Material Básico de Estudo
Vetores e Álgebra Vetorial
Paisagem Fractal com “Mandelbrot”
“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”.
[Albert Einstein]
Acadêmico(a): _________________________________________________
Turma: _________________________________ Semestre: ___________
Material elaborado pelo Prof. Júlio César Tomio*
* Professor do Instituto Federal de Santa Catarina [IFSC] – Campus Joinville.
Vetores e Álgebra Vetorial
Prof. Júlio César TOMIO
MENSAGEM PARA O(A) ACADÊMICO(A)
Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte à Unidade Curricular Álgebra Linear e
Geometria Analítica que se estende durante o 3º Módulo do seu Curso Superior de Tecnologia em Mecatrônica Industrial, e,
consequentemente, auxiliar em futuras aplicações nas disciplinas subsequentes que necessitarão dos conhecimentos e
conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepção deste, baseada na experiência de alguns anos de docência,
também objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente no ambiente de sala de aula.
Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem de Vetores e da Álgebra Vetorial. Para tanto,
contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido
caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material.
A realização de um Curso Superior é um fato que pode fazer muita diferença na sua vida pessoal e profissional. Dedique-se!
Faça tudo da melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos
melhores) investimentos que você já fez em você mesmo.
Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melhor possível e que a passagem por mais esta etapa de sua vida
contribua para o seu engrandecimento pessoal e futuramente profissional. Acredito que isso possibilitará uma melhora
significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você.
Muita garra, e sucesso!
Professor Júlio César Tomio.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [Comentadas]
Este material foi produzido utilizando como base, parte da bibliografia indicada abaixo e também através de contribuições
minhas e de alguns colegas professores, com os quais tive o prazer de trabalhar.
Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui,
objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer
estudo que se queira realizar. Experimente! Vá até a biblioteca e faça uma consulta.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos neste material, com uma
linguagem bastante objetiva e acessível e também uma grande quantidade de exercícios.
VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d.
Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos neste material, porém com uma
linguagem diferenciada do anterior. [Este livro pode ser “encontrado” na íntegra, no site do próprio autor. O
endereço é: www.geometriaanalitica.com.br].
Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, são ótimas fontes de consulta e também se encontram em boas bibliotecas.
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987.
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 2: Álgebra linear e cálculo vetorial. 3. ed.
Porto Alegre: Bookman, 2009.
Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. [Provérbio chinês]
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ÍNDICE
GEOMETRIA ANALÍTICA
Sistemas de Coordenadas ....................................................................................................................................
04
Sistemas de Coordenadas Retangulares (ou Cartesianas) ................................................................................
04
Sistemas de Coordenadas Unidimensional (ℝ1 ou E1) ........................................................................................
Eixo Real (ou eixo das abscissas) ..............................................................................................................................
05
06
Estudo do Ponto no ℝ1 – Distância entre dois Pontos .................................................................................................
06
Sistemas de Coordenadas Bidimensional ...........................................................................................................
07
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2 ......................................................................................................
07
2
Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ .........................................................................................................
08
Sistemas de Coordenadas Tridimensional ..........................................................................................................
09
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ3 ou E3 ....................................................................................................
09
VETORES E ÁLGEBRA VETORIAL
Vetores .................................................................................................................................................................
Introdução ..............................................................................................................................................................
Noções Básicas ........................................................................................................................................................
Particularidade dos Vetores ......................................................................................................................................
Operações com Vetores na Forma Geométrica ...........................................................................................................
14
14
15
17
18
Vetores no ℝ2 ..........................................................................................................................................................
22
2
Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ .....................................................................................
25
Vetores no ℝ3 ..........................................................................................................................................................
29
Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ3 .....................................................................................
Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores .................................................................................................................
Cálculo do Módulo (Norma) de um Vetor ...................................................................................................................
Vetor Unitário ..........................................................................................................................................................
Tópico Especial: Desigualdade Triangular ..................................................................................................................
Versor de um Vetor ..................................................................................................................................................
30
33
35
37
38
40
Produto Escalar ....................................................................................................................................................
Definição Algébrica do Produto Escalar ......................................................................................................................
Definição Geométrica do Produto Escalar ...................................................................................................................
Ângulo entre dois vetores .........................................................................................................................................
Tópico Especial: Projeção de um Vetor sobre Outro ....................................................................................................
Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor ..................................................................................................
41
41
42
43
47
50
Produto Vetorial ...................................................................................................................................................
Definição .................................................................................................................................................................
Outras Aplicações do Produto Vetorial .......................................................................................................................
52
52
54
Produto Misto .......................................................................................................................................................
Definição .................................................................................................................................................................
Interpretação Geométrica do Produto Misto ...............................................................................................................
Uma Aplicação do Produto Misto (na Mecânica Geral) .................................................................................................
58
58
58
59
Apêndice ...............................................................................................................................................................
63
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A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar,
e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade
e ajudar-nos na vida! [Jacques Bernoulli]
SISTEMAS DE COORDENADAS
Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativa
precisão, pontos, objetos, partículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa viagem intercontinental, por exemplo,
entre outros.
Um simples mapa cartográfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são exemplos, entre outros, de
aplicações de sistemas de coordenadas.
Nosso estudo estará concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e três dimensões, por ser o
sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilização de outros modelos de sistema.
Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em:
Unidimensional: Eixo ou Reta Real R
1
Bidimensional:
Retangular ou C artesiano R 2
Polar
Tridimensional:
Retangular ou C artesiano R 3
C ilíndrico
E sférico
Matematicamente é possível se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimensões, como por exemplo, o R 4,
onde poderíamos considerar a 4ª coordenada como sendo o tempo, entretanto sua representação gráfica ficaria restrita a
somente 3 dimensões. Desta forma, poderemos criar um espaço R n, onde as várias coordenadas podem assumir outros
valores de interesse.
SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS)
Como nosso estudo estará baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos considerar algumas
situações para melhor exemplificar a utilização dos sistemas de coordenadas, quanto às dimensões necessárias para cada
caso. Vejamos a seguir:
1) Posição de um pistão no cilindro de um motor
O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pistão num cilindro de um motor de combustão interna.
Considere que seja de interesse a posição deste cilindro durante o funcionamento do motor.
Sistema de Coordenadas
Unidimensional
Matematicamente, podemos escrever a posição “P” do
pistão com a medida “x” P (x).
A medida “x” é dita coordenada do ponto P, ou ainda,
abscissa do ponto P.
x
Observe que o sistema trabalha com uma dimensão,
ou seja, para determinarmos a posição exata do
pistão, necessitamos de apenas uma coordenada,
considerando um referencial dado.
Referencial (origem)
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2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa
O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posição da bola
branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de jogo da mesa).
y
Sistema de Coordenadas
Bidimensional
Referencial (origem)
x
Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos
de duas coordenadas, considerando um referencial dado.
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y” P (x , y).
As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a ordenada do ponto P.
3) Posição de uma bola de basquete numa quadra [em jogo]
Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a
posição da bola em qualquer momento do jogo.
z
Sistema de Coordenadas
Tridimensional
y
x
Referencial (origem)
Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos
de três coordenadas, considerando um referencial dado.
Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x”, “y” e “z” P (x , y , z).
As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a ordenada do
ponto P e “z” é a cota do ponto P.
SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (ℝ1 ou E1)
Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dará origem aos outros que veremos em
seguida (ℝ2 e ℝ3, sendo este último o nosso campo de maior interesse).
Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de “marcos quilométricos”. Elas determinam a
sua posição na rodovia a partir de um referencial (origem), o “quilômetro zero”, que numa rodovia federal, localiza-se na
divisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia não ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilométricos
correspondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma única informação quilométrica poderemos
determinar a posição de um veículo com problemas mecânicos, por exemplo. Matematicamente, teremos:
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Eixo Real (ou eixo das abscissas)
origem
A
–4
B
–3
C
–2
–1
17
0
1
1
2
2
2
5
D
3
E
4
F
5
G
7
8
3,14159265
6
3
1 uc
Obs.: uc unidade de comprimento
Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A é – 4. Podemos escrever então: A
Daí, temos que:
17
,
5
B
x
C
2 ,
8
,
3
D
E
4 , F 5
e G
4 .
7 .
Estudo do Ponto no ℝ1
Distância entre dois Pontos:
No caso do ℝ1, torna-se simples determinarmos a distância entre dois pontos. Veremos intuitivamente através de algumas
perguntas...
a) Qual a distância entre os pontos F e E?
Resposta: 1 uc
b) Qual a distância entre E e G?
Resposta: 3 uc
c) Qual a distância entre A e F?
Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc
d) Qual a distância entre B e D?
Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalização matemática. Veja:
dAB
Logo:
A
B
xA
xB
dAB = | xB – xA |
↳
x
Distância entre dois pontos na reta ℝ1,
ou comprimento do segmento de reta AB.
Obs.: Note que dAB = dBA.
Veja:
P
–6
0
dPQ = | xP – xQ |
Q
7
x
ou
dQP = | xQ – xP |
dPQ = | – 6 – 7 |
dQP = | 7 – (– 6) | = | 7 + 6 |
dPQ = | – 13 |
dQP = | 13 |
dPQ = 13 uc
dQP = 13 uc
Observe que a distância entre dois pontos quaisquer é sempre um valor absoluto, ou seja, positivo.
Agora, podemos retornar a pergunta ”d”, que ficou em aberto, e respondê-la:
d) Qual a distância entre B e D?
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d BD x D x B
Então temos:
d BD
91
15
d BD
d BD
17
5
8
3
91
d BD
51 40
15
d BD 6,07 uc
Portanto:
15
NOTA: Quanto à representação gráfica de uma “linha reta”, formalmente, temos:
y
A
B
Segmento de reta AB. Notação: A B
A
Semi-reta (partindo de A ou chegando em A)
Reta “r” (elemento infinito)
r
M
N
Reta que passa por M e N. Notação: M N
x
SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Plano ℝ2 ou E2
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é um sistema bidimensional de coordenadas
[retangulares], formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas
quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. A intersecção
dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado “origem do sistema”. Cada ponto nesse plano é determinado
por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um ponto.
Localizando no sistema ao lado, os pontos indicados a seguir, temos:
y
2º Q.
1º Q.
A( 4 , 5 )
8
B(4 , 5)
C (6 , 5)
G
A
B
D(6 , 2)
E ( 8 , 0)
–6
F
6
O
–4
F (5 , 0)
x
8
4
–2
E
D
G (0 , 8)
H (0 , 7)
C
–7
O(0 , 0)
H
Origem do sistema
Observações:
3º Q.
4º Q.
Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0).
Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y).
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Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2
Veja os casos:
y
A(4, 4)
b1,3
4
y
b2,4
C(–3, 3)
A
B(–3, –3)
–3
B
Genericamente
(p , p)
135º
45º
D(4, – 4)
3
C
–3
x
4
4
x
Genericamente
(p , –p) ou (–p , p)
–3
D
–4
Os pontos (x, y) do plano, onde x = y, ou seja, de coordenadas iguais, definem uma reta denominada bissetriz dos
quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes b1,3), cuja equação evidentemente é y = x.
Já os pontos (x, y) do plano, onde x = – y (ou y = – x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominada
bissetriz dos quadrantes pares (2º e 4º quadrantes b2,4), cuja equação evidentemente é y = – x.
EXERCÍCIOS – Sistema Cartesiano Ortogonal
1) Observando a peça plana ao
20
20
40
lado, determine as coordenadas
dos pontos A, B, C, D,..., M e N,
E
F
25
20
considerando:
a) a origem no ponto A;
b) a origem no centro da
G
D
).
H
40
15
peça (
20
C
I
B
A
N
20
10
20
M
J
L
25
35
40
120
2) Calcule o valor de “m” de modo que o ponto Q(m2 + 5 , 6m) pertença à bissetriz do 2º e 4º quadrante.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) Veja tabela abaixo:
a
b
2) m = –1 ou m = – 5
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
(0,0)
(-60,-40)
(0,20)
(-60,-20)
(20,40)
(-40,0)
(20,55)
(-40,15)
(40,80)
(-20,40)
(80,80)
(20,40)
(80,60)
(20,20)
(120,60)
(60,20)
(120,20)
(60,-20)
(100,0)
(40,-40)
(60,0)
(0,-40)
(60,10)
(0,-30)
(25,0)
(-35,-40)
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SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL
Sistema Cartesiano Ortogonal – O Espaço ℝ3 ou E3
Consideramos como sendo o espaço cartesiano ℝ3 (ou E3), o conjunto dado por três eixos reais perpendiculares dois a dois,
denotados por “x” , “y” e “z”, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientação conforme abaixo:
z (eixo da cotas)
O
.. .
3
z
4
y (eixo das ordenadas)
x
2
1
y
x (eixo das abscissas)
5
Os três planos do ℝ3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem
ser observados na figura acima e a direita (os números identificam cada octante).
Os valores reais contidos nos três eixos estão ordenados de forma crescente conforme indicação das setas dos respectivos
eixos. No espaço tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de números reais (x, y, z), associamos um único ponto;
assim:
z
zP
O
P (xP , yP , zP)
yP
y
xP
Observação: Origem O (0 , 0 , 0)
x
Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e
sistemas de robótica utilizam, na sua grande
maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como
no exemplo da fresadora ao lado:
Por questões técnicas, as posições dos eixos
coordenados podem diferir das usadas no estudo
científico (na geometria analítica e outras áreas de
aplicabilidade da matemática).
A figura apresenta os “eixos de deslocamento” de
uma fresadora.
Para refletir: A receita para a ignorância perpétua é permanecer satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos.
[Elbert Hubbard]
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Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3).
z
3
Com base na figura ao lado, e levando em consideração que um
ponto qualquer (x , y , z) está no:
E
D
F
eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0);
eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0);
eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3);
P
C
O
4
2
A
plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0);
plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3);
plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3).
y
B
x
Assim, a figura à direita destaca os 3 planos do sistema ℝ3.
Ao lado (esquerdo) podemos observar uma representação usual de
dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma
máquina operatriz com CNC (comando numérico computadorizado).
Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posições
diferentes daquelas que farão parte de nosso estudo. Este fato não
interfere no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim,
a marcação e identificação dos pontos são processos análogos aos
que estudamos aqui.
