de raciocínio lógico:
Em um sistema de criptografia, as palavras são codificadas
de acordo com as seguintes regras:
 cada vogal deve ser substituída por um dentre os
números 1, 2, 3, 4 e 5 sendo que o 1 corresponde ao A, o 2
corresponde ao E, e assim por diante, conforme a ordem
em que as vogais aparecem no alfabeto;
 cada consoante deverá ser substituída pela letra
do alfabeto que a sucede. A letra Z será substituída
pela letra A.
Que palavra está codificada de acordo com esse sistema
criptográfico?
42m
3) A área de um polígono regular em função do apótema
é dada pela relação Apol
solo
n. .r
, onde n é o nº de lados

2
a)
b)
c)
d)
e)
do polígono regular , é o comprimento do lado e r o raio
da circunferência inscrita no polígono regular (apótema).
Usando as informações dadas anteriormente
calcule, em cm2, com aproximação de 2 casas decimais, a
área de um octodecágono regular (18 lados) em função da
medida do raio da circunferência inscrita (apótema),
sabendo que o lado do octodecágono regular mede 16cm.
Dados : sen10° = 0,1736
sen20° = 0,3420
cos10° = 0,9848
cos20° = 0,9397
tg10° = 0,1763
tg20° = 0,3640
16
Código
1A2EP
CS1R3M
D15R1
A2CSB
M2US1
Palavra
AZEDO
BRASIL
CAUSA
ZEBRA
LETRA
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
o
8
o
Valores exatos das razões trigonométricas de 30 e 60
Tópicos da aula
 Altura do triângulo equilátero
 Razões trigonométricas de 30o e 60o
Exercícios de aula
1) Calcule a medida h da altura de um triângulo equilátero
em função da medida a de seu lado.
Resumo teórico
Altura do triângulo equilátero:
Definição: a altura de um triângulo é o segmento que sai
do vértice e chega perpendicularmente no lado oposto ou
na reta suporte do lado oposto.
Importante: No triangulo equilátero a altura coincide com
a bissetriz e com a mediana relativas ao mesmo vértice.
Definição: a bissetriz de um triângulo é o segmento que sai
do vértice, chega no lado oposto, e divide a medida do
ângulo do vértice ao meio.
Definição: a mediana de um triângulo é o segmento que
sai do vértice e chega no ponto médio do lado oposto.
Propriedade: em todo triângulo equilátero cada um dos
ângulos internos tem medida de 60o.
2) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas
para o ângulo de 30o.
30o 30o
a
a
h
60o
a/2
60o

M
a/2
3) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas
para o ângulo de 60o.
Tabela de valores exatos das razões trigonométricas
para os ângulos de 30o e 60o:
30o
60o
sen
1
2
3
2
cos
3
2
1
2
tg
3
3
3
17
4) (PUC/MG) Um barco parte de A e segue numa direção
que forma com a margem AC do rio um ângulo de 30°.
Sabe-se que o barco navega a uma velocidade constante de
4km/h e que a largura do rio é BC = 800m. O tempo gasto
pelo barco para ir de A até B, em minutos é
a) 12.
B
b) 24.
c) 36.
d) 48.
e) 60.
A
Tarefa de casa
1) (PUC-MG) Uma escada rolante de 10m de
comprimento liga dois andares de uma loja e tem
inclinação de 30°. A altura h entre um andar e outro, em
metros, é tal que
a) 3 < h < 5.
b) 4 < h < 6.
c) 5 < h < 7.
h
d) 6 < h < 8.
e) 7 < h < 9.
30°
C
2) Na figura ao lado, h = 2 cm ,  = 30° e  = 60° .
Calcule, em centímetros, a medida x + y.


h
 
y
x
B
3) Na figura ao lado, ACDE é um
retângulo com AE = 50cm. Calcule a
medida do segmento BD sabendo que
B, C e D são colineares, BÂC = 30o e
BÊD = 60o.
5) Uma pessoa localizada num ponto A de uma avenida,
retilínea e horizontal, vê o topo de um edifício (vertical)
sob um ângulo 30o. Caminhando por 80 metros nesta
avenida em direção ao edifício ela para num ponto B e vê
o topo do mesmo prédio sob ângulo de 60 o. De acordo com
as informações apresentadas
a) Faça um desenho que ilustre tal problema;
b) Calcule aproximadamente, em metros, a altura deste
edifício, desprezando a altura da pessoa. (use
A
C
E
D
4) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio
e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra
margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo

3  1,7 )

C A B mede 75º e o ângulo A C B mede 75º. Determine a
largura do rio.
Questão de raciocínio lógico
Quatro amigos, funcionários de uma mesma empresa,
precisam marcar exame médico num dos 30 dias do mês
de setembro. Eles enviaram e-mails ao setor de recursos
humanos informando o período em que cada um estaria
disponível para realizar o exame.
– Rogério: do dia 5 ao dia 21.
– Marcos: do dia 8 ao dia 16.
– Pedro: do dia 20 ao dia 28.
– Sérgio: do dia 17 ao dia 19.
Considerando que os quatro exames médicos foram
marcados em dias que atendiam as respectivas
disponibilidades, é certo concluir que
a) Rogério foi o primeiro dos quatro a fazer o exame.
b) Marcos fez o exame antes de Sérgio.
c) os quatro exames médicos foram marcados em dias
diferentes.
d) o intervalo entre a realização do primeiro e do último
exame foi de 23 dias.
18
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
Valores exatos das razões trigonométricas de 45
Tópicos da aula
 Diagonal do quadrado
 Razões trigonométricas de 45o
9
o
Exercícios de aula
1) Calcule a medida d da diagonal de um quadrado em
função da medida a de seu lado.
Resumo teórico
Diagonal do quadrado:
Definição: a diagonal do quadrado é o segmento que une
dois vértices não consecutivos.
Importante: No quadrado a diagonal é a bissetriz do
ângulo interno.
Propriedade: em todo quadrado cada um dos ângulos
internos tem medida de 90o.
a
2) Calcule os valores exatos das razões trigonométricas
para o ângulo de 45o.


