Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matemática
Curso de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Hipersuperfı́cies com Curvatura média Constante e
ı́ndice finito
Hivanna Nascimento Santos
Salvador-Bahia
Agosto 2008
Hipersuperfı́cies com Curvatura Média Constante e
Índice Finito
Hivanna Nascimento Santos
Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós-Graduação
em Matemática da Universidade
Federal da Bahia, como requisito
parcial para obtenção do Tı́tulo
de Mestre em Matemática.
Banca examinadora:
Prof. Dr José Nelson Bastos Barbosa (Orientador).
Prof. Dr.Isaac Costa Lázaro.
Prof. Dr. Pedro A. Hinojosa.
Hivanna Nascimento Santos
“Hipersuperfı́cies com Curvatura Média Constante e Índice
Finito”/ Salvador-BA, 2008.
Orientador: Prof. Dr. José Nelson Bastos Barbosa (UFBA).
Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-Graduação em
Matemática da UFBA, 50 páginas.
Palavras-Chave:
Estabilidade e ı́ndice, hipersuperfı́cies com cur-
vatura média constante e operador estabilidade.
À minha mãe e às minhas irmãs.
Resumo
Nosso objetivo principal nesta dissertação é mostrar a não existência de hipersuperfı́cies não
compactas completas com curvatura média constante e ı́ndice finito imersas em uma varieade
de dimensão 4 ou 5.
Como conseqüência, obteremos que uma hipersuperfı́cie completa não compacta com curvatura média constante e ı́ndice finito imersa em Rn , n=4 ou n=5, é mı́nima.
i
Sumário
Resumo
i
Introdução
1
1 Preliminares
5
1.1
Variedades Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Fórmulas da primeira e da segunda variações do comprimento de arco
9
2.1
Primeira variação do comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Segunda variação do comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Hipersuperfı́cies com Curvatura Média Constante e Índice Finito
ii
15
Introdução
Sejam N uma variedade orientada e ψ : M n → N n+1 uma imersão de uma variedade
diferenciável, compacta, conexa e orientável em N. Escolhemos a orientação de M compatı́vel
com a orientação de N. Uma variação de ψ é uma aplicação diferenciável Ψ : (−, ) × M → N
com campo variacional f η, onde f ∈ C ∞ (M ) e η é um campo normal em M, tal que Ψt : M → N
definida por Ψt (p) = Ψ(t, p), p ∈ M, é uma imersão. Definimos a função área A : (−, ) → R
por
Z
A(t) =
dMt ,
M
onde dMt representa o elemento de área de M na métrica induzida por Ψt . A primeira fórmula
da variação para a área estabelece que
Z
0
A (0) = −
nHf dM
M
Como uma conseqüência, hipersuperfı́cies mı́nimas são caracterizadas como pontos crı́ticos do
funcional área e as hipersuperfı́cies com curvatura média H constante também podem ser pontos
crı́ticos do funcional área, mas restritas a variações que preservam volume, isto é, funções suaves
R
f tais que M f dM = 0.
O operador estabilidade deste problema variacional é dado pela segunda fórmula da variação
para a área
Z
00
A (0) = −
(f 4f + (|A|2 + n)f 2 )dM
ZM
=−
f Lf dM
M
onde L : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) dado por L = 4 + |A|2 + Ric(N ) é chamado de operador estabilidade de M (ou operador de Jacobi) e 4, |A|2 = tr(A2 ) e Ric(N ) denotam, respectivamente, o
operador laplaciano de M, o quadrado da norma do operador forma da imersão e a curvatura
de Ricci da variedade ambiente N na direção η.
1
2
O operador L induz a forma quadrática Q : C ∞ (M ) → R dada por
Z
Q(f ) = −
f Lf dM,
M
que atua no espaço das funções suaves em M. O ı́ndice de uma hipersuperfı́cie M, denotado por
Ind(M ), é definido como a dimensão máxima do subespaço V de C ∞ (M ) em que Q é negativa
definida. Isto é,
Ind(M ) = max{dimV ; V ≤ C ∞ (M ), Q(f ) < 0 para todo f ∈ V }.
Equivalentemente, Ind(M ) é o número de autovalores negativos de L contados com multiplicidade. Dizemos que uma hipersuperfı́cie mı́nima é estável se Q(f ) ≥ 0 para todo f ∈ C ∞ (M ).
Equivalentemente, em termos do ı́ndice, estabilidade significa que Ind(M ) = 0.
Em 1985, Fischer-Colbrie estudou em [8] a estrutura conforme de uma superfı́cie mı́nima
M completa, orientada e com ı́ndice finito imersa em uma variedade N de dimensão 3 com
curvatura escalar não negativa. Ela mostrou que se a curvatura escalar de N é limitada inferiormente por uma constante positiva, então M é compacta.
Posteriormente, em 1989, Lopez e Ros estudaram em [11] a estrutura conforme de uma
uma superfı́cie completa M com curvatura média constante H e ı́ndice finito imersa em uma
variedade N de dimensão 3. Eles mostraram que se H e a curvatura escalar S de N satisfazem
S ≥ −3H 2 + δ, para alguma constante δ > 0, então M é compacta. Como caso particular,
eles obtiveram que toda superfı́cie completa, não compacta com curvatura média constante H
e ı́ndice finito no espaço euclidiano R3 é mı́nima, pois como S = 0 em Rn , então, pelo resultado
acima, devemos ter 0 < −3H 2 + δ, ∀δ > 0. Conseqüentemente H = 0.
Esta dissertação é baseada no artigo de Xu Cheng [6] e tem como objetivo principal provar
o Teorema seguinte, que é uma versão generalizada do resultado de Lopez e Ros em uma
variedade de dimensão 4 ou 5.
Teorema 3.1. Sejam N n+1 , n ∈ {3, 4}, uma variedade de dimensão (n + 1) e M uma hipersuperfı́cie completa com curvatura média constante H e ı́ndice finito imersa em N. Suponha
que
σ := inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)|w ∈ Tp M, |w| = 1, p ∈ M }
n2 (5 − n)H 2
> −
,
4
3
onde Ric, K e ν denotam, respectivamente, a curvatura de Ricci, a curvatura seccional de N e
o campo normal unitário em M. Então M é compacta.
Como conseqüência do Teorema 3.1, teremos o resultado seguinte.
Teorema 3.3. Sejam N n+1 , n ∈ {3, 4}, uma variedade completa de dimensão (n + 1) com
curvatura seccional K ≥ −τ, τ ≥ 0, e M uma hipersuperfı́cie completa com curvatura média
constante H diferente de zero e ı́ndice finito imersa em N. Se H satisfaz H 2 >
10
τ,
9
quando
n = 3 ou H 2 > 47 τ, quando n = 4, então M é compacta.
Como casos particulares do Teorema 3.3, teremos os corolários abaixo.
Corolário 3.4. Seja N uma variedade completa de dimensão 4 ou 5 com curvatura seccional
não negativa. Então toda hipersuperfı́cie completa com curvatura média constante diferente de
zero e ı́ndice finito em N é compacta.
Corolário 3.5. Toda hipersuperfı́cie completa com ı́ndice finito e curvatura média constante H
satisfazendo H 2 >
10
9
(H 2 > 47 , respectivamente) no espaço hiperbólico H4 (−1) (H5 (−1), res-
pectivamente) é compacta.
Em [7], Chern mostrou que um gráfico inteiro com curvatura média constante em Rn é
uma hipersuperfı́cie mı́nima. Alencar e do Carmo provaram em [1] que uma hipersuperfı́cie
completa em Rn+1 com curvatura média constante, ı́ndice finito e crescimento de volume polinomial é uma hipersuperfı́cie mı́nima. Como gráficos inteiros com curvatura média constante
no Rn são fortemente estáveis (isto é, indM=0) e têm crescimento de volume polinomial, então
eles generalizaram o Teorema de Chern. Posteriormente, do Carmo e Zhou generalizaram em
[4] este resultado para o caso de hipersuperfı́cies com crescimento de volume sub-exponencial.
Sem a condição do crescimento do volume, o problema para hipersuperfı́cies não compactas,
completas, com curvatura média constante e ı́ndice finito em Rn+1 , n ≥ 3, serem mı́nimas ainda
está sem solução. O Teorema seguinte, que é uma conseqüência do Corolário 3.4, responde a