Para marcar um ponto no espaço, como por exemplo, o
ponto A(3 , –2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento:
1º) marca-se o ponto A’(3 , –2 , 0) no plano “xy”;
2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo “z”, 4 unidades para
cima (se fosse – 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter
então o ponto A desejado.
A figura ao lado ilustra este procedimento.
z
EXEMPLOS:
7
1) Considerando os pontos P(0, –3, –2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema
3
de coordenadas cartesianas ℝ e faça a representação do segmento P Q .
Q
Assim sendo, temos a representação ao lado:
[Nota: desenho “um pouco” fora da escala]
–3
–2
P
4
x
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3
y
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2) Construa dois sistemas de coordenadas ℝ3 e localize os pontos A(2, 4, –3) e B(–3, 5, 4) separadamente, determinando
em qual octante se encontra cada ponto.
EXERCÍCIOS
z
1) Observando a figura ao lado, determine as
coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P.
5
A(
,
,
)
B(
,
,
)
E(
,
,
)
C(
,
,
)
F(
,
,
)
D(
,
,
)
P(
,
,
)
C
B
D
P
E
O
y
7
3
A
F
x
2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema ℝ3 e compare suas representações com as dos
seus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessário.
a) A(1, 5, 4)
b) B(1, –5, 4)
c) C(2, 0, –5)
d) D(–2, 4, 1)
e) E(2, –3, –1)
f) F(–1, –4, –3)
3) No referencial da figura ao lado está representada uma pirâmide de
base quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine:
a) as coordenadas do ponto A e do ponto C.
b) a altura da pirâmide.
Observação: Medidas em metros.
4) Seja a pirâmide de base OABC e P o seu vértice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9),
faça a representação geométrica da pirâmide e especifique o formato da base da pirâmide e também sua altura.
Para refletir: É uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes só consiga rastejar. [Mr. Pi]
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5) Na figura a seguir, dois vértices de um paralelepípedo retangular com as faces paralelas ao planos coordenados estão
indicados. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes.
6) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.
z
F
D
G
E
I
H
A
C
J
x
B
7) Observando a peça abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.
I
z
A
H
G
F
B
C
E
x
D
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y
y
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z
I
8) Observando a peça ao lado, determine as
coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.
H
F
E
G
C
B
x
D
A
y
9) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3.
Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que
A(2, 1, 2) . Note que o ponto A está no 4º octante.
x
10) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 1, 2 e
3. Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (3 , 1 , 2 ) . Observe atentamente que o ponto A se
encontra no 6º octante.
z
–3
D
A
C
B
1
–2
y
3
E
H
x
2
F
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1
G
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11) Representando os pontos A(10, –2, –2), B(2, 0, – 4) e C(4, –2, 4) num ℝ3 e ligando-os, temos o triângulo ABC.
Faça a representação gráfica e diga se é possível determinar o tipo de triângulo em questão, quanto aos seus lados
e quanto aos seus ângulos?
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5)
3a) A(3,–3, 0) e C(3, 3, 0)
3b) 8 m
2) Veja com seus colegas de classe!
4) A base da pirâmide é quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc.
5) Vértices Superiores: (3, 3, 7), (3, 6, 7) e (–1, 3, 7) – Vértices Inferiores: (3, 6, 4), (–1, 6, 4) e (–1, 3, 4)
6) A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e J(40, 25, 10)
7) A(0, 0, 30), B(20, 0, 15), C(50, 0, 10), D(50, 0, 0), E(50, –20, 0), F(50, –20, 20), G(50, –20, 30), H(20, –20, 30) e I(0, –20, 30)
8) A(0, 30, 0), B(0, 30, 10), C(–5, 30, 10), D(–25, 30, 0), E(–30, 30, 10), F(–30, 10, 10), G(0, 10, 10), H(–15, 10, 25) e I(–15, 0, 40)
9) B(2, –3, 2), C(3, –3, 2), D(3, –1, 2), E(3, –1, 5), F(2, –1, 5), G(2, –3, 5) e H(3, –3, 5)
10) B(–3, 2, –2), C(–5, 2, –2), D(–5, 1, –2), E(–5, 1, –5), F(–3, 1, –5), G(–3, 2, –5) e H(–5, 2, –5)
11) Neste caso, graficamente não é possível (ou torna-se muito difícil) determinar com segurança o tipo de
triângulo (em relação aos lados e aos ângulos), pois a perspectiva aqui utilizada não permite tal verificação e mesmo
utilizando uma escala conveniente, algumas medidas não aparecem na sua verdadeira grandeza. Entretanto,
algebricamente (ou analiticamente) é possível determinarmos com precisão absoluta o tipo de triângulo. As medidas dos
lados do triângulo podem ser calculadas através da fórmula da distância entre dois pontos
por:
d AB
( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
2
2
2
A
e
B
no espaço dada
e através destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema
de Pitágoras, podemos classificar o triângulo quanto aos seus ângulos. Assim sendo, veremos que o triângulo
EQÜILÁTERO, pois
internos iguais a
ABC
é
AB BC CA 72 6 2 uc e desta forma também é ACUTÂNGULO, pois tem os seus ângulos
60º . Em breve, poderemos calcular com precisão cada um dos 3 ângulos internos de um triângulo
qualquer através da aplicação do conceito de “produto escalar”.
VETORES – Introdução
Antes de tratarmos propriamente de vetores, precisamos identificar aquilo que chamamos de grandezas físicas. Na
matemática e em outras ciências ditas “exatas”, só podemos equacionar e quantificar situações que envolvem grandezas
físicas, ou seja, aquelas que, no mínimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distância entre a
sua casa e a padaria mais próxima, por exemplo. Essa distância pode ser dada em metros, quilômetros, ou ainda, em uma
outra escala que possa ser conveniente.
As grandezas físicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo:
E scalares M ódulo (número unidade)
G randezas F ísicas
- M ódulo (número unidade)
V etoriais - Direção
- S entido
Exemplos de grandezas físicas escalares:
Distância, tempo, massa, temperatura.
Exemplos de grandezas físicas vetoriais:
Velocidade, aceleração, força, torque (momento), campo magnético.
Com o crescimento da tecnologia e da área industrial, tornou-se crescente também a necessidade de equacionar situações
que envolvessem grandezas vetoriais. Nesse momento, a sistematização da teoria vetorial ganha impulso, possibilitando
estudar mais profundamente fenômenos ligados a tais situações.
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VETORES – Noções Básicas
Conceito:
O “vetor” pode ser definido de várias maneiras:
É um ente matemático utilizado para representar grandezas físicas vetoriais.
É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número não negativo (módulo).
É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento.
Etimologia da Palavra Vetor:
O termo vetor pode ser oriundo do verbo latino vehere [transportar, levar]. Assim, vetor seria o particípio passado de
vehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava o
portador de uma mensagem, por exemplo. Pois: veho [levar] + or [aquele que faz]. Daí também a palavra vehiculum
(veículo). No caso específico de Matemática, podemos dizer que um vector é um transportador de três informações de uma
grandeza vetorial: direção, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A é transportado (pelo vetor) até um ponto B.
Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazem
bastante sentido.
Representações e Notações:
Algumas convenções são importantes para que possamos “desfrutar” ao máximo da utilização da linguagem vetorial.
Vejamos algumas notações e representações usuais.
y
extremidade do vetor
origem do vetor
A
B
v
Um vetor normalmente é representado
por uma letra minúscula juntamente com
uma “flechinha” sobre ela, mas também
podemos representar um vetor pelos dois
pontos que o definem.
Então, no caso ao lado:
|v |
módulo do vetor
v AB
Podemos considerar ainda que:
Av B v B A
(depende de escala)
Resumindo, temos:
v AB B A
0
x
Esquentando o Processador!
1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatro
segmentos de reta unidos (consecutivos), passando em cada ponto exatamente uma
vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traçado duas vezes!
2) Qual o valor do número “x” na sequência: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ?
Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. [Lair Ribeiro]
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Detalhando, temos:
Módulo (intensidade, norma ou comprimento):
Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, é um número real não negativo
acompanhado de sua unidade. Geometricamente, o módulo é o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada de
desenho).
B
v
A
|v |
módulo do vetor
| v | | A B| | B A |
Módulo do vetor v :
(depende de escala)
Direção:
É a reta suporte de atuação do vetor. A direção pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Quando a direção é oblíqua,
normalmente está associada a um ângulo de referência.
Sentido:
Para cada direção sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direção for vertical, o sentido poderá ser para cima ou
para baixo.
f
Exemplos:
v
160º
módulo :
f : direção :
sentido :
| f | 150 N
v ertical
para cima
módulo :
v : direção :
sentido :
| v | 26 cm / s
160º com a horizontal
para baixo
Vetor Livre:
v , v , v e v apresentados abaixo, tenham mesmo módulo, mesma direção e sentido. Assim
sendo, devemos considerar que v = v = v = v . Isso faz com que um vetor seja qualificado como “livre”, pois pode ser
Considere que os vetores
transladado de uma posição para outra mantendo suas características de módulo, direção e sentido.
y
v
v
v
é o vetor posição.
v
0
v
x
v , v e v são denominados imagens geométricas de v e esse vetor v é dito, representante natural
de v , v e v . O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas é
chamado vetor posição, no caso acima, o vetor v .
Os vetores
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Particularidades dos Vetores:
Vetores Iguais:
u e w são iguais, e indica-se por u w , se tiverem iguais todas as suas três características: módulo,
direção e sentido. Caso contrário, escrevemos: u w . Uma ilustração sobre a igualdade de vetores já foi apresentada
Dois vetores
anteriormente.
Vetores Paralelos:
u e w são paralelos, e indica-se por u // w , se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na figura
abaixo temos u // w // v .
Dois vetores
Observe que u e w têm mesmo sentido e
que u e w têm sentido contrário ao de v .
w
u
v
A direção dos vetores dados ao lado é vertical.
Vetores Ortogonais:
Dois vetores u e w são ortogonais, e indica-se por u
algum representante de w , como na figura [a] abaixo.
w , se algum representante de u formar ângulo reto (90º) com
u
Na figura [b] ao lado, temos dois representantes
dos vetores u e w , com origem (em comum)
no ponto O, onde se forma o ângulo reto.
w
w
Podemos utilizar, em alguns casos específicos,
perpendicular como sinônimo de ortogonal.
O
[a]
u
[b]
Vetor Nulo (ou Zero):
Qualquer ponto do espaço pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por 0 ou também por A A
(a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A).
módulo : | 0 | 0
Desta forma temos: 0 : direção : não definida
sentido : não definido
Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido definidos; em algumas situações torna-se conveniente considerar o
vetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor.
Vetor Oposto:
A cada vetor
v 0 corresponde um vetor oposto v , de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário.
B
v
A
Se o vetor oposto de
B
v
A
v é o vetor v , então o vetor oposto de AB é o vetor AB , que pode ser escrito BA .
BA A B ( B A) ( AB) AB
É importante observar que: | v | | v | , porém v v . Destacamos ainda que: v (v ) 0 .
Algebricamente temos:
Para refletir: Existem vitórias da alma e do espírito. Às vezes, mesmo quando você perde, você ganha. [Elie Wisel]
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EXERCÍCIOS – Vetores – Noções Básicas
1) Considerando o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, e sendo O o ponto de interseção das diagonais deste losango,
decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
D
H
E
A
F
C
O
G
a) EO O G
f) H E O C
k) A O// O C
b) A F C H
g) | A C| | BD |
1
h) | O A| | DB |
2
l) A B O H
d) | C O | | O B |
i) A F// C D
n) A O HF
e) | H O | | H D |
j) GF // HG
o) O B F E
c) DO HG
B
m) EO C B
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decida se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa.
a)
DH BF
f)
| AC | | HF |
b)
AC GE
g)
| AG | | DF |
c)
AB CG
h)
AB // GH
d)
AF BC
i)
DG DF
e)
BG // ED
j)
( B D) ( D H )
G
H
E
F
C
D
A
B
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) V
1b) F
1c) V
1d) V
1e) F
1f) F
1g) V
1h) V
1i) V
1j) F
2a) V
2b) V
2c) V
2d) V
2e) F
2f) V
2g) V
2h) V
2i) F
2j) V
1k) V
1l) V
1m) V
1n) F
1o) V
OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA GEOMÉTRICA
Multiplicação de um Vetor por um Escalar
Dado um vetor
n.v , tal que:
v 0 e um número real (escalar) n 0 , chama-se produto do número real n pelo vetor v , o novo vetor
nv
Abaixo, segue um vetor
módulo : | nv | | n | . | v |
direção : a mesma de v
se n 0 nv tem o mesmo sentido de v
sentido : se n 0 nv tem sentido contrário de v
v com alguns de seus “múltiplos escalares”:
v
1v
2v
2v
5v
3v
1
v
2
Nota: Observe que qualquer um dos múltiplos escalares de v possui a mesma direção de v . Logo, todos os vetores do
exemplo acima são paralelos. Assim, podemos escrever que, se dois vetores (não nulos) u e v são paralelos, então existe
um número real n 0 , tal que u n v .
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Adição (e Subtração) de Vetores
CASO 1: Vetores com mesma direção (paralelos ou colineares):
O processo de adição de dois ou mais vetores paralelos é bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir.
f1
f2
R f1 f2 0 | R | 0 N
| f1 | 100 N e | f2 | 100 N
NOTA: Quando adicionamos dois ou mais vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor soma” ou
“vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum.
f2
f1
f2
f1
R f1 f2 | R | 220 N
R f1 f2
| f1 | 120 N e | f2 | 100 N
f2
f1
f2
R f1 f2 | R | 70 N
f1
| f1 | 50 N e | f2 | 120 N
R f1 f2
CASO 2: Vetores com direções diferentes (não paralelos):
Abordaremos de forma sucinta dois métodos para adição de vetores não paralelos (não colineares). Veja a seguir:
Método do Paralelogramo
Para adicionarmos dois vetores pelo método do paralelogramo, inicialmente esses vetores devem ter uma origem comum
[situação I]. Traçam-se linhas auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades [situação II],
formando um paralelogramo. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum aos vetores somados e sua
extremidade será a intersecção das linhas auxiliares [situação III]. Note que o vetor resultante está sobre a diagonal do
paralelogramo.
