Mecânica dos Materiais
Instabilidade de
Colunas
10
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Estabilidade de Estruturas
• No projecto de elementos estruturais sujeitos a
compressão, deve verificar-se que:
- a tensão admissível não é excedida
σ=
P
≤ σ adm
A
- a deformação não excede um valor máximo
PL
δ =
≤ δ max
AE
• No entanto, apesar de se verificarem estas
condições, é possível que a coluna seja instável
sob acção da força P, e em consequencia sofra
uma encurvadura súbita e instabilize.
10 - 2
Formula de Euler para vigas bi-apoiadas
• Considere-se uma viga sujeita à
força axial P. Após uma pequena
perturbação, o equilibrio do sistema
é descrito pela equação:
d2y
d2y
P
EI 2 = M ⇒ 2 = −
y
dx
dx
EI
d2y P
+
y=0
2
dx
EI
• A solução desta equação é do tipo
y = c 1 sin
P
x + c 2 cos
EI
P
x
EI
c2 tem de ser zero porque y=0 em x=0 e x=L,
o termo em sin(..) tem de ser nulo em x=0 e x=L, o que requer que
o comprimento L seja exactamente igual a um múltiplo da metade
do comprimento de onda da função seno, ie:
10 - 3
Cont.
P
L = n π , n = 1 , 2 , 3 ,....
EI
Nesta condição, o menor valor de P que origina a deformação lateral y ,
ie. instabilidade da viga, corresponde a n=1.
Assim, define-se a carga crítica de instabilidade Pcr , ou a carga crítica de
Euler, como:
Pcr =
σ cr
π 2 EI
(Carga crítica de Euler)
L2
Pcr
π 2 E Ar
=
=
A
L2 A
(
2
)=
π 2E
(L r )2
(Tensão crítica
correspondente)
Nota:
Note-se a elevada dependência de L2, ie. a carga crítica baixa com o quadrado do
comprimento livre da coluna, o que realça a importância dos travamentos laterais
10 - 4
10 - 5
Efeito das condições de fronteira e apoios laterais
10 - 6
Formula de Euler para vigas bi-apoiadas
• Tensão correspondente à carga crítica
de Euler:
Pcr =
π 2 EI
L2
P
P
σ = ⇒ σ cr = cr
A
A
π 2 E Ar 2
σ cr =
L2 A
π 2E
σ cr =
= tensão crítica
2
(L r )
( )
L
= coeficiente de esbeltez
r
Válido apenas para cargas axiais centradas
com o eixo longitudinal da coluna
10 - 7
10 - 8
Exemplo
Considere a viga HEB-120, apoiada
em ambas as extremidades nos planos
x-x e y-y.
Qual a maior carga P que a viga pode
suportar sem instabilizar, de acordo
com a fórmula de Euler?
5m
10 - 9
Extensão da fórmula de Euler
• A coluna com uma extremidade fixa e a
outra livre, vai comportar-se como a
metade superior de uma coluna biapoiada.
• A carga crítica é calculada pela fórmula de
Euler
Pcr =
σ cr =
π 2 EI
L2e
π 2E
(Le r )2
Le = 2L = comprimento equivalente
10 - 10
Extensão da fórmula de Euler
10 - 11
Exemplo
10 - 12
Exemplo - cont.
10 - 13
Exemplo - cont.
10 - 14
Exemplo
10 - 15
Exemplo 10.1
Uma coluna de aluminio com comprimento L e
uma secção transversal rectangular a×b, tem
um suporte fixo em B e é sujeita a uma carga
axial centrada P . Em A existem duas placas
arredondadas que limitam os deslocamentos na
direcção y, mas permitem os deslocamentos na
direcção z.
a) Determinar a relação a/b da secção
rectangular que corresponde ao projecto
mais eficiente à instabilidade.
b) Nas condições da alínea anterior, calcular as
dimensões a e b da secção rectangular.
L = 0.5 m
E = 70 GPa
P = 22 kN
FS = 2.5
10 - 16
Exemplo 10.1
O projecto mais eficiente corresponde à situação em que a
resistencia à instabilidade é igual em ambos os planos x-z e y-z..
Isto ocorre quando os coeficientes de esbeltez L/r são iguais:
Pcr =
π 2E I
Le
2
=
π 2E r2 A
Le
2
π 2E A
=
( Le / r )
1 ba 3
12
I
= z =
A
Le, x − y
rz =
12
• Instabilidade no plano x-z:
ry2 =
Iy
Le, x − z
ry
A
=
=
1
12
ab 3
ab
2L
b / 12
b2
=
12
ry =
=
Le, x − z
ry
a
12
a
Le, x − y
rz
0. 7 L
=
rz
ab
a2
=
12
⇒ Pcr , x − y = Pcr , x − z
⇒
• Instabilidade no plano x-y:
rz2
2
b
12
• Assim:
Le, z Le, y
=
rz
ry
0. 7 L
2L
=
a 12 b / 12
a 0.7
=
b
2
a
= 0.35
b
10 - 17
Exemplo 10.1
L = 0.5 m
E = 70 GPa
P = 22 kN
FS = 2.5
a/b = 0.35
Le
2L
2 × 0.5
=
=
= 2 3 /b
ry b 12 b 12
Pcr = (FS )P = 2.5 × 22kN = 55000N
Pcr 55000
=
A 0.35b 2
Pcr
π 2E
=
=
(Le r )2 A
σ cr =
σ cr
⇒
π 2 70 ×109
( 2 3 / b)
2
=
55000
0.35b
2
⇒ b = 40.65mm
b = 40.7 mm
a = 0.35 b = 14.3mm
Nota: Verificar que adicionalmente não se excede o limite
elástico ou uma determinada tensão admissível
10 - 18
Carga descentrada - Fórmula da secante
• A carga excêntrica é equivalente a uma força
centrada e um momento.
• A equação diferencial da deformada da
coluna é:
d 2 y − Py − Pe
=
2
dx
EI
• Deformada máxima:
y max
 π
= e sec
  2
P
Pcr
2
 
π
 − 1 com Pcr = EI
2
 
L
e
 
• Tensão máxima:
+ e )c 
P  (y
σ max = 1 + max 2

A
r

e – excentricidade da carga
c – distancia da linha neutra à fibra mais afastada
onde ocorre a tensão máxima de flexão
P  e c  1
= 1 + 2 sec
2
A  r

P Le 


EA r 
10 - 19
Carga descentrada - Fórmula da secante
σY = σ e
σ max
1
P  ec
= 1 + 2 sec 
2
A  r

P Le  


EA r  
≤ σe
10 - 20
Coluna sob a acção de carga descentrada
• Uma força descentrada pode, como
referido atrás, ser substituída uma força
centrada P e um momento M = Pe.
• Assim, a tensão normal total resulta da
sobreposição da tensão devida à carga
centrada com a tensão devida à flexão:
σ = σ centrada + σ flexão
σ max
P Mc
= +
A I
• Critério de segurança:
P
Mc
+
≤σ
A
I
adm
10 - 21
Problema
10 - 22
Problema
10 - 23