esta questão em R4 e em R5 .
Teorema 3.6. Toda hipersuperfı́cie completa, não compacta com curvatura média constante H
e ı́ndice finito no espaço euclidiano R4 ou R5 é mı́nima.
4
Para a estrutura de hipersuperfı́cies mı́nimas com ı́ndice finito em Rn+1 , Fischer-Colbrie
mostrou em [8] que uma superfı́cie mı́nima, completa, orientada e com ı́ndice finito em R3 é
difeomorficamente conforme a uma superfı́cie Riemanniana completa com número finito de pontos removidos. Recentemente, Li e Wang mostraram em [10] que uma hipersuperfı́cie mı́nima,
não compacta, completa e com ı́ndice finito em Rn+1 , n ≥ 3, tem número finito de fins. Por
este resultado e pelo Teorema 3.6, obtemos que toda hipersuperfı́cie não compacta, completa,
com curvatura média constante e ı́ndice finito em R4 ou em R5 tem número finito de fins.
Apresentaremos também outra versão do Teorema 3.3, provado em [9] por M.F.Elbert,
B.Nelli e H.Rosenberg, que se refere a uma estimativa para o diâmetro de uma variedade.
Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimensão n + 1, n ∈ {3, 4}, com curvatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, estável e
com curvatura média constante H imersa em N. Existe uma constante c = c(n, H, sec(N )) onde
p
para todo p ∈ M, dist(p, ∂M ) ≤ c qualquer que seja H satisfazendo |H| > 2 |min{0, sec(N )}|,
onde sec(N ) denota o ı́nfimo das curvaturas seccionais de N.
O corolário seguinte é uma conseqüência deste Teorema.
Corolário 3.8. Seja M n ⊂ N n+1 uma subvariedade completa estável com curvatura média
p
constante H. Se , n ∈ {3, 4}, e |H| > 2 |min{0, sec(N )}|, então ∂M 6= ∅.
No capı́tulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados à Geometria Riemanniana. No capı́tulo 2, apresentaremos as fórmulas das primeira e segunda variações do
comprimento de arco. Finalmente, no capı́tulo 3, provaremos os teoremas citados aqui na
Introdução.
Capı́tulo 1
Preliminares
Nosso objetivo neste capı́tulo é apresentar definições, resultados e estabelecer as notações
necessárias à compreensão dos capı́tulos subseqüentes.
1.1
Variedades Conformes
Seja ϕ : M → N um difeomorfismo, onde N é uma variedade Riemanniana. Denotemos
por h, i, ∇ e 4 a métrica em N, a conexão Riemanniana e o laplaciano relativos a esta métrica,
respectivamente. Suponha que existe uma função µ ∈ C ∞ (M ) que satisfaça, para todo p ∈ M
e todo par de vetores v, w ∈ Tp M, µ(p) 6= 0 e
hdϕp · v, dϕp · wi = µ2 (p)hv, wi.
Neste caso, dizemos que ϕ é um difeomorfismo conforme, que M e N são variedades conformes
e que a função µ2 é o coeficiente de conformalidade de ϕ. Observemos que dados X ∈ X (M ) e
f ∈ C ∞ (M ), pondo g = f ◦ ϕ−1 , temos para q = ϕ(p),
((dϕ · X)g)(q) = dgq · (dϕp · X(p))
= (dfp ◦ dϕ−1
q ◦ dϕp ) · (X(p))
= dfp · (X(p))
= (Xf )(p)
= (Xf ◦ ϕ−1 )(q),
isto é,
(dϕ · X)g = Xf ◦ ϕ−1 .
O lema seguinte nos mostra como se relacionam as conexões de M e N.
5
(1.1)
Preliminares
6
Lema 1.1.1. Se X, Y ∈ X (M ), então
1
2
2
2
∇dϕ·X (dϕ · Y ) = dϕ · ∇X Y + 2 X(µ )Y + Y (µ )X − hX, Y igrad(µ ) .
2µ
(1.2)
Prova: Seja S(X, Y ) o campo que satisfaz
∇dϕ·X (dϕ · Y ) = dϕ · (∇X Y + S(X, Y )),
(1.3)
para quaisquer X, Y, Z ∈ X (M ). Utilizando (1.1) obtemos
(dϕ · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = (dϕ · X)(µ2 hY, Zi ◦ ϕ−1 )
= X(µ2 hY, Zi) ◦ ϕ−1 ,
ou seja,
(dϕ · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = {X(µ2 )hY, Zi + µ2 XhY, Zi} ◦ ϕ−1 .
(1.4)
Temos também que
h∇dϕ·X (dϕ · Y ), dϕ · Zi = hdϕ · (∇X Y + S(X, Y )), dϕ · Zi
= µ2 h∇X Y + S(X, Y ), Zi ◦ ϕ−1 ,
= {µ2 h∇X Y, Zi + µ2 hS(X, Y ), Zi} ◦ ϕ−1 .
(1.5)
Permutando-se Y e Z em (1.5) obtemos
hdϕ · Y, ∇dϕ·X (dϕ · Z)i = {µ2 hY, ∇X Zi + µ2 hY, S(X, Z)i} ◦ ϕ−1 .
(1.6)
(dϕ · X)hdϕ · Y, dϕ · Zi = h∇dϕ·X (dϕ · Y ), dϕ · Zi + hdϕ · Y, ∇dϕ·X (dϕ · Z)i,
(1.7)
Como
decorre de (1.4), (1.5) e (1.6) que (1.3) equivale a
X(µ2 )hY, Zi = µ2 {hS(X, Y ), Zi + hY, S(X, Z)i}.
(1.8)
Por outro lado, S(X, Y ) dado por
S(X, Y ) =
1 X(µ2 )Y + Y (µ2 )X − hX, Y igrad(µ2 )
2
2µ
(1.9)
obviamente verifica
hS(X, Y ), Zi =
1 2
2
2
X(µ
)hY,
Zi
+
Y
(µ
)hX,
Zi
−
Z(µ
)hX,
Y
i
2µ2
e, conseqüentemente, satisfaz a equação (1.8), o que conclui a demonstração do lema.
(1.10)
Preliminares
1.2
7
Imersões Isométricas
Seja f : M → M uma imersão de uma variedade diferenciável de dimensão n em uma
variedade Riemanniana M de dimensão n + m. A métrica Riemanniana de M induz de maneira
natural uma métrica em M dada por hv1 , v2 i = hdfp v1 , dfp v2 i, v1 , v2 ∈ Tp M. Neste caso, diz-se
que f é uma imersão isométrica de M em M. Para cada p ∈ M, a métrica de M decompõe
Tf (p) M na soma direta
Tf (p) M = dfp (Tp M ) ⊕ (dfp Tp M )⊥ .
Indica-se por T M ⊥ o fibrado normal de f e por (X (M ))⊥ o conjunto das seções de (T M )⊥ .
Se X, Y ∈ X (U ), então a conexão Riemanniana de M é dada por ∇X Y = (∇X Y )T , onde X e
Y são extensões locais de df X e df Y a M .
Dado qualquer ξ ∈ (X (U ))⊥ a segunda forma fundamental de f em p, segundo o vetor
ξ, associada à aplicação bilinear e simétrica B : T U × T U → (T U )⊥ ,dada por B(X, Y ) =
∇X Y − ∇X Y, ∀X, Y ∈ X (M ) é definida por
Hξ (X, Y ) = hB(X, Y ), ξi.
Denota-se por Aξ : Tp M → Tp M a aplicação linear auto-adjunta associada à segunda forma
fundamental de f na direção de ξ, isto é,
hAξ (X), Y i = Hξ (X, Y ) = hB(X, Y ), ξi, ∀X, Y ∈ Tp M.
A equação
hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i + hB(X, Z), B(Y, T )i
−hB(X, T ), B(Y, Z)i,
∀X, Y, Z, T ∈ X (M ),
denominada Equação de Gauss, relaciona as curvaturas R e R de M e M , respectivamente.
1.3
Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano
Dada f ∈ D(M ), o gradiente de f é o campo de vetores
∇f : M → T M, p 7→ (p, ∇(p))
Preliminares
8
definido por
h∇f, Xi = X(f ), ∀X ∈ X (M ).
Dado X ∈ X (M ), o divergente de X é a função divX : M → R dada por
divX(p) = tr(Y (p) 7→ (∇Y X)(p)),
onde tr representa o traço da aplicação linear Y (p) 7→ (∇Y X)(p).
O operador linear 4 : D(M ) → D(M ) definido por
4 = div(∇f )
é chamado o operador Laplaciano de M.
Sejam f ∈ X (M ) e p ∈ M. Definimos o hessiano de f no ponto p como a aplicação bilinear
Hessf : Tp M × Tp M → R dada por
Hessf (X, Y ) = h∇X ∇f, Y i.
Capı́tulo 2
Fórmulas da primeira e da segunda
variações do comprimento de arco
2.1
Primeira variação do comprimento de arco
Seja s : I × J → M, I, J ⊂ R, uma superfı́cie parametrizada. Dizemos que um campo
de vetores V ao longo de s é uma correspondência que associa cada (t, ) ∈ I × J a um vetor
tangente V (t, ) ∈ Ts(t,) M, que é diferenciável no seguinte sentido: se f ∈ D(M ), então a
aplicação (t, ) 7→ V (t, ) · f é diferenciável.
∂s
(t, ) =
Seja s : I → M a curva parametrizada definida por s (t) = s(t, ). Dizemos que
∂t
∂s
s0 (t) é um campo de vetores ao longo de s. De modo análogo, define-se o campo
.
∂
Se V é o campo ao longo de s definido por V (t) = V (, t), então definimos a derivada
DV
DV
DV
(t, ) =
(t). De modo análogo, define-se
.
covariante por
∂t
∂t
∂s
Lema 2.1. (de simetria) Se M é uma variedade diferenciável com uma conexão simétrica e
s : I × J → M é uma superfı́cie parametrizada, então
D ∂s
D ∂s
=
.
∂v ∂u
∂u ∂v
Prova: Sejam x : U → M um sistema de coordenadas e {∂1 , ..., ∂n } uma base associada. Então
x−1 ◦ s(t, ) = (x1 (t, ), ..., xn (t, )).
9
Preliminares
10
Portanto,
D
∂
∂s
∂t
D 0
(s (t))
∂ D X ∂xi
=
· ∂i
∂
∂t
X ∂ 2 xi
∂xi
· ∂i +
∇s0t () ∂i
=
∂∂t
∂t
i










