UDESC – UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA
CATARINA
CCT – CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS
DEC – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
APOSTILA DE CONCRETO ARMADO II –
CAR2001
1º semestre de 2014
Profa. Sandra Denise Kruger Alves
Email: [email protected]
[email protected]
Fone: (47) 4009- 7936/7992
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PARTE I
1 PILARES
1.1 DENOMINAÇÃO E CARGAS
Pilar é um elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as
forças normais de compressão são preponderantes.
A principal função de um pilar é conduzir as ações atuantes até as fundações, e,
junto com as vigas formar os pórticos que são os responsáveis por resistir às ações verticais e
horizontais, proporcionando rigidez e garantindo a estabilidade global da estrutura. No caso de
lajes planas, onde não existem vigas, as cargas atuantes nas lajes são transmitidas
diretamente para os pilares, devendo-se tomar cuidados com a verificação da punção.
As solicitações são representadas pelas reações verticais das vigas dos pavimentos,
pelo peso próprio e pelo momento fletor devido a alguns fatores como efeito de pórtico,
posição excêntrica de alguma viga, consideração do vento, efeitos de segunda ordem, etc.
Para edifícios com vários andares, obtém-se para cada pilar e no nível de cada andar, o
subtotal de carga atuante, desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, no nível
de cada andar, são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar, e a carga total é
usada no projeto da fundação.
De um modo geral, o dimensionamento de um pilar deve garantir a resistência e a
estabilidade da peça.
As seções transversais dos pilares são formadas pelo concreto (material com boa
resistência à compressão) e pela armadura longitudinal e transversal. A armadura posicionada
na direção da compressão (armadura longitudinal) tem a função de diminuir as deformações da
peça, especialmente devido à deformação lenta e à retração do concreto, além de contribuir
para absorver as forças atuantes. A armadura transversal (perpendicular à direção da
compressão) tem a função de proteger as barras comprimidas contra a flambagem e manter a
posição destas barras durante a concretagem do pilar, além de impedir a fissuração do
concreto, pois geralmente ocorre tração na direção transversal à compressão.
Em edifícios, a seção transversal pode variar ao longo da altura do edifício, sendo que
a tendência atual, por motivos construtivos, é de manter a seção transversal (concreto) do
pilar constante ao longo de toda a altura, variando-se apenas a armadura.
Como normalmente o momento fletor troca de sentido ao longo de um lance de pilar,
procura-se utilizar uma disposição simétrica da armadura longitudinal na seção transversal.
1.2 PILAR PAREDE
Denomina-se pilar-parede um elemento de superfície plana, usualmente disposto na
vertical e submetido preponderantemente à compressão, podendo ser composto por uma ou
2
mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar parede, em algumas destas superfícies,
a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal
da peça. Deve-se lembrar que o dimensionamento de um pilar parede difere de um pilar
convencional, e este assunto não será estudado na disciplina de CAR-II.
b
b
h
h
PILAR
PAREDE: b < h / 5
PILAR: b ≥ h / 5
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES
Normalmente os pilares de edifícios são classificados conforme a sua função em
termos de resistência aos esforços horizontais: pilares de contraventamento e pilares
contraventados:
a) pilares de contraventamento – são os pilares que, devido a sua grande rigidez, permitem
considerar os diversos pisos do edifício como praticamente indeslocáveis. Normalmente são
constituídos pela caixa de elevador e por pilares devidamente enrijecidos e situados junto
às extremidades do piso (pilares-parede, caixas de escadas), sendo que o cálculo destes
pilares exige a consideração da estrutura como um todo, ou seja, o pilar a ser dimensionado
deverá ser considerado como um único pilar desde o nível da fundação até a cobertura do
edifício.
3
b) pilares contraventados – são pilares com “rigidez menor”, onde as extremidades de cada
lance podem ser consideradas praticamente indeslocáveis devido ao efeito conjunto dos
pilares de contraventamento e das lajes de piso. O seu cálculo pode ser feito através da
análise isolada de cada lance entre pisos. Conforme a posição dos pilares contraventados no
piso, eles podem ser agrupados nos seguintes tipos:
b.1) pilares internos ou intermediários – situados internamente ao piso, constituem os
apoios internos das vigas, sendo a força normal (N) seu principal esforço solicitante.
b.2) pilares de extremidade – geralmente situados nas bordas do piso, constituem os apoios
de extremidade das vigas. Os esforços solicitantes são a força normal (N) e o momento
fletor (M) atuando segundo o plano constituído pelo pilar e pela viga (efeito de pilar de
extremidade), sendo este efeito normalmente substituído por um par (N, e i ).
b.3) pilares de canto – estão situados junto aos cantos do piso. Os esforços solicitantes
são a força normal (N) e dois momentos fletores, atuando segundo os planos constituídos
4
pelo pilar e cada uma das vigas apoiadas, ortogonais entre si (x e y), sendo este efeito
normalmente substituído por um conjunto de valores (N,
eix e e iy )
Os esforços que podem atuar num pilar podem ser devido a solicitações de
compressão, flexão, esforço cortante e momento torçor, sendo que os dois últimos esforços
são normalmente desprezados. A flexão pode ocorrer pela mudança no prumo dos pilares ou
pelo momento causado pelas vigas, se for considerado que estas são solidárias com os pilares
(efeito de pórtico). De modo geral, os pilares podem ser divididos em três grupos básicos, com
metodologias próprias de dimensionamento, como pode ser observado na figura abaixo:
1.4 POSICIONAMENTO DOS PILARES
Para a localização dos pilares num determinado piso, recomenda-se iniciar sempre pelos
cantos da edificação e, a partir daí, pelas áreas que geralmente são comuns a todos os
pavimentos como cantos de elevadores e da caixa da escada, verificando-se quais pilares
podem prosseguir até a cobertura, casa de máquinas e reservatórios. Em seguida, posicionam-
5
se os pilares de extremidade e os pilares internos, buscando embuti-los nas paredes ou
procurando respeitar as imposições do projeto de arquitetura.
Sempre que possível, deve-se dispor os pilares de forma alinhada, a fim de formar
pórticos com as vigas que os unem, que contribuirão significativamente na estabilidade global
do edifício.
Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultem distâncias entre seus eixos
da ordem de 4 m a 6 m, lembrando-se que distâncias muito grandes entre pilares produzem
vigas com grandes dimensões, acarretando maiores custos à construção (maiores seções
transversais dos pilares, maiores taxas de armadura, dificuldades nas montagens da armação e
das formas etc.). Por outro lado, pilares muito próximos podem acarretar interferência nos
elementos de fundação e aumento do consumo de materiais e de mão-de-obra, afetando
desfavoravelmente os custos.
Posicionados os pilares no pavimento-tipo, deve-se verificar suas interferências nos
demais pavimentos que compõem a edificação. Assim, por exemplo, deve-se verificar se o
arranjo dos pilares fornece o número de vagas estipulado, permite a realização de manobras
dos carros nos andares de garagem ou se não afetam as áreas sociais, tais como recepção, sala
de estar, salão de jogos e de festas, etc. Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição
dos pilares entre os diversos pavimentos, pode haver a necessidade de um pavimento de
transição. Nesta situação, a prumada do pilar é alterada, empregando-se uma viga de transição,
que recebe a carga do pilar superior e a transfere para os pilares inferiores, na sua nova
posição. Nos edifícios de muitos andares, devem ser evitadas grandes transições, pois os
esforços na viga podem resultar exagerados, provocando aumento significativo de custos.
1.5 COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE UM PILAR
Para um pilar, suposto vinculado em ambas as extremidades, o comprimento
equivalente
l e do elemento isolado, é o menor dos seguintes valores:
le ≤
l0 + h
l
onde:
l 0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que
vinculam o pilar;
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;
l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
6
No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de
le é
l e = 2l .
Obs.: na determinação do comprimento equivalente, deve-se observar o conjunto de pilares e
pisos, verificando se existe um travamento diferente em uma das direções dos eixos
principais. Esta consideração é importante por exemplo, no caso de vigas situadas no patamar
de escadas, normalmente colocadas no meio do pé direito.
7
2 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS E PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES
A execução da armação de um pilar envolve diversas etapas, a saber:
Na determinação e no detalhamento da armadura longitudinal e da armadura
transversal de um pilar, deve-se respeitar algumas condições, que são:
2.1) DIMENSÕES MÍNIMAS PARA PILARES
Para que não se tenha um desempenho inadequado, a seção transversal de um pilar
2
não pode ser menor do que 360 cm e não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Isto se
deve ao fato de se ter um aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e
falhas na construção, quando do uso de dimensões muito pequenas. Em casos especiais,
permite-se usar um valor de no mínimo 12 cm desde que se multipliquem as ações a serem
consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γ n , de acordo com a tabela
abaixo, onde b representa a menor dimensão do pilar:
γ n = 1,95 − 0,05b
b
γn
≥ 19
1,00
18
1,05
17
1,10
16
1,15
15
1,20
14
1,25
13
1,30
12
1,35
Desta forma, para um pilar de seção transversal 25x40 o esforço axial de
compressão de cálculo é
N d = γ F .N k
onde
γF
representa o coeficiente de majoração de cargas (características) visto na disciplina
de Concreto Armado I, tomado normalmente com o valor de 1,4.
Por outro lado, para um pilar de seção transversal 15x50, o esforço a considerar
seria
N d = 1,2.1,4.N k
8
Obs.: dependendo do recobrimento mínimo a ser recomendado em função da Classe de
Agressividade Ambiental, tem-se que dimensões próximas de 12 cm são praticamente inviáveis
de ser utilizadas.
2.2) COBRIMENTO DA ARMADURA DE UM PILAR
Com vistas à proteção das armaduras e lembrando-se que o cobrimento nominal é o
cobrimento mínimo acrescido de uma tolerância de execução ( ∆c ) , a depender
fundamentalmente da classe de agressividade ambiental (CAA), deve-se atender:
Classe de agressividade
Cobrimento nominal (mm)
I
25
II
30
III
40
IV
50
Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à
face externa do estribo. O cobrimento nominal deve também atender a condição de ser maior
que o diâmetro da barra, e o diâmetro máximo do agregado utilizado deve ser:
d max ≤ 1,2.c nom
Para garantir o cobrimento necessário, pode-se utilizar espaçadores, conforme
figura a seguir:
2.3) DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a
1/8 da menor dimensão transversal:
10 mm ≤ φ l ≤ b / 8
2.4) TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA PARA PILARES:
9
Tendo sido determinada a armadura longitudinal de um pilar, deve-se verificar uma
min
armadura mínima As
:
As , min = 0,15
onde
Nd
≥ 0,4%. Ac
f yd
Ac representa a área de concreto da seção transversal do pilar.
2.5) TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÁXIMA PARA PILARES:
A maior armadura possível em pilares deve ser de 8% da seção real, considerando-se
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda.
As , max = 8% Ac
Obs.: alguns autores consideram que uma taxa de armadura é econômica quando está entre 1%
e 1,5%.
2.6) ARRANJO DA ARMADURA EM PILARES
Em seções poligonais de um pilar, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice,
e em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro.
2.7) ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS LONGITUDINAIS
- ESPAÇAMENTO MÍNIMO ENTRE BARRAS
O espaçamento livre mínimo (a) entre as armaduras, medido no plano da seção
transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
2 cm
a≥
φl
1,2.d max
10
Estes valores também se aplicam às regiões de emendas por traspasse das barras
(esperas).
- ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE BARRAS
O espaçamento máximo entre eixos das barras (a), ou de centros de feixes de
barras, deve ser menor ou igual a 2 vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem
exceder 40 cm.
a≤
40cm
2 vezes menor dim ensão
Obs.: quando no plano de concretagem do pilar existir a previsão de adensamento através de
abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para
permitir a passagem do vibrador.