I
II
f1
III
f1
f2
f1
f2
R
f2
Podemos dizer, de maneira informal, que o vetor resultante faz o mesmo papel, ou que tem a mesma função, ou ainda que
executa o mesmo trabalho dos vetores que o resultaram.
f1
R f1 f2
f2
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Observação: o cálculo do módulo do vetor resultante para o método do paralelogramo pode ser feito através da fórmula:
| f1 |2 | f2 |2 2. | f1 | . | f2 | . cos
|R|
[ sendo o ângulo entre os vetores f1 e f2 ]
A relação acima é muito comum no estudo da Física. Trata-se de uma adaptação da lei dos cossenos (aplicada em triângulos
quaisquer). Entretanto essa fórmula apresenta grande limitação em situações tridimensionais, que é o foco de nossos
estudos futuros. Veremos métodos analíticos mais eficazes para o cálculo do módulo de um vetor resultante e também da
sua direção, em estudos posteriores.
Método do Polígono (Linha Poligonal)
Para adicionarmos dois vetores pelo método do polígono [situação I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamente
suas características de módulo, direção e sentido), colocando sua origem na extremidade do outro vetor [situação II],
formando um “caminho”. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum ao “primeiro” vetor e sua extremidade
comum à extremidade do “último” vetor [situação III]. Note que o vetor resultante fecha um polígono com os vetores
somados.
I
II
f1
f1
III
f2
f2
f1
R f1 f2
f2
Para somarmos mais que dois vetores (três, no caso a seguir), o processo é análogo ao descrito acima.
I
II
f1
f1
III
f2
f2
f2
f1
f3
f3
f3
R f1 f2 f3
Qualquer sequência escolhida para a soma dos vetores resultará no mesmo vetor resultante. Veja:
I
II
III
f1
f2
f2
f3
f2
f3
R f2 f3 f1
f1
f3
f1
No caso abaixo, o vetor resultante é NULO. Observe que “organizando” os vetores na sequencia “extremidade-origem”, a
linha poligonal se fecha não deixando espaço para o vetor resultante.
f2
f1
f4
f2
f3
f3
f1
f4
R f1 f2 f3 f4 0
Comentário: O método do paralelogramo “adiciona” apenas dois vetores em cada operação, entretanto o método do polígono
pode “adicionar” uma quantidade finita qualquer de vetores numa única operação, tornando-se assim um processo mais versátil.
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A Subtração de Vetores: Um Caso Particular da Adição
A expressão R f1 f2 pode ser escrita como R f1 ( f2 ) .
Portanto, para subtrair f2 de f1 devemos ADICIONAR f1 com f2 , sendo este último, o vetor oposto de f2 .
Veja o exemplo abaixo:
I
II
f1
f1
f2
III
R
f2
f1
com R f1 f2
f2
f1 f2
Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante
f1 f2
f1
da soma e da subtração dos mesmos dois vetores.
f2
NOTA: Quando subtraímos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor diferença” ou mesmo
“vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum.
EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Geométrica
1) Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantes
para cada caso, expressando-os com origem no ponto A.
D
H
O
E
C
G
a)
OC CH
d)
EH EF
b)
EH FG
e)
EO BG
g)
1
BC EH
2
i)
OG HO
c)
2. AE 2. AF
f)
2.OE 2.OC
h)
FE FG
j)
AF FO AO
A
F
B
2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados:
a)
H
G
E
H
G
E
F
F
D
D
A
b)
C
C
B
A
B
F
E
3) No hexágono regular ao lado, obter o vetor resultante de:
a) (B – A) + (E – F) + (F – A) expressando-o com origem no ponto A
A
D
b) (D – A) – (E – A) + (E – B) expressando-o com origem no ponto B
c) (C – D) + (F – B) – (A – B) expressando-o com origem no ponto F
d) (C – A) – (C – E) + (B – C) expressando-o com origem no ponto C
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B
C
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4) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.
3v e 4v são paralelos e de mesmo sentido.
b) Se u // v , então | u | | v | .
c) Se u // v , | u | 2 e | v | 6 , então v 3u ou v 3u .
d) Se | u | | v | então u v .
a) Os vetores
5) Dois vetores têm módulo 10 e 14. Qual o módulo máximo possível do vetor soma desses vetores? E o mínimo possível?
6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo
qualquer é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.
C
M
Sugestão:
N
MN
Devemos demonstrar que:
1
2
AB
B
A
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) AE
1b) AC
2a) AG
2b) AE
1c) AC
1d) AB
3a)
1e) AO
3b)
AD
1f) AD
3c)
BD
1g) AH
3d)
FF
1h) AD
4a) F
CD
1i) AO
4b) F
4c) V
1j) AC
4d) F
5) Módulo Máximo: 24 [Vetores com mesma direção e sentido] – Módulo Mínimo: 4 [Vetores com mesma direção e sentidos contrários]
VETORES NO ℝ2
Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C(– 4, –6) e D(0, –3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Desta
forma, podemos considerar também os vetores:
v OP , w AB
e
u CD . Representando-os no plano, temos:
y
B
8
w
A
5
P
3
v
–4
O
u
C
4
5
x
9
D –3
–6
Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo módulo, direção e sentido. Então podemos
afirmar que
O vetor
v
v wu
ou que
OP AB CD . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os é o vetor v OP .
também é chamado de vetor posição ou representante natural dos vetores
tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal.
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AB
ou
CD , pois é aquele que
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Tomando um vetor qualquer definido por dois pontos
AB B A ( xB , y B ) ( x A , y A ) .
A
e
Daí tem-se que:
B , podemos escrever:
AB ( xB x A , y B y A ) .
Então, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer:
v OP
v P O
v (4 , 3) (0 , 0)
v (4 0 , 3 0)
v (4 , 3)
w AB
w B A
w (9 , 8) (5, 5)
w (9 5 , 8 5)
w (4 , 3)
u CD
u D C
u (0 , 3) (4 , 6)
u (0 4 , 3 6)
u (4 , 3)
Pode-se observar que as igualdades v w u e O P A B C D vistas anteriormente, confirmam-se algebricamente.
Formalizando, podemos dizer que dados dois vetores m (x1 , y1 ) e n (x 2 , y 2 ) , eles serão iguais [ m n ] se, e
somente se, x1 x 2 e y1 y 2 (Igualdade de vetores). Isto dará garantia de que estes vetores terão mesmo módulo,
direção e sentido.
A forma v (x , y) é dita expressão analítica do vetor v e determina que o vetor no plano é um par ordenado de
números reais com sua extremidade no ponto (x , y) e sua origem coincidindo com a origem (0 , 0) do Sistema
Cartesiano Ortogonal . Também se utiliza em alguns casos, a seguinte notação para um vetor: v x , y .
Versores de um Sistema de Coordenadas:
y
Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que
i e j , nesta ordem, são os versores dos eixos cartesianos x e y,
tendo estes versores, origem no ponto O(0 , 0) .
j
Desta forma temos: i (1 , 0) e j (0 , 1) sendo que | i | | j | 1 .
i
O
x
i e j formam o que chamamos de base do plano, esta em especial é dita Base Canônica. Isto quer dizer
que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma única, através da combinação linear dos versores i e j .
Estes vetores
Observação: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Na prática, as bases
mais utilizadas são as ortonormais (que são bases formadas por vetores unitários perpendiculares entre si).
Escrevendo um vetor utilizando uma combinação linear:
Multiplicando i por 4 e j por 3, teremos os vetores 4 i e 3 j ,
que estão representados no plano ao lado.
Observe que, se adicionarmos (método do paralelogramo) os
vetores 4 i e 3 j , teremos como resultante o vetor v , e por isso,
podemos escrever o vetor v como combinação linear dos
vetores i e j . Então escrevemos: v 4 i 3 j , ou ainda,
v (4 , 3) como vimos anteriormente.
Generalizando, teremos:
v (x , y ) x . i y . j
y
P
3j
O
v
4i
Acima temos:
Esquentando o Processador!
Uma lesma começa a subir num poste de 10m de altura. De dia ela sobe 2m e à noite desce 1m.
Em quantos dias a lesma atingirá o topo do poste?
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x
v (4 , 3) 4 i 3 j
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Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ2, temos:
y
a 2 i 3 j (2 , 3)
b
b 6 i 5 j (6 , 5)
5
7
7
c
j 0 ,
2
2
7/2
c
d 2 j 4 i ( 4 , 2 )
–4
e 4 i (4 , 0)
e
2
–6
4
x
–2
d
a
–3
EXEMPLO:
1) Dados os pontos A(–1,– 4), B(1, –7) e C(5, 2),
represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo:
a) o vetor BA ;
b) o vetor u , que é o vetor posição de BA ;
c) o vetor u com origem no ponto C.
y
x
EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ2
1) Representar graficamente o vetor A B e o correspondente vetor posição
a) A(–1 , 3) e B(3 , 5)
b) A(–1 , 4) e B(4 , 1)
v
para cada um dos casos abaixo:
c) A(4 , 0) e B(0 , –2)
d) A(3 , 1) e B(3 , 4)
2) Qual é o ponto inicial A do “segmento orientado” (vetor) representado pelo vetor posição v (1 , 3) , sabendo que sua
extremidade está no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetor
v
e o “segmento orientado” em questão.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
v = (4, 2)
1b)
v = (5, –3)
1c)
v = (– 4, –2)
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1d)
v = (0, 3)
2) A(4, –2)
Vetores e Álgebra Vetorial
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OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ2
Os vetores podem ser operados em suas formas geométricas (através de suas representações em desenho, como vimos
anteriormente). Porém, se estas operações forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos precisão absoluta dos
resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido), principalmente quando os vetores se encontram
num espaço tridimensional. Inicialmente trataremos do espaço bidimensional. Vejamos:
Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor:
Dado um vetor
v ( x1 , y1 )
no ℝ2 e um número
n ℝ, define-se que: n. v (n.x1 , n.y1 ) .
Vamos exemplificar essa operação algebricamente e também graficamente.
EXEMPLO:
1) Considere o vetor w = (–2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal.
1
c) Determine o vetor u de modo que u w .
2
d) Represente os vetores w , v , t e u no ℝ2.
a) Determine o vetor v de modo que v 3w .
b) Determine o vetor t de modo que t 2w .
Resolução:
y
b) t 2w
t 2.(2, 1)
t (4 , 2 )
a) v 3w
v 3.(2, 1)
v (6 , 3 )
v
3
w
1
c) u w
2
1
1/2
1
u (2, 1)
2
–2
–6
u
1
u 1 ,
2
4
x
–1
–2
t
Observação:
Note que no exemplo acima todos os vetores têm mesma direção (são colineares ou paralelos).
Quando um vetor qualquer v 0 é multiplicado por um escalar “n” (n ℝ), tem-se um novo vetor n v que pode ser
denominado múltiplo escalar de v .
Através do exemplo anterior podemos RELEMBRAR o conceito de multiplicação de um escalar por um vetor. Então:
Quando multiplicamos um número real “n” por um vetor v 0 , temos um novo vetor “ n v ”, sendo que:
nv
módulo : | nv | | n | . | v |
direção : a mesma de v
se n 0 nv tem o mesmo sentido de v
sentido : se n 0 nv tem sentido contrário de v
Adição (e Subtração) de Vetores:
v ( x1 , y1 ) e w ( x2 , y2 )
v w ( x1 x2 , y1 y2 )
Dados os vetores
no ℝ2, define-se:
v w v (w) ( x1 x2 , y1 y2 )
Vamos exemplificar essa(s) operação(ões) algebricamente e também graficamente.
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EXEMPLOS:
1) Considere uma bóia B’ flutuando num lago de águas calmas
(na origem) e que os vetores t 40 i e v (0, 30)
y
representam duas forças (em N) aplicadas simultaneamente na
bóia em questão. Determine o vetor R que representa a força
resultante aplicada e represente esquematicamente a situação
x
no ℝ2 ao lado.
Note que, para este caso: | v | 30N , | t | 40N e | R | 50N .
2) Dados os vetores v = (4, –1), w i 5 j e t ( 1,1) , determine o vetor R sabendo que R v w t , e faça a
representação desses no ℝ2 ao lado.
y
x
Observe que: v , w teremos v w w v (propriedade comutativa da adição de vetores).
1
3) Considerando os vetores u 3 i j e v ( 1, 2) , determine o vetor t de modo que: 4(u v) t 2u t .
3
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Particularidades dos Vetores no ℝ2:
Vetor Oposto:
Relembramos que, a cada vetor v 0 corresponde um vetor oposto v , de mesmo módulo e direção, porém, de sentido
contrário. Analiticamente, podemos concluir que o vetor t (3 , 2) é o vetor oposto de w ( 3, 2) e vice-versa. Veja a
representação gráfica abaixo:
y
Então, é verdade que:
t w ou w t
N
2
w
O P O N ou O N O P
3
Observe que:
| t | | w | , porém t w
–3
tw0
0
x
t
–2
P
Através do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Para
o caso acima, algebricamente, temos:
t w (3, 2) (3, 2) (3 3, 2 2) (0, 0) 0
Relembrando o Vetor Posição:
OA AB OB .
Observando o ℝ2 abaixo, podemos escrever:
AB OB OA
Então:
y
AB ( B O) ( A O)
B
AB B O A O
v
AB B A
v B A
A
v
O
v é o vetor posição de AB .
x
EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ2
1) Dados os vetores u (3, 1) e v (1, 2) , determine o vetor t de modo que: 3t (2v u) 2(4 t 3u) .
2) Dados os pontos A(–1, 3), B(2, 5), C(3, –1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de:
a) O A A B
b) O C BC
c) 3BA 4C B
3) Dados os pontos A(3, –4) e B(–1, 1) e o vetor v (2, 3) , calcule os vetores determinados por:
a) (B A) 2v
b) (A B) v
c) B 2(B A)
d) 3v 2(A B)
4) Dados os pontos A(–1, 2) e B(3, –1) e C(–2, 4), determine o ponto D de modo que C D
5) Dados os vetores
1
2
A B.
1 3
u 2i j e w 3i , determine t de modo que: 3t (4u 2w) 5 t u w
2
4
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6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente:
a)
b)
7) Considere os vetores v
1
, 0 ,
2
3
1
1
w , , t i 3j e s 2 ,
. Determine o vetor u de modo que o
10
5
4
4
t 5s seja o vetor nulo.
vetor resultante na expressão R u v 2w
3
8) Dados os pontos A (1, 2) e B (3,5) , determine:
D(14, 16)
a) o ponto M que divide o segmento AB em duas partes iguais.
