EXPOENTES CRÍTICOS DA TEORIA-φ⁴
William de Carvalho Vieira (bolsista do PIBIC/UFPI), Paulo Renato Silva de Carvalho
(Orientador, Depto de Física – UFPI)
Introdução
Neste trabalho será apresentado o comportamento critico da teoria φ⁴ através de seus
expoentes críticos, dado a partir das divergências quanto calculada a expansão perturbativa da função
de 2 e de 4 pontos. Para eliminar estas divergências da teoria, foi utilizada as técnicas de regularização
dimensional de seus diagramas, que a partir dai, podemos renormalizar o campo, a massa e a constante
de acoplamento através do método de contratermo
e de subtração mínima, e assim, calcular os
expoentes críticos envolvidos na teoria φ⁴ .
Metodologia
As integrais de Feynman quando calculada sua expansão perturbativa deve divergir para
dimensão D=4, porem, seu integrando deve cair lentamente a um largo momento. Aqui foi observado que
as divergências são quadráticas e/ou logarítmicas.
O método aqui a ser apresentado, surge num modo natural um esquema de subtração mínima
(SM-Sheme) que simplifica bastante os cálculos. A ideia é de uma dimensão continua calculada para
quantidades D=4-ε com Re(ε)>0, cuja regularização ocorre quando ε→0. Este método é conhecido como
regularização dimensional. Assim, os diagramas de Feynman Γ⁽ ²⁾ (K) e Γ⁽ ⁴ ⁾ (Ki) para 1-loop e 2-loop
deve passar pela regularização dimensional, onde estes são expandidos em potências negativas de ε,
para que possa ser renormalizado.
A partir do processo de renormalização, as divergências nos diagramas de Feynman são
eliminadas da teoria, dando um significado físico aos resultados obtidos para o campo, a massa, e a
constate de acoplamento. Aqui, o processo de renormalizacao utilizado foi o método de contratermo e de
subtração mínima.
Partindo da energia funcional da teoria φ^4, e definido os seguintes contratermos
Que são os contratermos de massa, campo e constate de acoplamento, respectivamente. Estes são
escolhidos de tal modo que todos os termos divergentes são subtraídos e a função de Green torna-se
finito para ε=0.
As quantidades φ, m e g na equação acima são os renormalizados campos, massa e constante
de acoplamento, respectivamente. Deste modo, definimos as constantes de renormalizaçãoo como
Zφ ≡ 1 + cφ
Zm² ≡ 1 + cm²
Zg≡ 1 + cg.
Dado a partir dos seus contratermos.
Pelo método de subtração mínima, os contratermos tornam-se independente da massa m,
exceto por um fator global m² em cm². Formalmente, o esquema de subtração mínima é implementado
com ajuda de um operador κ, onde este é um projetor desde que κ² = κ.
Ao aplicarmos em cada diagrama e levando em consideração os fatores de simetria, obtemos.
Para encontrar os expoentes críticos desejados, foram calculados os coeficientes β (g), γ (g) e
γm(g) das funções de contratermo acima, que são as funções do grupo de renormalização. Assim,
quando expandindo as constantes de renormalização em série de potência em ε ⁻ ¹, e extraindo seu
resíduos, obtemos
Resultados
Partindo da renormalização, obtemos explicitamente as funções do grupo de renormalização.
Calculando estas equações em seus valores críticos η , ν e ω em potência de ε , obtemos os expoentes
críticos da teoria φ⁴ com simetria − O(N) na aproximação em 2-loops. Em dimensões D = 4 − ε , a
equação β (g) = 0 para um ponto fixo tem a solução não trivial
Obtemos os seguintes expoentes críticos
Todos são observados independentes da constante de acoplamento. Os expoentes críticos dependem
apenas de ε e N apenas nas dimensões espaciais e de seu parâmetro de ordem. Isto é uma
manifestação da universalidade da transição de fase, cujo estado que o comportamento crítico depende
apenas do tipo de interação, sua simetria e a dimensionalidade do espaço.
Conclusão
De acordo com este trabalho, pode ser observado, usando as técnicas de regularização
dimensional e da renormalização, que o comportamento crítico da teoria−φ⁴ esta ligado com seus
expoentes críticos, obtido a partir das funções do grupo de renormalização, que foi observado
independente da constate de acoplamento, dependendo apenas de suas dimensões do espaço, do tipo
de interação, e de sua simetria. Assim sendo, é observado que na transição de fase, a não dependência
da constate de acoplamento mostra a manifestação de sua universalidade. A propriedade de
universalidade dos expoentes crítico é uma consequência natural da aplicação das técnicas do grupo de
renormalização aos sistemas que exibem transições de fase, o que engloba também os sistemas com
interações competitivas do tipo Lifshitz.
Apoio: UFPI
Referências
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Palavras-chave: Teoria φ⁴ , Regularização Dimensional, Renormalização, Expoentes Críticos.