2.8) ARMADURA TRANSVERSAL EM PILARES
A armadura transversal de pilares deve ser constituída por estribos e algumas vezes
por ganchos suplementares, devendo ser colocados em toda a altura do pilar, inclusive na região
de cruzamento com vigas e lajes. Esta armadura deve garantir o posicionamento e impedir a
flambagem das barras longitudinais, garantir a costura das emendas de barras longitudinais e
confinar o concreto, obtendo desta forma uma peça mais resistente ou dúctil.
O diâmetro do estribo ( φ t , também conhecido como diâmetro transversal) em pilares
não deve ser inferior a 5 mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente
do feixe que constitui a armadura longitudinal:
11
5mm
φt ≥ φl / 4
φ feixe / 4
O espaçamento longitudinal entre os estribos ( s t ), medido na direção do eixo do
pilar, deve ser igual ao inferior ao menor dos seguintes valores:
20 cm
st ≤
menor dim ensão da seção transversal
12φl para aço CA50
25φl para aço CA25
Observações:
- em pilares com momentos nas extremidades e nos pilares pré-moldados, LEONHARDT
& MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham, nas suas extremidades, 2 a 3
estribos com espaçamento igual a
-
st / 2 e st / 4 :
por razões práticas, aconselha-se que para
φ l ≥ 16mm
utilize-se os diâmetros de estribo
sugeridos pela tabela a seguir:
φ l (mm)
φ t (mm)
10,0 e 12,5
16,0 e 20,0
25,0 e 32,0
45,0
5,0
6,3
8,0
10,0
12
-
-
é importante também, que se tome cuidados durante a concretagem dos trechos de
interseção dos pilares com as vigas que nelas se apoiam, por causa do acúmulo de armadura
que aí se verifica;
pode ser adotado um valor de φ t < φ l / 4 desde que as armaduras sejam constituídas do
mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a condição
s max
φ t2 1
= 90000.( ).
φ l f yk
2.9) PROTEÇÃO CONTRA FLAMBAGEM DAS BARRAS
Para garantir que não haja problemas com flambagem das barras da armadura junto à
superfície da peça, pode-se usar grampos ou estribos poligonais, sempre que as barras
longitudinais estejam a uma distância ≥ 20 φ t do canto, e desde que nesse trecho de
comprimento 20 φ t não se tenha mais de duas barras, sem contar a do canto, onde
φt
é o
diâmetro da armadura transversal (estribo).
Observa-se que os ganchos devem atravessar a seção da peça e envolver a barra
longitudinal e o estribo, devendo possuir o mesmo diâmetro e mesmo espaçamento do estribo.
Para que não seja necessário detalhar os ganchos um a um, pode-se fazer um detalhe genérico
dos mesmos em algum canto da folha de detalhamento dos pilares, colocando as informações
acima.
13
2.10) ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS (ESPERAS)
Para garantir a transferência de carga num determinado pilar entre pavimentos
sucessivos, é necessário considerar um comprimento de ancoragem dado por:
l bc, nec = l b
As' ,calc
As' ,efet
0,6l b
≥ 15φ
20 cm
Onde
As' ,calc , As' ,efet - armadura longitudinal de compressão calculada e efetivamente usada ;
e
lb =
sendo
φ f yd
4 f bd
f bd a tensão última de aderência.
Através de tabela abaixo, válida para o aço CA50 (vide a disciplina de CAR-I), tem-se
que
l b = K .φ
sendo que os valores a serem adotados para K são:
f ck (Mpa)
15
20
25
30
35
40
45
50
K
53
44
38
34
30
28
25
24
Obs.: para pilares, considera-se que a armadura longitudinal dos mesmos está sempre em zona
de boa aderência.
2.11) PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Para efeito de pré-dimensionamento, a área da seção transversal pode ser estimada
através da carga total prevista para o pilar. Por sua vez, esta carga pode ser estimada através
da área de influência total do pilar em questão ( Atot ). No caso de andares-tipo, ela equivale à
área de influência em um andar multiplicada pelo número de andares existentes acima do lance
considerado. Convém salientar que quanto maior for a uniformidade no alinhamento dos pilares
e na distribuição dos vãos e das cargas, maior será a precisão dos resultados obtidos. Há que
se salientar também que, em alguns casos, este processo pode levar a resultados muito
imprecisos.
14
A carga total média em edifícios (
p med ) varia de 10 kN/m2 a 12 kN/m2, podendo
ainda ser considerada, para estruturas “leves”, um valor de 8 kN/m2. Portanto, tem-se:
P
tot
= Atot . p med
Usualmente, a resistência admissível do concreto ( σ adm ) pode variar entre 1 kN/cm2
a 1,5 kN/cm2. Assim,
Ac ≅
Ptot
σ adm
.
A partir de
Ac tem-se as dimensões da seção transversal do pilar, devendo-se
respeitar os limites vistos no item 2.1 deste mesmo capítulo.
Esta expressão fornece resultados bem adequados no caso de pilares internos ou de
extremidade (na direção da maior dimensão). Porém, para pilares de extremidade considerados
na direção da menor dimensão é interessante que se majore esta estimativa de
Ac em 10% e
para pilares de canto em 30%. Desta forma, se leva em conta o efeito das excentricidades das
cargas.
Para a carga devida ao pavimento de cobertura, pode-se considerar que esta carga é
70% da carga do pavimento tipo. Também, não se pode ignorar no pré-dimensionamento dos
pilares a existência de caixa d’água superior, casa de máquina e outros equipamentos, devendose estimar os carregamentos gerados por eles nos pilares que os sustentam.
A seção do pilar pode ser mantida constante ao longo de um lance (entre pisos
consecutivos) ou pode variar ao longo de sua altura total. Esta variação pode ser feita a cada
grupo de 3 andares, a critério do calculista. Quando a seção for mantida constante ao longo da
altura total, ela pode ser predimensionada no ponto mais carregado, o que corresponde ao
pavimento térreo, adotando-se uma tensão admissível em torno de 1,3 kN/cm2.
Em princípio, adotam-se para as dimensões do pilar, múltiplos de 5 cm (20 cm, 25 cm,
etc), lembrando-se que no caso de se usar blocos de concreto, os mesmos apresentam medidas
quaisquer (são bastante usados os blocos de base 14 cm ou 19 cm).
Obs.: é também bastante comum que os calculistas façam um pré-dimensionamento da seção
transversal do pilar dividindo-se a carga de projeto no pavimento considerado (através de
área de influência) pela resistência de cálculo à compressão do concreto ( f cd ).
2.12) - REDUÇAO DE SOBRECARGA EM EDIFÍCIOS
Segundo a NBR 6120 (Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações), no cálculo
dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não
destinados a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores da
tabela fornecida a seguir:
15
Número de pisos que atuam sobre o Redução
percentual
elemento
acidentais (%)
1, 2 e 3
0
4
20
5
40
6 ou mais
60
das
cargas
Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.
Esta consideração da norma permite que, principalmente para prédios altos, se possam
obter valores mais reduzidos de cargas nos pilares e consequentemente nas fundações.
2.13) EXEMPLO DE DETALHAMENTO
Os pilares podem ser detalhados de várias formas, sendo que o detalhamento deve
apresentar a armadura longitudinal e transversal do pilar para o pavimento considerado,
indicando-se a quantidade, a numeração, a bitola e o comprimento da armadura em questão.
Para exemplo, vide o arquivo “EXEMPLO DETALHAMENTO PILARES” no link
www.joinville.udesc.br/portal/professores/sandra.
2.14) OBSERVAÇÕES GERAIS
-
os blocos de fundação devem ser concretados antes do início da execução dos pilares, e
por isto, toda a armadura do pilar é emendada no topo do bloco (armadura de arranque). A
altura do bloco de fundação deve permitir a ancoragem por aderência da armadura de
arranque, garantindo-se o comprimento necessário de emenda por traspasse às barras do
primeiro tramo do pilar, tomando-se normalmente para esta armadura de arranque o mesmo
valor da armadura calculada para o pavimento logo acima. No caso de sapatas, a depender
da profundidade da mesma, é comum que se aumente o colarinho 2,5 cm para cada lado, e
desta forma podendo-se utilizar a mesma armadura do pavimento logo acima (critério
prático, a ser verificado).
h ≥ lb
16
- as emendas da armadura longitudinal de um pilar devem ser feitas acima da laje dos
diferentes andares da construção;
emenda
- quando não há mudança da seção transversal do pilar de um tramo ao seguinte, somente têm o
comprimento necessário à emenda por traspasse as barras que efetivamente irão ter
prolongamento no tramo superior;
4N
6N
- quando há mudança da seção transversal do pilar, o comprimento para emenda por traspasse
só é mantido nas barras que possam passar de um tramo a outro a despeito da mudança da
seção de concreto. Quando o prolongamento da barra não é possível, empregam-se barras
suplementares que funcionam como arranque para o prolongamento do pilar;
4N
4N
17
-
não se recomenda a emenda representada no desenho abaixo (detalhe chamado de
“engarrafamento” da armadura):
4N
4N
18
3 DETERMINAÇÃO DAS EXCENTRICIDADES
3.1 EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM
Os esforços calculados a partir da geometria inicial (indeformada) da estrutura, são
chamados efeitos de primeira ordem.
As excentricidades de primeira ordem consideradas em um projeto estrutural são:
- excentricidade inicial (que pode ser devido ao efeito de pórtico ou devido à posição da viga
em relação aos eixos do pilar);
- excentricidade acidental;
- excentricidade suplementar.
a)
EXCENTRICIDADE INICIAL ( e i )
- EXCENTRICIDADE DE FORMA
Em estruturas de edifícios, as posições das vigas e dos pilares na planta de formas
do pavimento dependem basicamente do projeto arquitetônico. Assim, é comum em projetos a
coincidência entre faces (internas ou externas) das vigas com as faces do pilares que as
apóiam, surgindo assim pilares centrados, de extremidade ou de canto.
Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da
seção transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são
denominadas excentricidades de forma.
As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento
dos pilares, pelas razões apresentadas a seguir. A figura a seguir mostra as vigas V1 e V4 que
19
se apoiam no pilar P1, com excentricidades de forma
eix e e iy , respectivamente. As tensões
causadas pela reação da viga V1, pelo princípio de Saint-Venant, propagam-se com um ângulo de
45o e logo se uniformizam, distribuindo-se por toda a seção transversal do pilar em um plano
qualquer P.
M VTo1 =
A excentricidade de forma provoca, no nível de cada andar, um momento fletor
RVTo1 .e fy que tende a ser equilibrado por um binário. Na figura anterior, tem-se
também representados esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos, os
momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram.
Observa-se que, em cada piso, atuam pares de forças em sentidos contrários com
valores da mesma ordem de grandeza e que, portanto, tendem a se anular.
A rigor, apenas no nível da fundação e da cobertura, as excentricidades de forma
deveriam ser levadas em conta. Entretanto, mesmo nesses níveis elas costumam ser
desprezadas.
No nível da fundação, sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos
andares superiores, o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta
significativamente os resultados do dimensionamento.
Já no nível da cobertura, os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura
mínima, em geral, capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de
forma.
Obs.: em estruturas pré-moldadas, por exemplo, a consideração da excentricidade de
forma (ou de posição) torna-se bastante importante. Também é muito importante no caso de
mudança da dimensão da seção transversal, como pode ser visto na figura a seguir:
20
- EXCENTRICIDADE EM PILARES DE EXTREMIDADE – EFEITO DE PÓRTICO
Em estruturas de edifícios de vários andares ocorre um monolitismo nas ligações
entre vigas e pilares que compõem os pórticos de concreto armado. A excentricidade inicial,
oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas, ocorre em pilares extremos
e de canto, e o efeito é conhecido como efeito de pórtico. A partir das ações atuantes em cada
tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas pelas expressões:
ei ,topo =
M topo
N
e
ei ,base =
M base
N
Para vigas centradas no eixo do pilar, as solicitações iniciais de um pilar intermediário
podem ser calculadas sem a consideração de momentos, sendo a solicitação inicial devido
somente à força normal oriunda do carregamento aplicado, podendo-se considerar compressão
centrada, dentro de certos critérios que serão vistos posteriormente.