45o
45o
d
a
a
45o
o
 45

a
Tabela de valores exatos das razões trigonométricas
para os ângulos de 30o, 45o e 60o:
3) Calcule a medida de x na figura abaixo.
30o
45o
60o
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
3
3
1
tg
3
19
45º
60º
2cm
x

Tarefa de casa
1) Calcule o valor de x na figura abaixo.
4) Na figura, os ângulos


A e C são retos.
Determine as medidas
dos lados AB e AD .
3
30°
45°

x
2) No triângulo ABC da figura abaixo, o segmento CH é a
altura relativa ao vértice C, ou seja, CH  AB , sabendo


que BC = 2 3 cm, A B C  45 o e A C H  30 o , calcule,
em centímetros, a medida de x e a medida de y, sendo
AC = x e AH = y.
C
5) De um ponto A, no solo, avistam-se a base B e o topo C
de um bastão colocado verticalmente no alto de uma
colina, sob ângulos de 30º e 45º, respectivamente. Se o
bastão mede 4m de comprimento, a altura da colina, em
metros, é igual a ?
C
x
A
y
H
B
B
3) (UNICAMP) Caminhando em linha reta ao longo de
uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B ,
cobrindo a distância AB = 1200m. Quando em A ele avista

um navio parado em N de tal maneira que o ângulo N A B

é de 60°; quando em B, verifica que o ângulo N B A é de
45°.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da
A
praia. ( Use
2  1,4 ou
3  1,7 )
Questão de raciocínio lógico
Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma
delas é azul, o da outra é preto, e o da outra é branco. Elas
calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas
somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor.
Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa
está com sapatos azuis. Deste modo
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.
b) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são
azuis.
c) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é
branco.
d) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
20
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
10
Medida de ângulo em radiano
Tópicos da aula
 Ângulo central
 Comprimento de uma circunferência
 Comprimento de um arco de circunferência
 Medida de um arco de circunferência
 Medida em radiano
360 o
2..18

o
l
30
l=
Medida de um arco de circunferência:
A medida de um arco de circunferência é igual à medida
do ângulo central que o determina, na mesma unidade de
medida.
Exemplo:
Um arco de circunferência determinado por um ângulo
central de medida 50o mede também 50o.
A
l

O
360 o
l = 3 cm
Resumo teórico
Ângulo central:
Definição: ângulo central é o ângulo cujo centro coincide
com o centro da circunferência.
r
30 o .2..18


 = 50o  med( AB ) = 50o
B
O : centro da circunferência 
AÔB : ângulo central
NÃO CONFUNDA: comprimento
de arco e medida de arco

AB : arco de circunferência determinado pelo ângulo
central AÔB
r : comprimento do raio da circunferência 
 : medida do ângulo central
Comprimento de arco é o tamanho do arco, linearmente, e
sua unidade de medida é o metro, centímetro, polegadas,
ou qualquer outra unidade de comprimento, e em geral é
utilizada uma régua ou trena para calcular seu
comprimento.
Medida de arco é o valor do ângulo central que determina
o arco, e sua unidade de medida é o grau, radiano ou
grado, e para calcular a medida do arco mede-se com um
transferidor a medida do ângulo central.

l : comprimento do arco AB
Comprimento de uma circunferência:
O comprimento de uma circunferência é dado, em função
do comprimento de seu raio r, pela relação C = 2..r.
Exemplo:
O comprimento de uma circunferência de raio r = 8,5 cm é
igual a C = 2..8,5 = 17 cm.
Medida em radiano:
A medida de um ângulo (ou arco) , em radiano, é a
RAZÃO, entre o comprimento do arco e o comprimento
do raio da circunferência, ambos na mesma unidade de
comprimento.
Comprimento de um arco de circunferência:
l
O comprimento de um arco de circunferência é calculado
por meio de regra de três simples, com relação à medida
do ângulo central.
Ângulo
360o
---------------
Comprimento
2..r

---------------
l

Exemplo:
A medida, em radiano, de um arco de circunferência de
raio 3 cm, cujo comprimento do arco é de 18 cm é igual a
comprimento do arco 18 cm


 6 radianos
comprimento do raio
3 cm
Exemplo:
O comprimento de um arco
comprimento do arco
comprimento do raio
l de uma circunferência de
Obs.: para a medida de arco em radiano omite-se a unidade
de medida, ou seja,  = 6 equivale a  = 6 radianos.
raio r = 18 cm e ângulo central de medida 30o é igual a:
21
Exercícios de aula
1) Calcule a medida, em radianos, de um arco de
circunferência cujo comprimento do arco é de 10cm,
sabendo que o raio da circunferência tem comprimento de
4 cm.
7) Um arco tem sua medida em radiano igual à
5
, dê sua
12
medida em graus.
8) Calcule quantos graus mede, com aproximação de uma
casa decimal, um arco de medida 1 radiano.
(use  = 3,14)
2) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa
de uma circunferência de raio 8cm.
9) Calcule em radianos as medidas equivalentes dos
ângulos de 30o, 45o e 60o.
3) Calcule a medida, em radianos, de uma volta completa
de uma circunferência de raio 13cm.
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (2) e
(3) dados anteriormente complete a sentença abaixo:
A medida em radianos de uma circunferência
Tarefa de casa
1) (FUVEST-SP) Convertendo-se 30o15’ para radianos,
obtém-se ( = 3,14):
a) 0,53.
b) 30,15.
c) 1,10.
d) 3,015.
e) 0,26.
é sempre igual a ................
5) Dê as medidas, em radianos, equivalentes às medidas
em graus dadas abaixo:
2) Determine, em radianos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio quando este está
marcando 4 horas.
360o equivale à medida, em radianos, de 2.
180o equivale à medida, em radianos, de .......
3) (ETF-RJ) Quando o comprimento de uma
circunferência aumenta de 8cm para 14cm, o raio da
circunferência aumenta de

3

a) cm.
b) cm.
c) cm.
6

3
d) 1,5 cm.
e) 3 cm.
90o equivale à medida, em radianos, de .......
270o equivale à medida, em radianos, de .......
6) Por regra de três simples é possível transformar uma
medida dada em graus para uma medida em radianos, e
vice e versa. Dê a medida, em radiano, de um arco de 9o.
22
Questão de raciocínio lógico
Daniel tem 3 netos: um recém nascido, uma criança e um
adolescente. Seus nomes são Adriano, Bruno e Carlos.
Sabe-se que um dos netos tem olhos verdes, o outro olhos
azuis e o outro olhos castanhos. Se o mais novo tem olhos
castanhos, o adolescente se chama Bruno e Carlos tem
olhos verdes, marque a afirmativa correta:
a) O neto de olhos verdes é o mais velho.
b) Carlos é recém nascido.
c) Adriano tem olhos castanhos.
d) Bruno não tem olhos azuis.
e) A criança não tem olhos verdes.
Matemática II
11
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
Medidas dos principais arcos da circunferência
Divisão da circunferência em 8 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 8 partes iguais, cada arco
Tópicos da aula
 Origem das medidas dos arcos
 Divisão da circunferência em 4 partes iguais (quadrante)
 Divisão da circunferência em 12 partes iguais
 Divisão da circunferência em 8 partes iguais
 Arcos simétricos
tem a medida de
2  
360 o

