Capitalização Composta
Introdução
Cálculo dos
Juros
Convenção
Exponencial
Cálculo do
Montante
Cálculo do
Prazo
Convenção
Linear
Cálculo do
Capital
Cálculo da
Taxa de
Juros
Equivalência
de Capitais
Juros Compostos
Juros sobre Juros
Taxa de juros
Tempo (em meses)
(a.m.)
1
2
6
12
24
60
0,50%
R$ 100,50
R$ 101,00
R$ 103,04
R$ 106,17
R$ 112,72
R$ 134,89
1,00%
R$ 101,00
R$ 102,01
R$ 106,15
R$ 112,68
R$ 126,97
R$ 181,67
2,00%
R$ 102,00
R$ 104,04
R$ 112,62
R$ 126,82
R$ 160,84
R$ 328,10
4,00%
R$ 104,00
R$ 108,16
R$ 126,53
R$ 160,10
R$ 256,33
R$ 1.051,96
5,00%
R$ 105,00
R$ 110,25
R$ 134,01
R$ 179,59
R$ 322,51
R$ 1.867,92
6,00%
R$ 106,00
R$ 112,36
R$ 141,85
R$ 201,22
R$ 404,89
R$ 3.298,77
10,00%
R$ 110,00
R$ 121,00
R$ 177,16
R$ 313,84
R$ 984,97
R$ 30.448,16
15,00%
R$ 115,00
R$ 132,25
R$ 231,31
R$ 535,03
R$ 2.862,52
R$ 438.399,87
(Analista Orçamento – Ministério da Administração
Federal 1997) Na capitalização composta:
• a) A seqüência dos juros produzidos por período é constante
• b) A seqüência dos montantes ao fim de cada período cresce em
progressão aritmética
• c) Só rende juro o capital aplicado inicialmente
• d) Uma taxa mensal de 2% é equivalente a uma taxa bimestral de
4%
• e) O capital que rende juro em um período é o montante do final
do período anterior
(Analista Orçamento – Ministério da Administração
Federal 1997) Na capitalização composta:
• a) A seqüência dos juros produzidos por período é constante
• b) A seqüência dos montantes ao fim de cada período cresce em
progressão aritmética
• c) Só rende juro o capital aplicado inicialmente
• d) Uma taxa mensal de 2% é equivalente a uma taxa bimestral de
4%
• e) O capital que rende juro em um período é o montante do final
do período anterior
M = C (1 +
t
i)
(Ciências Contábeis BNDES 2008 CESGRANRIO) Um aplicador
depositou, num determinado fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. O
valor acumulado, em reais, ao final de 24 meses, considerando juros
compostos de 1% ao mês, será:
• a) 2.437,53
b) 2.466,86
c) 2.539,47
d) 2.546,68
e) 2.697,40
(Ciências Contábeis BNDES 2008 CESGRANRIO) Um aplicador
depositou, num determinado fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. O
valor acumulado, em reais, ao final de 24 meses, considerando juros
compostos de 1% ao mês, será:
• a) 2.437,53
b) 2.466,86
c) 2.539,47
d) 2.546,68
e) 2.697,40
HP 12C
M = C (1 + i)t
[f] [REG]
[f] [2]
2000 [CHS] [PV]
24 [n]
1 [i] [FV]
C = R$ 2.000,00
i = 1% ao mês
t = 24 meses
(ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros
compostos, pelo período de 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês,
resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
•
•
•
•
•
a) de $ 3.000,00
b) de $ 13.000,00
c) inferior a $ 13.000,00
d) superior a $ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples
(ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros
compostos, pelo período de 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês,
resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
•
•
•
•
•
a) de $ 3.000,00
b) de $ 13.000,00
c) inferior a $ 13.000,00
d) superior a $ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples
HP 12C
M = C (1 + i)t
[f] [REG]
[f] [2]
10000 [CHS] [PV]
3 [n]
10 [i] [FV]
C = R$ 10.000,00
i = 10% ao mês
t = 3 meses
(ESAF) Qual o montante, no regime de juros compostos, ao fim de 5
anos, de um investimento de $ 1.000,00, aplicados à taxa de 10% ao
semestre?