2
X ∂ xi
∂xi
=
∂i
· ∂i +
∇X ∂x
j
 ∂∂t
∂t

· ∂i 
i 




∂
i,j
=
=
X ∂ 2 xi
X ∂xi ∂xj
· ∂i +
∇∂i ∂j .
∂∂t
∂t
∂
i
i,j
e
D
∂t
∂s
∂
=
=
=
D 0
(s ())
∂t t
D X ∂xj
∂t
j
X ∂ 2 xj
∂t
!
· ∂j
· ∂j +
∂xj
∇s0 (t) ∂j
∂
∂t∂







 ∂ 2x

X
∂x
j
j
=
· ∂j +
∇X ∂x
∂i
i
 ∂t∂
∂

· ∂j 
j 




∂
j
i,j
=
X ∂ 2 xj
j
∂∂
· ∂j +
Pela simetria da conexão, ∇∂i ∂j = ∇∂j ∂i . Logo,
X ∂xj ∂xi
i,j
∂ ∂t
∇∂j ∂i .
D ∂s
D ∂s
=
, o que prova o lema.
∂v ∂u
∂u ∂v
Seja w : [α, β] → M uma curva diferenciável em uma variedade Riemanniana M de dimensão n. Uma variação de w é uma aplicação contı́nua v : [α, β] × (−0 , 0 ) → M, para
todo 0 > 0, tal que: v(t, 0) = w(t), t ∈ [α, β]. Se v fixa pontos finais, isto é, se v satisfaz
w(α) = v(α, ) e w(β) = v(β, ) para todo ∈ (−0 , 0 ), então v é uma variação própria ( ou
uma homotopia de w). Dizemos que v é uma variação suave de w se v é diferenciável em
Preliminares
11
[α, β] × (−0 , 0 ). Se para todo ∈ (−0 , 0 ) a aplicação w : [α, β] → M dada por w (t) = v(t, )
é uma geodésica, então v é uma variação geodésica de w. Então,
DD
DD
−
= R
∂ ∂t ∂t ∂
∂v ∂v
,
∂t ∂
.
e
D ∂v
D ∂v
−
= 0 (lema de simetria).
∂ ∂t
∂t ∂
Teorema 2.2. (Fórmula da primeira variação do comprimento de arco) Sejam w : [α, β] → M
uma curva diferenciável
e v uma variação diferenciável de w. Para cada ∈ (−0 , 0 ), seja
Z β
∂v
(t, ) dt o comprimento de w . Então L é diferenciável e
L() =
∂t
α
∂L
=
∂
*
∂v ∂v
, ∂t
∂ | ∂v
|
∂t
+ β Z *
β
∂v D
,
−
∂ ∂t
α
α
∂v
∂t
| ∂v
|
∂t
!+
.
Em particular, se w é parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, |w0 | = 1, e Y (t) =
)(t, 0), então
( ∂v
∂t
dL
d
β Z β
Dw0
0 (0) = hY, w i −
dt.
Y,
∂t
α
α
Prova: Temos que
Z β ∂v ∂L
∂
dt
=
∂
∂ α ∂t 12 !
Z β
∂
∂v ∂v
dt
=
,
∂t ∂t
α ∂
Z β −1 1 ∂v D ∂v ∂v
=
2 ∂ ∂t , ∂t dt
α 2 ∂t
+
Z β*
D ∂v ∂v
∂t
=
dt
, ∂v
∂t
∂
|
|
α
∂t
+ *
!+)
Z β( *
∂v
∂ ∂v ∂v
∂v
D
∂t
∂t
=
, ∂v
−
,
dt
∂v
∂t
∂
∂
∂t
|
|
|
|
α
∂t
∂t
*
+ β Z *
!+
∂v
β
∂v ∂v
∂v
D
∂t
=
, ∂t
,
.
−
∂v
∂ | ∂v
∂
∂t
|
|
|
α
∂t
∂t
α
Preliminares
2.2
12
Segunda variação do comprimento de arco
Teorema 2.3. (Fórmula da segunda variação do comprimento de arco). Sejam w e L como
no Teorema 2.2, com |w0 | = 1. Então para a segunda derivada de L, temos
d2 L
(0) =
d2
+ β
D ∂v , w0 ∂ ∂ =0
α
(
2
2 )
Z β 0
DY DY
Dw
D
∂v
0
0
0
−
−
,
dt.
∂t − hR(w , Y )w , Y i − w , ∂t
∂t ∂ d
α
*
Prova: Para a segunda derivada de L, começamos pela integração por partes na prova do
Teorema 2.2.
+
Z β*
d2 L
D ∂v ∂v
∂
dt
, ∂t
=
d2
∂ α
∂t ∂ | ∂v
|
∂t
*
+
Z β
∂ D ∂v ∂v
∂t
=
, ∂v
dt
∂
∂t
∂
|
|
α
∂t
+ *
!+)
Z β (*
∂v
D D ∂v ∂v
D
∂v
D
∂t
∂t
=
, ∂v
+
,
dt
∂v
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂
|
|
|
|
α
∂t
∂t
+ )
Z β (*
D
D D ∂v ∂v
∂v
D
∂v
1
∂t
=
, ∂v
+
,
dt
∂
∂t
∂
∂t ∂ ∂t ∂ | ∂v
|
|
|
α
∂t
∂t