 .
 45 o  ou
8
4
8


45o  
4
Resumo teórico
Origem das medidas dos arcos:
Por convenção a origem das medidas dos arcos numa
circunferência é o ponto situado no semi eixo horizontal à
direita, com medidas positivas, dos arcos, no sentido anti
horário.
0o (0 rad)
Divisão da circunferência em 4 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 4 partes iguais ficam
definidos 4 quadrantes, numerados em ordem crescente, no
sentido anti horário. Cada quadrante tem a medida de
360 o
2  

 90 o  ou
 .
4
4
2


90o  
2
o
2 quadrante
180o  
3o quadrante
Arcos simétricos:
Um arco de medida x no 1o quadrante possui simétricos
nos demais quadrantes. A medida de cada arco simétrico
de x nos demais quadrantes, em graus ou radianos, é:
Simétrico de x no 2o quadrante = 180o – x (ou  – x).
Simétrico de x no 3o quadrante = 180o + x (ou  + x).
Simétrico de x no 4o quadrante = 360o – x (ou 2 – x).
1o quadrante
0o (origem)
360o 2
 3 
270o  
 2 
4o quadrante
180o – x
(ou  – x)
x
Divisão da circunferência em 12 partes iguais:
Ao dividir a circunferência em 12 partes iguais, cada arco
tem a medida de
360 o
2  

 30 o  ou
 .
12
12 6 

180o + x
(ou  + x)

30o  
6
360o – x
(ou 2 – x)
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o
quadrantes do arco do 1o quadrante de medida 36o.
0o (0 rad)
Sendo x = 36o a medida do arco do 1o quadrante, temos:
2o quadrante : 180o – 36o = 144o.
3o quadrante : 180o + 36o = 216o.
4o quadrante : 360o – 36o = 324o.
23
Exemplo: Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o
2
quadrantes do arco do 1o quadrante de medida
.
7
Sendo x =
3) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 60o   .
3
2
a medida do arco do 1o quadrante, temos:
7

60o  
3
2 7  2 5
2 quadrante :  
.


7
7
7
o
3o quadrante :  
2 7   2  9
.


7
7
7
4o quadrante : 2 
2 14  2 12
.


7
7
7
Exercícios de aula
1) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 30o   .
6

30o  
6
4) Com relação aos resultados obtidos nos exercícios (1),
(2) e (3) dados anteriormente complete a circunferência
abaixo com as medidas, em graus e em radianos, das 17
principais medidas (0o, 30o, 45o, ... , 330o e 360o) dos arcos
da primeira volta positiva da circunferência.
2) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida 45o   .
4

45o  
4
5) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do
arco do 1o quadrante de medida 80o.
24
6) Obter os arcos simétricos no 1o, 3o e 4o quadrantes do
arco do 2o quadrante de medida 148o.
7) Obter os arcos simétricos no 2o, 3o e 4o quadrantes do

arco do 1o quadrante de medida .
5
10) Calcule, em radianos, a medida do arco simétrico, no
terceiro quadrante, do arco de medida 5 radianos.
8) Obter os arcos simétricos no 1o, 2o e 4o quadrantes do
11
arco do 3o quadrante de medida
.
9
Tarefa de casa
1) O arco simétrico no 3o quadrante do arco de medida
288o é igual a
a) 72o. b) 108o. c) 198o. d) 252o. e) 272o.
2) Sendo p a diferença entre as medidas, em radianos, de
dois arcos simétricos do 4o e do 2o quadrantes,
respectivamente, e q a diferença entre as medidas, em
radianos, de dois arcos simétricos do 3o e do 1o quadrantes,
respectivamente, então é certo afirmar que o valor de p + q
em radianos é igual a

3
a) 0.
b) . c)  . d)
. e) 2 .
2
2
3) O arco simétrico, no terceiro quadrante, do arco de
medida 2 radianos é igual a
a)   2 .
b)   2 .
c) 4   .
d) 2  2 .
e) 2  2 .
9) Considerando como 57o a medida aproximada de um
arco de medida 1 radiano
a) calcule em graus os arcos de medidas 2, 3, 4, 5 e 6
radianos;
b) localize na circunferência dada abaixo, as medidas dos
arcos de medidas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 radianos, tendo como
referências as 17 principais medidas dos arcos da
circunferência, obtidas na questão (4) dada anteriormente.
Questão de raciocínio lógico
Dada a sequência (2, 12, 16, 17, 18, 19, ...) o próximo
número deste sequência é
a) 23.
b) 33.
c) 84.
d) 200.
25
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
12
Arcos côngruos na circunferência
Expressão geral dos arcos trigonométricos:
Para representar todas as medidas reais dos arcos côngruos
de uma sequência usa-se a expressão:
Tópicos da aula
 Medidas positivas e negativas
 Arcos côngruos
 Expressão geral dos arcos trigonométricos
x    k.r , k  Z
Resumo teórico
Medidas positivas e negativas:
As medidas dos arcos tomadas no sentido anti horário, a
partir da origem, assumem sinais positivos para suas
medidas.
2o quadrante
100o
onde,
x : é a medida real de qualquer uma das medidas dos arcos
côngruos.
 : é a primeira medida não negativa dos arcos côngruos.
k : é um contador inteiro de razões.
r : é a razão, ou seja, a distância entre duas medidas
consecutivas da sequência dos arcos côngruos.
1o quadrante
0o (origem)
195o 
3o quadrante
Exemplo:
4o quadrante
A
270o  630o  - 90o  - 450o  ...
As medidas dos arcos tomadas no sentido horário, a partir
da origem, assumem sinais negativos para suas medidas.
Colocando em ordem crescente as extremidades dos arcos
côngruos com vértices em A , tem-se:
2o quadrante
- 195o
1o quadrante


( ... , - 450o , - 90o , 270o , 450o , ... )
0o (origem)
r = 360o
- 100 
o
3o quadrante
A expressão geral dos arcos côngruos em A é dada por
4o quadrante
x = 270o + k.360o , k  Z
Arcos côngruos:
Arcos côngruos são os arcos cujas extremidades são
coincidentes, quer sejam tomadas no sentido anti horário
como no sentido horário.
Exercícios de aula
1) Escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de
medida 30o.
80o  440o  800o  - 280o  ...