[neste caso, o ponto M é chamado “ponto médio” do segmento AB]
P
b) os pontos P e Q que dividem o segmento AB em três partes iguais.
9) O segmento de reta C D (figura ao lado) foi dividido em partes iguais.
Assim, determine as coordenadas do ponto P.
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C(–6, –1)
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
23
1)
5
,
11
2a) (– 4, 1)
5
3d) (–14, 19)
7) u
4) D
31 39
,
3 10
2b) (2, 5)
0 , 5
2
8a) M
2c) (–5, –30)
5) t
3a) (–8, 11)
121 13
,
32 16
1, 3
2
8b)
3b) (6, –8)
6b) R (5, 1)
6a) R (1, 2)
1 , 1
3 3
e
3c) (–9, 11)
5 , 8
3 3
9) P
10 ,
63
5
O ponto médio M( x M , y M ) de um segmento AB, também pode ser calculado diretamente pelas expressões
xM
x A xB
2
e yM
y A yB
2
, normalmente estudadas na Geometria Analítica do Ensino Médio.
VETORES NO ℝ3
As definições e conclusões relativas ao ℝ3, dar-se-ão de forma análoga ao que vimos até então para o ℝ2. Sendo assim:
Vetor definido por dois pontos:
Um vetor definido por dois pontos A e B será:
A B B A (x B , y B , zB ) (x A , y A , z A ) . Daí tem-se que:
A B ( x B x A , y B y A , zB z A )
Igualdade de vetores:
Dados dois vetores v (x1 , y1 , z1 ) e w (x 2 , y 2 , z2 ) , v w
x1 x 2
e
y1 y 2
z1 z2 .
e
Isto garante que os vetores em questão terão mesmo módulo, direção e sentido.
z
Versores da Base Canônica:
Os versores que formarão a base canônica do ℝ3 são: i , j e k .
Sendo que: | i | | j | | k | 1 onde:
k
i (1, 0, 0) , j (0, 1, 0) e k (0, 0, 1)
Daí tem-se que:
i
v (x , y , z) x i y j zk
Vetores nos Eixos e Planos Coordenados:
Se um vetor posição
v
eixo y, então esse vetor é do tipo:
eixo z, então esse vetor é do tipo:
Se um vetor posição
v
x
está sobre o:
eixo x, então esse vetor é do tipo:
v (x, 0, 0) ou
v (0, y, 0) ou
v (0, 0, z) ou
v xi .
v yj .
v zk .
está sobre o:
plano xy, então esse vetor é do tipo:
plano yz, então esse vetor é do tipo:
plano xz, então esse vetor é do tipo:
v ( x, y, 0)
v (0, y, z)
v ( x, 0, z)
j
ou
ou
ou
v x i yj .
v yj z k .
v x i zk .
Vetor Nulo (ou Zero):
No ℝ3, o vetor nulo é definido pela terna (0, 0, 0) que também define a origem do sistema de coordenadas em questão.
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y
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Representação Geométrica:
Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ3, temos:
z
a 2i 3 j 3k (2, 3, 3)
b 4i 5k (4, 0, 5)
3
3
c 5 j k 0, 5,
2
2
d i 2 j (1, 2, 0)
e 4k ( 0, 0, 4)
y
f j 2k 5i (5, 1, 2)
x
Finalizando:
Um vetor posição w qualquer, tem algumas maneiras de ser representado algebricamente. A expressão analítica usual
w ( x, y , z ) é apresentada a seguir com as suas notações equivalentes: w (x , y , z) x. i y .j z.k x , y , z .
Acrescentaremos ainda, um exemplo para “finalizar” esse tema. Veja:
Já sabemos que o vetor w 4 i 3 j k pode ser escrito na forma analítica w (4, 3, 1) . Podemos verificar facilmente
esta correlação, substituindo os correspondentes versores: i (1, 0, 0) , j (0, 1, 0) e k (0, 0, 1) . Assim:
w 4 i 3j k
w 4(1, 0, 0) 3(0, 1, 0) (0, 0, 1)
w (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 1)
w (4, 3, 1)
Uma outra notação para vetores, que é importante e conveniente em algumas situações, é a MATRICIAL . Assim, um vetor
x
qualquer w ( x, y , z ) pode ser escrito como matriz-coluna: w y , ou ainda, como matriz-linha: w x y z .
z
OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA (ANALÍTICA) NO ℝ3
As operações com vetores na forma algébrica tornam-se especialmente importantes no espaço tridimensional, devido à
dificuldade de uma representação geométrica inteligível para muitos casos; sem mencionar a precisão absoluta dos
resultados analíticos. Novamente, todos os processos descritos a seguir são análogos aos estudados no sistema
bidimensional. A diferença nos processos algébricos reside apenas no acréscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos as
operações:
Dados os vetores v (x1 , y1 , z1 ) e w (x 2 , y 2 , z2 ) no ℝ3 e um número n ℝ, define-se:
Multiplicação de um Escalar (número real) por um Vetor:
n. v (n.x 1 , n.y1 , n.z1 )
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Adição (e Subtração) de Vetores:
v w (x1 x 2 , y1 y 2 , z1 z2 )
v w v (w) (x1 x 2 , y1 y 2 , z1 z2 )
EXEMPLOS COMPLEMENTARES:
1) Considere o vetor w P Q sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (–2, 3, 5). Determine o vetor t , tal que: t 4w .
Resolução I:
Inicialmente, vamos calcular o vetor w . Assim: w P Q
w Q P (2, 3, 5) (2, 3, 4)
Agora podemos calcular o vetor pedido. Então: t 4w
t 4.(4, 0, 1)
w ( 4, 0, 1)
t (16, 0, 4)
Resolução II:
Sabemos que t 4w e que w P Q , então, substituindo o vetor w , temos:
t 4.(Q P)
t 4.PQ
t 4Q 4P
t 4.(2, 3, 5) 4.(2, 3, 4)
t (8, 12, 20) (8, 12, 16)
Assim, o vetor solicitado é: t (16, 0, 4)
2) Dados os pontos A(2, –2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor w (1, 0, 4) , determine o vetor: 2w 3(A B) A B
Resolução:
Inicialmente chamaremos de
R
o vetor solicitado. Então:
Organizando...
Substituindo o vetor
w e os pontos A
Multiplicando os valores...
e
B ...
R 2w 3( A B) AB
R 2w 3 A 3B ( B A)
R 2w 3 A 3B B A
R 2w 2 B 2 A
R 2(1, 0, 4) 2(1, 3, 5) 2(2, 2,1)
R (2, 0, 8) (2, 6,10) (4, 4, 2)
R (4, 6, 2) (4, 4, 2)
Enfim, temos o vetor solicitado:
R (0, 10, 0)
3) Encontrar o vértice oposto à B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(–3, –1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0).
Esquema
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4) Determine o vetor resultante de u w t , sendo que: u (3, 2, 0) , w (0, 2, 4) e t (0, 3, 0) .
Resolução:
Inicialmente chamaremos de R o vetor resultante solicitado.
Então: R u w t
R (3, 2, 0) (0, 2, 4) (0, 3, 0)
Logo:
R (3, 7, 4)
Ao lado, temos o problema
representado graficamente.
EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ3 + Operações com Vetores na Forma Algébrica (Analítica) no ℝ3
1) Determinar o vetor v , sabendo que: (3, 7, 1) + 2 v = (6, 10, 4) – v .
2) Dados os pontos A(2, –2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor v (1 , 3 , 4) , calcular:
a) A + 3v
b) (A – B) – v
c) B + 2(B – A)
d) 2v – 3(B – A)
3) Dados os pontos A(3, – 4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que A N
4) Considerando os vetores
vetor
2
5
A B.
u (3, 0, 1) e v (1, 3, 2) e os pontos A(0, 4, 1) e B(2, 6, 7) , determine o
1
w tal que: 4(u v ) w 2u BA w .
3
5) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, 1, – 4) e C(–1, –3, 1), determinar o ponto D tal que A B C D 0 . Em seguida
representar os vetores posição de A B e C D no ℝ3.
6) Sabendo que 3u 4 v 2w , determinar “a”, “b” e “c”, sendo u = (2, –1 , c), v = (a , b –2 , 3) e w = (4 , –1 , 0).
7) Dados os vetores u (2 , 3 ,1) , v (1 , 1 ,1) e w (3 , 4 , 0) ;
a) determinar o vetor x de modo que 3u v x 4 x 2w ;
b) encontrar os números a1 , a2 e a 3 tais que a1u a2 v a3 w (2 , 13 , 5) .
8) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no ℝ3. Considere 2 casos:
a) A(–1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, –2, 5)
b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5)
9) Sendo A(2, –5, 3) e B(7, 3, –1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4, –3, 3) o ponto de intersecção
das diagonais, determinar os vértices C e D.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) v = (1, 1, 1)
2a) (5, 7, –9)
21
4) w 6 ,
, 12
2
7b) a1 2 , a 2 3 , a 3 1
2b) (0, –6, 2)
5) D = (–2, –6, 8)
8a) D = (1, –3, 6)
2c) (–1, 7, 9)
6) a
1
2
, b
2d) (5, –3, –14)
7
4
8b) D = (2, 1, 3)
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, c4
6
5
3) N = 1 , 2 ,
11 2
4
,
,
7a) x
3
3 3
9) C = (6, –1, 3) e D = (1, –9, 7)
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Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores
Dois ou mais vetores são paralelos (ou colineares) entre si, quando seus representantes possuírem a mesma direção.
y
y
w
v
v
w
x
x
mesma direção
equiv ersos
mesmo sentido
v // w
mesma direção
contrav ersos
sentidos contrários
v // w
Analiticamente:
Considere os vetores v (x1 , y1 , z1 ) e w (x 2 , y 2 , z2 ) . Simbolicamente temos: Se v // w n ℝ / v n.w
v n.w
Da expressão
escrevemos:
(x1 , y1 , z1 ) n.(x 2 , y 2 , z 2 )
(x1 , y1 , z1 ) (n.x 2 , n.y 2 , n.z2 )
Comparando as coordenadas na igualdade acima, segue que:
x1 n.x2
x1
x2
e
n
y1 n.y2
y1
y2
n
e
z1 n.z2
z1
z2
n
x1
Então, de uma outra forma, temos:
x2
y1
y2
z1
z2
(n)
Sendo esta última, uma relação “prática” para determinação de paralelismo (ou colinearidade) de vetores.
Assim, vamos exemplificar:
4
a) Os vetores w1 ( 4, 1, 6) e w 2 (12, 3, 18) são paralelos, pois
b) Os vetores v 1 (10, 6, 0) e v 2 ( 5, 3, 0) são paralelos, pois
12
10
5
1
3
6
6
18
com n
4
12
3
.
com n 2 .
3
10
6
1
c) Os vetores u1 (10, 6, 1) e u2 ( 5, 3, 2) NÃO são paralelos, pois
5
3
2
d) Os vetores t1 ( 4, 1, 6) e t 2 (12, 3, 18) NÃO são paralelos, pois
1
1
3
6
18
[ n R ] .
[ n R ] .
Observações:
Quando um vetor tiver uma das coordenadas nula, um outro vetor paralelo a este, também terá a coordenada
correspondente nula. Observe o exemplo (b) acima e veja o exemplo 2 a seguir.
Alguns autores consideram que o vetor nulo 0 não pode ser considerado paralelo a outro vetor qualquer.
Para refletir: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]
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EXEMPLOS:
1) Verifique se os vetores u = (2, –4, 3) e w 4 i 8 j 6k são paralelos, representando-os no ℝ3.
Nota: Observe que “n” pode assumir dois valores. Quando n = 2, temos neste caso que um vetor é o dobro do outro, e,
quando n = 1/2, temos que um vetor é metade do outro. Os dois valores, obviamente, identificam a mesma situação. O
valor encontrado dependerá da sequência de escolha dos vetores em questão.
2) Dados os vetores v (a 3, 4, 0) e w (8, 6, b 2) , determine-os, sabendo que v // w .
EXERCÍCIOS – Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores
1) Quais dos vetores: u (4 , 6 , 2) , v (6 , 9 , 3) , w (14 , 21 , 9) e t (10 , 15 , 5) são paralelos?
2) Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores u = (3, 2, –1) e
paralelos.
v = (a, 6, b)+2 w sejam
3) A reta que passa pelos pontos A(–2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(6, –1, –1) e D(0, m, n).
Determine o ponto D.
4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(–1 , –2 , 3) e B(2 , 1 , –5), calcule “m” e “n”.
5) Utilizando métodos vetoriais, verifique se os pontos A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1) são colineares.
5 , 0 , 0 são paralelos? Justifique sua resposta.
6) Os vetores v , 0 , 0 e w
3
7
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) São paralelos:
u, v e t
2) a = 9, b = –15
5) A, B e C são colineares
3) D(0, 3, 1)
4) m = 5, n = –13
6) Sim, são paralelos, pois ambos estão sobre o eixo das abscissas (eixo x).
Cálculo do Módulo (Norma) de um Vetor
Já vimos e sabemos que, geometricamente, o módulo (ou norma) de um vetor é definido pelo seu comprimento.
Agora, definiremos como calcular o módulo de um vetor posição no ℝ2 ou ℝ3, a partir de suas coordenadas. Veja:
Considerando um vetor posição v (x , y) no ℝ2 abaixo:
y
Note que:
| v| OP
Por Pitágoras, temos:
P
y
(hip)2 = (cat)2 + (cat)2
| v |2 x 2 y 2
0
x
x
Consequentemente, para um vetor posição w (x , y , z) no ℝ3 teremos:
|v |
x2 y2
|w|
x 2 y 2 z2
Observação:
Algumas literaturas utilizam uma outra notação para o módulo de um vetor u que é: || u ||
Perceba que os vetores descritos a seguir são DIFERENTES, mas têm todos o mesmo módulo, que neste caso é 5. Veja:
v3 (3 , 4)
v1 (3 , 4)
v2 (3 , 4)
v 4 (3 , 4)
u1 (5 , 0)
u 2 ( 5 , 0)
w1 (4 , 3)
w 2 ( 4 , 3)
w3 (4 , 3)
w 4 ( 4 , 3)
EXEMPLOS:
1) Determine o módulo do vetor w P Q , representando o vetor posição w no ℝ3.