! 
Z β  −2
D ∂v ∂v
∂v ∂ ∂v − ,
dt.
+
∂ ∂t ∂t ∂ ∂ 
α  ∂t Se = 0, obtemos
2
dL
(0) =
d2
Z
β
α
(
D D ∂v ∂v ,
∂ ∂t ∂ ∂t =0
DY
+ ∂t
2 2 )
− DY , w0
dt.
dt
Mas,
Logo,
D D ∂v ∂v
,
∂ ∂t ∂ ∂t
D D ∂v ∂v
∂v ∂v ∂v ∂v
=
,
+ R
,
,
∂t ∂ ∂ ∂t
∂t ∂ ∂ ∂t
∂ D ∂v ∂v
D ∂v ∂v
∂v ∂v ∂v ∂v
=
,
−
,
− R
,
,
.
∂t ∂ ∂ ∂t
∂ ∂ ∂t
∂t ∂ ∂t ∂
Preliminares
13
β
Z
(
∂
∂t
(
*
D ∂v ∂ ∂ )
0
D
∂v
Dw
,
dt
, w0 −
∂t ∂ d
α
=0
2 2 )
Z β
DY DY
− hR(w0 , Y )w0 , Y i + +
− w0 ,
dt
∂t
∂t
α
*
+ β Z (
2 )
β
D ∂v DY
dt
=
, w0 −
∂ ∂ ∂t
α
=0
α
2 )
Z β(
0
DY
D
∂v
Dw
− hR(w0 , Y )w0 , Y i − w0 ,
+
,
dt.
−
∂t
∂t ∂ d
α
d2 L
(0) =
d2
+
Teorema 2.4. Seja γ : [α, β] → M, |γ 0 | = 1 uma geodésica. Para toda variação v de γ, seja
Y⊥ = Y − hY γ 0 iγ 0 . Então
β
0
0 L (0) = hY γ i
α
e
L00 (0) =
D ∂v 0
,γ
∂Y ∂
)
β Z β (
DY⊥ 2
0
0
+
∂t − hR(γ , Y⊥ )γ , Y⊥ i dt.
α
α
Em particular, se v é uma homotopia de γ, então
L0 (0) = 0
e
L00 (0) =
Z
β
α
(
)
DY⊥ 2
0
0
∂t − hR(γ , Y⊥ )γ , Y⊥ i dt.
Prova: Temos que Y = Y⊥ + hY, γ 0 iγ 0 . Assim,
DY
∂t
D
(Y⊥ + hY, γ 0 iγ 0 )
∂t
DY⊥ D
=
+ (hY, γ 0 iγ 0 )
∂t
∂t
DY⊥
∂
Dγ 0
=
+ hY, γ 0 iγ 0 + hY, γ 0 i
.
∂t
∂t
∂t
=
Como hY, γ 0 i = 0, então
DY
∂t
DY⊥
=
+
∂t
DY 0
, γ γ 0.
∂t
Assim,
DY
∂t
2
2
DY⊥ 2
DY
DY
DY
⊥
0
0
0
= ,
,γ γ +
,γ
.
∂t + 2
∂t
∂t
∂t
Preliminares
Mas
14
DY 0
γ
∂t
= 0. Logo,
2
2
DY⊥ 2
DY
0
= .
∂t + ∂t , γ
DY
∂t
Portanto,
0
0
L (0) = hY, γ i
|βα
Z
β
−
α
Dγ 0
Y,
dt.
∂t
Como γ 0 = 0, então L0 (0) = hY, γ 0 i |βα .
Calculemos L00 (0).
)
+ β Z (
2
β
D
∂v
DY
0
0
L00 (0) =
, γ0 +
∂t − hR(γ , Y )γ , Y i dt
∂ ∂ α
=0
α
2 )
Z β( 0
DY
Dγ
D
∂v
+
− γ 0,
−
,
∂t
∂t
∂t ∂ ∂
α
*
+ β Z (
2 2 )
β
D ∂v DY
DY
⊥
0
=
dt
, γ0 +
∂t + γ , ∂t
∂Y ∂ α
=0
α
2 )
Z β(
DY
+
− hR(γ 0 , Y )γ 0 , Y i − γ 0 ,
dt
∂t
α
)
*
+ β Z (
2
β
D ∂v DY
⊥
0
0
=
, γ0 +
∂t − hR(γ , Y )γ , Y i dt.
∂Y ∂ α
*
=0
α
Em particular, se v é uma homotopia de γ, então
L0 (0) = 0
e
L00 (0) =
Z
β
α
(
)
DY⊥ 2
0
0
∂t − hR(γ , Y⊥ )γ , Y⊥ i dt.
Capı́tulo 3
Hipersuperfı́cies com Curvatura Média
Constante e Índice Finito
Nosso objetivo neste capı́tulo é apresentar a prova do teorema principal e a prova dos seus
casos particulares.
Teorema 3.1. Sejam N n+1 (n = 3, 4) uma variedade de dimensão (n + 1) e M uma hipersuperfı́cie completa com curvatura média constante H e ı́ndice finito imersa em N. Suponha
que
σ := inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)|w ∈ Tp M, |w| = 1, p ∈ M }
n2 (5 − n)H 2
> −
,
4
onde ν denota o campo unitário normal em M. Então M é compacta.
Para a demonstração do Teorema 3.1, precisamos do Lema seguinte.
Lema 3.2. Sejam N uma variedade de dimensão (n+1) e M uma hipersuperfı́cie imersa em N
com curvatura média constante H. Então, para todo referencial ortonormal local ei , i = 1, ..., n
de M ,
n
X
n2 (5 − n)H 2
2
|A| + nHh11 −
,
(3.1)
h21i ≥
4
i=1
tal que A = (hij ), hij = hAei , ej i, i, j = 1, ..., n.
Prova: Defina a aplicação linear sem traço φ = (bij : Tp M → Tp M ) por hφX, Y i = hAX, Y i +
15
Preliminares
16
n
X
HhX, Y i, X, Y ∈ Tp M, p ∈ M. Como
bii = 0, temos que b211 =
i=1
2
|φ|
=
n
X
b2ij
≥
≥
≥
b211
+
n
X
b2ii
+2
i=2
1
+
n−1
n
n−1
!
b2ii
. Logo,
i=2
i,j=1
b211
n
X
b211 +
n
X
b21i
i=2
!2
bii
+2
i=2
n
X
n
X
n
X
b21i
i=2
!
b21i
,
i=2
ou seja,
− b211 +
n
X
i=2
!
b21i
r
(n − 1) 2
n−1
≥−
|φ| e b11 ≥ −
|φ|.
n
n
Como
|A|2 = |φ|2 + nH 2 , bii = −hii + H, bij = hij , i 6= j, i, j = 1, ..., n,
então
Preliminares
17
2
|A| + nHh11 −
n
X
h21i = (|φ|2 + nH 2 ) + nH 2 − nHb11
i=1
− h211 +
2
n
X
!
b21i
i=2
2
= (|φ| + nH ) + nH 2 − nHb11
!
n
X
− (H − b11 )2 +
b21i
i=2
= (|φ|2 + nH 2 ) + nH 2 − nHb11
n
X
2
2
−H + 2Hb11 − b11 −
b21i
i=2
= (|φ|2 + nH 2 ) + (n − 1)H 2
!
n
X
−(n − 2)Hb11 − b211 +
b21i
2
2
i=2
2
≥ (|φ| + nH ) + (n − 1)H
r
n−1 n−1 2
−(n − 2)H|φ|
−
|φ|
n
n
n−1 2
= |φ|2 −
|φ| + nH 2 + nH 2
n
√
|φ|
−H 2 − (n − 2) n − 1 √ H
n
2
2
n|φ| − (n − 1)|φ|
=
+ (2n − 1)H 2
n
√
|φ|
−(n − 2) n − 1 √ H
n
2
√
|φ|
|φ|
=
− √ (n − 2) n − 1H + (2n − 1)H 2
n
n
2
√
|φ|
|φ|
− √ (n − 2) n − 1H
=
n
n
(n − 2)2 (n − 1)H 2 n2 (5 − n)H 2
+
+
4
4
√
2
|φ|
(n − 2) n − 1H
n2 (5 − n)H 2
√ −
=
+
2
4
n
2
2
n (5 − n)H
≥
.
4
Prova do Teorema 3.1: Suponha, por contradição, que M não é compacta. Como M tem
ı́ndice finito, pela Proposição 1 em [8], existem uma função positiva u em M e algum subconjunto
compacto Ω de M tal que, em M \ Ω, Lu = 0, ou seja,
∆u + (|A|2 + Ric(ν))u = 0.
(3.2)
Preliminares
18
Seja ds2 a métrica original em M. Para essa métrica, temos a métrica conforme de
s2 = u2 ds2
e K,
e Ric
g a conexão, a curvatura e a curvatura de Ricci
em M. No que segue, denotaremos por ∇,
na métrica de
s2 , respectivamente.
Afirmamos que existe uma geodésica minimizante γ
e(s) : [0, +∞) → M \ Ω na métrica de
s2 , onde
o parâmetro s é o comprimento de arco na métrica ds2 . De fato, escolhamos uma exaustão de
M = ∪BRi (p) (Ri → ∞, i → ∞), tal que cada BR (p) denota a bola geodésica de M na métrica
ds2 , de raio R centrada em p ∈ M. Então, para cada i existe um segmento de geodésica γ
ei (s)
que realiza a distância de p à fronteira ∂BR (p) na métrica de
s2 , tal que s é o comprimento de
arco de γ
ei na métrica ds2 . Pela teoria das equações diferenciais ordinárias, existe uma geodésica
limitante γ
e(s), s ∈ [0, +∞), parametrizada pelo comprimento de arco na métrica ds2 , tal
que γ
ei converge para γ
e em todo conjunto compacto de [0, +∞). Portanto, γ
e é uma geodésica
minimizante na métrica de
s2 . Observe que γ
e é propriamente mergulhada. Logo, γ
e|[s0 , +∞),
para algum s0 > 0, estará fora de Ω. Mudando o ponto inicial, se necessário, podemos escolher
γ
e|[s0 , +∞) como afirmamos.
Agora, temos uma geodésica minimizante γ
e(s) : [0, +∞) → M \Ω na métrica de
s2 que possui
comprimento infinito na métrica ds2 . A seguir, provaremos que toda geodésica minimizante em
M \Ω na métrica de
s2 tem comprimento uniformemente limitado na métrica ds2 . Assim, violaremos o fato que o comprimento de γ
e é infinito na métrica de
s2 e completaremos a prova por
contradição.
No que segue, assumiremos que e
c(s) (o ≤ s ≤ l) é qualquer geodésica minimizante em M \ Ω
na métrica de
s2 , tal que s é o comprimento de arco na métrica ds2 . Escolhemos um referencial
d
ortonormal ei , i = 1, ..., n de M ao longo de e
c tal que e1 = . Logo, eei = u−1 ei são ortonormais
ds
d
2
na métrica de
s e ee1 = .
de
s
Afirmamos agora que para n < 5 e qualquer função suave f ao longo de e
c com f (0) = f (l) = 0,
Z l 2
Z l
4
df
ds ≥
f 2 (Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν))ds
5 − n 0 ds
0
Z l 2
n (5 − n)H 2
2
+
f
ds.
(3.3)
4
0
Antes de apresentarmos a prova de (3.3), daremos uma prévia da demonstração. Consideraremos a propriedade minimizante de e
c na métrica de
s2 . Sob a métrica de
s2 , a segunda variação
Preliminares
19
do comprimento de arco (3.5) implicará a desigualdade (3.6) envolvendo a curvatura de Ricci na
métrica de
s2 . Daı́, transformaremos a desigualdade (3.6) (na métrica de
s2 ) na desigualdade (3.13)
(na métrica ds2 ) usando as leis de transformação para a mudança conforme da métrica. Depois,
pela equação de Jacobi e pela equação de Gauss, obteremos a desigualdade (3.16) envolvendo
as curvaturas do espaço ambiente e a segunda forma fundamental. Finalmente, obteremos (3.3)
1
trocando a função teste ϕ por f u 2 e usando o lema 3.2.
Agora provaremos (3.3). Como e
c é uma geodésica minimizante na métrica de
s2 , ela satisfaz
e d d = 0,
∇
de
s de
s
Z el 0
dϕ
de
s
2
e
l
Z
de
s≥
0
(3.4)
e ee1 , eei )de
ϕ2 K(
s, i = 2, ..., n,
(3.5)
para qualquer função suave ϕ ao longo de e
c com ϕ(0) = ϕ(e
l) = 0, tal que e
l é o comprimento de
e
c na métrica de
s2 .
De (3.5), segue-se que
Z el (n − 1)
0
dϕ
de
s
2
Z
de
s≥
0
e
l
g ee1 )de
ϕ2 Ric(
s.
(3.6)
g ee1 ).
Calculemos Ric(
d
1 d
Como
=
, então
de
s
u ds
e1 d 1 d
ed d = ∇
0=∇
de
s de
u ds u ds
s
1e 1 d
=
∇d
u ds u ds
d
1 d
11e d
=
∇d
u−1
+
ds ds
u ds
ds
u
u
1
du d
1 e d
=
−u−2
+ 2∇
d
u
ds ds u ds ds
1 1 du d
1 e d
=
− 2
+ 2∇
.
d
u u ds ds u ds ds
Assim,
1 e d
1 1 du d
∇d
= 2
.
2
ds
u
ds
u u ds ds
Logo,
e d d = d log u d .
∇
ds ds
ds ds
(3.7)
Preliminares
20
Da relação entre as conexões na métrica ds2 e na métrica conforme de
s2 , temos
d
1
d
d
d
d
d
2
2
2
ed
= ∇d
+ 2 2 (u ) − ds
,
gradu
∇
ds ds
ds ds
2u
ds
ds
ds ds
d
1
du d
1
= ∇d
+ 2 2.2u
− 2 2u2 ∇ log u
ds ds
2u
ds ds 2u
2 d
1
u du d
+ 2 2
− ∇ log u
= ∇d
ds ds
u
u ds ds
d
d log u d
= ∇d
+2
− ∇ log u.
ds ds
ds ds
(3.8)
Igualando a equação (3.7) e a equação (3.8), obtemos
∇d
ds
d
d log u d
= ∇ log u −
ds
ds ds
Daı́,
d
∇d
ds ds
log u = (∇ log u) logu −
d log u d log u
.
ds
ds
Logo,
d
∇d
ds ds
d log u 2
log u = |∇ log u|2 − .
ds (3.9)
Pela fórmula da transformação da curvatura para a mudança conforme da métrica [12], temos
d(log u) 2
g e1 ) = Ric(e
Ric(e
e1 ) − (n − 2)Hess(log u)(e
e1 , ee1 ) + (n − 2)
de
s 2
2 d −[∆(log u) + (n − 2)|∇ log u| ] ,
(3.10)
de
s
tal que Hess e |.| denotam o hessiano e o comprimento do vetor tangente na métrica ds2 em M ,
respectivamente.
Mas,
d
Hess(log u)(e
e1 , ee1 ) =
∇ d grad log u,
de
s
de
s
d
d
d
−2
= u
grad log u,
− grad log u, ∇ d
ds ds
ds
ds
2
d log u
d
= u−2
− ∇d
log u .
2
ds ds
ds
Logo, por (3.9),