 30

270o  630o  - 90o  - 450o  ...
26
o
2) Escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de
medida - 60o.
5) Escreva a expressão geral dos arcos que têm
extremidades em Eou em F, simétricos com relação ao
eixo vertical.
(135o) F

E (45o)
- 60o
3) Escreva a expressão geral dos arcos que têm
extremidades em A ou em B, separados diametralmente.
6) Escreva a expressão geral dos arcos que têm
extremidades em um dos vértices do triângulo equilátero
inscrito na circunferência, dado na figura abaixo.
A (60o)
(240o) B
270o
4) Escreva a expressão geral dos arcos que têm
extremidades em C ou em D, simétricos com relação ao
eixo horizontal.
7) Escreva as expressões obtidas nos exercícios (1), (2),
(3), (3), (4), (5) e (6) com as medidas em radianos,
C (20o)
D (340o)
27
8) Escreva a expressão geral dos arcos que têm
extremidades em um dos vértices do retângulo inscrito na
circunferência abaixo, sabendo que os arcos são arcos
simétricos com relação aos eixos horizontal e vertical.
Tarefa de casa
 5

1) (PUC) Sendo  um ângulo, então 
   pertence ao
2


a) 1o quadrante.
d) 4o quadrante.
b) 2o quadrante.
e) n.d.a.
c) 3o quadrante.
30o
2) (Fund. Educ, Serra dos Órgãos) Marcando no círculo
trigonométrico as extremidades dos arcos da forma k.50 o,
k inteiro, obtemos os vértices de um polígono regular cujo
número de lados é igual a
a) 7.
d) 29.
b) 8.
e) 36.
c) 16.
3) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos
números reais x, tais que x = 210o + k.360o , k  Z.
4) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos
2
 k. , k  Z .
números reais x, tais que x 
3
5) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos
números reais x, tais que x =  45o + k.360o , k  Z.
6) Representar no círculo trigonométrico as imagens dos
2
, kZ .
números reais x, tais que x  k.
5
9) Escreva a expressão geral dos arcos (em radianos) que
têm extremidades em um dos vértices do triângulo
equilátero inscrito na circunferência, dado na figura
abaixo.

Questão de raciocínio lógico
Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados
quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é
mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano.
Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita
do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca,
encontra-se à frente de Paulo. Assim,





a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
28
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
13
Estudo do seno na circunferência trigonométrica
Limites dos valores do seno de um ângulo:
O seno da medida de um ângulo é um valor real
LIMITADO entre -1 e 1, ou seja, -1  sen x  1 , sendo x
a medida de um ângulo qualquer da circunferência
trigonométrica.
1
Tópicos da aula
 Circunferência trigonométrica
 Eixo dos valores do seno de um ângulo
 Valores do seno dos arcos simétricos
 Limites dos valores do seno de um ângulo
 Sinais dos valores do seno de um ângulo
x
Resumo teórico
Circunferência trigonométrica:
Define-se a circunferência trigonométrica, como a
circunferência de raio unitário (raio = 1), com centro no
sistema de eixos ortogonais cartesiano.
1
2o quadrante
-1
3o quadrante
-1
1o quadrante
0
Sinais dos valores do seno de um ângulo:
Para arcos no 1o e no 2o quadrantes o seno destes arcos tem
sinal positivo, por se localizarem no semi eixo superior
(valores positivos), e para arcos no 3o e no 4o quadrantes o
seno tem sinal negativo, por localizarem no semi eixo
inferior (valores negativos).
1
4o quadrante
-1
2o quadrante
Eixo dos valores do seno de um ângulo:
O eixo vertical é o eixo dos valores do seno de um arco da
circunferência. O valor do seno é obtido pela projeção
perpendicular da extremidade do arco no eixo vertical.
3o quadrante
1
o
2 quadrante
o
1 quadrante
1

2
30
o
Exercícios de aula
1) Calcule os valores de
sen 45o =
-1
3o quadrante
sen 30o =
4o quadrante
sen 135o =
1
(valor conhecido da tabela de valores exatos)
2
sen 225o =
sen 315o =
Valores do seno dos arcos simétricos:
Os valores do seno dos arcos simétricos nos quatro
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal.
2o quad.
1
1o quad.
150o
1/2
30o
210o
o
3 quad.

-1
330
sen 30o = ½
sen 150o = ½
-1/2

o
sen 210o = - ½
sen 330o = - ½
o
 
 
4 quad.
29
1o quadrante
4o quadrante
2) Calcule os valores de
7) Resolva a equação sen x =
sen 60o =
2
, para 0o  x < 360o, e
2
dê o conjunto solução.
sen 120o =
sen 240o =
sen 300o =
3) Calcule os valores do seno dos arcos de 0o, 90o, 180o,
270o e 360o.
8) Resolva a equação sen x = 
sen 0o =
1
, para 0  x < 2, e dê o
2
conjunto solução.
sen 90o =
sen 180o =
sen 270o =
sen 360o =
4) Calcule os valores do seno dos arcos, dados em
radianos, abaixo:

a) sen =
4

f) sen =
6

b) sen =
3
g) sen  =
c) sen
5
=
6
h) sen
5
=
3
d) sen
5
=
4
i) sen
11
=
6
e) sen
2
=
3
j) sen
3
=
2
9) Resolva, em graus, a equação sen x =
3
, em R, e dê
2
o conjunto solução.
5) Calcule o valor da expressão
E = sen 30o + sen260o – sen 270o
10) Resolva, em radianos, a equação sen x = 
e dê o conjunto solução.
6) Calcule o valor da expressão
sen
E
11 
7 
  sen

6 
4 

sen 3   sen
2
2
30
2
, em R,
2
11) Resolva a equação 3.sen2x – 3 = 0, para 0  x < 2, e
dê o conjunto solução.
2) Calcule S = sen 0  sen