Por outro lado, um pilar de extremidade ou de canto deve ser obrigatoriamente
calculado à flexão composta (normal ou oblíqua, dependendo do posicionamento das vigas),
porque existe um engastamento parcial devido à consideração de nó de pórtico. Este
engastamento é dito parcial porque a idade do concreto no nível “i” é diferente da idade do
concreto no nível “i+1” ou “i-1”.
Seja o seguinte esquema:
NIVEL
i+1
H
sup
NIVEL
i
H
L vig
inf
NIVEL
i-1
21
Analisando-se esta figura, os momentos no nó do pórtico podem ser calculados por um
modelo simplificado dado pela NBR 6118/2003:
Obs.: dependendo da condição, o apoio da extremidade oposta ao nó de pórtico
poderá ser considerado um apoio simples ou um engaste.
Para um esquema de viga/pilar de extremidade, os momentos fletores dos nós dos
pilares extremos podem ser calculados pelas expressões:
M inf = M eng
rinf
M sup = M eng
M vig = M eng
rinf
+ rsup + rviga
rsup
rinf + rsup + rviga
rsup + rinf
rinf + rsup + rviga
onde
rinf - índice de rigidez do pilar inferior:
rinf =
I inf
Linf / 2
rsup - índice de rigidez do pilar superior:
rsup =
I sup
Lsup / 2
22
rvig - índice de rigidez da viga:
rvig =
I vig
Lvig
I sup , I inf - momento de inércia, na direção considerada, dos pilares superior e inferior;
I vig - momento de inércia da viga;
Lsup , Linf - altura do pilar superior e inferior;
Lvig - vão da viga;
M eng - momento de engastamento perfeito da viga, de acordo com o carregamento e
condições de apoio consideradas (viga bi-engastada ou viga engastada-apoiada). Este valor pode
ser tomado pelas tabelas 28 e 28A , da disciplina de Teoria das Estruturas II.
Tabela 28
Tabela 28A
Das fórmulas anteriores, observa-se que para as vigas apoiadas em pilares extremos,
deve-se considerar o momento de engastamento parcial ( M vig ), devido ao efeito de pórtico
existente após a concretagem de um determinado piso. Como já foi dito anteriormente, diz-se
que o engastamento é parcial, porque o concreto do nível “i” tem idade diferente do concreto
do nível “i+1” ou do nível “i-1”, não havendo, portanto, um engastamento total.
Observa-se também que para as extremidades opostas de um pilar extremo surgem
momentos ditos no topo e na base, e como conseqüência surgem também excentricidades
devido ao efeito de pórtico no topo e na base destes pilares:
M topo
M base
e topo =
M topo
e base =
M base
N
N
23
Para o cálculo dos momentos fletores é indispensável um prévio conhecimento da
seção transversal do pilar, devendo-se analisar corretamente a direção em que se deve analisar
o efeito de pórtico, tomando-se os devidos cuidados quando existir mudança de rigidez ou de
altura de um pavimento a outro.
Como conclusão final, pode-se dizer que independente da posição das vigas em
relação aos eixos principais dos pilares, um pilar de extremidade vai ser um caso de flexão
composta normal (efeito de pórtico numa só direção), e um pilar de canto vai ser um caso de
flexão composta oblíqua (efeito de pórtico em duas direções).
Obs.: segundo apostila do prof. Libânio (São Carlos), os momentos de engastamento deveriam
ser multiplicados pelos seguintes valores, a fim de uma melhor aproximação com a situação
real:
b) EXCENTRICIDADE ACIDENTAL ( e a )
Devido às incertezas relativas à posição real de aplicação de um esforço normal, e
devido a um possível desvio do eixo da peça durante a construção (em relação à posição
prevista no projeto), a NBR 6118/78 considerava um valor de excentricidade acidental igual a
h/30 e não menor que 2 cm na direção considerada. Segundo alguns pesquisadores, este valor
absoluto de 2 cm poderia resultar em uma excentricidade acidental muito exagerada em
pilares de pequenas dimensões (em torno de 20 a 30 cm).
A nova NBR 6118/2003 considera as imperfeições geométricas do eixo das peças da
estrutura descarregada, sendo elas divididas em dois grupos: imperfeições globais e
imperfeições locais.
De uma forma genérica, as construções de concreto são geometricamente
imperfeitas, uma vez que existem imperfeições na posição e na forma dos eixos dos elementos,
na forma e nas dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc.
Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de
ponderação (minoração das resistências, majoração dos esforços), mas as imperfeições dos
eixos das peças não, pois podem ter efeitos significativos sobre a estabilidade da construção.
Na análise global das estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve ser
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura a seguir:
24
1+1/ n
2
θ a = θ1
θ1 =
1
100 l
≥ θ 1 min
onde:
l – altura total da edificação (em metros);
n – número total de elementos verticais contínuos (número de prumadas);
θ 1 min = 1/400 para estruturas de nós fixos ou
1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais;
θ 1 max = 1/200.
Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois,
vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável (o que provoca o
maior momento total na base da construção).
Na análise local de elementos de estruturas reticuladas, devem também ser levados
em conta os efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação de somente um
lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo
do pilar, conforme figura abaixo:
25
Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja
suficiente. Assim, a excentricidade acidental pode ser obtida pela expressão:
e a = θ 1 .l / 2
No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventados a
pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar
contraventado, conforme figura anterior. No caso de pilares em balanço, como torres e pilares
de galpões, é mais indicado que se considere o desaprumo, ou seja:
e a = θ 1 .l
c) EXCENTRICIDADE SUPLEMENTAR ( e c )
A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência, sendo que sua
consideração deve ser obrigatória em pilares com índice de esbeltez maior que 90,
consideração esta que é bastante complexa, e que não será estudada na disciplina de CAR-II.
A expressão aproximada da excentricidade suplementar é dada pela fórmula a seguir,
sendo que o índice “c” diz respeito a creep (fluência, em inglês):
ϕ . N Sg

 M Sg

N e − N Sg


ec =
+ ea 2,718
− 1

N

 Sg


Tem-se que:
Ne =
10.E ci .I c
l e2
é a força de flambagem de Euler;
M Sg , N Sg - esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente de carregamento;
e a - excentricidade acidental devida às imperfeições locais;
ϕ - coeficiente de fluência;
E ci - módulo de elasticidade inicial do concreto, dado por
26
E ci = 5600. f ck2 / 3 (Mpa);
I c - momento de inércia no estádio I (não fissurado);
l e - comprimento equivalente do pilar.
Devido a sua complexidade, este assunto não será abordado nesta disciplina, uma vez
que seria necessário se levar em conta o tempo de duração de cada ação, ou seja, deveria-se
conhecer o histórico de aplicação de cada ação.
d) COMPOSIÇÃO DA EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM
Tendo sido determinadas, conforme o caso de solicitação, a excentricidade inicial e
acidental (devido aos efeitos de imperfeições locais), e também, no caso do índice de esbeltez
ser maior que 90 a excentricidade suplementar, define-se a excentricidade de primeira ordem
como sendo
e1 = ei + e a + e c
De maneira análoga, define-se como momento de primeira ordem:
M 1d = N d .e1
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas
reticuladas pela consideração do momento mínimo de primeira ordem dado por:
M 1d , min = N d (0,015 + 0,03h)
onde h representa a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros).
Deve-se então comparar e verificar:
M 1d ≥ M 1d , min
De uma outra forma, pode-se dizer que existe uma excentricidade inicial de primeira
ordem mínima, que vale:
e1, min = 1,5cm + 3%h
cm
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo.
No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser
respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.
27
Deve-se salientar que as expressões dadas anteriormente estão quase que
inteiramente baseadas nas recomendações do EUROCODE 2 (1992) e no Código Modelo CEBFIP (1990).
Uma outra observação importante, é que não existem na prática, pilares com carga
final normal centrada, uma vez que mesmo para os pilares centrais, com carga axial
supostamente centrada, é necessário observar o momento mínimo de 1a ordem atuando na
“direção mais fraca”, a fim de considerar a excentricidade acidental.
3.2 INSTABILIDADE E EXCENTRICIDADES DE SEGUNDA ORDEM
Diz-se que uma estrutura de concreto armado atingiu o estado limite de
instabilidade, se ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há
elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a
ser inferior ao aumento da solicitação. No nosso estudo, serão apenas consideradas estruturas
sem imperfeições geométricas iniciais, onde, para casos especiais de carregamento ocorre a
perda da estabilidade por bifurcação do equilíbrio, efeito também conhecido por flambagem.
Um efeito de 2a ordem deve ser somado àqueles obtidos numa análise de primeira
ordem, ou seja, quando se estuda o equilíbrio da estrutura numa configuração geométrica
inicial (indeformada). Este efeito pode ser desprezado sempre que não represente um
acréscimo superior a 10% nas reações e principais solicitações da estrutura. Como princípio
básico, deve-se assegurar que para a pior situação de carregamento, não ocorra perda de
estabilidade e nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo.
A consideração dos efeitos de 2a ordem conduz a não linearidade entre as ações e
deformações. Esta não linearidade, devido a sua origem, é chamada de não linearidade
geométrica. A consideração da fissuração e fluência do concreto, também conduz a uma não
linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não linearidade física.
3.2.1 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E DE NÓS MÓVEIS
Quando as estruturas são submetidas às ações verticais e horizontais, seus nós
deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses
deslocamentos são denominados de efeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura, como
um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de
2a ordem, que afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo dessas barras.
Se formos considerar a rigor o comportamento real das estruturas, pode-se dizer
que todas são deslocáveis, mas que para simplificação da análise, pode-se classificá-las em:
- estruturas de nós fixos – são aquelas onde os deslocamentos horizontais dos nós são
pequenos (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e por decorrência, os
efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis, bastando considerar os efeitos locais e
localizados de 2a ordem. Na disciplina de CAR-II, só serão consideradas estruturas de nós
fixos;
- estruturas de nós móveis – são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são
pequenos (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e portanto, os efeitos
28
globais de 2a ordem são importantes, devendo-se considerar obrigatoriamente tanto os
esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados.
Obs.: existem estruturas, como postes, certos pilares de pontes e de galpões industriais, em
que os deslocamentos horizontais são grandes, mas os efeitos de 2a ordem podem ser
desprezados em virtude das cargas verticais serem pequenas e, portanto, os deslocamentos
produzidos por elas também serem pequenos.
Mas como saber se uma estrutura pode ser considerada de nós fixos? Para responder
a esta pergunta, a NBR6118/2003 considera um parâmetro de instabilidade α , e considera que
uma determinada estrutura pode ser considerada de nós fixos se este parâmetro de
instabilidade for menor que um valor
α = H tot
α1 :
Nk
< α 1 ⇒ nós fixos
E cs I c
sendo:
se n ≤ 3
se n ≥ 4 :
α 1 = 0,2 + 0,1n
α 1 = 0,7 para contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede;
α 1 = 0,6 para associações de pilares-parede e pórticos;
α 1 = 0,5 quando só houver pórticos.
onde:
n – número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo;
H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco
deslocável do subsolo;
N k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível
considerado para o cálculo de
H tot ), com seu valor característico;
E cs I c - somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso
de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da
altura, pode ser considerado o valor da expressão
E cs I c de um pilar equivalente de seção
constante, engastado na base e livre no topo.