2 
d log u 
−2  d log u
2
Hess(log u)(e
e1 , ee1 ) = u
− |∇ log u| + .
ds ds2
2
(3.11)
Preliminares
21
Assim,

g e1 ) = u−2 Ric(e1 ) − (n − 2)
Ric(e

 d2 log u

d log u 2 

− |∇ log u|2 + ds 

 ds2

d(log u) 2
+u−2 (n − 2)
− ∆(log u) − (n − 2)|∇ log u|2  .
ds Logo, (3.10) torna-se
−2
g e1 ) = u
Ric(e
Ric(e1 ) − (n − 2)
d2 log u
ds2
− 4(log u) .
(3.12)
Substituindo (3.12) em (3.6), temos
Z
(n − 1)
l
−1
u
0
dϕ
ds
2
Z
ds ≥
l
−1
u
Ric(e1 ) − (n − 2)
0
Z l
−
u−1 [4(log u)]ϕ2 ds.
0
Mas
4(log u) = trHess(log u)
X
=
h∇ei grad log u, ei i
X
=
ei hgrad log u, ei i
X ei (u) =
ei
ei
X (ei ei (u))u − (ei (u))2
=
u2
2
u4u − |∇u|
=
u2
4u |∇u|2
=
−
.
u
u2
Assim,
4u
= 4(log u) + |∇ log u|2 .
u
Da equação (3.2), obtemos
−
ou seja,
4u
= |A|2 + Ric(ν),
u
d2 log u
ds2
ϕ2 ds
(3.13)
Preliminares
22
−4(log u) − |∇ log u|2 = |A|2 + Ric(ν).
Daı́,
−4(log u) = |A|2 + Ric(ν) + |∇ log u|2 .
(3.14)
Pela equação (3.14) e pela equação de Gauss
Ric(e1 ) = Ric(e1 ) − K(e1 , ν) + nHh11 −
n
X
h21j ,
j=1
temos
Ric(e1 ) − (n − 2)
d2 log u
ds2
"
− 4(log u) = u−2 Ric(e1 ) − K(e1 , ν) + nHh11 −
n
X
#
h21j
j=1
2
d log u
+u−2 −(n − 2)
ds2
2
+ |A| + Ric(ν) + |∇ log u|2 .
(3.15)
Substituindo (3.15) em (3.13), temos
Z
(n − 1)
l
−1
u
0
dϕ
ds
2
Z
ds ≥
l
u−1 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) + |A|2 ϕ2 ds
0
"
#
Z l
n
X
u−1 nHh11 −
h21j ϕ2 ds
+
0
j=1
l
2
d log u
−1
+
u
−(n − 2)
ϕ2 ds
2
ds
0
Z l
+
u−1 |∇ log u|2 ϕ2 ds.
Z
0
1
Trocando ϕ por f u 2 pra tirar u do denominador, temos
1
dϕ
d(f u 2 )
=
ds
ds
df 1 1 −1 du
=
u2 + fu 2
ds
2
ds
e
dϕ
ds
2
df
ds
2
df 1 1 −1 du 1 2 −1
=
u + 2 u2 fu 2
+ f u
ds 2
ds 4
2
2
df
df du 1 2 du
=
u+f
+ f
u−1 .
ds
ds ds 4
ds
du
ds
2
(3.16)
Preliminares
23
Sejam
2
df
uu−1 ds,
a = (n − 1)
ds
0
Z l 2
(n − 1)
du
b=
f2
u−1 u−1 ds
4
ds
0
Z l
e
l
Z
c = (n − 1)
f
0
df du −1
u ds.
ds ds
Então, (3.16) torna-se
l
Z
u−1 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) + |A|2 f 2 uds
0
#
"
Z l
n
X
h21j f 2 uds
+
u−1 nHh11 −
a+b+c ≥
0
j=1
l
Z
−1
+
u
−(n − 2)
0
d2 log u
ds2
Sejam
Z l
d = (n − 1)
0
(n − 1)
e=
4
Z
l
f
2
0
df
ds
2
+ |∇ log u|
f 2 uds.
2
ds,
d2 log u
ds2
ds
e
Z
g = (n − 1)
l
f
0
df d log u
ds.
ds ds
Daı́,
l
Z
d+e+g ≥
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) + |A|2 ds
0
#
Z l "
n
X
2
2
f nHh11 −
h1j ds
+
0
Z
j=1
l
+
f
2
−(n − 2)
0
Z
+
d2 log u
ds2
ds
l
f 2 |∇ log u|2 ds.
(3.17)
0
l
Z
Integremos
f
0
2
2
d2 log u
ds2
Sejam U = f e dv =
Daı́,
ds por partes.
d2 log u
ds2
df
. Então dU = 2f ds e v =
ds
d log u
ds
.
Preliminares
24
l
Z
f2
0
d2 logu
ds2
ds = f 2
d log u
ds
l
Z l
df d log u
f
ds.
−2
ds ds
0
0
Como f (0) = f (l) = 0, então
Z l 2
Z l
d log u
df d log u
2
f
f
ds
=
−2
ds.
ds2
ds ds
0
0
Mas
Z
l
2
l
Z
2
f |∇ log u| ds =
f
2
0
0
d2 log u
ds2
ds.
Logo (3.17) equivale a
Z l
(n − 1)
0
df
ds
2
Z l 2
d log u
d2 log u
2
f
ds +
ds
f
ds2
ds2
0
0
Z l
Z l
df d log u
df d log u
f
ds + 2(n − 2)
f
ds
−(n − 1)
ds ds
ds ds
0
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
f 2 |A|2 + nHh11 −
+
h21j ds
Z
l
Z
l
(n − 1)
ds ≥ −
4
2
0
≥
5−n
4
j=1
2
d log u
ds
0
Z l
df d log u
f
+(n − 3)
ds
ds ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
+
f 2 |A|2 + nHh11 −
h21j ds.
f2
0
j=1
Assim,
(n − 1)(5 − n)
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
2
d log u
ds ≥
f
ds
ds
0
Z l
df d log u
+(n − 3)
f
ds
ds ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
+
f 2 |A|2 + nHh11 −
h21j ds,
5−n
4
0
ou seja,
Z
l
2
j=1
(3.18)
Preliminares
25
−n2 + 6n − 5
5−n
Z l
0
df
ds
2
2
d log u
f
ds ≥
ds
ds
0
Z l
df d log u
ds
+(n − 3)
f
ds ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
f 2 |A|2 + nHh11 −
h21j ds,
+
5−n
4
Z
l
2
0
j=1
isto é,
4 − n2 + 6n − 9
5−n
Z l
0
df
ds
2
2
d log u
f
ds ≥
ds
ds
0
Z l
df d log u
f
ds
+(n − 3)
ds ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
f 2 |A|2 + nHh11 −
+
h21j ds,
5−n
4
Z
l
2
0
j=1
por conseguinte,
Z l 2
Z l 2
(n − 3)2
5−n
d log u
4
df
2
f
−
ds ≥
ds
5−n
4(5 − n)4−1 0 ds
4
ds
0
Z l
df d log u
f
+(n − 3)
ds
ds ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
+
f 2 |A|2 + nHh11 −
h21j ds.
0
j=1
Logo,
4
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
Z l 2
df
(n − 3)2
ds ≥
ds
−1
4(5 − n)4
ds
0
Z l 2
Z l
df d log u
5−n
d log u
2
+(n − 3)
f
ds +
f
ds ds
4
ds
0
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
+
h21j ds.
f 2 |A|2 + nHh11 −
0
j=1
Preliminares
Seja ϑ =
26
5−n
4
> 0, n = 3, 4. Logo,
4
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
Z 2
(n − 3)2 l df
ds ≥
ds
4ϑ
ds
0
Z l
(n − 3) df √ d log u
2 √
+
ds
ϑf
ds
2 ϑ ds
0
2
Z l
d log u
2
ϑf
+
ds
ds
0
Z l
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
+
0
#
Z l "
n
X
h21j ds.
+
f 2 |A|2 + nHh11 −
0
j=1
Portanto,
4
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
2
(n − 3) df √ d log u
√
+ ϑf
ds ≥
ds
ds
2 ϑ ds
0
Z l
+
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
#
Z l "
n
X
+
f 2 |A|2 + nHh11 −
h21j ds.
Z l
0
(3.19)
j=1
Portanto, pelo lema 3.2,
4
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
Z
ds ≥
l
f 2 Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ds
0
Z l 2
n (5 − n)H 2
2
f
+
ds,
4
0