Dados: P (6, 5, 10 ) e Q (7, 0, 2 10 )
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u 3 (0 , 5)
u 4 (0 , 5)
Vetores e Álgebra Vetorial
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2) Determine o valor “m” de modo que o vetor v m i 4 j 3k tenha módulo igual a 7.
1 1 1
3) Considere os vetores u , ,
2 2 2
e w (3, 4, 0) . Determine | 2u 3w | .
4) Calcule a distância entre os pontos A(–1, 3) e B(4, –2) e represente graficamente a situação.
y
3
x
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OBSERVAÇÃO:
Para calcular o módulo de um vetor definido por dois pontos
simplesmente calcular a distância entre dois pontos
pontos:
d AB
A
e
B
A( x A , y A , z A )
e
B( x B , y B , z B )
no espaço (ou
quaisquer) podemos utilizar a fórmula da distância entre dois
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 ( z B z A ) 2
que para o caso da sua utilização no cálculo do módulo de um vetor
| AB |
AB , ficaria:
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 ( z B z A ) 2
Vetor Unitário
Um vetor é dito “unitário” quando seu módulo for igual a 1. Em diversas situações faremos uso desse conceito.
Formalizando, temos:
Se w (x , y , z) é UNITÁRIO, então podemos escrever | w | 1 .
Pela fórmula do módulo de um vetor, temos:
|w|
1
Se é unitário, então:
x 2 y 2 z2
x
2
2
y z
2
x 2 y 2 z2 1
Simplificando, encontraremos:
Observações:
As coordenadas de qualquer vetor unitário w (x , y , z) fazem parte do intervalo 1 x , y , z 1 .
No caso de um vetor unitário, ter uma das coordenadas igual a 1 ou –1, as demais obrigatoriamente deverão ser nulas.
No ℝ3, isso se resumo a somente 6 casos. Quais são esses vetores?
EXEMPLOS:
1 1 1
1) Considere os vetores u , ,
2 2 2
e w (3, 4, 0) . Verifique se estes vetores são unitários.
Para refletir: Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se à derrota, do que formar fila com os pobres de espírito, os quais
vivem nessa penumbra cinzenta, e não conhecem nem vitória, nem derrota. [Theodore Roosevelt]
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Vetores e Álgebra Vetorial
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1
1
2) Determine o valor de “p” de modo que o vetor u p i
j k seja unitário.
3
2
Resolução:
Para que o vetor u seja unitário, é necessário que:
x 2 y 2 z2 1
2
Substituindo as coordenadas do vetor u , temos:
2
(p)
1
3
2
1
2
2
2
Note que: (p) p
1
Assim, buscando isolar o “p” na equação:
2
p
2
p
1
9
1
4
2
1
23
p 1
36
p
1
1
9
2
4
23
p
36
23
p
36
36 4 9
6
Tópico Especial: DESIGUALDADE TRIANGULAR
A expressão
|u v | | u ||v |
é conhecida como desigualdade triangular e afirma que: o módulo da soma de dois
vetores é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses mesmos vetores.
Pense a respeito!
Em que situação ocorre que:
|u v | | u ||v |?
E quando ocorre que:
| u v | | u | | v |?
EXERCÍCIOS – Cálculo do Módulo de um Vetor + Vetor Unitário
1) Dados os vetores
a) | u
|
b) | v
|
u ( 1,0) , v (3 , 4) e w (8 , 6) , calcular:
c) | w |
d) | u
||v |
e) | u v
|
f) | 2u w |
g) | w 3u |
Observação: compare as respostas das sentenças (d) e (e) e tire suas conclusões!
2) Calcular os valores de “a” para que o vetor
u = (a, –2)
3) Verificar se são unitários os seguintes vetores:
tenha módulo 4.
2 1
1
u (1 , 1 , 1) e v
,
,
6
4) Determinar o valor de “n” para que o vetor v n,
6
6
2 4
, seja unitário.
5 5
5) Seja o vetor v (m 7) i (m 2) j 5k . Calcular “m” para que | v | = 38 .
6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem.
4
1
, y,
3
2
7) Determine o valor de y para que o vetor w
seja unitário.
8) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(–1, 0, –1) e C(2, –1, 0) e classificá-lo quanto aos seus lados.
9) Dados os pontos A(3, m – 1, – 4) e B(8, 2m – 1, m), determinar “m” de modo que | A B| 35 .
10) Encontrar um ponto do eixo “x” de modo que a sua distância ao ponto A(2, –3) seja igual a 5 uc.
11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3 uc.
12) Dados A(1, 0, –1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de “m” para que
| v | = 7,
sendo que
13) Obter um ponto P, do eixo das abscissas, equidistante dos pontos A(2, –3, 1) e B(–2, 1, –1).
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v m. AC BC .
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14) Determine o módulo do vetor v (sen θ) i (cos θ) j .
B
15) Considerando a peça plana apresentada
C
ao lado, determine a distância entre os furos:
a) A e B
b) B e C
A
Observação: medidas em mm
16) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos
eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3.
17) Na peça apresentada abaixo, determine a distância entre os pontos:
a) A e D
b) G e I
c) L e E
z
Observação: medidas em mm
F
G
M
D
E
L
N
P
O
K
J
H
A
C
I
y
x
B
18) Prove que os pontos A(–2 , –1), B(2 , 2), C(–1 , 6) e D(–5 , 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado.
19) Utilizando a fórmula distância:
d AB
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 ( z B z A ) 2
, demonstre que os pontos
P (1 , 2 , 0) , Q (2 , 2 , 3) e R (7 , 10 , 6) são colineares.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) 1
4)
1b) 5
5
5
5) {–5, – 4}
9) {–3, –1}
14) 1
1d) 6
1e) 2
7)
yR
6) 15 uc
10) (6, 0) ou (–2, 0)
15a) 32,70 mm
17c) 25 mm
1c) 10
5
1f) 6
/ | w| 1
11) P(0, 0, 0) ou P(0, 0,– 4)
15b) 25 mm
19) Demonstre que:
16) 2 5 ,
1g)
2
8) 2
61
2 3
3) apenas
v é unitário
11 2 3 uc / Triângulo Isósceles, pois AB BC CA
12) 3 ou –13/5
5 e
2)
17 uc
13) Faça: | PA | | PB | e P(1, 0, 0)
17a) 5 114 mm
17b) 5 70 mm
dPQ dPR dQR
Esquentando o Processador!
1) Se a metade de XII não é seis, então quanto é?
2) O pai do padre é filho de meu pai. O que sou do padre?
Para refletir: Todos ganham presentes, mas nem todos abrem o pacote. [Nei Ferrarini]
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Versor de um Vetor
O versor de um vetor w 0 é o vetor UNITÁRIO que tem a mesma direção e sentido de w e representamos por
“ v ers w ”.
y
w
módulo :
v ers w : direção :
sentido :
v ers w
0
| v ers w | 1
mesma de w
mesmo de w
x
Para encontrarmos as coordenadas do versor de um vetor w , basta dividir cada uma das coordenadas de w pelo seu
módulo. Assim, para determinarmos o versor w , usaremos:
w
v ers w
|w|
É conveniente lembrar que, por exemplo, se um vetor v de módulo 10, for multiplicado pelo escalar 1/10, isso resultará
num vetor de módulo 1, pois 1/10 de 10 equivale a 1.
z
Agora, vale a pena destacarmos os versores da base canônica do ℝ3.
i (1, 0, 0) , j (0, 1, 0) e k (0, 0, 1)
Observe que: | i | | j | | k | 1.
k
1
1
i
Ao lado temos um ℝ3 mostrando os versores da base canônica.
1
j
y
Observações:
x
Um vetor unitário coincide com o seu próprio versor.
Encontramos em algumas literaturas:
u w
como sendo a notação para o versor do vetor
w
(vetor unitário de
O processo de “transformar” um vetor qualquer num vetor unitário é conhecido como normalização.
EXEMPLO:
1) Dado o vetor u (2 , 4 , 5 ) , determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no ℝ3.
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w ).
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EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor
1) Dados os vetores u (1 ,1) , v ( 3 , 4) e w (8 , 6) , calcular:
a) v ers v
b) v ers w
c) v ers u
d) | v ers u |
2) Determinar o valor de “a” para que u = (a, –2a, 2a) seja um versor.
3) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(–6, –2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor w , tal que w 3BA 2BC .
4) Dado o vetor
v (1 , 3) , determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) sentido contrário ao de
b) o mesmo sentido de
v
c) sentido contrário ao de
v
e duas vezes o módulo de
Observação:
v;
e módulo 2;
v
Represente no ℝ2 o vetor v
e os vetores encontrados nas
questões “4a”, “4b” e “4c”.
e módulo 4.
v = (1, –1, 2).
6) Dado o vetor v ( 2 , 1 , 3) , determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v ;
b) o mesmo sentido de v e módulo 4;
c) sentido contrário ao de v e módulo 5.
5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
3 4
,
5 5
1b)
4a) (–2, 6)
4b)
6a) (–6, 3, 9)
3
4
,
5
5
1a)
6b)
2
,
10
8
14
,
1c)
10
6
4
,
14
1
2
4c)
14
12
,
1
2
6c)
4
2)
1d) 1
,
10
10
12
10
,
14
1
3
5) Os 2 possíveis são:
5
14
,
7 ,
9
3) vers w =
5
6
,
5
6
4
9
,
,
4
9
6
10
14
15
Esquentando o Processador!
Um grande industrial, na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou:
- Amanhã, acorde-me às 6 horas, por favor. Tenho que pegar o avião para São Paulo.
- Pois não, chefe!
Pontualmente às 6 horas o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovê-lo da ideia de viajar:
- Patrão – disse o guarda – estou com mau presságio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avião e me permita sugerir que
não viaje.
O industrial titubeou, mas viajou mesmo assim. Sem incidentes, chegou a São Paulo e por telefone mandou despedir o guarda. Por quê?
PRODUTO ESCALAR
Definição Algébrica do Produto Escalar:
Considerando o espaço ℝ3 e os vetores
u ( x1 , y1 , z1 ) e w ( x2 , y2 , z 2 ) , chamamos de Produto Escalar de u e w , o
número real dado por:
u w x1 .x2 y1 . y2 z1 .z 2
Observações:
O produto escalar também é conhecido como produto interno (ou ainda multiplicação interna) e pode ser indicado por
u w,
u w ou
u , w (lê-se: u escalar w ). A notação u w para o produto escalar já está em desuso, e a
utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial.
Observe que:
u w w u (propriedade comutativa).
Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no ℝ2, apenas suprime-se a coordenada “z”.
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Definição Geométrica do Produto Escalar:
u ( x1 , y1 , z1 ) e w ( x2 , y2 , z 2 ) não nulos e “” o ângulo entre eles, o Produto Escalar de
u e w pode ser escrito por:
C
Considerando os vetores
u w u . w . cos
(com 0
w
180º)
A
u
B
Prova das definições:
Considerando dois vetores
u e w quaisquer e o ângulo “” entre eles, podemos representar geometricamente (abaixo):
C
Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo , temos:
uw
w
a2 b 2 c 2 2.b.c. cos Aˆ
| u w|2 | u|2 |w|2 2.|u|.| w|. cos θ
A
| u|2 2(u w) | w|2 | u|2 | w|2 2.|u|.| w|. cos θ
u
B
| u|2 2(u w) | w|2 | u|2 | w|2 2.|u|.| w|. cos θ
2(u w) 2.|u|.| w|. cos θ
[2]
Como queríamos demonstrar!
u w | u|.| w|. cos θ
Agora, provaremos a definição algébrica. Inicialmente, vamos considerar que:
consequentemente:
u v (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2) .
u ( x1 , y1 , z1 ) e w ( x2 , y2 , z 2 ) e
Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo (veja figura acima), temos:
a2 b 2 c 2 2.b.c. cos Aˆ
| u w|2 | u|2 |w|2 2.|u|.| w|. cos θ
2.|u|.| w|.cosθ |u|2 |w|2 |u w|2
2.|u|.| w|.cosθ
x y z x y z (x x ) (y y ) (z z )
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2.|u|.| w|. cos θ x12 y12 z12 x22 y22 z22 [(x1 x2)2 ( y1 y2)2 (z1 z2)2]
2.|u|.| w|.cosθ x12 y12 z12 x22 y22 z22 [x12 2x1.x2 x22 y12 2y1.y2 y22 z12 2z1.z2 z22]
2.|u|.| w|.cosθ [2x1.x2 2y1.y2 2z1.z2]
2.|u|.| w|. cos θ 2x1x2 2y1 y2 2z1z2
[2]
|u|.| w|.cosθ x1.x2 y1.y2 z1.z2
Como já vimos que:
u w x1.x2 y1.y2 z1.z2
u w | u|.| w|. cos θ
Como queríamos demonstrar!
Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em
que a atividade matemática é nula ou quase nula. [Jacques Chapellon]
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Vetores e Álgebra Vetorial
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Ângulo entre dois vetores:
O ângulo entre dois vetores é definido como sendo o menor ângulo que um vetor deve girar ao encontro do outro vetor para
que se tornem colineares. Desta forma, utilizaremos o ângulo com a seguinte variação: 0 180º.
Da igualdade
u w | u|.| w|. cos θ , vista anteriormente, temos:
uw
cos
| u | .| w |
como sendo a fórmula a partir da qual se calcula o ângulo
entre dois vetores não nulos.
A mesma relação pode ser escrita na forma:
Se
uw
arccos
| u |. | w |
uw
cos
| u |. | w |
1
ou no padrão americano:
for o ângulo entre os vetores u e w , então podemos utilizar a notação: (u^
, w)
Para determinar o ângulo entre dois vetores, através da relação descrita acima, será necessário consultar uma tabela
trigonométrica ou fazer uso de uma calculadora científica.
Normalmente, encontraremos os ângulos em duas unidades: o grau (º) e o radiano (rad).
A conversão entre as unidades pode ser feita através de uma regra de três simples e direta:
180º
rad
Lembretes:
- Uma volta completa possui 360º ou 2 rad.
- As calculadoras científicas trabalham com os ângulos em três unidades: DEG (grau), RAD (radiano) e GRAD (grados).