2
5
 sen
 ... sen
3
3
3

é raiz da equação
6
sen2x – m.senx + 3 = 0 , determine m.
3) Sabendo que
4) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações:
1
a) sen x =
d) sen2x = 1
2
b) sen x = – 1
e) 2.sen2x = 1
c) sen x = 
12) Resolva a equação 2.sen2x + senx – 1 = 0, em R, e dê a
solução em radianos.
3
2
f) 4.sen2x – 3 = 0
5) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos.
1
a) sen x =
d) sen2x = 1
2
b) sen x = – 1
e) 2.sen2x = 1
c) sen x = 
3
2
f) 4.sen2x – 3 = 0
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
sen2x = senx.
7) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
sen2x + 2.senx – 3 = 0.
13) Considerando as medidas dos arcos em radianos,
coloque em ordem crescente os valores de sen1, sen2,
sen3, sen4, sen5 e sen6.
8) Resolva, em R, a equação sen3x – senx = 0 e dê a
solução em radianos.
9) (FATEC-SP) A diferença entre o maior e o menor valor
de x  [0 , 2], na equação 2.sen2x + 3.senx = 2, é

5
a) .
d)
.
3
3
2
7
b)
.
e)
.
3
3
c)
4
.
3
10) Resolva, no intervalo de 0  x < 2, a equação
sen2x + sen4x + sen6x = 3.
Questão de raciocínio lógico
Mariazinha saiu de sua casa com uma cesta cheia de ovos.
Passou na casa de sua tia Tereza e lá deixou a metade dos
ovos que tinha na cesta mais meio ovo. Em seguida,
passou na casa de sua tia Judite e lá deixou a metade dos
ovos que restaram em sua cesta mais meio ovo. E, por fim,
passou na casa de sua tia Albertina e lá deixou a metade
dos ovos que restaram em sua cesta mais meio ovo. Após
Tarefa de casa
1) Determine o valor da expressão
sen (3x )  sen (4x )
, para x = 30o.
sen (5x )
isto verificou que em sua cesta não tinha mais ovos. Com
quantos ovos Mariazinha saiu de sua casa?
31
Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
14
Estudo do cosseno na circunferência trigonométrica
Sinais dos valores do cosseno de um ângulo:
Para arcos no 1o e no 4o quadrantes o cosseno destes arcos
tem sinal positivo, por se localizarem no semi eixo da
direita (valores positivos), e para arcos no 2o e no 3o
quadrantes o cosseno tem sinal negativo, por localizarem
no semi eixo da esquerda (valores negativos).
Tópicos da aula
 Eixo dos valores do cosseno de um ângulo
 Valores do cosseno dos arcos simétricos
 Limites dos valores do cosseno de um ângulo
 Sinais dos valores do cosseno de um ângulo
Resumo teórico
Eixo dos valores do cosseno de um ângulo:
O eixo horizontal é o eixo dos valores do cosseno de um
arco da circunferência. O valor do cosseno é obtido pela
projeção perpendicular da extremidade do arco no eixo
horizontal.
60
2o quadrante
-1
0

1
2
1o quadrante
Exercícios de aula
1) Calcule os valores de
1
cos 45o =
4o quadrante
cos 135o =
1
(valor conhecido da tabela de valores exatos)
2
cos 225o =
cos 315o =
Valores do cosseno dos arcos simétricos:
Os valores do cosseno dos arcos simétricos nos quatro
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal.
2o quad.
-1
120o
-1/2
60o
cos 60o = ½
1o quad.
1/2
3o quad.
cos 120o = - ½
cos 240o = - ½
1
cos 300o = ½
4o quad.
240o
300o
2) Calcule os valores de
cos 30o =
Limites dos valores do cosseno de um ângulo:
O cosseno da medida de um ângulo é um valor real
LIMITADO entre -1 e 1, ou seja, -1  cos x  1 , sendo x
a medida de um ângulo qualquer da circunferência
trigonométrica.
cos 150o =
cos 210o =
cos 330o =
x
-1
 
 
3o quadrante
o
3o quadrante
cos 60o =
2o quadrante
1
32
1o quadrante
4o quadrante
3) Calcule os valores do cosseno dos arcos de 0o, 90o,
180o, 270o e 360o.
8) Resolva a equação cos x = 
1
, para 0  x < 2, e dê o
2
conjunto solução.
cos 0o =
cos 90o =
cos 180o =
cos 270o =
cos 360o =
4) Calcule os valores do cosseno dos arcos, dados em
radianos, abaixo:
a) cos

=
4
f) cos

=
6
9) Resolva, em graus, a equação cos x =

b) cos =
3
g) cos  =
c) cos
5
=
6
h) cos
5
=
3
d) cos
5
=
4
i) cos
11
=
6
e) cos
2
=
3
j) cos
3
=
2
3
, em R, e dê
2
o conjunto solução.
5) Calcule o valor da expressão
E = cos 60o + cos2135o – cos 180o
6) Calcule o valor da expressão
4 
11 
  cos

3 
6 

cos 3   cos
2
2
cos
E
7) Resolva a equação cos x =
10) Resolva, em radianos, a equação cos x = 
e dê o conjunto solução.
2
, para 0o  x < 360o, e
2
dê o conjunto solução.
33
2
, em R,
2
11) Resolva a equação cos2x – 1 = 0, para 0  x < 2, e dê
o conjunto solução.
Tarefa de casa
1) Para x = 20o, calcule o valor da expressão:
E = cos(3x) – cos(6x) + cos(12x)


4
2
2) Calcule S = cos 0  cos  cos  cos
 cos
3
5
5
3
3) Assinale a afirmação FALSA.


a) cos  cos
d) cos 2  cos 
3
2


4
2
b) cos  cos
e) cos
 cos
3
3
4
3
2
5
c) cos
 cos
3
6
4) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações:
1
a) cos x =
d) cos2x = 1
2
b) cos x = – 1
e) 2.cos2x = 1
12) Resolva a equação 4.cos2x – 3 = 0, em R, e dê a
solução em radianos.
c) cos x = 
3
2
f) 2.cos2x – 1 = 0
5) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos.
1
a) cos x =
d) cos2x = 1
2
b) cos x = – 1
e) 2.cos2x = 1
c) cos x = 
3
2
f) 2.cos2x – 1 = 0
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
cos2x = cosx.
7) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
cos2x – cosx – 2 = 0.
8) Resolva, em R, a equação 2.cos2x – cosx – 1 = 0 e dê a
solução em radianos.
9) A solução da equação 4.cos2x – 1 = 0 para x  [0 , ], é
13) Considerando as medidas dos arcos em radianos,
coloque em ordem crescente os valores de cos1, cos2,
cos3, cos4, cos5 e cos6.