como afirmamos.
Afirmamos que o comprimento l de e
c na métrica ds2 é uniformemente limitado superiormente.
De fato, por hipótese
Ric(e1 ) + Ric(ν) − K(e1 , ν) ≥ σ.
Logo,
4
(5 − n)
Z l
0
df
ds
2
Z l
n2 (5 − n)H 2
ds ≥
σ+
f 2 ds.
4
0
Preliminares
27
4
Sejam D =
eB=
(5 − n)
n2 (5 − n)H 2
σ+
4
.
Daı́,
l
Z
Z
2
l
Bf ds −
D
0
0
Z l
Integremos
0
Sejam U =
df
ds
df
ds
2
ds ≤ 0.
2
ds por partes.
df
d2 f
df
e dv = ds. Então dU = 2 ds e v = f.
ds
ds
ds
Assim,
Z l
0
df
ds
2
l Z
l
d2 f
df f 2 ds.
ds = f −
ds ds
0
0
Como f (0) = f (l) = 0, então
Z l
0
df
ds
2
l
Z
ds = −
f
0
d2 f
ds.
ds2
Logo,
Z
l
2
Z
Bf ds +
0
l
D
0
df
ds
2
ds ≤ 0,
isto é,
Z l
0
Agora, escolhemos f = sen
πs l
d2 f
D + Bf
ds2
f ds ≤ 0.
, 0 ≤ s ≤ l. Daı́,
πs π
df
= cos
ds
l l
Preliminares
28
e
πs π 2
d2 f
.
= −sen
ds2
l
l
Logo,
Z l
−sen
πs π 2
l
0
l
D + Bsen
πs l
sen
πs l
≤ 0.
Assim,
Z l
−sen
2
πs π 2 l
0
l2
D + Bsen
2
πs l
ds ≤ 0,
ou seja,
Z l
πs Dπ 2
B − 2 sen2
ds ≤ 0.
l
l
0
Portanto,
Dπ 2
B− 2
≤ 0,
l
isto é,
√
Dπ
l ≤ √
B
p
4(5 − n)−1 π
= r
n2 (5 − n)H 2
σ+
4
Logo,
l≤
2π
√
r
5−n σ+
n2 (5 − n)H 2
4
como afirmamos.
Assim, toda geodésica minimizante em M |Ω na métrica de
s2 tem comprimento uniformemente
limitado na métrica ds2 . Contradição. Portanto, M é compacta.
Preliminares
29
Teorema 3.3. Sejam N n+1 (n = 3, 4) uma variedade completa de dimensão (n + 1) com curvatura seccional K ≥ −τ, τ ≥ 0, e M uma hipersuperfı́cie completa com curvatura média
τ, quando
constante H diferente de zero e ı́ndice finito imersa em N. Se H satisfaz H 2 > 10
9
7
2
n = 3 ou H > 4 τ, quando n=4, então M é compacta.
Prova: Sejam w ∈ Tp M, |w| = 1 e {w, e1 , ..., en }, {ν, f1 , ..., fn } bases ortonormais de Tp M, onde
ν ∈ (Tp M )⊥ . Então
Ric(w) + Ric(v) − K(w, ν) =
n
X
K(w, ei ) +
i=1
n
X
K(ν, fi ) − K(w, ν)
i=1
≥ −nτ − nτ − (−τ )
= −(2n − 1)τ.
Assim, por hipótese, temos que se n = 3,
inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −5τ
5·9 2
> −
H
10
9
= − H2
2
32 (5 − 3) 2
= −
H
4
e se n = 4,
inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −7τ
> −4H 2
42 (5 − 4) 2
H .
= −
4
Portanto, se n = 3 ou n = 4, obtemos
inf {Ric(w) + Ric(ν) − K(w, ν)} ≥ −
n2 (5 − n) 2
H .
4
Logo, pelo Teorema 3.1, M é compacta.
Como casos particulares do Teorema 3.3, temos:
Preliminares
30
Corolário 3.4. Seja N uma variedade completa de dimensão 4 ou 5 com curvatura seccional
não negativa. Então toda hipersuperfı́cie completa M com curvatura média constante diferente
de zero e ı́ndice finito em N é compacta.
Prova: Com efeito, como K ≤ 0, escolhendo τ = 0, temos que H satisfaz H 2 > 0 e portanto
satisfaz às hipóteses do Teorema 3.3. Logo, M é compacta.
Corolário 3.5. Toda hipersuperfı́cie M completa com ı́ndice finito e curvatura média constante
H satisfazendo H 2 > 10
(H 2 > 74 respectivamente) no espaço hiperbólico H4 (−1) (H5 (−1) respectivamente
9
é compacta.
Prova: De fato, como neste caso K = −1, escolhendo τ = 1, temos que H satisfaz H 2 >
10
,
9
quando n = 3 ou H 2 > 74 , quando n = 4 e portanto satisfaz às hipóteses do Teorema 3.3. Logo,
M é compacta.
O Teorema seguinte é uma conseqüência do Corolário 3.4.
Teorema 3.6. Toda hipersuperfı́cie completa M , não compacta com curvatura média constante
H e ı́ndice finito no espaço euclidiano R4 ou R5 é mı́nima.
Prova: De fato, como M é completa, com curvatura média constante, ı́ndice finito e curvatura
seccional não negativa (pois K = 0 em Rn ) segue do Corolário 3.4 que H = 0.
Apresentamos agora a prova de M.F.Elbert, B.Nelli e H.Rosenberg [9] para o Teorema 3.3,
que é muito similar à demonstração do Teorema 3.1.
Teorema 3.7. Sejam N uma variedade Riemanniana de dimensão n + 1 (n = 3, 4) com curvatura seccional uniformemente limitada inferiormente e M uma variedade completa, estável
e com curvatura média constante H imersa em N. Existe uma constante c = c(n,
p H, sec(N )) tal
que para todo p ∈ M, dist(p, ∂M ) ≤ c qualquer que seja H satisfazendo |H| > 2 |min{0, sec(N )}|,
tal que sec(N ) denota o ı́nfimo das curvaturas seccionais de N.
Prova: Denotemos por ds2 a métrica em M induzida pela imersão em N e seja de
s2 = u2k ds2
a métrica conforme em M , com
5(n−1)
4n
≤ k ≤
4
,
n−1
n = 3, 4. Consideremos p ∈ M e seja
Preliminares
31
r > 0 tal que a bola intrı́nseca Br de M na métrica ds2 , de raio r centrada em p ∈ M. esteja
contida no interior de M. Sejam γ ∈ Br uma geodésica minimizante na métrica de
s2 ligando p
a ∂Br e a o comprimento de γ na métrica ds2 . Então a ≥ r e é suficiente provar que existe
e os tensores curvatura de M nas
uma constante c(n, H, sec(N )) tal que a ≤ c. Sejam R e R
métricas ds2 e de
s2 , respectivamente. Escolhamos uma base ortonormal {ee1 =
∂γ
, ee2 , ..., een }
∂e
s
para a métrica de
s2 , tal que ee2 , ..., een são paralelos ao longo de γ e seja een+1 = η. A base
{e1 =
∂γ
∂s
= uk ee1 , e2 = uk ee2 , ..., en = uk een } é ortonormal para a métrica ds2 . Denotemos por R11
e11 as curvaturas de Ricci na direção de e1 para as métricas ds2 e de
eR
s2 , respectivamente. Seja
b o tensor curvatura da variedade ambiente N e escrevamos Ric(η) = R
bn+1 .
R
1 d