A seguir, têm-se as possíveis situações no estudo do ângulo
u
w
= 0º
u
e
w
e do produto escalar de dois vetores não nulos:
cos 0º = 1
são paralelos (equiversos)
u w> 0
↳ u // w
u
w
= 180º
u
e
w
cos 180º = –1
são paralelos (contraversos)
↳ u // w
= 90º (ângulo reto)
w
cos 90º = 0
u
e
w
são perpendiculares ( u
w)
u w= 0
u
w
0<
< 90º (ângulo agudo) cos > 0 u w > 0
u
w
90º <
< 180º (ângulo obtuso) cos < 0 u w < 0
u
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u w< 0
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Observações:
Nulidade do produto escalar:
u w 0 , se:
i) Um dos vetores for nulo;
ii) Os dois vetores forem ortogonais (perpendiculares) entre si, ou seja, = 90º [Lembre-se que: cos 90º = 0].
0 u 0 ; e particularmente: i j j k i k 0 .
Vale lembrar os versores (base canônica) dos eixos cartesianos: i = (1 , 0 , 0), j = (0 , 1 , 0) e k = (0 , 0 , 1).
Em especial, alguns autores consideram que o vetor nulo 0 é perpendicular a qualquer vetor, e escrevemos: 0 u .
A partir disso podemos escrever:
Enfatizando:
Para os vetores
u 0
e
w0
u 0 0
e
temos que
uw 0 u w
(o produto escalar é zero para vetores ortogonais).
Aplicações do Produto Escalar:
Na molécula de metano CH4 (figura ao lado), os átomos de hidrogênio estão
posicionados nos quatros vértices do tetraedro regular. A distância entre o centro do
átomo de hidrogênio e o centro do átomo de carbono é 1,10 angstroms [1 Å = 10–10 m]
e o ângulo da ligação H–C–H é = 109,5º. Várias outras moléculas têm estruturas
geométricas espaciais que podem ser estudadas [cálculo de medidas e ângulos, por
exemplo] através da aplicação dos conceitos de produto escalar.
Nas situações em que for necessário o cálculo ou estudo de medidas e ângulos em
situações espaciais (com 3 dimensões) podemos muito bem aplicar os conceitos do
produto escalar. Algumas aplicações de engenharia (na mecânica geral) serão
abordadas nos exercícios que veremos a seguir.
EXEMPLOS:
1) Dados os vetores
u 3i 8k e w (4, 2 , 5) determine o valor de w u .
Resolução: Aplicando a definição algébrica do produto escalar, temos:
w u x1 .x2 y1 . y2 z1 .z 2
w u (4).(3) ( 2 ).(0) (5).(8)
w u (12) (0) (40)
w u 28
Observe que:
2) Mostre que, para qualquer que seja o vetor
Resolução: Seja o vetor
u w wu
u , teremos: u u | u | 2 .
u ( x, y, z ) . Então, aplicando a definição algébrica do produto escalar, temos:
u u x.x y. y z.z
u u x 2 y 2 z 2 (I)
Mas aplicando a fórmula do módulo, temos:
Agora, substituindo a equação (II) em (I), temos:
u u | u | 2 , como queríamos mostrar.
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| u | x2 y2 z 2
| u | 2 x 2 y 2 z 2 (II)
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3) Sendo | u | = 2 , | w | = 3 e 120º o ângulo entre os vetores u e w , calcule u w .
Resolução: Considerando os dados do problema, aplicaremos a definição geométrica do produto escalar.
Então:
u w u . w . cos
u w 2 . 3. cos 120º
1
u w 6
2
u w 3
4) Calcule o ângulo entre os vetores
Note que o produto escalar é negativo, pois o ângulo entre os vetores é obtuso (120º).
v = (2, 1, –1) e AB , sabendo que A(3, 1, –2) e B(4, 0,– 4).
5) Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e C(2, 2, –2) é retângulo em B.
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Vetores e Álgebra Vetorial
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6) Determine um vetor ortogonal aos vetores
v1 = (1, –1, 0)
e
v2 = (1, 0, 1).
Tópico Especial: Considerações Importantes
Notação:
Alguns autores representam um vetor
desse vetor
v.
v
apenas por v (sem a “flechinha” e em negrito) e v (sem negrito) para o módulo
A fórmula (definição geométrica) do produto escalar com essa notação ficaria assim: u.v = u.v.cos ou
ainda, como podemos observar em alguns livros: A.B = A.B.cos . Fique atento!
Observe e reflita:
v é ortogonal ao:
eixo x, escrevemos v Ox . Então esse vetor é do tipo:
eixo y, escrevemos v Oy . Então esse vetor é do tipo:
eixo z, escrevemos v Oz . Então esse vetor é do tipo:
Se um vetor posição
Vale relembrar que, se um vetor posição
eixo x, escrevemos
eixo y, escrevemos
eixo z, escrevemos
v
está sobre o:
v // Ox . Então esse vetor é do tipo:
v // Oy . Então esse vetor é do tipo:
v // Oz . Então esse vetor é do tipo:
Esquentando o Processador!
v (0, y, z ) .
v ( x, 0, z ) .
v ( x, y, 0) .
v (x, 0, 0) .
v (0, y, 0) .
v (0, 0, z) .
Você tem um fósforo e entra num quarto frio e escuro, que tem um aquecedor a óleo,
uma lâmpada a querosene e uma vela. Qual você acende primeiro?
Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente...
“As Três Peneiras”
Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e
perguntou:
- O que você vai me contar já passou pelas três peneiras?
- Três peneiras? - indagou o rapaz.
- Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui
mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa
boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda
pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta?
Arremata Sócrates:
- Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo.
Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de
qualquer comentário infeliz.
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Tópico Especial: PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO
Sejam os vetores
w e v não nulos e o ângulo entre eles, conforme a representação a seguir.
O segmento orientado
indicaremos por:
AB' é chamado de vetor projeção de w em v (ou projeção ortogonal de w em v ) e
AB' projv w
w em v poderá ser encontrado através da relação:
O vetor projeção de
wv
projv w v
v v
wv
projv w 2 v
|v |
ou
A dedução da relação acima fica a cargo do leitor.
Nota: Existem situações específicas na engenharia, que a utilização da relação acima (projeção de um vetor sobre outro),
facilita muito a resolução de diversos problemas que envolvem a geometria analítica.
Observações:
Se
B
é agudo, o vetor
w
projv w tem mesmo sentido de v .
A
B
w
B’
↳
A
v
Se
é obtuso, o vetor
↳
v
B’
projv w
projv w tem sentido contrário de v .
projv w
B
w
O vetor
projv w pode ser maior que v .
A
Em geral:
v
↳
B’
AB' projv w
projv w projw v
projv w sempre tem a mesma direção de v .
wv
wv
A ÚNICA “simplificação” que podemos fazer na expressão projv w v é projv w 2 v .
v v
|v |
Obviamente (pela definição) o vetor
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Vetores e Álgebra Vetorial
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CASO PARTICULAR: Quando v é UNITÁRIO.
Se
B
v é unitário, então | v | 1 .
w
wv
Substituindo em: projv w 2 v , temos:
|v |
wv
projv w
v
2
(1)
A
↳
B’
projv w
projv w ( w v ) v
|
↳
projv w
| projv w | | ( w v ) v |
projv w |
v
Aplicamos “módulo” nos dois membros da expressão.
w
Aplicamos uma propriedade de módulo e como | v | 1 , temos:
v
| (w v ) | | v |
| projv w | | ( w v ) | 1
| projv w | | ( w v ) |
Note que
AB' | ( w v ) |
B
B’
Assim, pela última expressão, podemos enunciar:
O comprimento do vetor projeção de
w em v , sendo v unitário, é igual ao módulo do produto escalar de w e v .
Notas:
A expressão destacada anteriormente é definida com a interpretação geométrica do módulo do produto escalar.
v não seja unitário, podemos utilizar o seu versor, ou seja, o vetor vers v , que é unitário e tem a mesma
direção e sentido de v .
Caso o vetor
EXEMPLO:
1) Determine o vetor projeção de
v (2, 3, 4) sobre u ( 1, 1, 0) .
Resolução:
v u
Para determinar a projeção de v sobre u utilizaremos: proju v u
u u
Então, inicialmente calcularemos:
v u (2).(1) (3).(1) (4).(0) 2 3 0 1
e
u u (1).(1) (1).(1) (0).(0) 1 1 0 2
Então:
proju v
v u 1
u
(1,1, 0)
u
u
2
Logo, o vetor pedido [que é o vetor projeção de
1 1
v sobre u ] é: proju v , , 0 .
2 2
Observação: Existem outras utilidades para a aplicação da projeção de um vetor sobre outro. Pesquise!
Para refletir: Sobre todas as coisas há três pontos de vista: o teu, o meu e o correto. [Provérbio chinês]
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EXERCÍCIOS – Produto Escalar
1) Mostrar que os pares de vetores dados são ortogonais:
a)
v = (1, –2, 3) e w = (4, 5, 2)
b)
i
e
j
u (1, 1, 0) e w ( 0, 1, 0) , calcule o valor de u w pelas definições algébrica e geométrica.
Sugestão: Para auxiliar no cálculo de u w através da definição geométrica, faça uma representação no ℝ3 dos vetores u
e w , e assim perceba o valor do ângulo entre eles.
2) Dados os vetores
3) Seja o triângulo de vértices A(–1, –2, 4), B(– 4, –2, 0) e C(3, –2, 1). Determinar o ângulo interno aos vértices B e A.
4) Os pontos A, B, C são vértices de um triângulo equilátero com lado de 10cm. Calcule o produto escalar entre A B e A C .
5) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores
u = (1, n, 2) e j .
a = (2, 1, m), b = (m+2, –5, 2) e c = (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o vetor a b
seja ortogonal ao vetor c a .
7) Dados os vetores
8) Determinar os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, –1) e C(–1, 2, 1).
9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores
u (2, 1, 1) e v (1, 1, m 2) é / 3 , determinar “ m ”.
10) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(–3, –2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.
11) Qual o valor de “m” para que os vetores a m i 5 j 4k e b (m 1) i 2 j 4k sejam ortogonais?
w , paralelo ao vetor u (2, 1, 3) , de modo que w u 42 .
13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v (2, 1, 1) .
12) Determine o vetor
14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em Â) medem 5, 12 e 13. Calcular
AB AC BA BC CA CB .
v , sabendo que | v | 5 , v é ortogonal ao
eixo Oz , v w 6 e que w 2 j 3k .
16) Determinar o vetor v , ortogonal ao eixo Oz , que satisfaz as
condições v v1 10 e v v2 5 , sendo v1 (2, 3,1) e
v2 (1,1, 2) .
15) Determinar o vetor
17) Na torre da figura ao lado, determine o ângulo formado entre os
cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha
vertical.
18) Determine o menor ângulo formado entre duas diagonais de um
mesmo cubo. Sugestão: desenhe um cubo no ℝ3.
☺
Teste sua atenção e organização com o exercício 19!
19) Dados os vetores
u v (u v ) w .
u (1, a, 2a 1) , v ( a, a 1, 1) e w ( a, 1, 1) , determine o valor de “ a ” de maneira que
20) Calcule o módulo dos vetores
Esquentando o processador!
é de
u v e u v , sabendo que | u | 4 , | v | 3 e que o ângulo entre u e v
60º .
Movimente apenas um palito (no esquema ao lado) para ficar correto!
Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. [Provérbio chinês]
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
2) u w = 1
1) Utilize a def. algébrica do produto escalar!
3) B̂ = 45º e  = 90º
4) 50
5) Â
8) Â arc cos(0,630) 51º, B̂ arc cos(0,544) 57º e Ĉ arc cos(0,309) 72º
7) {– 6, 3}
10) BA BC 0 Bˆ 90º
11) {–3, 2}
14) 169
16) (–1, 4, 0)
15) (4, 3, 0)
13) ’s vetores. Um deles é:
12) (–6, 3, –9)
17) 41,69º e 37,51º
18) Aprox. 70º
0,
19) a = 2
1
2
6) 15
9) m = – 4
; para x = 0
2
1
,
20)
37 e
13
ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Considere o vetor
v ( x, y, z )
não-nulo, conforme a figura abaixo.
Então:
Ângulos diretores de
v
v
forma com os versores
, e que
k , respectivamente.
são os ângulos
i, j
e
v são os cosenos de seus ângulos
cos , cos e cos .
Cossenos diretores de
diretores, isto é,
Nota: Observe que os ângulos diretores de um vetor, são os ângulos que o vetor forma com os semi-eixos coordenados
positivos. Vale detalhar então que: 0 , , 180º .
Para determinarmos os ângulos diretores
vetores não-nulos:
u
cos w
u .w
, ,
e seus cossenos, utilizaremos a fórmula que calcula o ângulo entre dois
, vista anteriormente quando estudamos o produto escalar de dois vetores.
Assim teremos:
v i
( x, y, z ) (1, 0, 0)
x
cos
| v |.| i |
| v | .(1)
|v |
x
cos
|v |
v j
( x, y, z ) (0, 1, 0)
y
cos
| v |.| j |
| v | .(1)
|v |
y
cos
|v |
v k
( x, y, z ) (0, 0, 1)
z
cos
| v | .(1)
|v |
| v |.| k |
z
cos
|v |
Observação:
Note que os cossenos diretores de
v
são exatamente as componentes do versor de
v:
v
( x, y, z ) x y z
vers v
, , (cos , cos , cos )
|v |
|v |
|v | |v | |v |
Como o versor é sempre um vetor UNITÁRIO, decorre imediatamente que:
cos 2 cos 2 cos 2 1
Nota: os ângulos e cossenos diretores também podem ser chamados de ângulos e cossenos DIRECIONAIS.
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.
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EXEMPLOS:
1) Calcule os ângulos diretores do vetor
v (1, 1, 0) .
2) Os ângulos diretores de um vetor são
, 45º
e
60º . Determine o ângulo .
EXERCÍCIOS – Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor
1) Calcule os ângulos diretores do vetor
v (6, 2, 3)
2) Um avião está a 4km de altura, 5km ao sul e 7km à leste de um aeroporto,
conforme figura ao lado. Sabendo que o avião partiu em linha reta até o ponto
em questão, determine os ângulos direcionais do avião.
3) Os ângulos diretores de um vetor
Determine o vetor
w.
w são 45º , 60º e 120º e | w | 2 .
4) Os ângulos diretores de um vetor podem ser
45º , 60º e 90º ? Justifique sua reposta.
Para refletir: O conhecimento amplia a vida. Conhecer é viver uma realidade que a ignorância impede desfrutar. [Pensamento Logosófico]
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5) Determine, em graus, os ângulos que a barra
os eixos cartesianos (veja figura ao lado).