a) S    .
3
 2 4 
d) S   ,  .
3 3
  2 
b) S   ,  .
3 3 
  2 4 5 
e) S   ,
,
, .
3 3 3 3 
  5 
c) S   ,  .
3 3 
10) Resolva a equação cosx.(cos2x – 1).(2.cos2x – 1) = 0 ,
em R, e dê a solução em radianos.
Questão de raciocínio lógico
Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, então quanto
pesam um tijolo e meio?
34
Matemática II
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15
Estudo da tangente na circunferência trigonométrica
Limites dos valores da tangente de um ângulo:
A tangente da medida de um ângulo é um valor real
ILIMITADO , ou seja, tg x  R , sendo x a medida de um
ângulo da circunferência, com x  90o + k.180o, k  Z.
Tópicos da aula
 Eixo dos valores da tangente de um ângulo
 Valores da tangente dos arcos simétricos
 Limites dos valores da tangente de um ângulo
 Sinais dos valores da tangente de um ângulo
+
Resumo teórico
Eixo dos valores da tangente de um ângulo:
O eixo vertical, tangente à circunferência pelo lado direito,
é o eixo dos valores da tangente de um arco da
circunferência. O valor da tangente é obtido pela
intersecção do eixo da tangente com a reta que passa pela
extremidade do arco e o centro da circunferência.

0

tg x
2o quadrante
45o 
 1o quadrante
1
0
-
3o quadrante
4o quadrante
Sinais dos valores da tangente de um ângulo:
Para arcos no 1o e no 3o quadrantes a tangente destes arcos
tem sinal positivo, por se localizarem no semi eixo
superior (valores positivos), e para arcos no 2o e no 4o
quadrantes a tangente tem sinal negativo, por localizarem
no semi eixo inferior (valores negativos).
tg 45o = 1 (valor conhecido da tabela de valores exatos)
Valores da tangente dos arcos simétricos:
Os valores da tangente dos arcos simétricos nos quatro
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal.
2o quadrante
 
 
1o quadrante
tg x
o
2 quad.
135
o
45
o
 1o quad.
1
3o quadrante
tg 45o = 1
tg 135o = - 1
0
3o quad.
225o
315o -1
Exercícios de aula
1) Calcule os valores de
tg 225o = 1
4o quad.
tg 30o =
tg 315o = - 1
tg 150o =
tg 210o =
tg 330o =
35
4o quadrante
2) Calcule os valores de
6) Calcule o valor da expressão
4
11
tg
 tg
3
6
E
2

 3 
 tg   3.tg
4
 4 
tg 60o =
tg 120o =
tg 240o =
tg 300o =
7) Resolva a equação tg x =
3
, para 0o  x < 360o, e dê
3
o conjunto solução.
3) Calcule os valores da tangente dos arcos de 0o, 90o,
180o, 270o e 360o.
tg 0o =
tg 90o =
tg 180o =
tg 270o =
8) Resolva a equação tg x = – 1, para 0  x < 2, e dê o
conjunto solução.
tg 360o =
4) Calcule os valores da tangente dos arcos, dados em
radianos, abaixo:
a) tg

=
4
f) tg
b) tg

=
3
g) tg  =
c) tg
5
=
6
h) tg
5
=
3
d) tg
5
=
4
i) tg
11
=
6
e) tg
2
=
3
j) tg
3
=
2

=
6
9) Resolva, em graus, a equação tg x =
conjunto solução.
5) Calcule o valor da expressão
E = tg3180o – tg 135o + tg460o
36
3 , em R, e dê o
10) Resolva, em radianos, a equação tg x = 
Tarefa de casa
1) Para x = 15o, calcule o valor da expressão:
E = tg(4x) + tg(8x) + tg(16x) + tg(20x)
3
, em R,
3
e dê o conjunto solução.
2) Assinale a afirmação CORRETA.
a) 1 < tg 30o < 2.
d) – 2 < tg 120o < – 1.
o
b) 2 < tg 60 < 3.
e) – 2 < tg 180o < – 1.
o
c) – 2 < tg 135 < – 1,5.
3) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações:
a) tg x = 1
d) tg2x = 3
b) tg x = – 1
e) tg x = 0
c) tg x = 
3
3
f) 3.tg2x – 1 = 0
4) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos.
11) Resolva a equação tg2x – 3 = 0, para 0  x < 2, e dê o
conjunto solução.
a) tg x = 1
c) tg x =
b) tg x = 0
d) tg2x = 1
3
3
5) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
tg2x = tgx.
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
tg2x –
3 .tg x = 0.
7) Resolva, em R, a equação tg3x – tgx = 0 e dê a solução
em radianos.
8) A solução real da equação sen x = cos x é



a) S  x  R | x   k.2, k  Z .
4





b) S  x  R | x   k., k  Z .
2


c) S  x  R | x  k., k  Z.



d) S  x  R | x   k., k  Z .
4


12) Resolva a equação 5.tg2x – 5 = 0, em R, e dê a solução
em radianos.




e) S  x  R | x   k. , k  Z .
3
2


9) Resolva a equação tgx.(tg2x – 3) = 0 , em R, e dê a
solução em radianos.
Questão de raciocínio lógico
Em uma sequência de números, o primeiro termo é 61 e
todos os outros termos correspondem à soma dos
quadrados dos algarismos do termo anterior. O número
que ocupa a 81a posição desta sequência é
a) 4.
b) 16.
c) 37.
d) 42.
e) 61.
37
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16
Razões trigonométricas na circunferência
Tópicos da aula
 Seno, cosseno e tangente na circunferência
Resumo teórico
Eixos do seno, cosseno e tangente e seus valores reais.
Sinal de sen x
e cossec x
+ +
_ _
Sinal de cos x
e sec x
_ +
_ +
Sinal de tg x
e cotg x
_ +
+ _
SIMETRIA
–x
x
sen(–x) = – senx
cos(–x) =
+x
2 – x
ou
–x
cosx
tg(–x) = – tgx
38
Exercícios de aula
1) (AMAN) Calcular