d
= k , por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1, obtemos
Como
de
s
u ds
e11
R
d2 logu
2
2
= u
+ k(|φ| + nH )
R11 − k(n − 2)
ds2
|∇u|2
−2k
b
+u
k Rn+1,n+1 + k 2
u
−2k
(3.20)
Da equação de Gauss, temos que
bijij + hii hjj − h2ij ,
Rijij = R
onde hij =< B(ei , ej ), N > .
Como φ = A − HI e Aei = hii ei , então
φ(ei ) = Aei − HIei
= hii ei − Hei
= (hii − H)ei .
Mas φij = hij − Hδij . Logo, φii = hii − H, ou seja, hii = φii + H. Assim,
bijij + (φii + H)(φjj + H) − (φii + Hδij )2 .
Rijij = R
Tomando i = 1 e j = 2, ..., n, obtemos
(3.21)
Preliminares
n
X
32
n
X
R1j1j =
j=2
b1j1j + (φ11 + H)
R
j=2
n
X
=
n
X
j=2
b1j1j + (φ11 + H)
R
n
X
(φ1j Hδ1j )2
j=2
n
X
j=2
Mas
(φjj + H) −
n
X
!
φjj − φ11 + (n − 1)H
−
j=1
n
X
(φ1j )2 .
j=2
(φjj ) = 0. Logo,
j=1
R11 =
n
X
b1j1j + (φ11 + H)(−φ11 + (n − 1)H)
R
j=2
−
=
n
X
(φ1j )2
j=2
n
X
b1j1j − (φ11 )2 + (n − 1)Hφ11 + (n − 1)H 2
R
j=2
−Hφ11 −
n
X
(φ1j )2
j=2
=
n
X
b1j1j − (φ11 )2 + (n − 2)Hφ11 + (n − 1)H 2
R
j=2
−
n
X
(φ1j )2 .
(3.22)
j=2
Substituindo a equação (3.22) na equação (3.20), temos
"
e11 = u−2k
R
n
X
b1j1j
R
n
X
2
2
− (φ11 ) + (n − 2)Hφ11 + (n − 1)H −
(φ1j )2
j=2
−2k
#
j=2
2
2
−k(n − 2)(log u)ss + k|φ| + knH
2
|∇u|
−2k
bn+1,n+1 + k
+u
kR
u2
" n
#
X
b1j1j + k R
bn+1,n+1 + (kn + n − 1)H 2 + (n − 2)Hφ11
= u−2k
R
+u
j=2
"
+u−2k k|φ|2 − (φ11 )2 −
n
X
#
(φ1j )2
j=2
−2k
+u
|∇u|2
−k(n − 2)(log u)ss + k 2
.
u
Como
(n − 1)
Z re 0
dϕ
de
s
2
Z
≥
0
re
e11 ϕ2 ds,
R
(3.23)
(3.24)
Preliminares
33
então substituindo a equação (3.23) na desigualdade (3.24), obtemos
Z
(n − 1)
a
(ϕs )2 u−k ds ≥
"
a
Z
ϕ2 u−k
0
0
n
X
#
b1j1j + k R
bn+1,n+1 ds
R
j=2
a
Z
ϕ2 u−k (kn + n − 1)H 2 + (n − 2)Hφ11 ds
0
"
#
Z a
n
X
ϕ2 u−k k|φ|2 − (φ11 )2 −
(φ1j )2 ds
+
+
0
j=2
a
Z
ϕ2 u−k k(n − 2)(log u)ss ds
−
Z0 a
+
ϕ2 u−k k
0
|∇u|2
ds.
u2
(3.25)
k
Por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1, trocamos ϕ por ϕu 2 para tirar uk do
denominador e denotamos por
a
Z
(ϕs )2 ds,
m = (n − 1)
0
a
Z
ϕϕs us u−1 ds
n = k(n − 1)
0
e
k 2 (n − 1)
q=
4
Z
a
ϕ2 (us )2 u−2 ds.
0
Assim, a desigualdade (3.25) é equivalente a
"
a
Z
ϕ2
m+n+q ≥
0
n
X
#
b1j1j + k R
bn+1,n+1 ds
R
j=2
a
Z
ϕ2 (kn + n − 1)H 2 + (n − 2)Hφ11 ds
0
#
Z a "
n
X
+
ϕ2 k|φ|2 − (φ11 )2 −
(φ1j )2 ds
+
0
Z
−
0
j=2
a
|∇u|2
2
ϕ k(n − 2)(log u)ss − k 2
.
u
Integrando por partes, temos
Z
a
2
Z
ϕ (log u)ss ds = −2
0
a
ϕϕs
0
us
ds.
u
(3.26)
Preliminares
34
Como
Z
a
Z
2 −2
2
a
ϕ2 (log u)2s ds
ϕ (us ) u ds =
0
Z0 a
1
ϕ2 2 (k log u)2s ds
k
0
Z a
1
= 2
ϕ2 (log uk )2s ds,
k 0
=
substituindo na desigualdade (3.26), obtemos
a
Z
(ϕs ) ds ≥ k(n − 3)
(n − 1)
a
(n − 1) 2
ϕ (log uk )2s ds
4
0
#
Z a
Z a "
n
2
X
|∇u|
bn+1,n+1 +
b1j1j ds
ϕ2 2 ds +
+k
ϕ2 k R
R
u
0
0
j=2
Z a
ϕ2 (kn + n − 1)H 2 + (n − 2)Hφ11 ds
+
0
#
Z a "
n
X
ϕ2 k|φ|2 − (φ11 )2 −
(φ1j )2 ds.
+
Z
2
0
ϕϕs us u−1 ds −
0
j=2
Mas, |∇u|2 = u2s . Assim,
Z
0
a
a
u2
ϕ2 2s ds
u
0
Z a
u 1
s
= 2
ϕ2 k 2
ds
k 0
u
Z
Z
1 a 2
1 a 2
2
= 2
ϕ (k log u)s ds = 2
ϕ (log uk )2s ds.
k 0
k 0
|∇u|2
ϕ2 2 ds
u
Z
=
Logo,
Z
k
0
a
|∇u|2
ϕ2 2 ds
u
Então, a desigualdade (3.27) torna-se
1
=
k
Z
0
a
ϕ2 (log uk )2s ds.
(3.27)
Preliminares
35
Z
(n − 1)
0
a
Z
a
ϕϕs us u−1 ds
(ϕs ) ds ≥ k(n − 3)
0
1 (n − 1) 2
+
−
ϕ (log uk )2s ds
k
4
#
Z a "
n
X
bn+1,n+1 +
b1j1j ds
+
ϕ2 k R
R
2
0
Z
j=2
a
ϕ2 (kn + n − 1)H 2 + (n − 2)Hφ11 ds
+
0
#
Z a "
n
X
φ21j ds.
+
ϕ2 k|φ|2 − (φ11 )2 −
0
j=2
Agora usamos que a2 + b2 ≥ −2ab, com a = (n − 2)H e b =
(n − 2)2 H 2 +
(3.28)
φ11
. Daı́,
2
φ211
≥ −(n − 2)Hφ11 ,
4
ou seja,
(n − 2)Hφ11 ≥ (−n2 + 4n − 4)H 2 −
φ211
.
4
Substituindo na desigualdade (3.28), obtemos
Z
(n − 1)
0
a
Z
a
(ϕs ) ds ≥ k(n − 3)
ϕϕs us u−1 ds
0
1 (n − 1) 2
+
−
ϕ (log uk )2s ds
k
4
#
Z a "
n
X
bn+1,n+1 +
b1j1j ds
+
ϕ2 k R
R
2
0
Z
j=2
a
+
ϕ2 (kn + n − 1)H 2 + (−n2 + 4n − 4)H 2 ds
0
#
Z a " 2
n
X
φ
+
ϕ2 − 11 − φ211 + k|φ|2 −
φ21j ds
4
0
j=2
Z a
≥ k(n − 3)
ϕϕs us u−1 ds
0
1 (n − 1) 2
−
ϕ (log uk )2s ds
+
k
4
#
Z a "
n
X
2
2
2
bn+1,n+1 +
b1j1j + (kn − n + 5n − 5)H ds
+
ϕ kR
R
0
Z
+
0
j=2
"
a
ϕ2
#
n
X
5
k|φ|2 − φ211 −
φ21j ds.
4
j=2
(3.29)
Preliminares
36
Vamos provar que o último termo da desigualdade (3.29) é maior ou igual a zero.
Por cálculos análogos aos da prova do lema 3.2, temos
|φ|2 ≥
Como k ≥
n
X
n
φ211 + 2
φ21j .
(n − 1)
j=2
(3.30)
5(n − 1)
e usando a desigualdade (3.30), obtemos
4n
n
2
k|φ|
X
n
≥ k
φ211 + 2k
φ21j .
(n − 1)
j=2
Assim,
n
n
X
5
5(n − 1) n
5(n − 1) X
k|φ|2 − (φ11 )2 −
(φ1j )2 ≥
(φ11 )2 + 2
(φ1j )2
4
4n
(n
−
1)
4n
j=2
j=2
n
X
5
− (φ11 )2 −
(φ1j )2
4
j=2
n
≥
5(n − 1) X
5
(φ11 )2 +
(φ1j )2
4
2n
j=2
n
X
5
(φ1j )2
− (φ11 )2 −
4
j=2
n
n
X
5(n − 1) X
≥
(φ1j )2 −
(φ1j )2
2n
j=2
j=2
n
3n − 5 X 2
φ
=
2n j=2 1j
≥ 0.
Logo, a desigualdade (3.29) é equivalente a
Z
(n − 1)
0
a
Z
2
a
(ϕs ) ds ≥ (n − 3)
ϕϕs (log uk )s ds
0
Z a
1 (n − 1)
ϕ2 (log uk )2s ds
+
−
k
4
0
#
Z a "
n
X
bn+1,n+1 +
b1j1j ds
+
ϕ2 k R
R
0
Z
+
0
j=2
a
ϕ2 (kn − n2 + 5n − 5)H 2 ds.
(3.31)
Preliminares
37
Usamos agora que a2 + b2 ≥ −2ab, com
a=
1 (n − 1)
−
k
4
21
ϕ(log uk )s
e
(n − 3)
b=
2
1 (n − 1)
−
k
4
−1
2
ϕs
para obtermos
1 (n − 1)
−
k
4
2
ϕ
(n − 3)2
+
4
(log uk )2s
1 (n − 1)
−
k
4
−1
ϕ2s
≥ −(n − 3)ϕϕs (log uk )s ,