O valor de I c deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A
rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma:
- calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do
carregamento horizontal, considerando-se a associação de todos os pórticos que participam
dessa estrutura de contraventamento. Essa associação entre os pórticos é possível porque,
como as lajes possuem rigidez “infinita” no plano horizontal, elas permitem que os pórticos
e paredes trabalhem de modo conjunto para resistir às ações horizontais. Para representar
29
-
as lajes fazendo a associação entre os pórticos, utilizam-se barras bi-articuladas, com área
“infinita”;
calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no
topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo
deslocamento no topo.
Seja o exemplo a seguir:
Conhecendo-se o valor do deslocamento a, pode-se determinar o valor da rigidez do
pilar equivalente por meio da expressão abaixo:
Ainda, lembrando-se da disciplina de CAR-I, tem-se que:
30
E ci = 5600 f ck ( MPa)
E cs = 0,85E ci
Deve-se lembrar que sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada
como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa
apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem. Também, é importante destacar que
um edifício pode ter um comportamento de nós fixos em uma direção e ter um comportamento
de nós móveis na outra.
3.2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO À ESBELTEZ
Os pilares podem ser classificados com relação às solicitações iniciais e com relação
à sua esbeltez. Como já foi dito anteriormente, de acordo com a posição que ocupam na
estrutura e, principalmente, com os esforços solicitantes iniciais, os pilares podem ser
classificados em pilares intermediários, de extremidade e de canto. De acordo com o índice de
esbeltez (λ ) , os pilares podem ser classificados comparativamente a um índice de esbeltez
limite
(λ1 ) como sendo:
λ ≤ λ1 ;
-
pilares pouco esbeltos:
-
pilares de esbeltez média ou pilares robustos:
-
pilares esbeltos ou muito esbeltos: 90 < λ ≤ 140 ;
pilares excessivamente esbeltos: 140 < λ ≤ 200
λ1 < λ ≤ 90 ;
Não se admite, em nenhum caso, pilares com índice de esbeltez superior a 200. Esta
regra não precisa ser aplicada no case de postes com uma força normal menor que
0,10 f cd A .
Obs.: para pilares esbeltos ou excessivamente esbeltos, deve-se levar em conta o
efeito da fluência através da consideração da excentricidade suplementar, uma vez que
λ > 90 .
3.2.3 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ )
Quando uma estrutura é considerada como de nós fixos pode-se considerar cada
elemento estrutural isoladamente, com vínculo aos demais elementos através das
extremidades, dispensando-se apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem.
Para determinação do comprimento equivalente
l e (ou comprimento de flambagem)
do elemento isolado, deve-se utilizar o procedimento visto no item 2.2, onde
le ≤
l0 + h
l
31
O índice de esbeltez é definido pela expressão
λ=
le
i
onde:
l e - comprimento equivalente do elemento isolado.
i - raio de giração mínimo da seção bruta de concreto:
i=
I
A
Considerando-se o coeficiente de forma “c” (ou coeficiente de Euler), tem-se que a
expressão do índice de esbeltez pode ser escrita como:
λ =c
le
h
onde se tem:
h – menor dimensão da peça na direção em que é considerada a flambagem;
c = 3,46 (seção retangular);
c = 3,74 (seção hexagonal);
c = 3,89 (seção octogonal);
c = 4,00 (seção circular).
Deve-se lembrar que índice de esbeltez deve ser calculado separadamente para cada
direção. Cuidados especiais também devem ser tomados no caso de haver vigas que “travem”
um determinado pilar numa determinada direção, como por exemplo, em pilares da caixa de
escada.
3.2.4 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ LIMITE ( λ1 )
Pela NBR6118/2003, os esforços locais de 2a ordem podem ser desprezados sempre
que
λ < λ1
onde
λ1
representa um valor limite do índice de esbeltez, que depende de diversos fatores,
entre os quais a excentricidade relativa de 1a ordem
e1 / h , a vinculação dos extremos da
a
coluna isolada e a forma do diagrama de momentos de 1 ordem.
O valor de
λ1
pode ser calculado pela expressão:
32
λ1 =
(25 + 12,5.e1 / h)
αb
com a limitação de que
35 ≤ λ1 ≤ 90
sendo
e1 a excentricidade de 1a ordem (não inclui a excentricidade acidental).
A NBR 6118/2003 não deixa claro como se adota este valor. Na dúvida, pode-se
admitir, no cálculo da esbeltez limite ( λ1 ), uma excentricidade de primeira ordem (sem a
excentricidade acidental), igual ao menor valor no trecho considerado. Ou então, para pilares
usuais de edifícios, vinculados nas duas extremidades, e na falta de um critério mais
específico, é razoável considerar
O valor de
αb
e1 = 0 .
pode ser obtido considerando-se:
a) se o pilar for biapoiado sem cargas transversais:
α b = 0,60 + 0,40
MB
MA
com
0,4 ≤ α B ≤ 1,0
b) se o pilar for biapoiado com cargas transversais significativas ao longo da altura:
α b = 1,0
Nas fórmulas anteriores, os momentos de 1a ordem
M A e M B são os momentos nos
extremos do pilar, tomando-se para
tomando-se para
MB
M A o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado, e
o sinal positivo se tracionar a mesma face que M A e negativo em caso
contrário.
MA
MA
+
+
MB
MB
33
c) se o pilar for em balanço:
α b = 0,80 + 0,20
com
onde
MC
MA
0,85 ≤ α B ≤ 1,0
M A é o momento de 1a ordem no engaste, e M C é o momento de 1a ordem no meio do
pilar em balanço.
d) se o pilar for biapoiado ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo (como
por exemplo na compressão simples):
α b = 1,0
O momento mínimo total de primeira ordem já foi definido anteriormente, e sua
expressão é:
M 1d ,min = N d (0,015 + 0,03h)
com h em metros.
Obs.:
considerando
que
λ1 ≥ 35 ,
conclui-se
que
independentemente
do
caso
de
dimensionamento, sempre que o pilar possuir índice de esbeltez menor do que 35 não é
necessário considerar a excentricidade de segunda ordem.
3.2.5 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM
A força normal atuante em um pilar, sob as excentricidades de primeira ordem
(inicial, acidental e suplementar, quando for o caso), provoca deformações que dão origem a
uma nova excentricidade, denominada excentricidade de segunda ordem. A excentricidade de
segunda ordem deve ser sempre calculada quando
λ > λ1 .
Nd
R
R
e2
e1
34
A determinação dos efeitos locais de segunda ordem, em barras submetidas à flexocompressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. O método
geral deve ser obrigatoriamente utilizado para λ > 140 e será aqui apresentado de forma
bastante simplificada.
Dos métodos aproximados mais importantes, tem-se o método do pilar padrão com
curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidez κ (capa) aproximada.
3.2.5.1 MÉTODO GERAL
O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o
aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer tipo de pilar,
inclusive nos casos em que a dimensão da peça, a armadura ou a força aplicada são variáveis ao
longo do seu comprimento. A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus
resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois
considera a não linearidade geométrica, de maneira bastante precisa.
Considere-se o pilar da figura abaixo, engastado na base e livre no topo, sujeito à força
excêntrica de compressão
Nd :
Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera
nas seções um momento incremental
N d . y , provocando novas deformações e novos momentos:
35
Se as ações externas ( N d
e M d ) forem menores que a capacidade resistente da
barra, essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as
seções da barra. Tem-se, portanto, uma forma fletida estável (figura a). Caso contrário, se as
ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade
(figura b). A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável.
A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável:
O valor da flecha é “a”, com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos,
sendo respeitada a compatibilidade entre curvaturas, deformações e posições da linha neutra,
bem como as equações constitutivas dos materiais e sem haver, na seção crítica, deformação
convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço.
A utilização do método geral é bastante complexa, principalmente em função do
desconhecimento prévio da deformação da barra, cuja deformada depende de muitas
aplicações de relação momento-curvatura, com um número muito grande de iterações. O cálculo
manual se torna absolutamente inviável, fazendo com que se deva utilizar recursos
computacionais com programas especializados, como por exemplo, o processo das diferenças
finitas, o processo de Engesser-Vianello ou o processo da integração das curvaturas.
36
3.2.5.2 MÉTODO DO PILAR PADRÃO
Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número muito
grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método sem o auxílio do
computador. A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do
pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidade
física e geométrica.
Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas
que provoque na sua extremidade livre uma flecha “a” dada por:
l2
a = 0,4.
 r

l2  1

= e . 
 base 10  r  base
A elástica do pilar é admitida como sendo de forma senoidal:
sendo
π 
y = −a. sen .x 
l 
Daí:
y ´' = −a.
π
π 
cos .x 
l
l 
e
π 
π 
y = a.  sen .x 
l
l 
2
''
Como
37
1 d2y
≅
r dx 2
tem-se para a seção média:
( )
1
= y ''
 
 r  x =l / 2
x =l / 2
π 
= a. 
l
Para pilares em balanço, com
2
π 2 ≅ 10
, a expressão fica sendo:
l e2  1 
a = . 
10  r  base
O momento de 2a ordem pode ser então escrito como:
M 2, base = N .a = N .
le2  1 
. 
10  r base
3.2.5.3 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA
O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de
seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 90. A nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a configuração
deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma
expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de segunda ordem ( e 2 )
é dada pela seguinte expressão:
l e2 1
e2 = .
10 r
Na expressão acima, 1 / r representa a curvatura, que numa seção crítica é calculada
como
1
0,005
0,005
=
≤
r h(ν + 0,5)
h
onde:
h – altura da seção na direção considerada;
ν - força normal adimensional dada por
38
ν=
Nd
≥ 0,5
Ac f cd
O momento total máximo no pilar é então
M d ,tot = α b M 1d , A + N d .e 2 ≥ M 1d , A
O valor de
M 1d , A é o valor de cálculo de 1a ordem do momento M A e que deve ser
M 1d , A = N d .e1 ≥ M 1d , min .
Os termos anteriores já foram definidos anteriormente.
No caso de pilares de seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, o
método do pilar padrão pode ser aplicado simultaneamente em cada uma das duas direções
principais, desde que a esbeltez seja menor que 90 nas duas direções.
A amplificação dos momentos de 1a ordem em cada direção é diferente pois depende
de valores distintos de rigidez e esbeltez.
Obs.: como a excentricidade de 2a ordem não acontece nas extremidades do pilar, e
sim no centro da altura do mesmo, torna-se necessário verificar se o momento de cálculo total
ocorre no topo/base do pilar ou no meio dele.
3.2.5.4 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ
κ
(KAPA) APROXIMADA
Este método é permitido para pilares com índice de esbeltez não superior a 90, seção
retangular constante, e com armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da
barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão
aproximada da rigidez.
O momento total máximo no pilar é dado pela expressão:
M d ,tot =
α b .M 1d , A
λ2
1−
120.κ / ν
≥ M 1d , A
sendo necessário verificar
M 1d , A ≥ M 1d , min .
O valor da rigidez adimensional
κ = 32.(1 + 5.
M d ,tot
h.N d
κ
(kapa) é dado aproximadamente por
).ν
39
Observa-se que o valor da rigidez adimensional
κ
é necessário para o cálculo de
M d ,tot e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de M d ,tot . Assim, este processo é interativo,
sendo que normalmente são suficientes 2 ou 3 interações.
Obs.: a bibliografia ainda cita o método do pilar-padrão acoplado a diagrama momentocurvatura, que não será estudado nesta disciplina.
40
4 DIMENSIONAMENTO DE PILARES
Uma vez determinados os esforços finais atuantes num determinado pilar, deve-se
proceder ao dimensionamento do mesmo. Para isto, é necessário identificar a situação da
solicitação: compressão simples, flexão composta normal ou flexão composta oblíqua. A
armadura devidamente calculada servirá para evitar inclusive a ruína do pilar, sendo que a
figura abaixo mostra situações em que esta ruína de fato aconteceu:
41
O dimensionamento dos pilares de concreto armado, como todas as demais peças, é
sempre feito no estado limite último, existindo a preocupação com os efeitos de 2a ordem.
