CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Olá pessoal!
Neste artigo, explicarei uma curiosidade sobre a função quadrática e que pode ser útil
nos seus estudos.
A explicação da dica que falarei neste artigo se dá com o uso do cálculo
diferencial (assunto estudado por estudantes de engenharias e cursos afins).
Portanto, apesar de não explicar aqui o porquê desta dica, ela é válida para
QUALQUER função quadrática. Guardem bem este artigo, pois vocês não vão
encontrar esta informação em livro algum!!
Lembra da função quadrática (ou função polinomial do segundo grau)? Aquela que
você estudou quando era 1º ano do ensino médio...Se não lembra, farei um pequeno
resumo teórico para que possamos chegar na dica que é o assunto deste artigo.
Uma função
por
é chamada de função quadrática quando for do tipo
²
,
:
definida
0
O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente
é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente é o termo independente.
A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma
curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais
sobre a parábola).
A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem
decide isso é o coeficiente dominante . Se
0, a concavidade da parábola está
voltada para cima. Se
0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.
www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES O termo independente (c) nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico
corta o eixo .
Para descobrir onde o gráfico toca o eixo
devemos resolver a equação
Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo
resolver a equação
0.
devemos
0
²
√
2
4
Há três casos a considerar:
Δ > 0 ⇔ Duas raízes reais e distintas
Δ = 0 ⇔ Duas raízes reais e iguais
Δ < 0 ⇔ Não há raízes reais
Assim, a parábola pode cortar o eixo
em dois pontos distintos, pode tangenciar
(“encostar”) o eixo ou pode não tocar o eixo .
www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Pois bem, até o presente momento estamos com informações que qualquer livro de
ensino médio explica. Dado um gráfico de uma função quadrática, podemos descobrir
o sinal de ,
∆. Vejamos um exemplo.
y x Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, então a < 0.
A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos, então ∆
0.
A parábola corta o eixo y abaixo da origem, então c < 0.
Agora surge a pergunta... E QUAL O SINAL DO COEFICIENTE b ???
Agora que vem a dica!!
Para determinar o sinal do coeficiente b devemos traçar uma reta tangente à parábola
no ponto de interseção com o eixo y. Vejamos:
www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES y x A reta deve ser tangente neste ponto! A dica é a seguinte:
Î Se a reta estiver “subindo”, o coeficiente b é positivo.
Î Se a reta estiver “descendo”, o coeficiente b é negativo.
Î Se a reta for horizontal, então b = 0.
No nosso exemplo, temos que b > 0.
Vejamos outros casos.
y x Neste caso, como a concavidade da parábola está voltada para cima, então a > 0.
Como a parábola corta o eixo y acima da origem, então c > 0.
Como a parábola não corta o eixo x, então ∆
0.
E o coeficiente b?
www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES Devemos traçar uma reta tangente no ponto que a parábola corta o eixo y.
y x Como a reta está “descendo”, então b < 0.
Vejamos outro exemplo.
y x Neste caso, como a concavidade da parábola está voltada para baixo, então a < 0.
Concluímos também que c > 0 porque a parábola corta o eixo y acima da origem. Já
que a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos, tem-se que ∆ 0.
Como a reta tangente no ponto que a parábola corta o eixo y é horizontal, temos que
b = 0.
Vejamos uma questão de concurso.
www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir
.
representa a função , de domínio real, dada pela lei
Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que
(A) a < 0, b < 0 e c < 0
(B) a < 0, b < 0 e c > 0
(C) a < 0, b > 0 e c < 0
(D) a < 0, b > 0 e c > 0
(E) a > 0, b < 0 e c < 0
Resolução
Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que
0.
A parábola corta o eixo
0.
abaixo da origem do plano, portanto
Precisamos descobrir o sinal do coeficiente .
Vamos traçar a reta tangente à parábola no ponto que a parábola corta o eixo
y.
Como a reta está “descendo”, então b < 0.
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Prof. Guilherme Neves
[email protected]
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