• a) $ 2.329,40 b) $ 2.329,70
c) $ 1.710,60
d) $ 2.593,74
e) $ 1.410,50
(ESAF) Qual o montante, no regime de juros compostos, ao fim de 5
anos, de um investimento de $ 1.000,00, aplicados à taxa de 10% ao
semestre?
• a) $ 2.329,40 b) $ 2.329,70
M = C (1 +
i)t
C = R$ 1.000,00
i = 10% ao semestre
t = 5 anos
c) $ 1.710,60
HP 12C
[f] [REG]
[f] [2]
1000 [CHS] [PV]
10 [n]
10 [i] [FV]
d) $ 2.593,74
e) $ 1.410,50
M
C 
t
(1  i )
Montante
Taxa de
Juros
Tempo
Capital
(Escriturário Banco do Brasil 2006 FCC) Se uma empresa optar por
um investimento, na data de hoje, receberá no final de dois anos o
valor de R$ 14.520,00. Considerando a taxa mínima de atratividade de
10% ao ano (capitalização anual), o valor atual correspondente a esse
investimento é:
• a) 13.200,00 b) 13.000,00
c) 12.500,00
d) 12.000,00
e) 11.500,00
(Escriturário Banco do Brasil 2006 FCC) Se uma empresa optar por
um investimento, na data de hoje, receberá no final de dois anos o
valor de R$ 14.520,00. Considerando a taxa mínima de atratividade de
10% ao ano (capitalização anual), o valor atual correspondente a esse
investimento é:
• a) 13.200,00 b) 13.000,00
c) 12.500,00
HP 12C
[f] [REG]
[f] [2]
14520 [FV]
2 [n]
10 [i] [PV]
14520
C 
(1  0,1) 2
d) 12.000,00
e) 11.500,00
(Administração TCE/RO 2007 CESGRANRIO) A Empresa Silva &
Filhos obteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá
pagar um montante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros
compostos de 2,5% ao mês. O valor atual desse empréstimo, em reais,
é:
• a) 70.000,00 b) 74.355,48
c) 75.000,00
d) 76.923,08
e) 78.024,29
(Administração TCE/RO 2007 CESGRANRIO) A Empresa Silva &
Filhos obteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá
pagar um montante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros
compostos de 2,5% ao mês. O valor atual desse empréstimo, em reais,
é:
• a) 70.000,00 b) 74.355,48
100000
C
(1  0,025)12
HP 12C
[f] [REG]
[f] [2]
100000 [FV]
12 [n]
2,5 [i] [PV]
c) 75.000,00
d) 76.923,08
e) 78.024,29
Capital
Montante
Tempo
Taxa de
Juros
(Fiscal de Rendas CAMPOS/RJ) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento
para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 fará com que, no final do segundo ano,
o valor do montante seja de R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de
rentabilidade anual desse investimento é de:
a) 5%
b) 7,5%
c) 10%
d) 12,5%
e) 15%
(Fiscal de Rendas CAMPOS/RJ) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento
para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 fará com que, no final do segundo ano,
o valor do montante seja de R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa de
rentabilidade anual desse investimento é de:
a) 5%
b) 7,5%
c) 10%
d) 12,5%
e) 15%
1


 242  2 
i  
  1
 200  
(IDR 1996) Um capital, aplicado por 2 meses, a certa taxa de juros
compostos, atinge um montante quatro vezes superior ao valor
investido. A que taxa mensal este capital foi aplicado?
a) 60%
b) 80%
c) 100%
d) 120%
e) 140%
(IDR 1996) Um capital, aplicado por 2 meses, a certa taxa de juros
compostos, atinge um montante quatro vezes superior ao valor
investido. A que taxa mensal este capital foi aplicado?
a) 60%
b) 80%
c) 100%
HP 12C
1


 4  2 
i      1
 1  
[f] [REG]
[f] [2]
4 [FV]
1 [CHS] [PV]
2 [n] [i]
d) 120%
e) 140%
(IDR) Uma pessoa aplicou R$ 2.000,00 em um investimento, obtendo
um montante de R$ 3.456,00. Por quanto tempo se deu esta aplicação,
se a taxa de juros compostos utilizada nesta operação foi de 20% a.m.?
a) 1 mês
b) 2 meses
c) 3 meses
d) 4 meses
e) 5 meses
(IDR) Uma pessoa aplicou R$ 2.000,00 em um investimento, obtendo
um montante de R$ 3.456,00. Por quanto tempo se deu esta aplicação,
se a taxa de juros compostos utilizada nesta operação foi de 20% a.m.?