Assim, os pilares são dimensionados ou verificados para resistir a força normal combinada com
momento (oblíquo ou não), majorado pela existência da excentricidade de 2a ordem. O
problema pode ser bastante complexo, uma vez que tal excentricidade pode fazer com que o
pilar perca o equilíbrio estável.
Conclui-se então que o dimensionamento e a verificação de pilares devem prever dois
tipos de estados limites últimos: o de ruptura e o de instabilidade. De qualquer forma, ainda
que haja estabilidade, o estado limite último de ruptura tem que considerar momentos
majorados pelo efeito de 2a ordem. Deve-se lembrar, que um pilar pode se romper com
esforços menores do que resistiria se seu eixo não se deformasse.
Conforme visto em capítulos anteriores, os pilares são elementos lineares solicitados,
fundamentalmente, por forças de compressão na direção axial, aplicadas fora do centro de
gravidade da seção transversal. Desta forma, os pilares ficam submetidos a uma flexocompressão normal, quando a excentricidade acontece em apenas um dos eixos, ou oblíqua,
quando ocorre segundo os dois eixos principais. Então, pode-se dizer que os pilares estão
submetidos a um conjunto de esforços de cálculo:
N d = Fd => força total de compressão aplicada no pilar
e
M d ,tot = α b M 1d , A + N d .e 2 ≥ M 1d , A
A tabela a seguir apresenta de forma resumida os métodos de cálculo que devem ser
utilizados para pilares conforme a esbeltez dos mesmos:
42
ESBELTEZ
λ < λ1
CONSIDERAÇÃO MÉTODOS DE CÁLCULO PARA
DOS EFEITOS
EFEITOS DE 2A ORDEM
A
DE 2 ORDEM
Não
- desprezado
λ1 < λ ≤ 90
Sim
90 < λ ≤ 140
Sim
140 < λ ≤ 200
λ > 200
Sim
CONSIDERAÇÃO DA
FLUÊNCIA
- método do pilar padrão com
curvatura aproximada;
- método do pilar padrão com
rigidez κ aproximada;
- método do pilar padrão acoplado
a diagramas M, N, 1/r;
- método geral.
- método do pilar padrão acoplado
a diagramas M, N, 1/r;
- método geral.
- método geral.
Em geral não é permitido
Não
Não
Sim
Sim
A armadura calculada e necessária para equilibrar os esforços atuantes deve
obedecer às prescrições regulamentares vistas no capítulo.
Para o dimensionamento de pilares, consideram-se válidas as mesmas hipóteses
básicas utilizadas para o dimensionamento de vigas e lajes, ou seja:
- as seções transversais se mantêm planas após a deformação;
- a deformação das armaduras passivas deve ser a mesma do concreto em seu entorno,
ou seja, considera-se aderência perfeita;
- as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas;
- a distribuição das tensões no concreto ocorre de acordo com o diagrama parábolaretângulo;
- as tensões nas armaduras devem ser obtidas a partir dos respectivos diagramas
tensão-deformação indicados na NBR 6118:2003;
- o ELU é caracterizado quando a reta representativa das deformações na seção
pertencer a um dos domínios definidos na citada norma.
Seja qual for o método de dimensionamento a ser utilizado, deverá ser usado na
direção do eventual momento atuante, um valor de altura útil (d), que depende da Classe de
Agressividade Ambiental (CAA). Assim, sugere-se, para uma armadura longitudinal de 10,0 mm:
Agressividade Recobrimento (c) - cm Altura útil (d) - cm
Ambiental
CAA-I
2,5
h – 3,0
CAA-II
3,0
h – 3,5
CAA-III
4,0
h – 4,5
CAA-IV
5,0
h – 5,5
Obs.: estes valores devem ser modificados no caso de utilizar uma armadura longitudinal maior.
43
4.1 PROCESSOS EXATOS DE DIMENSIONAMEMTO À FLEXÃO COMPOSTA
Como a rigor não se aceita o dimensionamento de um pilar com carga centrada por
causa do momento mínimo de 1a ordem a ser considerado, o dimensionamento de pilares deverá
ser sempre feito para casos de flexão composta. Existindo excentricidade de 1a ordem em uma
única direção (x ou y), tem-se um caso de flexão composta normal, o que ocorre por exemplo,
para os pilares de extremidade. Já no caso de se ter um pilar de canto, com momentos de 1a
ordem nas duas direções, tem-se um caso de dimensionamento de flexão composta oblíqua.
O dimensionamento à flexão composta, que considere os efeitos das não
linearidades física e geométrica, requer a consideração da integração das curvaturas e da
consideração do diagrama M x N x 1/r, buscando um processo refinado de dimensionamento,
geralmente iterativo. Para o trabalho diário de um engenheiro, isto se torna um processo
bastante trabalhoso, fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais adequados.
Cabe ao calculista uma visão crítica dos resultados, lembrando-se a extrema importância de se
conferi-los baseados em sólida experiência teórica e profissional.
De forma geral, os processos exatos para dimensionamento de seções submetidas à
flexão composta devem seguir os seguintes passos:
- para uma dada seção transversal, é escolhida uma inclinação da linha neutra e fixada a
sua profundidade;
- a partir das equações de equilíbrio da estática, da compatibilidade de deformações e
das equações constitutivas (diagramas tensão-deformação), calculam-se a resultante
de compressão do concreto e as tensões que agem em cada uma das barras da
armadura;
- variando os dados iniciais (profundidade e inclinação da linha neutra) obtém-se ternos
de possíveis valores de
N d , M xd e M yd .
Para as formas usuais de seções (retangulares, circulares), foram elaborados uma
série de ábacos que oferecem a armadura de tais seções submetidas à flexo-compressão,
conforme será visto nos próximos itens.
4.1.1 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Para a formulação das condições de equilíbrio e do equacionamento da flexão oblíqua,
seja a figura abaixo, onde se tem barras distribuídas ao longo do contorno da seção, em
posições previamente fixadas.
44
Em se tratando de estado limite último, devem ser obedecidas as condições de
equilíbrio e as de compatibilidade das deformações, que também são válidas para flexão
composta normal (excentricidade em um só eixo). Os esforços solicitantes de cálculo
N d , M xd , M yd , devem ser equilibrados pelos esforços resistentes (contribuição do concreto
comprimido e contribuição da armadura):
Nd =
∫∫
σ cd d x d y
+
i =1
Acc
M x d = N d ex =
∫∫
n
∑A
Si
σ sid
σ cd Xd x d y
+
σ cd Yd x d y
+
∫∫
Si
i =1
Acc
M y d = Nd ey =
n
∑A
Acc
n
∑A
i =1
Si
σ sid X si
σ sid Ysi
onde:
Acc - área da seção de concreto comprimido;
n – número de barras de armadura na seção transversal;
A si - área da seção transversal da barra genérica i;
σ sid
- tensão na barra genérica i;
X – abscissa do elemento infinitesimal de área
Y – ordenada do elemento infinitesimal de área
dx.dy ;
dx.dy ;
X si - abscissa da barra genérica i;
Y si - ordenada da barra genérica i.
Estas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, através de
esforços reduzidos
ν,µx,µy
e da taxa mecânica de armadura
ω:
45
ν=
Nd
Ac f cd
µx =
µy =
νe
M xd
= x
Ac f cd h x
hx
M yd
Ac f cd h y
ω=
As f yd
ex =
M dx,tot
ey =
M dy ,tot
=
νe y
hy
Ac f cd
onde
Nd
Nd
Ac = h x h y
As - armadura total da seção.
Vários autores elaboraram tabelas para resolver este problema de dimensionamento.
O exemplo abaixo se refere a um ábaco a ser utilizado para flexão composta oblíqua, obtido
das tabelas de Montoya:
46
Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser adotados valores da força normal
reduzida
de
cálculo
ν , sendo normalmente considerados oito valores
( ν = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4) . Para cada valor de ν corresponde a um quadrante do
ábaco, totalizando oito quadrantes, representados em duas páginas. Para cada valor de
ν , µ x e µ y é adotado um valor da taxa mecânica de armadura
Foram escolhidos algumas configurações de armadura e os ábacos para
dimensionamento à flexão composta oblíqua encontram-se no anexo I. Diversas bibliografias
incluem outras possibilidades de arranjo de armadura, sugerindo-se os ábacos de Montoya ou
do prof. Libânio (São Carlos/SP).
47
4.1.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Como já foi dito anteriormente, um pilar sujeito a esforços de flexão composta
normal é aquele em que existe excentricidade inicial somente em um dos eixos cartesianos.
a) UTILIZAÇÃO DE ÁBACOS
A utilização de ábacos pode ser extremamente útil no dimensionamento de seções
retangulares sujeitas à flexão composta normal. Estes ábacos são apresentados na forma
adimensional com todos os valores de entrada sendo de cálculo, isto é,
Nd e M d .
Na construção dos ábacos, deve-se ainda levar em conta as hipóteses de manutenção
da forma plana da seção transversal e dos domínios de deformação vistos na disciplina de CAR
I, que formam as condições de compatibilidade. Sendo também conhecidas as deformações ε s
nas barras da armadura, pode-se determinar as tensões de acordo com os diagramas
σ xε
do
aço que está sendo utilizado.
Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser calculados valores da força normal
reduzida de cálculo ( ν ) e momento reduzido ( µ ). Para cada par de ν e µ é adotado um valor
da taxa mecânica de armadura ω , para diversos intervalos, dependendo das condições da
seção.
Os ábacos a serem considerados nesta apostila encontram-se em anexo. Casos
diferentes de arranjo de armaduras, devem ser vistos em literatura apropriada.
ν=
Nd
Ac f cd
µ=
Md
νe
=
Ac f cd h
hx
ω=
As f yd
e=
M d ,tot
Ac f cd
onde
Nd
Ac = b h
As - armadura total da seção, a ser distribuída de acordo com o ábaco escolhido.
48
µd
ω
νd
Obs.: nos casos em que
ν ≥ 0,7 ,
o dimensionamento pode ser feito como compressão simples,
conforme será visto mais adiante.
b) PROCESSO GERAL PARA DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO COMPOSTA NORMAL
Quando não se aplicar o processo dos ábacos e nem o processo aproximado como
compressão simples, pode-se utilizar um processo geral para dimensionamento a flexão
composta normal.
A força normal que age excentricamente em relação a um dos eixos, poderá fazer
com que a seção transversal esteja totalmente comprimida (pequena excentricidade), ou com
uma parte eventualmente tracionada (grande excentricidade), havendo uma situação limite
entre estes dois casos. Seja a seguinte figura:
e1
Nd
pequena excentricidade
situação limite
grande excentricidade
49
Pode-se ainda definir:
Nd
d'
'
s
A
e
M sd'
Md
h
d
As
M sd
d"
bw
Onde:
N d - esforço normal de cálculo (majorado);
M sd - momento referente ao centro de gravidade da armadura de tração (ou armadura menos
tracionada);
M sd' - momento referente ao centro de gravidade da armadura de compressão (ou armadura
mais comprimida).
No caso de pequena excentricidade,
As representa a armadura menos comprimida e
As' representa a armadura mais comprimida. No caso de flexão composta com grande
excentricidade,
As representa a armadura tracionada e As' representa a armadura
comprimida.
Então:
Nd = γ f Nk
M sd = N d (e +
d − d'
d − d'
) = M d + Nd (
)
2
2
M sd' = N d (e −
d − d'
d − d'
)
) = M d − Nd (
2
2
Numa situação limite entre pequena e grande excentricidade, tem-se que:
50
Nd
As'
0,85 f cd
R sc
d'
e
Rcc
y
h
y/2
d
As
bw
N d (e −
R st = 0
d"
d − d'
0,8d
) + R cc (
− d') = 0
2
2
M sd' + bw .0,8d .0,85 f cd .(0,4d − d ' ) = 0
Daí:
M sd' = −0,68.bw .d 2 . f cd .(0,4 −
d'
)
d
valor este que agora em diante será chamado de fator de comparação (FC).