6) Os ângulos diretores de um vetor são
Encontre
OA
forma com
120º , e 60º .
.
7) Num vetor
v
são conhecidos
cos 2 / 3 e cos 2 / 3 .
Determine:
a) cos [ é agudo]
b)
8) Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo
Oz
vers v
e que forme
60º com o eixo Ox .
9) Determinar o vetor
ao eixo
Oy
com o vetor
t
e ao vetor
i.
de módulo
5 , sabendo que é ortogonal
v i 2k ,
e que forma ângulo obtuso
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) arccos(6 / 7) 31,00º ; arccos( 2 / 7) 106,60º ; arccos(3 / 7) 64 ,62º
3) w ( 2 , 1, 1)
2
2
2) 58,19º , 42, 45º , 65,06º
2
5) 72,08º , 103,34º , 22,62º
4) Não, pois: cos 45º cos 60º cos 90º 1
8) Os dois vetores possíveis são: (1 / 2,
7a) cos 1 / 3
6) Existem duas possibilidades: S = {45º, 135º}
7b) vers v ( 2 / 3, 2 / 3, 1 / 3)
3 / 2, 0) ou (1 / 2, 3 / 2, 0)
9) O vetor procurado é: t ( 2 5 , 0, 5 )
PRODUTO VETORIAL
Anteriormente vimos que, a cada par de vetores, podemos associar um número real, chamado de produto escalar
entre estes dois vetores. Através desse produto escalar, conseguimos obter várias informações sobre vetores, como por
exemplo, ângulos entre dois vetores e ângulos entre um vetor e os eixos coordenados. Chegamos até a resolver alguns
exercícios de geometria euclidiana fazendo uso do mesmo!
Pois bem, vamos falar um pouco de um novo produto entre dois vetores: o produto vetorial. Diferentemente do
produto escalar, o produto vetorial entre dois vetores u e w é um vetor! Veja se você entendeu: enquanto o produto
escalar é um número, o produto vetorial é um vetor; e este vetor tem várias características importantes e peculiares. Vamos
então à definição de produto vetorial.
Definição:
Considerando o espaço ℝ3 e os vetores
o vetor u w definido por:
u ( x1 , y1 , z1 ) e w ( x2 , y2 , z 2 ) , chamamos de Produto Vetorial de u e w ,
u w ( y1 z 2 z1 y2 ; z1 x2 x1 z 2 ; x1 y2 y1 x2 )
u w ( y1 z 2 z1 y2 ) i ( z1 x2 x1 z 2 ) j ( x1 y2 y1 x2 ) k
As componentes do vetor acima também podem ser escritas com determinantes de ordem 2, conforme abaixo:
uw
y1
y2
z1
x
i 1
z2
x2
E que, para simplificar, escreveremos o vetor u w
com um único determinante [simbólico] de ordem 3:
z1
x
j 1
z2
x2
uw
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y1
k
y2
i
j
k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
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Considerações Importantes:
O produto vetorial também é conhecido como produto externo (ou ainda produto cruzado) e pode ser indicado por
ou u w (lê-se: u vetorial w ).
uw
uw
Observe que:
u w (w u )
(propriedade anti-comutativa).
w
Direção de u w : é perpendicular (ortogonal)
aos vetores u e w simultaneamente.
Sentido de u w : u , w e u w
Nesta ordem, formam um triedro positivo
(segue a regra da mão direita).
^
= u , w
u
| u w | | u | . | w | . sen
(com 0 180º). Note que: | u w | | w u | .
Módulo de
u w:
Nulidade do produto vetorial:
w u
u w 0 , se:
i) Um dos vetores for nulo;
ii) Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, = 0º ou = 180º.
A partir disso, podemos escrever:
Em particular, os versores
i, j
u u 0 , u 0 0 e 0 u 0 ; e particularmente: i i j j k k 0 .
e
k , nesta ordem, formam um triedro positivo.
i
De uma forma prática, utiliza-se o esquema ao lado para determinar o produto vetorial de dois
desses versores, cujo resultado é o “versor faltante”, de sinal positivo se o sentido for anti-horário
e negativo se no sentido horário. Veja alguns exemplos:
i j k
k i j
k j i
j i k
i k j
j
+
k
Enfatizando:
u 0 e w 0 temos:
u w 0 u w (o produto escalar é zero para vetores ortogonais)
u w 0 u // w (o produto vetorial é o vetor nulo para vetores paralelos)
Para os vetores
Sobre a relação:
| u w | | u | . | w |. sen
A dedução da expressão em questão ficará a cargo do leitor. Entretanto vale a pena comentar que sua prova fica mais
simplificada quando se conhece a “Identidade de Lagrange”:
| u w |2 | u |2. | w |2 (u w) 2 .
Esquentando o Processador!
ab
Considere que:
Multiplicando toda a equação por
a:
2
Subtraindo b nos dois membros da equação:
Desmembrando os produtos:
( a b) :
Como inicialmente definimos que a b :
Dividindo a toda equação por b :
Simplificando a equação por
Então:
com a 0 e b 0
a 2 ab
a b 2 ab b 2
(a b)(a b) b(a b)
ab b
b b b 2b b
2 1
2
2 1 . É possível? Existe algum erro?
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Vetores e Álgebra Vetorial
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OUTRAS APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL
Cálculo de Áreas (Paralelogramo e Triângulo)
Seja o paralelogramo ABCD, definido pelos vetores
u
e
w.
D
C
w
h
A
u
B
Através da geometria plana, sabemos que a área de um paralelogramo é o produto de sua base pela altura, ou seja,
SABCD = base . altura
u
base =
Neste caso temos:
e altura =
w
. sen , pois tem-se que:
sen
cat . op.
h
sen h | w | . sen
hip.
| w|
Substituindo em SABCD = base . altura , temos:
SABCD =
u .w
SABCD =
uw
Ou seja:
. sen
↳A área de um paralelogramo determinado pelos vetores u
e w é
numericamente igual ao módulo do produto vetorial desses vetores.
Face o exposto anteriormente, facilmente escrevemos:
C
w
uw
2
SABC =
A
u
B
↳A área de um triângulo determinado pelos vetores u
e w é numericamente
igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, dividido por dois.
Torque (Momento de uma força)
O torque é uma grandeza física vetorial (representado por
uma torção ou alterar seu movimento de rotação.
O torque pode ser calculado através da equação abaixo:
onde
|r |
)
e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer
rF
é a distância do ponto de aplicação da força
F
ao eixo
de rotação, ao qual o corpo está vinculado. A intensidade (módulo)
do torque será calculado através da equação:
| | | r | . | F | .sen
, onde
é o ângulo entre r e F .
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Vetores e Álgebra Vetorial
EXEMPLOS:
1) Dados os vetores
a)
uw
b)
w u
c) |
d)
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u 2i 3 j k
e
w 3, 4, 5
determine:
uw|
u u
2) Considerando os vetores
a) ortogonal a
b) ortogonal a
u
u
e
e
w
w
u = (1, –1, – 4)
e
(simultaneamente);
e unitário;
w = (3, 2, –2), determine um vetor que seja:
c) ortogonal a u e w e que tenha módulo 4;
d) ortogonal a u e w e que tenha cota igual a 7.
a) Resolução: Um dos vetores simultaneamente ortogonais a u e w é o vetor u w que chamaremos de t . Então:
i
j
k
t u w 1 1 4
3 2 2
2i 12 j 2k (3k 8i 2 j )
t 10i 10 j 5k
b) Resolução: Um dos vetores unitários é o versor de t . Inicialmente calculamos: | t |
ou
t (10,10, 5)
(10) 2 ( 10) 2 (5) 2 15
2 2 1
(10,10, 5) 10 10 5
t
Calculando o versor de t teremos: vers t
, , vers t , ,
|t |
15
15 15 15
3 3 3
c) Resolução: Para que um vetor (que chamaremos de v ) seja ortogonal a u e w simultaneamente e tenha módulo 4,
basta fazermos:
2 2 1 8 8 4
v 4.vers t 4. , , v , ,
3 3 3
3 3 3
d) Resolução: Todos os vetores simultaneamente ortogonais a u e w são “múltiplos escalares” de u w e, portanto, são
da forma m.(10,10, 5) com m R . Chamando o vetor procurado de p temos:
p m.(10,10, 5) (10m,10m, 5m)
Como o vetor p deve ter cota (z) igual a 7, fazemos: 5m 7 m 7 / 5 .
Reescrevendo o vetor p encontraremos: p m.(10,10, 5)
7
70 70 35
.(10,10, 5) , , p (14,14, 7)
5
5
5
5
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Vetores e Álgebra Vetorial
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3) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, –1, 0) e C(4, 2, –2), determine:
a) a área do triângulo ABC
b) a altura do triângulo ABC relativa ao vértice C.
4) Seja o triângulo equilátero ABC de lado 10 cm. Determine a sua área utilizando os conceitos de produto vetorial.
Resolução:
Aplicando a fórmula do módulo de um produto vetorial, temos:
B
AB AC AB . AC . sen
10 cm
AB AC 10 . 10. sen 60º
60º
C
A
AB AC 100.
3
50 3
2
Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada através do módulo do produto vetorial dos vetores que compõem o
triângulo. Assim temos:
S ABC
| AB AC | 50 3
25 3 43,30
2
2
Então, a área do triângulo equilátero ABC é aproximadamente 43,30 cm2.
EXERCÍCIOS – Produto Vetorial
u 3i j 2k , v = (2, 4, –1) e w i k , determine:
a) | u u |
d) (u v ) (v u )
g) u (v w)
b) (2v ) (3v )
e) (u v ) w
h) u (v w)
c) (u w) ( w u )
f) (u v ) w
i) (u v ) (u w)
1) Se
(u v ) v
k) (u v ) w
l) u (v w)
j)
Observação: Alguns dos casos acima podem ser resolvidos apenas com uma análise prévia.
2) Dados os pontos A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) e C(2, –1, –3), determine o ponto D tal que
AD BC AC .
3) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, –1, 1) e C(4, 1, –2).
v = (–1, 1, 2), determinar:
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v ;
b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u e v .
4) Dados os vetores
u = (1, 1, 0)
e
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Vetores e Álgebra Vetorial
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5) Determinar um vetor de módulo 2, ortogonal a
u = (3, 2, 2)
v = (0, 1, 1).
ea
A
6) Com base na figura ao lado, calcular:
a)
AB AD
b)
BA BC
c)
AB DC
d)
AB CD
e)
BD AC
f)
BD CD
7) Determinar
u v
sabendo que |
u v | = 12, | u | = 13
2
2
30º
B
v
e que
D
2
é unitário.
2
Dica: utilize a Relação Fundamental da Trigonometria: sen cos 1 .
2
v = (–2, 2, 1), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v ;
8) Dados os vetores
u = (3, –1, 2)
2
C
e
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
v.
9) Calcular a área do paralelogramo definido pelos pontos A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), C(–1, 2, –2) e D(–2, 3, –1).
10) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são os pontos A(2, – 4, 0) e B(1, –3, –1) e o ponto médio das
diagonais é M(3, 2, –2). Calcule a área do referido paralelogramo.
11) Sabendo que |
u | = 6,
|
v|=4
e 30º o ângulo entre
u
a) a área do triângulo determinado por
e v;
b) a área do paralelogramo determinado por u e
u
v , calcular:
e
(– v ).
12) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC. Considere: A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0).
13) Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R, e calcule a área do triângulo PQR. Considere:
P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1) e R(2, 0, 2).
14) Calcular o valor de “m” para que a área do paralelogramo determinado por
u = (m, –3, 1) e v = (1, –2, 2)
26 .
seja
15) Calcular “z”, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um triângulo de área 6.
16) Dados A(2, 1, –1) e B(0, 2, 1), determine o ponto C do eixo Oy, de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 ua.
17) Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa pelos pontos A(1, 2, –1) e B(3, 1, 1).
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) 0
1b) 0
1i) (8, –2, 13)
1c) 0
1d) 0
1j) 0
1k) 5
4a) Os dois vetores possíveis são:
5) Os dois possíveis são:
0 ,
6e) 4 3
6f) 2 3
10) 2 74 ua
11a) 6 ua
2, 2
1e) (–5, 0, –5)
1l) 5
1
3
,
1
3
,
e 0 ,
2) D(– 4, –1, 1)
3
2, 2
15) 4 ou – 4
1h) (8, –2, 13)
3) Um deles é: AB AC = (12, –3, 10)
4b) Os dois vetores possíveis são:
6a) 2 3
6b) 2 3
8a) 3 10 ua
12)
7
ua e
7
2
14) 0 ou 2
1g) (–6, –20, 1)
1
7) 5 ou –5
11b) 12 ua
1f) (–1, –23, –1)
uc
8b)
10 uc
13) t.(1, 4, 6) com t
17)
65
3
5
3
ℝ e S=
uc
,
3
5
6d) 0
9)
Para refletir: Todos os homens morrem, mas nem todos os homens vivem. [Coração Valente]
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3
,
6c) 0
5
16) C(0, 1, 0) ou C(0, 5/2, 0)
5
122 ua
53
2
ua
Vetores e Álgebra Vetorial
Prof. Júlio César TOMIO
PRODUTO MISTO
Definição:
u ( x1 , y1 , z1 ) , v (x2 , y2 , z2) e w (x3 , y3 , z3) , o produto misto (ou multiplicação mista) destes
três vetores é o número real representado por u (v w) , quanto tomados nessa ordem.
Dados os vetores
O produto misto também pode ser indicado por
(u , v , w) e para calculá-lo, basta resolvermos o determinante formado
pelas coordenadas dos três vetores em questão. Veja:
z2
x
i 2
z3
x3
Sabemos que:
y
vw 2
y3
Então:
y
u (v w) x1. 2
y3
Segue que:
z2
z3
z2
x
j 2
z3
x3
y1.
x2
z2
x3
z3
x1
u (v w) (u , v , w) x2
y1
y2
z1
z2
x3
y3
z3
y2
k
y3
z1.
(definição de produto vetorial)
x2
y2
x3
y3
(aplicação de produto escalar)
Propriedades do Produto Misto:
(u , v , w) 0 , se:
Nulidade:
Pelo menos um dos vetores for nulo;
Se
u, v
e
w
forem coplanares;
Se dois deles forem paralelos.