a) 1 mês
b) 2 meses
3456,00
log
2000,00
t
log(1  0,2)
c) 3 meses
d) 4 meses
e) 5 meses
HP 12C
log 1,728
t
log 1,2
[f] [REG]
[f] [2]
3456 [FV]
2000 [CHS] [PV]
20 [i] [n]
(UNB CESPE PETROBRAS) O governo vai reajustar os combustíveis na primeira
quinzena de julho, confirmaram ontem os técnicos do Ministério das Minas e
Energia. O que ainda não está decidido é o percentual de aumento. De acordo com
uma projeção realizada, o preço da gasolina deve subir em torno de 10%, mas esse
reajuste não será suficiente para garantir o superávit da Parcela de Preço Específico
(PEE, antiga conta-petróleo), o previsto pelo governo federal de 3,5 bilhões. O
resultado, já revisado em março para 1,8 bilhão a 2 bilhões, não deve passar de R$
1,5 bilhão.
Jornal do Brasil, 02/06/2000 (com adaptação)
Tomando o valor de R$ 1,5 bilhão como base do superávit da PEE e supondo que
este, após o reajuste do preço dos combustíveis, cresça a uma taxa mensal de 10%, o
governo gostaria de estimar o preço mínimo necessário, a partir daquele reajuste,
para garantir que o superávit da PEE atinja a cifra de R$ 3,5 bilhões, prevista
inicialmente. Nessas condições, o tempo mínimo, necessário para que isso ocorresse
seria igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
3,5
log
1,5
t
log(1  0,1)
log 2,333
t
log 1,1
HP 12C
0,3680
t
0,0414
t  8,9
[f] [REG]
[f] [2]
3,5 [FV]
1,5 [CHS] [PV]
10 [i] [n]
(BB) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um
capital de R$ 145.000,00 em 1 ano, a uma taxa de
40% ao trimestre.
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 377.000,00
e) R$ 397.888,00
(BB) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um
capital de R$ 145.000,00 em 1 ano, a uma taxa de
40% ao trimestre.
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 377.000,00
e) R$ 397.888,00
Convenção
Exponencial
Convenção
Linear
Convenção
Exponencial
Forma tradicional de resolução: M = C (1 + i)t
Trata-se meramente, da aplicação da equação
fundamental dos juros compostos.
M = C (1 + i)INT . (1 + i . FRAC)
INT = Parte inteira do tempo (Juros Compostos)
FRAC = Parte fracionária do tempo (Juros Simples)
Convenção
Linear
Existe a incidência de juros compostos durante os
períodos inteiros de capitalização, sendo que,
posteriormente, existe a incidência de juros simples
durante os períodos fracionários de capitalização.
(ESAF TRF 2006) Um capital de R$
100.000,00 é aplicado a juros compostos, à
taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor
mais próximo do montante, ao fim de 15
meses, usando a convenção linear.
a) R$ 150.108,00
b) R$ 151.253,00
c) R$ 151.772,00
d) R$ 152.223,00
e) R$ 152.510,00
(ESAF TRF 2006) Um capital de R$
100.000,00 é aplicado a juros compostos, à
taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor
mais próximo do montante, ao fim de 15
meses, usando a convenção linear.
a) R$ 150.108,00
b) R$ 151.253,00
c) R$ 151.772,00
d) R$ 152.223,00
e) R$ 152.510,00
(ESAF AFRF 2000) Uma empresa deve pagar R$
20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de 30 dias e R$
31.200,00 ao fim de 90 dias. Como ela só espera contar
com os recursos necessários dentro de 60 dias e
pretende negociar um pagamento único ao fim desse
prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida
ao fim dos 60 dias, considerando uma taxa de juros
compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$ 64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
HP 12C
[f] [REG]
[f] [2]
20000 [CHS] [PV]
4 [i]
2 [n] [FV]
STO [1]
10000 [CHS] [PV]
4 [i]
1 [n] [FV]
STO [2]
R$ 20.000,00
0
R$ 10.000,00
30
C=?
R$ 31.200,00
60
90
prazo (dias)
31200 [CHS] [FV]
4 [i]
1 [n] [PV]
RCL [1]
RCL [2] [+] [+]