Daí se pode concluir que:
Se
M sd' ≥ −0,68.bw .d 2 . f cd .(0,4 −
d'
) tem-se um caso de grande excentricidade, e
d
Se
M sd' < −0,68.bw .d 2 . f cd .(0,4 −
d'
) tem-se um caso de pequena excentricidade.
d
b.1) DIMENSIONAMENTO
EXCENTRICIDADE
DE
FLEXAO
COMPOSTA
NORMAL
COM
GRANDE
O dimensionamento da flexão composta normal (flexo compressão) com grande
excentricidade será todo feito para o momento fletor
M sd resultante da redução dos
esforços ( N d , M d ) atuantes ao centro de gravidade da armadura tracionada (cálculo como
viga), sendo a única alteração o abatimento na armadura tracionada (obtida para
M sd ) de uma
parcela
51
∆s =
Nd
f yd
uma vez que a carga é de compressão, tendendo a anular os efeitos de tração. A figura e a
resolução a seguir, explicam melhor esta situação.
Nd
0,85 f cd
As'
0,85 f cd
R sc
R sc V
d'
e
Rcc
y
Rcc V
yv
h
d
As
R st
R st V
d"
bw
Diagrama real
Diag.similar p/viga
Da figura anterior tem-se que:
N d − R sc − Rcc + R st = 0
e
N d .(e +
y
d − d'
) − R sc .(d − d ' ) − Rcc .(d − ) = 0
d
2
Também, para uma análise similar a uma viga:
R stv − R scv − Rccv = 0
Então:
Rcc = Rccv
Desta condição tem-se que a linha neutra para pilar é igual à linha neutra para viga (
y = y v ),
pois
Rcc = bw y.0,85 f cd
Rccv = bw y v .0,85 f cd
52
Da mesma forma, a força resultante de compressão na armadura do pilar e da viga
são iguais:
R sc = R scv
Desta condição tem-se que
As' = Asv' (armadura comprimida do pilar é igual à armadura
comprimida da viga), pois
R sc = As' .σ s'
R scv = Asv' .σ sv' ,
sendo
σ s' = σ sv' , e
R stv = N d + R st
R stv = Asv . f yd
R st = As . f yd
Asv . f yd = As . f yd + N d
Finalmente a armadura do lado tracionado do pilar será:
As = Asv −
Nd
f yd
sendo que a armadura de tração da viga (
N d (e +
Asv ) deve ser calculada com bw , h e M d = M sd :
d − d'
) = M sd
2
Obs.: é comum que se tome a mesma armadura (a maior) para duas faces opostas, fazendo com
que o pilar tenha armadura simétrica em relação a um dos eixos.
b.2) DIMENSIONAMENTO
EXCENTRICIDADE
DA
FLEXAO
COMPOSTA
NORMAL
COM
PEQUENA
Nesta situação, a seção transversal de concreto encontra-se totalmente comprimida,
e a linha neutra é considerada com x > d :
53
As'
0,85 f cd
R sc
Nd
h
e
d
Rcc
As
R st
Seção comprimida
Pela figura anterior, tem-se:
e) equação de rotação em relação ao baricentro de
R sc :
d − d'
d − d'
) − R sc' (d − d ' ) − Rcc (
)=0
2
2
d − d'
− As' σ s' (d − d ' ) − b w .h.0,85 f cd (
)=0
2
N d (e +
M sd
Daí, a armadura do lado mais comprimido é determinada como
As' =
M sd − 0,425bw hf cd (d − d ' )
σ s' (d − d ' )
f) equação de rotação em relação ao baricentro de
Nd (
R sc' :
d − d'
d − d'
− e) − Rcc (
) − R sc (d − d ' ) = 0
2
2
− N d (e −
(d − d ' )
d − d'
) − bw h0,85 f cd
− As σ s' (d − d ' ) = 0
2
2
− M sd' − 0,425bw hf cd (d − d ' ) − As σ s' (d − d ' ) = 0
Daí, a armadura do lado menos comprimido é determinada como
As =
− M sd' − 0,425b w hf cd (d − d ' )
σ s' (d − d ' )
54
Como verificação, se somarmos as equações de
As e As' , tem-se que a força de cálculo é
equilibrada pela contribuição da armadura e pela contribuição do concreto, que está totalmente
comprimido:
N d = 0,85 f cd bw h + ( As + As' )σ s'
c) PROCESSO APROXIMADO PARA DIMENSIONAMENTO À FLEXAO COMPOSTA
NORMAL COMO COMPRESSÃO SIMPLES
Para pilares de seções transversais retangulares ou circulares, com armadura
simétrica em que a força normal reduzida ( ν ) seja maior ou igual a 0,7, pode-se transformar
uma situação de cálculo de flexão composta normal para um caso de dimensionamento de
compressão centrada equivalente, levando-se em conta:
e
N d ,eq = N d .(1 + β )
h
h = dimensão na direção considerada
M d ,eq = 0 (a solução é compressão simples!)
ν=
Nd
≥ 0,7
Ac . f cd
M d ,tot
e
=
h N d .h
β=
Valores de
1
(0,39 + 0,01.α ) − 0,8.
d'
h
α:
- para seções circulares:
α = −4
- para seções retangulares:
α = −1 / α s
α =αs
α =6
se
se
se
αs <1
αs ≥1
αs > 6
55
Supondo que todas as barras sejam iguais,
αs =
αs
é dado por:
(n h − 1)
(n v − 1)
O arranjo de armadura adotado para detalhamento deve ser fiel aos valores de
αs
e
d’/h pressupostos.
Considerando-se, para efeitos de simplificação, que uma seção transversal sujeita a
uma força de compressão centrada, tem o seu equilíbrio garantido em parte pelo concreto
comprimido e em parte pela armadura, pode-se determinar a armadura longitudinal isolando-se
o valor da armadura longitudinal
As através da expressão abaixo:
e
N d ,eq = N d .(1 + β ) = 0,85 f cd Ac + σ ' s As
h
ou seja:
e
N d .(1 + β ) − 0,85 f cd A c
h
As =
'
σs
Nas expressões acima,
σ s'
representa a tensão (de compressão) correspondente a
uma deformação na armadura de 2% o . Dos diagramas tensão x deformação já estudados
anteriormente, tem-se:
56
TIPO DE AÇO
σ S' (KN/cm 2 )
CA 25
CA 50
CA 60
21,74
42,0
42,0
Obs.: muitos calculistas adotam a favor da segurança e simplificadamente um valor de β = 4 ,
originando muitas vezes, uma armadura bem maior do que aquela obtida com a disposição em
função de
α5.
57
PARTE II
5. LAJES PLANAS
Este capítulo está baseado no livro “Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de
Concreto Armado” (Roberto Chust Carvalho e Libânio Miranda Pinheiro, editora Pini, 2009), em
outras bibliografias e em conceitos práticos de execução.
5.1
CARACTERÍSTICAS GERAIS
As lajes planas (ou também conhecidas como lajes lisas) se apoiam diretamente sobre os
pilares, sem a presença de vigas, normalmente são armadas em duas direções ortogonais.
Quando a laje se apoia em pilares com capitéis, elas passam a ser denominadas de lajes
cogumelo.
As lajes planas podem ser maciças ou nervuradas (neste caso é necessário a execução
de uma faixa maciça em torno do pilar para melhorar a resistência à punção), sendo
extremamente importante verificar a questão da punção.
Quando estes esforços são muito
grandes, os pilares podem precisar de um engrossamento de sua seção na região da ligação com
a laje, o que é chamado de capitel, tendo a finalidade de diminuir as tensões. Também pode ser
utilizada a solução com “drop panel” conforme esquematizado na figura a seguir.
58
5.2 VANTAGENS E DESVANTAGENS
a) VANTAGENS
-
-
Dentre as diversas vantagens em se utilizar uma laje plana, pode-se destacar:
formas mais simples de serem executadas, com menor desperdício de material;
as operações de corte, dobramento e colocação de armadura são mais simplificadas,
bem como as fases de lançamento, adensamento e desforma do concreto;
permite-se diminuir o pé direito, com maior facilidade de passagem de dutos de
instalações nas faces inferiores, e com consequente redução da altura total do edifício;
não havendo vigas, o projeto e a execução de instalações elétricas e hidráulicas são
facilitadas, e a obra pode ser adaptada para diversas finalidades, com simplificação
das instalações;
os prazos de execução são menores podendo-se com isto reduzir custos;
a ventilação e a iluminação são mais adequadas e o volume de revestimentos é
diminuído;
como há redução do consumo de materiais e de mão-de-obra, consequentemente se
consegue redução do tempo de execução da obra.
b) DESVANTAGENS
-
Dentre as desvantagens pode-se citar:
por causa da ausência de vigas podem existir problemas de estabilidade global,
havendo a necessidade de vincular as lajes a núcleos rígidos ou paredes estruturais;
os deslocamentos (flechas) que acontecem são maiores que no sistema convencional
onde as lajes são apoiadas sobre vigas;
há possibilidade de ruptura da laje por punção com uma carga inferior à de flexão, por
causa da ligação crítica entre a laje e o pilar;
a utilização de lajes planas possui algumas restrições, devendo-se utilizar
preferencialmente em obras onde existe uma disposição regular de pilares, como por
exemplo em edifícios comerciais e garagens;
59
-
-
as ligações das lajes com os pilares devem ser cuidadosamente estudadas, com especial
atenção aos casos em que não haja simetria de forma ou de carregamento da laje em
relação aos apoios;
a ligação entre a laje e os pilares extremos (momentos) deve ser obrigatoriamente
considerada.
5.3 TIPOS MAIS COMUNS DE LAJES PLANAS
Os tipos mais comuns de lajes planas são:
a) lajes maciças;
b) lajes nervuradas: neste caso, cuidados especiais devem ser tomados na região dos apoios
devido aos efeitos de punção, utilizando-se faixas maciças. Seguem algumas recomendações:
- dimensões (MONTOYA – 1991, REGALADO TESORO – 2003):
- é aconselhável que se tenha em todo o contorno da laje uma nervura com largura não
inferior a
25 cm e com altura da própria laje, o que seria praticamente uma “viga
embutida”;
- os balanços não devem ter vãos maiores que 10 h;
- é aconselhável que se tenha no mínimo seis nervuras em cada direção em todo o vão
(recomendação espanhola);
c) lajes protendidas;
d) lajes com sistemas de vigas somente nas bordas externas do pavimento;
e) lajes com sistemas pré-moldados.
5.4 DIMENSÕES MÍNIMAS EXIGIDAS (LAJES PLANAS MACIÇAS)
60
-
5.5
espessura da laje: h = 16 cm;
espessura da laje cogumelo: h = 14 cm;
dimensão mínima dos pilares: 19 cm pela NBR 6118/2007. Segundo a NBR 6118/1980, a
dimensão mínima dos pilares era de 30 cm.
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO
Os métodos mais utilizados para o dimensionamento da armadura de flexão (armadura
longitudinal superior e inferior) são o método direto e o método dos pórticos equivalentes ou
múltiplos. Na disciplina de CAR-II será estudado somente o último método mencionado,
considerando-se estruturas geometricamente bem definidas, ou seja, espaçamento regular
entre os pilares e vãos com mesma ordem de grandeza nas duas direções.
Neste método, os pórticos correspondentes a cada direção recebem a totalidade da
carga nas lajes, e cada pórtico é então calculado para as ações verticais contidas em sua área
de influência, e agindo no seu plano. Para a força axial a ser considerada no pilar, deve-se
considerar a média dos valores obtidos para cada direção considerada isoladamente.
