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MA-141 GEOMETRIA ANALITICA, 12- P-P,RIODO DE 2006
TERCEIRA
LISTA DE EXERcicIOS
Vetores no plano e no espa<;o
Quest ao 1. Mostre que 0u;gmento que une os pontos medics de 2 lados de um triangulo e paralelo ao terceiro lado
e e igual a sua metade.
N>
Questao 2. Seja 0 triangulo de vertices ABC, e pontos, M no lado BA, N no lado CA, de tal maneira que sejam
---+
------+
----+
---+
verificadas as igualdades vetoriais: B1I1=u BA, CN= u CA, onde 0
< u < 1, e urn mimero real.
(a) Determine MA em funcao de BA.
(b) Mostre que
0
segmento 111N e paralelo ao lado B C.
Questao 3.
(a) Demonstre que se
0
e f3 sac mimeros reais tais que
0(2, 3)
entao
0
+ f3(3, 2) = 5,
= 0 e f3 = o.
(b) Qual a conclusao geometrica que podemos tirar do item acima?
Quest ao 4. Considere tres vetores do espaco, u = (1,0 - 1), V = (1,1,1) e
(a) Se ui = (-1, -5, -9) mostre que existem escalares a e b tais que ui
(b) Ainda para ui
=
au
=
111
existem escalares a e b tais que
'UJ
= au
+ bv,
(x, y, z).
+ bv.
(-1, -5, -9), sera que existem escalates ai, bl tais que (ai, bl)
(b) Sera que para todo
cjr
=
'UJ
=1= (a, b)
e 111
= alu
+ blv?
como no item anterior?
Existe alguma relacao entre as perguntas acima e 0 estudo de sisitemas?
Questao
Schwarz:
5. Sejam
aI, a2, a3,
bl, bz, b3 seis mimeros reais quaisquer.
Demonstre a desigualdade de Cauchy-
Questao 6. (a) Determine 0 conjunto de todos os vetores do esp~o que sac paralelos ao vetor (1,1,1).
(b) Descreva 0 conjunto de todos os vetores do espaco que sac ortogonais ao vetor (1,0, -1).
(c) Qual 0 significado geometrico dos conjuntos encontrados nos itens (a) e (b)?
Quest.ao 7. Dados os vetores U
= (0,2, -2) e V = (2,2,0) pede-se:
(a) Dois vetores unitarios (norma 1) u e v de modo que u seja paralelo a U e v seja ortogonal a U e V;
(b) urn terceiro vetor unitario
'UJ
de modo que u, v e
iu
sejam dois a dois ortogonais.
Questao 8. Mostre que as diagonais de um losango cortam-se mutuamente em seu ponto medic e que sac ortogonais
entre si.
Questao 9. Considere os pontos A = (3, -2,8), B
= (0,0,2) e C = (-3, -5, 10).
(a) Usando vetores mostre que 0 triangulo de vertices A, Be 0 e retangulo.
(b) Determine a area desse triangulo. (Area do triangulo
(c) Seja Hope
= 1/2 area do paralelogramo).
da altura do triangulo relativa ao vertice A. Determine
--->
---+
ortogonal de BA sobre BO.)
(d) De as coordenadas do ponto H.
0
vetor BH. (Observar que BH e a projecao
Questao 10. Decompor 0 vetor 111 = (-1, -3, -2) como soma de dois vetores 111 = 11. + v, onde v, e paralelo ao
vetor (0,1,3) eve ortogonal a (0,1,3).
Questao 11. Sejam 11., v e 111 tres vetores. Sabendo-se que 11. e ortogonal a v - we v e ortogonal a 11}- 11., verifique
que 111 e ortogonal au - v.
Questao 12. Seja v 1= a um vetor do ]R3e sejam a, /3, e, os angulos que v vaz com os eixos coordenados.
Mestre que cos2 a + cos2 f3 + cos2, = 1. (Sugestao, calcular os cossenos fazendo 0 produto escalar com os vetores
(1,0,0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) respectivamente.)
Quest ao 13. A area do triangulo ABC
no eixo Y, encontre as coordenadas de C.
Questao
14. Encontre
Questao
15. Dados os pontos A
1illl
vetor
11.
=
eJ6.
Sabendo-se que A
= (2,1,0), B = (-1,2,1) e que
=
(4,0,1) e
C=
vertice C esta
1111.11= 3V3.
que seja ortogonal aos vetores (2,3, -1) e (2, -4, 6) tal que
(2,3, 0), B
0
(0,1,2) no ]R3determine:
(a) 0 comprimento do lado AB.
(b) A medida do angulo entre os lados BA e BC.
(c) A area do triangulo ABC.
(d) 0 comprimento da altura do triangulo ABC relativa ao vertice A.
(e) As coordenadas do ponto no lado AC por onde passa a perpendicular a esse lado que contem
(f) 0 volume do tetraedro OABC (0
paralelepipedo. )
(g) Desenhe
II w
0
= (O,O,O))(Observ~ao:
17. Sejam
VI
=
e
V3
(a) Verificar que
VI, v2
(b) Verificar que
Vl,V2,V3
Questao
<v,w>=4.
ponto B.
volume do tetraedro e igual a 1/6 do volume do
triangulo ABC no espaco ]R3.
Questao 16. Dados os vetores 11. = (1,2,1) e v
11= 11 e que os angulos agudos formados entre
Questao
0
0
18. Dado
0
(1,0, -1),
V2
=
=
10
(0,2,1),
(0, a, b), determine a e b de modo que 0 vetor
e os eixos ccordenados X e Y sejam iguais,
=
V3
(2, -2, -3) e V4
=
11./\
v verifique
sao coplanares.
formam uma base de]R3 e represente
vetor v
V3
como combinacao linerar de
Vl,V2,V3'
= (0,1,2), determine urn vetor w ortogonal ao eixo X tal que
19. Encontre urn vetor
Questao
20. Se 11., v e w sao tres vetores linearmente dependentes do ]R3,mostre que
Questao
21. Encontre a equacao de uma reta mediatriz do segmento de extremos A
Questao
22. Considere os pontos A
tt
=
(1,2,1), vetores do ]R8.
Questao
(a) A equacao do plano
10
tt
que seja ortogonal aos vetores (2,3, -1) e (2, -4, 6) tal que
=
(4,3, -2), B
=
(5,5, -1), C
=
(6,4, -3) e D
=
< u /\ V,
Iv /\
101
1111.11=3J3.
1IJ
>= O.
= (1,1,1) e B = (3,3,3).
(7,6,0). Pede-se:
que passa por A, Be C. Mostre tambem que D nao esta em rr.
(b) As equacoes parametricas da reta r que passa por Dee
(c) 0 ponto de intersecao entre a reta r (item (b)) e
(d) A distancia do ponto D ao plano
0
plano
perpendicular a rr (item (a)).
tt .
tt .
(e) A area do triangulo de vertices A, B e C (Area do triangulo = 1/2 area do paralelogramo).
(f) 0 volume do tetraedro de vertices A, B, C e D (Volume do tetraedro
(g) A altura do tetraedro ABCD.
2
12 e
= 1/6 volume do paralelepipedo).
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