para x = .
2
5) (FISFS) Assinale a alternativa verdadeira:
a) cos240o < sen240o < tg240o.
b) cos240o < tg240o < sen240o.
c) sen240o < cos240o < tg240o.
d) tg240o < cos240o < sen240o.
e) tg240o < sen240o < cos240o.
A = sen(3x) + cos(4x) – tg(2x) ,
2) (PUC) Determinar m para que
6) (ULBRA) O valor da expressão
cos1440o + sen810o + tg720o é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

seja raiz da equação:
3
tg2x – m.cos2x + sen2x = 0
Tarefa de casa
1) (MACKENZIE) A soma dos valores máximo e mínimo
2
de 2  . cos 2 x é
3
10
14
16
8
a) .
b)
.
c) 4.
d)
.
e)
.
3
3
3
3
3) (F. Carlos Chagas) O menor valor que assume a
expressão (6 – senx); para “x” variando de 0o a 360o é
a) 7.
b) 6.
c) 5.
d) 1.
e) –1.
2) (F. Carlos Chagas) Os quadrantes onde estão os ângulos
,  e  tais que:
sen < 0 e cos < 0
cos < 0 e tg < 0
sen > 0 e cotg > 0 são, respectivamente
a) 3o, 2o e 1o.
d) 1o, 2o e 3o.
o
o
o
b) 2 , 1 e 3 .
e) 3o, 2o e 2o.
o
o
o
c) 3 , 1 e 2 .
3) (PUC-MG) Se
4) (VUNESP) Se A = sen(6), então
a)
3
 A  1.
2
b)  1  A  
c) 0  A 
d)
senx =
a) – 1.
2
.
2
2
.
2
é um arco do 2 o quadrante e
2
, então tgx é
2
b)  3 .
c) 
3
.
3
d) 1.
e)
3.
Questão de raciocínio lógico
A metade dos dias decorridos, desde o início do ano até
hoje, é igual à terça parte dos dias que ainda faltam para o
término desse mesmo ano. Sabendo que este ano tem 365
dias e que fevereiro tem, portanto, 28 dias, pode-se
concluir que hoje é
a) 14 de abril.
d) 15 de junho.
b) 10 de junho.
e) 21 de maio.
c) 26 de maio.
2
3
.
A
2
2
e) 
x
2
 A  0.
2
39
Matemática II
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17
Cossecante, secante e cotangente na circunferência
Estudo da secante de um ângulo:
O eixo dos valores da secante de um ângulo x, tal que
Tópicos da aula
 Estudo da cossecante
 Estudo da sencante
 Estudo da cotangente
x  90 o  k.180 o , k  Z , é o eixo horizontal que passa pelo
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais
maiores do que 1 ou menores do que –1.
Resumo teórico
Estudo da cossecante de um ângulo:
O eixo dos valores da cossecante de um ângulo x, tal
sec x  –1 ou sec x  1
que x  k.180 , k  Z , é o eixo vertical que passa pelo
centro da circunferência trigonométrica, com valores reais
maiores do que 1 ou menores do que –1.
o
O valor da secante do ângulo x é numericamente
igual ao comprimento do segmento OP , com sinal
positivo para P no semi eixo da direita e negativo para P
cossec x  –1 ou cossec x  1
O
valor
da
cossecante
do
ângulo
x
no semi eixo da esquerda, tal que PA  OA , sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
é
numericamente igual ao comprimento do segmento OP ,
com sinal positivo para P no semi eixo superior e negativo
para P no semi eixo inferior, tal que PA  OA , sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
A
cossec

P
P
1
–1
A

O
sec
1
O
–1
Exemplo:
sec 45o =
Exemplo:
1
cossec 30o = 2, pois cos sec 30 o 
sen 30
o

1
1
2
2
sec 45 o 
2 , pois
1
cos 45
o

1
2
2

2

2. 2
2
 2
2. 2
cossec
2
1
45o


30o
2
–1
0
–1
40
0
1
sec
2) Calcule os valores abaixo.
7
a) cossec
=
6
Estudo da cotangente de um ângulo:
O eixo dos valores da cotangente de um ângulo x é o
eixo horizontal que tangencia a circunferência
trigonométrica em seu ponto de ordenada máxima.
O valor da cotangente é obtido pela intersecção
do eixo da cotangente com a reta que passa pela
extremidade do arco e o centro da circunferência. É
b) sec
7
=
6
c) cotg
7
=
6
numericamente igual ao comprimento do segmento OP ,
com sinal positivo para P no semi eixo da direita e
negativo para P no semi eixo da esquerda, sendo A a
extremidade do ângulo de medida x.
A cotangente da medida de um ângulo é um valor real
ILIMITADO , ou seja, cotg x  R , sendo x a medida de
um ângulo da circunferência, com x  k.180o, k  Z.
cotg
sec
P
O
cotg
A
cossec
Exemplo:
cotg 30o =
cot g30o 
3 , pois
3) Calcule a área do trapézio retângulo BCDE assinalado
na figura abaixo, sabendo que a circunferência dada tem
raio unitário e o ângulo central AÔB mede 30o.
1
1
3
3. 3



 3
3
tg30o
3
3. 3
3
3
0
cotg
 30o
C
D
Exercícios de aula
1) Calcule os valores abaixo.
cossec 120o =
sec 120o =
cotg 120o =
cossec
cotg
sec
41
E
B
O
A
4) Resolver a equação cossecx = 2 , para 0  x < 2.
6) Sejam x e y dois ângulos agudos , com x  y e x > y.
Assinale a única alternativa VERDADEIRA.
a) cotg x > cotg y.
b) sec y < cos x.
c) tgx < tg y.
d) sen x > cossec x.
e) cos x > cossec y.
Tarefa de casa
1) (UEL-PR) Para todo número real x, tal que 0  x 

,a
2
sec x  tgx
é equivalente a
cos x  cot gx
a) (senx).(cotgx)
b) (secx).(cotgx)
c) (cosx).(tgx)
d) (secx).(tgx)
e) (senx).(tgx)
expressão
5) Resolver em R a equação sec2x + 2.secx = 0, e dê a
solução em radianos.
2) Sendo 1, 2 e 3 as medidas de três arcos em radianos,
então é certo afirmar que
a) sec1 < sec2 < sec3.
b) sec1 < sec3 < sec2.
c) sec2 < sec1 < sec3.
d) sec2 < sec3 < sec1.
e) sec3 < sec1 < sec2.
3) (U.C.PR) O conjunto de todas as soluções da equação
4.cossecx + 2.senx = 9 , sendo k qualquer número inteiro é


a) x  k.  (1) k . .
d) x  2.k.  .
3
3
b) x  2.k. 