No caso de estruturas geometricamente mal definidas (má distribuição dos pilares,
contornos irregulares, presença de grandes aberturas, importantes cargas localizadas),
recomenda-se a utilização do método das linhas de ruptura, das diferenças finitas ou dos
elementos finitos.
Tendo sido feita a análise dos pórticos, a distribuição dos momentos positivo negativos
e positivos obtida em cada direção, segundo as faixas indicadas na figura abaixo, deve ser
feita da seguinte maneira:
- 45% dos momentos positivos para as duas faixas internas (faixas centrais);
- 27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas (faixas dos
pilares);
- 12,5% dos momentos negativos para as duas faixas internas (faixas centrais);
- 37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas (faixas dos
pilares).
De posse dos valores dos momentos fletores, o dimensionamento é realizado com as
mesmas fórmulas estudadas na disciplina de CAR I.
61
5.6 CONSIDERAÇÕES SOBRE O DETALHAMENTO DAS LAJES PLANAS
As lajes planas, calculadas com o método aproximado anteriormente citado, devem
respeitar as seguintes prescrições quanto à armadura:
- a armadura deve ser disposta de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a
concretagem;
- recomenda-se que qualquer barra da armadura de flexão tenha um diâmetro mínimo de 10 mm
(a norma estabele diâmetro mínimo de 5,0 mm!) e um diâmetro máximo igual a h/8, onde h é a
espessura da laje;
- as barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a
2h ou 20 cm, na região dos maiores momentos fletores;
- a armadura secundária de flexão por metro de largura da laje deve ter seção transversal de
área igual ou superior a 20% da área da armadura principal, mantendo-se, ainda, um
espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. A emenda destas barras deve obedecer ao
mesmo critério da armadura principal;
- as armaduras positivas e negativas na direção menos solicitada em cada painel deverão ter
seções não inferiores a 25% das relativas às armaduras na direção mais solicitada;
- pelo menos duas barras inferiores devem passar continuamente sobre os apoios, respeitandose também a armadura contra o colapso progressivo;
- em lajes com capitéis, as barras inferiores interrompidas, além de atender as demais
prescrições, devem penetrar no capitel um valor de pelo menos 30 cm ou 24 φ .
5.7 ARMADURA PARA PROTEÇÃO CONTRA O COLAPSO PROGRESSIVO
Para garantir a ductilidade local e a consequente proteção contra o colapso progressivo,
a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C (vide capítulo 6) deve estar
suficientemente ancorada além deste contorno, e deve ser tal que:
62
As . f yd ≥ FSd
Onde:
As - somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar;
FSd - valor de cálculo da força ou da reação concentrada;
f yd - valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura passiva.
Esse critério é baseado no fato de que a armadura de flexão inferior, mesmo com
curvatura acentuada, é capaz de suportar a laje, caso haja ruptura por punção.
5.8 OBSERVAÇOES GERAIS E CRITÉRIOS PRÁTICOS
-
na concepção da estrutura (lançamento), deve-se procurar criar pequenos balanços,
com comprimentos de aproximadamente dez vezes a espessura da laje. Desta maneira,
evitam-se momentos no pilares de extremidade:
10h
10h
-
criar um contorno “rígido” nas extremidades da laje, principalmente se for laje plana
nervurada, utilizando-se por exemplo 4 barras de 12,5 mm “contínuas”.
63
-
para lajes planas nervuradas, fazer um contorno maciço em torno dos pilares
(aproximadamente 1/6 da dimensão do vão para cada lado), não esquecendo de verificar
todos os itens pertinentes à punção.
64
6. PUNÇÃO
6.1 INTRODUÇÃO
Punção é a tendência do pilar “furar” por exemplo uma laje plana, provocando elevadas
tensões de cisalhamento. É um efeito que também pode aparecer em blocos e sapatas. A
ruptura que acontece é abrupta, sem aviso e com consequências desastrosas. Por isto é
importante que os elementos da estrutura apresentem boa ductibilidade, ou seja, sofram
deformações antes que atinjam a sua resistência última.
Quanto ao formato dos pilares, estudos comprovam que pilares circulares possuem
resistência de aproximadamente 15% a mais quando comparados à resistência de pilares
quadrados com mesma área equivalente. Com relação à dimensão dos pilares, observa-se que
para pilares alongados, onde a relação entre o lado maior e o lado menor é superior a 2, a ruína
é mais súbita, e a resistência da ligação também é menor quando comparada com pilares de
seções quadradas, porque as tensões se concentram nos cantos e nos menores lados dos
pilares.
A ruína por punção geralmente apresenta um deslocamento vertical ao longo de uma
superfície que parte da área carregada e se estende até a outra face, onde a superfície de
ruptura forma ângulos entre 30 e 35 graus:
65
No caso de lajes planas, deve-se considerar situações diferentes para pilares internos,
de borda ou de canto. De forma geral, tem-se que pilares internos resistem mais do que pilares
de borda, que por sua vez resistem mais do que pilares de canto.
Nesta disciplina serão analisados somente pilares internos, sem efeito de momento, ou
então com efeito de momento muito pequeno. Para que não se tenha pilares de canto ou de
borda em lajes planas, é interessante se criar “pequenos balanços” conforme foi estudado no
capítulo anterior.
6.2 TIPOS DE ARMADURA DE PUNÇÃO
Os dois principais tipos de armadura de combate à punção são os estribos verticais e os
pinos conectores (studs). Os estribos são parcialmente efetivos nas lajes devido ao
“escorregamento” de sua ancoragem, e por isto os pinos conectores são atualmente mais
recomendados.
Caso sejam utilizados, o diâmetro da armadura de estribos não pode superar o valor de
h/20 (h é a espessura da laje) e deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os
cantos dos estribos (ancoragem mecânica).
A figura a seguir ilustra a situação de estribos utilizados para resistir à punção:
66
No caso de se utilizar conectores, as placas de ancoragem superiores destes pinos
devem ter área superior a 10 vezes a área do pino e espessura superior a 2/3 do diâmetro do
pino. Já a placa de ancoragem inferior deve apresentar espessura superior à metade do
diâmetro do pino e largura superior a duas vezes esse diâmetro, apresentando também furos
para a fixação nas formas. Cada uma das extremidades do conector deve estar ancorada fora
do plano da armadura de flexão correspondente, ou seja, a armadura de flexão deve estar
situada abaixo da placa de ancoragem superior. O espaçamento radial
sr entre duas linhas
consecutivas de conectores não deve exceder a 0,75d. Por sua vez, a distância entre o pilar e a
linha de conectores mais próxima ( S 0 ) não deve exceder 0,5d e a distância entre as linhas de
conectores (g) não devem ser maiores que 2d.
Assim:
A figura a seguir ilustra um detalhe da armadura tipo pino:
67
6.3 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO DE ACORDO COM A NBR 6118/2007
A NBR 6118/2007 apresenta diversas modificações da verificação da punção em
relação à versão anterior de 1980. Estas recomendações são mais criteriosas e consistentes,
exigindo mais trabalho por parte dos projetistas. Neste capítulo será estudado somente o caso
de lajes planas com pilares retangulares internos (sem efeito de momento) e com armadura de
punção formada por conectores tipo pino, armadura esta bem mais efetiva do que a formada
unicamente por estribos.
O método da norma se baseia na verificação do cisalhamento em superfícies críticas,
definidas pelo produto de perímetros críticos pela altura útil da laje.
A tensão solicitante de cálculo é definida como:
τ Sd =
FSd
µ .d
Onde:
68
FSd - força normal de cálculo atuante (média das cargas obtidas pela análise do pórticos para
as direções x e y);
d – altura útil da laje, função da CAA;
µ - perímetro da superfície crítica analisada (C, C ' ou C " ).
6.3.1 DEFINIÇÃO DAS SUPERFÍCIES CRÍTICAS
Para o estudo da punção deve-se considerar as superfícies críticas C, C’ e C”:
O contorno C é considerada a primeira superfície crítica, junto à borda do pilar. O
contorno C’ é a segunda superfície crítica, considerada num afastamento 2d do pilar ou da
carga concentrada:
69
No caso de ser necessário utilizar armadura transversal para combater os esforços de
punção, a superfície crítica deve ser estendida em contornos paralelos a C’ até que num
contorno C” afastado 2d do último contorno de armadura, não seja mais necessária armadura:
µ . Considerando- se pilares
Definidos os contornos, calcula-se o valor do perímetro
circulares de raio R e pilares retangulares de lados a e b, tem-se:
CONTORNO CRÍTICO
C
C'
C"
PILAR CIRCULAR
2.π .R
2.π .( R + 2d )
2.π .( R + 2d + 2. p )
PILAR RETANGULAR
µ = 2.( a + b)
µ = 2.( a + b) + 4.π .d
µ = 2.( a + b) + 4.π .d + 2.π . p
70
6.3.2 VERIFICAÇÕES DAS TENSÕES
Quando não for prevista armadura de punção, devem ser feitas duas verificações:
a) verificação da compressão do concreto no contorno C:
τ Sd ≤ τ Rd 2 = 0,27.α V . f cd
onde
α V é o coeficiente de efetividade do concreto dado por:
αV = 1 −
f ck
( Mpa)
250
b) verificação da capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração
diagonal no contorno C’:
τ Sd ≤ τ Rd = 0,13(1 + 20 d )(100.ρ . f ck )1 / 3
1
Onde:
ρ = ρ x .ρ y
d = (d x + d y ) / 2
Nestas fórmulas são definidos:
d - altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’ da área de aplicação da força, em
centímetros;
ρ - taxa geométrica de armadura de flexão aderente, sendo ρ x e ρ y as taxas de
armadura nas duas direções ortogonais, calculadas com a largura igual à dimensão do
pilar, ou da área carregada, mais 3d para cada um dos lados (ou até a borda da laje, se
esta estiver mais próxima).
No caso de ser prevista armadura de punção, devem ser feitas três verificações:
a) verificação da compressão do concreto no contorno C:
τ Sd ≤ τ Rd 2 = 0,27.α V . f cd
b) verificação da punção no contorno C’:
(
)
τ Sd ≤ τ Rd = 0,10 1 + 20 / d (100 ρ f ck ) 3 + 1,5
3
1
d
sr
 Asw f ywd senα 


ud


Onde:
71
sr - espaçamentos radiais entre linhas de armadura de punção, não maior do que 0,75d;
Asw - área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C'. Essa armadura deve
f ywd
ser preferencialmente constituída por três ou mais linhas de conectores tipo pino com
extremidades alargadas. Cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do
plano da armadura de flexão correspondente;
- resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que 300 MPa para
conectores ou 250
MPa para estribos (CA50 ou CA60);
α - ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;
u - perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de borda ou canto.
Obs.: igualando-se a tensão solicitante com a tensão máxima admissível, é possível então
determinar a armadura transversal necessária para combater a punção!
c) verificação da punção no contorno C”:
τ Sd ≤ τ Rd
1
72
7 TORÇÃO
Fontes: diversas, incluindo apostila sobre seminário da disciplina SET 863 (Fundamentos de
Concreto II), prof. Libanio M. Pinheiro, USP/São Carlos.
7.1 INTRODUÇÃO
Os efeitos de torção podem surgir em diversas situações, tais como:
- marquises formadas por lajes engastadas em vigas entre pilares;
- lajes maciças em balanço adjacentes a lajes pré-moldadas (treliçadas/com vigotas) ou
nervuradas;
- viga escada inclinada, com degraus engastados/livres;
- vigas com pérgolas engastadas/livres;
- vigas curvas;
- vigas engastadas em outras vigas;
- vigas de borda de sacadas, engastadas em outras vigas, gerando torção nas vigas de apoio,
mesmo na fase escorada da obra;
- vigas entre lajes em desnível;
- vigas recebendo cargas “fora” do seu eixo (paredes, pilares “nascendo” ....).