(u , v , w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.
Se hipoteticamente tivermos (u , v , w) 10 , então (v , u , w) 10 .
Então, se num produto misto (u , v , w) ocorrer:
Troca de sinal: O produto misto
Uma permutação de vetores haverá a troca de sinal do produto misto.
Duas permutações de vetores não haverá alteração no valor do produto misto.
Isto acarreta que:
u (v w) (u v) w
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
(u , v , w)
u , v e w.
Geometricamente, o produto misto dado por
determinadas pelos vetores não-coplanares
Ou seja:
Volume Paralelepípedo =
é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas
(u , v , w)
z
Como exemplo, considere o paralelepípedo composto pelos vetores:
u = (2, 0, 0), v = (0, 7, 0)
e
w = (0, 0, 5).
5
Neste caso é fácil de verificar o volume do paralelepípedo gerado, pois
os vetores são ortogonais entre si e estão sobre os eixos coordenados.
D
F
E
Daí tem-se que o volume V pode ser assim calculado:
C
O
7
2
V = (área da base OABC).(altura OG)
A
V = (2 . 7).5
V = 70 u.v.
G
[Obs.: u.v. unidades de volume]
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x
B
y
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Agora, aplicando o produto misto (em módulo) dos vetores
Volume Paralelepípedo =
u, v
e
w , teremos:
2 0 0
| (u , v , w) | 0 7 0 2 . 7 .5 70
0 0 5
Portanto, V = 70 u.v.
Decorrente do exposto até então, podemos também calcular o volume de um tetraedro gerado por três vetores não
coplanares. Veja:
Sejam os pontos A , B , C e D não coplanares. Então os vetores u AB , v AC e w AD também são não
coplanares. Assim sendo, os vetores em questão determinam um paralelepípedo (veja figura abaixo) cujo volume é:
Vparalelepípedo =
( AB , AC , AD )
ou ainda:
Vparalelepípedo =
(u , v , w)
Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas
de base triangular ABC (veja figura) de mesmo tamanho e assim o
volume Vprisma de cada um dos prismas será metade do volume do
paralelepípedo, ou seja:
Vprisma
1
2
Vparalelepípedo
Por outro lado, através da Geometria Espacial, sabemos que um prisma pode ser dividido em três pirâmides de mesmo
volume. Neste caso, considerando o prisma de base triangular ABC, temos que uma das pirâmides será o tetraedro ABCD.
Como o volume da pirâmide (que neste caso é um tetraedro) é 1/3 do volume do prisma, teremos:
Vtetraedro
Vtetraedro
Vtetraedro
1
3
1
3
1
6
Vprisma
Um Tetraedro Regular
(as 4 faces são triângulos eqüiláteros)
1 V
2 parelelepípedo
Vparalelepípedo
Volume Tetraedro =
1 (u , v , w
)
6
UMA APLICAÇÃO DO PRODUTO MISTO (NA MECÂNICA GERAL)
↳ Momento de uma Força em
Relação a um Eixo Específico
Por questões práticas pode ser vantajoso ou até mesmo
necessário calcular o momento de uma força em relação
a um eixo específico. Na figura ao lado, o momento
resultante da força de F de 20N é ao longo do eixo “b”.
Todavia esse momento resultante tem um componente
ao longo do eixo y. Esse momento cria a tendência de
afrouxar (ou apertar) as porcas do flange (que está na
origem O). Daí a importância de sua determinação.
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Formulação Vetorial do Momento
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M de uma Força F em Relação a um Eixo Específico [ a ]
O momento
M a é calculado através do produto misto dos vetores
u a , r e F , sendo que u a é o versor que define a direção do eixo
específico aa' . Assim:
M a u a (r F ) (u a , r , F )
xua
xr
yu a
yr
z ua
zr
xF
yF
zF
Nota: Essa aplicação do produto misto ficará apenas como informativa, pois não faz parte do objetivo de nosso estudo. Tais
conceitos serão estudados e aprofundados posteriormente, noutra disciplina. Interessou? Pesquise e procure saber mais!
Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]
EXEMPLOS:
1) Sejam A(1, 2, –1), B(5, 0, 1), C(2, –1, 1) e D(6, 1, –3) vértices de um tetraedro. Pede-se:
a) o seu volume;
b) a sua altura relativa ao vértice D.
Esquentando o Processador! Quais os valores dos números “x” e “y” na seqüência: { 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , x , y } ?
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2) Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(–1, 0, –2), C(0, 2, 2) e D(–2, 1, –3) estão no mesmo plano.
Resolução:
Os quatro pontos dados
A,B , C
e
D
serão coplanares (estarão no mesmo plano) se os vetores
também forem coplanares (veja o esquema abaixo). Então devemos ter
( AB, AC , AD) 0 .
Inicialmente devemos escrever os vetores:
Esquema
AB
=
B A (1, 0, 2) (1, 2, 4) (2, 2, 6)
AC
=
C A (0, 2, 2) (1, 2, 4) (1, 0, 2)
AD
=
D
C
A
D A (2, 1, 3) (1, 2, 4) (3, 1, 7)
Calculando o produto misto entre os vetores, temos:
2 2 6
( AB, AC , AD ) 1 0 2 0 12 6 (0 4 14) 18 18 0
3
Como
1 7
( AB, AC , AD) 0 , os vetores em questão são coplanares.
Logo, os pontos dados
A,B , C
e
D
são coplanares.
EXERCÍCIOS – Produto Misto
1) Dados os vetores
a)
(u , v , w)
u (3, 1, 1) , v (1, 2, 2)
b) ( w, u , v )
e
w (2, 0, 3) , determine:
u (v w) 2 , calcule:
b) (u w) (3v )
u (w v )
2) Sabendo que
a)
AB , AC
3) Os vetores i 2 j 3k , 2 i j k e 3 i j 4k são coplanares? Justifique sua resposta.
4) Calcule o volume do paralelepípedo construído sobre os versores i , j e k .
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B
e
AD
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5) Determine os valores de
6) Para que valor de
m
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k
para que os vetores
os pontos
u (2, k , 1) , v (1, 2, k )
A(m, 1, 2) , B(2, 2, 3) , C (5, 1, 1)
D(3, 2, 2)
e
u (3, 1, 4) , v (2, 0, 1)
u e v.
7) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores
e a altura relativa à base definida pelos vetores
w (3, 0, 3)
e
e
e
m para que o volume do paralelepípedo determinado
v3 (3, m, 2) seja igual a 33 unidades de volume.
9) Determine o valor de
n
em função de
para que se tenha
m
10) Represente graficamente o tetraedro
ABCD
são coplanares?
w (2, 1, 5) . Calcule o seu volume
8) Calcular o valor de
v2 (4, 2, 1)
sejam coplanares.
pelos vetores
v1 (0, 1, 2) ,
(m, n, 2) [(3, 1, 2) (0, 1,1)] 9 .
e calcule o seu volume, sendo
A(1, 1, 0) , B(6, 4,1) , C (2, 5, 0)
e
D(0, 3, 3) .
11) Dados os pontos
A(2, 1, 1) , B(1, 0,1)
paralelepípedo determinado por
AB , AC
e
12) Calcule a distância do ponto
D(2, 5, 2)
e
C (3, 2, 2) , determinar o ponto D
AD
seja
25
do eixo
Oz
para que o volume do
unidades de volume.
ao plano determinado pelos pontos
A(3, 0, 0) , B(0,3, 0)
e
C (0, 0, 3) .
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) –29
1b) –29
2a) –2
7) V = 17 u.v. e h = 17/ 30 u.c.
2b) –6
8) {4, –17/4}
3) Sim, pois o produto misto é zero.
9) n = m + 1
10) 19/2 u.v.
4) 01 u.v.
5) {2, –3}
11) D(0, 0, –10) ou D(0, 0, 15)
6) m = 4
12) 4/ 3 u.c.
Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos.
[Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]
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APÊNDICE
Roteiro e Observações para Resolução de Problemas em Matemática [Geometria Analítica]
1
2
3
4
5
6
–
–
–
–
–
–
Leia com muita atenção o enunciado (texto) do problema e veja que parte da Matemática (ou da Geometria) ele envolve.
Se possível, faça uma representação gráfica (figura) para ilustrar o enunciado.
Anote os dados, verificando se as grandezas envolvidas pertencem ao mesmo Sistema de Unidades, transformando-as se necessário.
Verifique o que precisa ser calculado ou resolvido (o que o problema pede como solução).
Escreva as relações matemáticas (fórmulas) referentes ao tema envolvido.
Relacione os dados e as incógnitas que aparecem nas fórmulas escritas, empregando aquelas que são necessárias para se chegar à
solução do problema.
7 – Dê qualidade a sua resolução, procurando resolver o problema com muita atenção e organização.
8 – Escreva a solução encontrada com a respectiva unidade, caso exista.
9 – Verifique se a solução condiz com o que foi perguntado no problema e se o resultado é coerente com situação em questão.
Informações Gerais sobre Triângulos
# Ângulos Internos de um Triângulo:
Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º. Os ângulos internos podem ser:
Ângulo Reto: ângulo de 90º
Ângulo Agudo: ângulo menor que 90º (e maior que 0º) 0 < < 90º
Ângulo Obtuso: ângulo maior que 90º (e menor que 180º) 90º < < 180º
# Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos LADOS
Triângulo
Equilátero
Os três lados têm medidas iguais
(e três ângulos iguais de 60º).
d(A,B) = d(B,C) = d(C,A)
Triângulo
Isósceles
Triângulo
Escaleno
Dois lados têm a mesma medida
(e dois ângulos iguais ou congruentes).
d(A,B) = d(A,C) d(B,C)
Todos os três lados têm medidas diferentes
(e três ângulos diferentes).
d(A,B) d(B,C) d(C,A)
# Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ÂNGULOS INTERNOS
Triângulo
Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos, isto é,
as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo
Obtusângulo
Um ângulo interno é obtuso (Â), isto é,
possui um ângulo com medida maior do que 90o.
Triângulo
Retângulo
Possui um ângulo interno reto (Â), isto é, com 90o.
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# Segmentos Notáveis:
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º).
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.
A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736).
# Pontos Notáveis:
Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo.
Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo.
Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.
Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.
# Lados de um Triângulo Retângulo:
Nomenclatura: Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a
posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto
(adjacentes a ele) são os catetos.
Termo
Origem da Palavra
Cateto
Cathetós: (perpendicular)
Hipotenusa
Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotam-se as seguintes notações:
Letra
Lado
Triângulo
a
Hipotenusa
b
c
Vértice / Ângulo
Medida
A Ângulo reto
A = 90°
Cateto
B Ângulo agudo
B < 90°
Cateto
C Ângulo agudo
C < 90°
Observação:
Dado um triângulo qualquer, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Para isto, devemos
conhecer as medidas dos seus lados e então aplicarmos o teorema de Pitágoras. Assim:
Se a2 = b2 + c2 teremos um triângulo retângulo [Â = 90º]
Se a2 < b2 + c2 teremos um triângulo acutângulo [Â < 90º]
Se a2 > b2 + c2 teremos um triângulo obtusângulo [Â > 90º]
Importante:
Vale lembrar que “a” é a medida da hipotenusa e sempre será o maior lado de um triângulo retângulo. Porém, para os dois
últimos casos (Acutângulo e Obtusângulo) essa nomenclatura não é válida, todavia o valor de “a” está associado ao maior
lado destes triângulos.
A
# Relações Trigonométricas para um Triângulo Qualquer:
2
2
b
2
Lei dos Cossenos: a b c 2.b.c.cos Aˆ
Lei dos Senos:
Cálculo de Área:
a
sen Aˆ
S
b
sen Bˆ
c
sen Cˆ
c
2R
a.b.sen Cˆ
B
2
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R
C
a
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FORMULÁRIO DE ÁLGEBRA VETORIAL NO ℝ3
A e B : v AB B A
Notação através da combinação linear da base canônica (vetor posição): v xi yj zk
x1 y1 z1
w
Paralelismo:
Versor de um vetor: vers w
n com n ℝ
| w|
x2 y2 z2
Notação analítica (vetor posição):
Módulo de um vetor:
Produto Escalar:
|w|
v (x, y , z)
x2 y 2 z 2
Num vetor Unitário:
u w x1.x2 y1.y2 z1.z2
Ângulo entre dois vetores:
Notação utilizando dois pontos
u w | u|.| w|. cos θ
ou
u w
cos com 0 180
| u | .| w |
|u |
x2 y 2 z 2 1
0 180
com
Observação: Se
u w u w 0
x
y
z
cos , cos e cos com cos2 cos2 cos2 1
|v |
|v |
|v |
wv
Versor diretor: vers v (cos , cos , cos )
Vetor Projeção de w em v : projv w v
v v
i
j k
Módulo: | u w | | u | . | w |. sen com 0 180
Produto Vetorial: u w x1 y1 z1
Observação: Se u // w u w 0
x2 y2 z2
uw
Aplicações do Produto Vetorial:
Área Paralelogramo = u w
Área Triângulo =
2
x1 y1 z1
Produto Misto: u (v w) (u , v , w) x2 y2 z2
Obs.: Se u , v e w são coplanares (u , v , w) 0
x3 y3 z3
Ângulos e cossenos diretores:
(u , v , w)
Aplicações do Produto Misto: Volume do Paralelepípedo =
Equação Vetorial de uma Reta r : P A t v
A(x0 , y0 , z0) r ,
Sendo que:
v
Volume do Tetraedro =
ou em coordenadas:
é o vetor diretor de
r,
t
é o parâmetro,
6
(u , v , w)
(x, y, z) (x0 , y0 , z0) t (xv , yv , zv)
P é um ponto genérico de r .
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
y
Coordenadas polares P r ,
y
Coordenadas cartesianas Px , y
P
r
x r. cos
Conversão de polar para retangular:
2
2
r x y
Conversão de retangular para polar:
y r. sen
e
2
e
VALORES TRIGONOMÉTRICOS
0º
1
30º
1
2
45º
60º
2
2
sen
0
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
0
3
3
1
3
y
tg
x
xp
x
0
Conversão graus radianos: 180º
90º
1
0
∄
120º
135º
3
2
1
2
2
2
3
Página 65 de 65
2
2
1
150º
1
2
rad
180º
270º
360º
0
1
0
sen
3
2
1
0
1
cos
3
3
0
∄
0
tg
Download