.
6
c) x  k.  (1) k .
e) x  k.  (1) k .

.
4

.
6
Questão de raciocínio lógico
Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada
linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado
mágico abaixo o valor de x é
a) 20.
b) 22.
c) 23.
1 14 x
d) 25.
e) 27.
26
13
42
Respostas
1 - Radiciação
a) 14
b) 45
c) 10
d) 4
5 – Aplicações do Teorema de Pitágoras
AULA
AULA
1.
a) 2 5 cm
b) 20 cm2
2. 132 cm2
3. Descerá 40 centímetros
Questão de raciocínio lógico:
Colocação
Nome
o
1 lugar
Jacó
2o lugar
Margarida
3o lugar
Patrícia
4o lugar
Fritz
2.
1.
a) 4 5
b) 6 7
c) 23 5
d) 27 2
3. c
4. a
5. 13 km
Questão de raciocínio lógico:
O sétimo número é igual a 3.
Sequência operacional: multiplicar por 2; subtrair 3 e
dividir por 5, e assim sucessivamente.
AULA
1.
2.
3.
AULA
2 – Propriedades de Radiciação
 2    3
3
6 – Trigonometria no triângulo retângulo
1. b
2. d
3. a
4. 25 m
5. 10 m
6. 20 m
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (b)
c
d
3
Bairro
Leste
Oeste
Norte
Sul
2
Questão de raciocínio lógico:
Em 17 dias ele conseguirá subir completamente a
parede.
AULA
AULA
3 – Operações com raízes
7 – Tabela de valores reais das razões trigonom.
h = 0,54 km e d = 2,07 km
a) c = 122,81 m
b) h = 115,40 m
3. 6534,32 cm2
4. H = 11,05 m
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (e)
1.
2.
1. a
2. e
3. e
4. c
Questão de raciocínio lógico:
Os dois ganharam a mesma quantidade de bolo.
4 – Teorema de Pitágoras
1. 65 cm
2. 16 cm
3. c
4. (12, 35, 37); (24, 32, 40); (36, 24, 45);
(48, 20, 52); (60, 11, 61)
5. 4
Questão de raciocínio lógico:
13 triângulos
AULA
AULA
1.
2.
8 – Valores exatos das razões trigon. de 30o e 60o
b
3 6
2
3. BD = 75 cm
4. 20 m
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (b)
43
AULA
9 – Valores exatos das razões trigon. de 45o
AULA
13 – Estudo do seno na circunferência trigon.
1.
x = 3 3
1.
2 3
2.
x = 2 2 cm e y = 2 cm
a)
N
2.
3.
S=0
m = 13/2
4.
a) S=  ,
3.
d
A
60o
45o

  5 

6 6 
 3 

2
B
b) S= 
b) d  755,56 m
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (d)
 4 5 
, 
3 3
c) S= 
  3 

2 2 
d) S=  ,
AULA
1.
2.
10 – Medida de ângulo em radiano
  3 5 7 
, , 
4 4 4 4 
a
e) S=  ,
2
3
  2 4 5 
, , 
3 3 3 3 
f) S=  ,
3. b
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (c)

5

 k 2 ou x 
 k 2 , k  Z
6
6


5.
a) S= x  R | x 


b) S= x  R | x 
AULA

11 – Medidas dos principais arcos da circunf.
c)
1. d
2. e
3. d
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (d)

S= x  R | x 

4
5

 k 2 ou x 
 k 2 , k  Z
3
3


d) S= x  R | x 


e) S= x  R | x 

AULA
1.
2.
12 – Arcos côngruos na circunferência

 45
5.
210o 
4.

o
 - 45o
2
3
6.
 5
3
4
5
6 
5


 k , k  Z
2




 k , k  Z
4
2

f) S= x  R | x  
a
e
3.
3

 k 2 , k  Z
2

  
, 
 2 
6.
S= 0,
7.
S=  
8.
2
5

2

S= x  R | x  k

0
9.
 8
10.
5


 k , k  Z
3



, k  Z
4

b
  3 

2 2 
S=  ,
Questão de raciocínio lógico:
Mariazinha saiu com 7 ovos.
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (a)
44
1.
14 – Estudo do cosseno na circunferência trigon.
1/2
2.
S=1
AULA
3.
4.
1.
2.
15 – Estudo da tangente na circunferência trigon.
E=0
d
3.
a) S=  ,
AULA
e
 3 7 
, 
4 4
b) S= 
  5 

3 3 
a) S=  ,
 5 11 
,

6 6 
c) S= 
b) S= 
  2 4 5 
, , 
3 3 3 3 
c) S= 
 5 7 
, 
6 6
d) S=  ,
d) S= 0, 
e) S= 0, 
  3 5 7 
, , 
4 4 4 4 
f) S=  ,
  5 7 11 
, ,

6 6 6 6 
e) S=  ,

a) S= x  R | x  

4.


 k 2 , k  Z
3




d) S= x  R | x 




 k , k  Z
4
2

5 
 
, , 
4
 4
5.
S= 0,



 k , k  Z
4
2

6.
S= 0,


 k , k  Z
6

7.
S= x  R | x  k ou x 
f) S= x  R | x  



 k , k  Z
6


d) S= x  R | x  k , k  Z


c) S= x  R | x 
5


 k 2  , k  Z
c) S= x  R | x  
6



a) S= x  R | x 
b) S= x  R | x  k , k  Z
b) S= x  R | x    k 2 , k  Z
e) S= x  R | x 


 k , k  Z
4


  5 7 11 
, ,

6 6 6 6 
f) S=  ,
5.
  5 

4 4 
4 
 
, , 
3
 3


8.
d
  3 
S= 0, , 
 2 2
9.
S= x  R | x  k
7.
S= 
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (b)
8.
S= x  R | x  k
9.
b
6.



10.
S= x  R | x  k


2

, k  Z
3

AULA




 k , k  Z
4
2



, k  Z
3

16 – Razões trigonométricas na circunferência
1. d
2. a
3. a
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (c)


, k  Z
4

17 – Cossecante, secante e cotangente na circunf.
1. d
2. d
3. c
Questão de raciocínio lógico:
Alternativa (e)
AULA
Questão de raciocínio lógico:
Três quilos.
45