Exemplo de marquise:
Para uma barra reta sujeita a torção simples, acontece um empenamento da seção
transversal, provocando tensões tangencias e normais de tração e compressão ao longo da
barra. No caso de seção circular, a tendência ao empenamento não existe, sendo nulas as
tensões normais.
73
Existem basicamente dois tipos de torção:
- Torção de compatibilidade: é aquela que surge em consequência do impedimento à
deformação, como nas vigas de borda. Após a fissuração, esse momento torçor diminui muito e
não necessita ser considerado no dimensionamento da viga. Seu efeito pode ser desprezado,
desde que o elemento estrutural tenha adequada capacidade de adaptação plástica. Todos os
outros esforços podem ser calculados sem considerar os efeitos provocados por tal torção.
- Torção de equilíbrio: neste caso, os momentos torçores são necessários para
satisfazer as condições de equilíbrio, como por exemplo numa marquise, que se não for
convenientemente dimensionada e detalhada pode levar à ruína. A torção de equilíbrio é
indispensável à estabilidade da estrutura. Seguem alguns exemplos de torção de equilíbrio.
a) viga em balanço:
74
b) marquise
c) escada com degraus engastados em viga:
Em peças de concreto armado, a fissuração ocorrerá quando a tensão principal de
tração (igual em módulo à tensão de cisalhamento), devida à torção, for igual à resistência
f ct
do concreto à tração:
τ t = f ct
Quando acontece a fissuração, a rigidez à torção diminui sensivelmente, tendendo a
zero após o início do escoamento de suas armaduras.
7.2 DIMENSIONAMENTO À TORÇAO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
O dimensionamento à torção em estruturas de concreto armado é feito utilizando-se o
modelo da treliça de Mörsch, lembrando que a armadura helicoidal seria a mais ideal,
ocasionando porém muita dificuldade de execução. A armadura então utilizada para a torção é
75
composta de barras longitudinais e estribos verticais, adotando-se preferencialmente um
ângulo de inclinação da biela de compressão de 45 graus, valor este que será considerado neste
capítulo.
Os ensaios mostram que, após o surgimento das fissuras de torção, somente uma
pequena casca de concreto, junto à face externa da seção transversal da barra, colabora na
resistência à torção, mostrando que a resistência à torção de uma seção cheia é equivalente à
resistência de uma seção vazada com as mesmas armaduras, o que equivale a dizer que o núcleo
da seção é pouco solicitado, podendo ser desconsiderado no dimensionamento.
O dimensionamento será então feito para uma seção vazada equivalente, sendo que uma
seção transversal retangular cheia apresenta as seguintes fórmulas:
76
Das figuras anteriores, tem-se:
he - espessura da parede
he =
A
e he ≥ 2.c1 (melhor condição)
u
onde A é a área da seção cheia, u é o perímetro da seção cheia, c 1 é a distancia entre o eixo
da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural, podendo ser tomado
aproximadamente com o mesmo valor adotado para d” (vide CAR I).
Ae - seção vazada equivalente, limitada pela linha media da espessura da parede:
Ae = (b − he ).(h − he )
u e : perímetro da linha média:
ue = 2.(b + h − 2he )
Obs.: para seções vazadas ou compostas por 2 ou mais retângulos, deve-se consultar
bibliografia adequada.
7.2.1 ARMADURA TRANSVERSAL
Utilizando-se a analogia da treliça de Mörsch, pode-se determinar a armadura
longitudinal e de estribos para combater o esforço de torção. Sendo Asw a área da seção
transversal de um estribo, s o espaçamento dos mesmos ao longo do eixo da peça, e
Td o
esforço de cálculo de torção, tem-se:
Asw
Td
=
s
2. Ae . f ywd
ou
Asw =
100Td
(cm2 / m)
2. Ae . f ywd
Deve-se observar que, no caso da torção, só se pode contar com um ramo dos estribos,
pois todos os ramos estão submetidos a uma mesma força de tração oriunda do modelo de
cálculo adotado. Deste modo, os estribos para torção devem ser obrigatoriamente fechados,
devendo-se tomar cuidado na hora de escolher os estribos através das tabelas usualmente
empregadas. Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, devem
envolver as barras das armaduras longitudinais de tração, e devem possuir extremidades
ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45 graus. O diâmetro deve ser maior ou igual a 5
mm e não deve exceder 1/10 da largura da alma da viga. Se a barra do estribo for lisa, o
diâmetro não pode ser superior a 12 mm.
77
7.2.2 ARMADURA LONGITUDINAL
Sendo
Asl a soma das áreas das seções das barras longitudinais distribuídas ao longo
da linha média da parede fictícia, tem-se que:
Asl =
Td .u E
(cm 2 )
2. Ae . f yd
A armadura longitudinal deve ser distribuída de modo equilibrado ao longo do perímetro
da seção resistente, a fim de que todas as barras suportem iguais quinhões dos esforços
longitudinais. Ensaios mostram que uma distribuição não uniforme causa o início precoce do
escoamento de parte da armadura longitudinal.
Tanto para a determinação dos estribos verticais como da armadura longitudinal, devese limitar a tensão de escoamento do aço em 435 Mpa.
As armaduras obtidas nos dimensionamentos à torção e à flexão são superpostas,
lembrando mais uma vez que na torção só se pode contar com um ramo dos mesmos.
7.3 PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES
Para casos de torção de equilíbrio, a área total dos estribos, Asw , tot , e a área das
barras longitudinais deve respeitar a taxa mínima de armadura dada por:
ρ sl = ρ sw =
Asw
f
≥ 0,2 ctm
bw s
f yk
sendo
f ctm - resistência média à tração do concreto: f ctm = 0,3. f ck2 / 3 (Mpa);
f yk - tensão de escoamento característica do aço.
O espaçamento mínimo entre os estribos deve possibilitar a passagem do vibrador,
sendo que o espaçamento máximo entre estribos deve obedecer as mesmas prescrições de
esforço cortante:
smax = 0,6d ≤ 30cm se
Vd ≤ 0,67VRd , 2
smax = 0,3d ≤ 20cm se
Vd > 0,67VRd , 2
onde d é a altura útil da seção da viga.
Em cada canto da armadura transversal, deve-se colocar barras longitudinais de bitola
pelo menos igual à armadura transversal e não inferior a 10 mm (recomendação da NBR
6118:1980).
78
Em seções retangulares com dimensões não superiores a 40 cm, a armadura longitudinal
para torção pode ser concentrada nos cantos. Em seções maiores, a armadura longitudinal deve
ser distribuída ao longo do perímetro da seção, para limitar a abertura das fissuras.
Recomenda-se que o espaçamento dessas barras não seja superior a 20 cm, embora a NBR
6118/2007 fixe um espaçamento máximo de 35 cm. Em qualquer caso, as barras longitudinais
devem ser distribuídas de forma a manter constante a relação
Asl / u .
Na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser
acrescentada à armadura obtida no dimensionamento à flexão. No banzo comprimido pela
flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função das tensões de
compressão que atuam na espessura da parede equivalente.
Segundo a NBR 6118/2007, item 17.5.1.2, em regiões onde o comprimento do elemento
sujeito a torção seja menor ou igual a 2h, para garantir um nível razoável de capacidade de
adaptação plástica, deve-se respeitar a armadura mínima de torção, e limitar a força cortante,
tal que:
Vsd ≤ 0,7VRd 2
7.4 GARANTIA DA SEGURANÇA
De forma geral, pode-se dizer que os esforços de torção são resistidos pelo próprio
concreto, pelos estribos e pelas barras longitudinais da viga. Assim, nos casos em que se tem
torção, deve-se verificar o esforço de torção de cálculo segundo três parâmetros:
TRd , 2 - limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto;
TRd , 3 - limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento
estrutural;
TRd , 4 -limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do
elemento estrutural.
Assim, as três verificações abaixo devem feitas:
Td ≤ TRd , 2 - esta verificação é imprescindível, e caso não seja verificada, deve-se
aumentar a seção transversal;
Td ≤ TRd , 3 - esta verificação se dá para um cálculo correto da armadura transversal;
Td ≤ TRd , 4 - esta verificação se dá para um cálculo correto da armadura longitudinal.
Para um ângulo de biela correspondente a
θ = 45o , tem-se que:
79
TRd 2 = 0,5.α V . f cd . Ae .he
onde:
α v = 1 − f ck / 250
é o coeficiente de efetividade do concreto, com
f ck em Mpa.
Também:
A 
TRd ,3 =  sw . f ywd .2. Ae
 s 
e
TRd , 4 =
Asl
.2. Ae . f ywd
ue
onde f ywd é a tensão na armadura, não se tomando valores superiores a 435 Mpa.
Pelo dimensionamento à torção, segundo a NBR 6118/2007, deve-se também garantir a
segurança das bielas de concreto. Para isto, deve-se verificar a desigualdade:
τ td =
Td
≤ τ tu
2. Ae .he
τ tu = 0,25.α v . f cd
7.5 SOLICITAÇOES COMBINADAS
7.5.1. FLEXÃO E TORÇÃO
Nos casos correntes, onde acontece solicitação combinada de torção com flexão, as
armaduras podem ser dimensionadas separadamente, superpondo-as no detalhamento final. É
permitido que a armadura longitudinal de torção na região comprimida pela flexão possa ser
reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no
trecho de comprimento ∆u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas.
Deve-se calcular a tensão principal para um estado plano de tensões a partir da tensão
normal média que age no banzo comprimido de flexão ( σ c., flexao ) e da tensão tangencial de
torção ( τ td ), obtida da fórmula de Bredt-Leduc:
80
τ td =
Td
2. Ae .he
σ c , princ =
σ c , flexao
2
 σ c , flexao 

 + τ td 2 ≤ 0,85 f cd
 2 
2
+
7.5.2 FORÇA CORTANTE E TORÇÃO
Para os casos de força cortante e torção, a armadura transversal pode ser calculada
pela soma das armaduras calculadas separadamente para cisalhamento e para torção,
observando-se alguns cuidados:
- na hipótese de adoção de estribos com mais de dois ramos, apenas aqueles dispostos na
periferia da peça serão eficientes no combate à torção;
- os estribos de combate à torção devem ser fechados, pois, ao contrário do que
acontece com a força cortante, os estribos resistentes à torção são necessários,
também, nas faces superior e inferior da viga;
- ao se optar pelo modelo I ou modelo II, o mesmo modelo deve ser usado para os dois
casos de esforços (cortante e torção).
A condição de não esmagamento deve ser atendida pela expressão:
Vtd
T
+ wd ≤ 1
VRd , 2 TRd , 2
onde:
Vsd e Tsd são os esforços solicitantes de cálculo que agem concomitantemente na seção;
VRd , 2 e TRd , 2 são a força cortante resistente de cálculo e o momento resistente de cálculo à
torção, apresentados anteriormente.
Tsd
TRd , 2
VRd , 2
Vsd
81
7.6 OBSERVAÇÕES GERAIS
- de acordo com a NBR 6119/2007, “de maneira aproximada, nas grelhas e nos pórticos
espaciais, pode-se reduzir a rigidez à torção das vigas por fissuração utilizando-se 15% da
rigidez elástica (integral) à torção...”, lembrando-se de que a rigidez torsional de vigas de
pequena espessura em geral é pequena e muitas vezes pode ser desprezada;
- para casos de torção pura, lembrar que a seção ideal é a seção circular vazada;
- deve-se lembrar que o momento torçor de uma viga, transmite momento para os pilares de
apoio!!!;
- em pontes, é muito comum que se utilize “seção caixão”, de uma ou duas células, e assim, temse uma seção bastante resistente aos esforços de torção.
82