ou seja,
a
Z
(n − 3)
ϕϕs (log u )s ds +
0
(n − 3)2
≥−
4
Z a
1 (n − 1)
ϕϕs (log uk )s ds
−
ϕ2s
k
4
0
−1 Z a
(n − 1)
ϕ2s ds
−
4
0
k
1
k
Da última desigualdade junto com a desigualdade (3.31), temos
Z
(n − 1)
0
a
−1 Z a
(n − 3)2 1 (n − 1)
(ϕs ) ds ≥ −
ϕ2s ds
−
4
k
4
0
Z a
ϕ2 (kn − n2 + 5n − 5)H 2 ds
+
0
#
Z a "
n
X
bn+1,n+1 +
b1j1j ds.
+
ϕ2 k R
R
2
0
j=2
(3.32)
Preliminares
38
Seja
(n − 3)2
A =
4
=
=
=
=
=
=
1 (n − 1)
−
k
4
−1
+ (n − 1)
−1
(n − 3)2 4 − k(n − 1)
+ (n − 1)
4
4k
(n − 3)2 k
+ (n − 1)
4 − k(n − 1)
(n − 3)k + (4 − k(n − 1))(n − 1)
4 − k(n − 1)
(n − 3)2 k + 4(n − 1) − k(n − 1)2
4 − k(n − 1)
−4nk + 8k + 4(n − 1)
4 − k(n − 1)
4[k(2 − n) + (n − 1)]
.
4 − k(n − 1)
Observamos que A é positiva, pois como k <
4
n−1
≤
, então
(n − 1)
n−2
k(n − 2) ≤ (n − 1), ou seja, k(2 − n) + (n − 1) ≥ 0.
e
k(n − 1) < 4, ou seja, 4 − k(n − 1) > 0
Fazendo uma escolha conveniente da constante positiva B, podemos reescrever a desigualdade
(3.32) como
a
Z
ϕ2s ds
A
Z
≥B
0
a
ϕ2 ds.
(3.33)
0
Queremos escolher B tal que
0 ≤ B ≤ (kn − n2 + 5n − 5)H 2 +
bn+1,n+1 +
kR
n
X
!
b1j1j
R
.
j=2
Quando a curvatura da variedade ambiente é não-negativa, escolhemos B = (kn−n2 +5n−5)H 2 ,
que é positiva se H 6= 0. Neste caso, |H| > 0 e podemos escolher ρ = 0. Caso contrário, como
K(ei , ej ) =
então
n
X
j=2
R(ei , ej , ei , ej )
, |ei ∧ ej |2 = 1,
|ei ∧ ej |2
K(ei , ej ) ≥ (n − 1)inf{curvaturas seccionais de N }
Preliminares
39
e como
bn+1,n+1 ≥ n.inf{curvaturas seccionais de N },
R
então
bn+1,n+1 +
kR
n
X
b1j1j ≥ (kn + n − 1)inf{curvaturas seccionais de N }
R
j=2
= (kn + n − 1)sec(N ),
e escolhemos
B = (kn − n2 + 5n − 5)H 2 + (kn + n − 1)sec(N ).
Se
−(kn + n − 1)
sec(N ),
(kn − n2 + 5n − 5)
H2 >
então B é positiva. Usando as restriçoes em k,
4. De fato, para n = 3 temos que
5
6
5(n−1)
4n
≤k≤
4
,
n−1
n = 3, 4, obtemos
≤ k < 2. Logo,
3k + 2
−2
< 4 ⇔ 3k + 2 < 12k + 4 ⇔ k >
,
3k + 1
9
pois
−2
9
<
5
6
≤ k < 2. E para n = 4, temos que
15
16
≤ k < 34 . Logo,
7
4k + 3
< 4 ⇔ 4k + 3 < 16k − 4 ⇔ k > ,
4k − 1
12
pois
7
12
<
15
16
≤ k < 34 .
p
p
Neste caso, |H| > 2 |sec(N )| e podemos escolher ρ = 2 |sec(N )|.
Por cálculos análogos aos da prova do Teorema 3.1,
Z
a
(ϕss A + Bϕ)ϕds ≤ 0.
0
Escolhendo ϕ = sen(πsa−1 ), s ∈ [0, a], temos
(Aπ)2
B−
≤ 0,
a2
ou seja,
√
Aπ
a≤ √ .
B
(kn + n − 1)
<
(kn − n2 + 5n − 5)
Preliminares
40
√
Aπ
Como queremos provar que a ≤ c, seja c = √ .
B
Assim,
p
2π k(2 − n) + (n − 1)
c= p
.
(4 − k(n − 1))[(kn − n2 + 5n − 5)H 2 + (kn + n − 1)min{0, sec((N ))}]
Preliminares
41
O corolário seguinte é um caso particular do Teorema 3.7.
Corolário 3.8. Seja M n ⊂ N n+1 p
uma subvariedade completa estável com curvatura média
constante H. Se n = 3, 4 e |H| > 2 |min{0, sec(N )}|, então ∂M 6= ∅.
Prova: Assuma que tal M existe. Na prova do Teorema 3.7, mostramos que o raio de um
disco intrı́nseco de M que não toca em ∂M é menor ou igual a c. Portanto, quando ∂M = ∅,
o diâmetro de M é menor ou igual a c e então M é compacta. Como M é estável, existe uma
bn+1,n+1 )(f ) = 0.
função positiva f em M tal que L(f ) = 0. Assim, L(f ) = (4 + |φ|2 + nH 2 + R
Seja p um mı́nimo da função f. Daı́, em p temos:
bn+1,n+1 (p))(f (p)).
0 ≤ 4f (p) = −(|φ|2 (p) + nH 2 + R
(3.34)
p
bn+1,n+1 ) é estritamente positivo em M.
Como |H| > 2 |min{0, sec(N )}|, então (|φ|2 + nH 2 + R
Portanto, a desigualdade (3.34) nos dá uma contradição. Logo, ∂M 6= ∅.
Referências Bibliográficas
[1] H. Alencar e M. do Carmo, Hypersurfaces of constant mean curvature with finite index
and volume of polynomial growth, Arch. Math. 65 (1995), 271-272.
[2] L. J. Alı́as, On the stability index of minimal and constant mean curvature hypersurfaces
in spheres, Revista de la Unión Matemática Argentina 47 (2006), 39-61.
[3] M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, IMPA, Brasil (1988).
[4] M. Do Carmo e D. Zhou, Eigenvalue estimate on complete noncompact Riemannian
manifolds and applications, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), 1391-1401.
[5] I. Chavel, Riemannian Geometry: a modern introduction, Cambridge University Press,
New York, (1993).
[6] X. Cheng, On constant mean curvature hypersurfaces with finite index, Arch. Math. 86
(2006), 365-374.
[7] S. S. Chern, On the curvatures of a piece of hypersurface in Euclidean space, Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg 29 (1965), 77-91.
[8] D. Fischer-Colbrie,
On complete minimal surfaces with finite Morse index in three-
manifolds, Invent. Math. 82 (1985), 121-132.
42
Preliminares
43
[9] M. F. Elbert, B. Nelli e H. Rosenberg, Stable constant mean curvature hypersurfaces,
Proceedings of the American Mathematical Society 135 (2007), 3359-3366.
[10] P. Li e J. P. Wang, Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9 (2002),
95-103.
[11] F. Lopez e A. Ros, Complete minimal surfaces with index one and stable constant mean
curvature surfaces, Comm. Math. Helvetici 64 (1989), 34-43.
[12] R. Schoen e S. T. Yau, Lectures on differential geometry. In: Conference Proeedings and
Lecture Notes in Geometry and Topology, I. Cambridge, MA 1994.