Blog de Matemática
do 1° ano do E.M C.A JOÃO
XXIII
www.mat1ano.wordpress.com
CONJUNTOS
Introdução
Conjunto:
Um conjunto é definido por qualquer coleção
de objetos. Estes objetos são chamados elementos
do conjunto.
Se x for um elemento deste conjunto, então podemos dizer que x pertence
a este conjunto. Caso contrário, se x não for um elemento deste conjunto,
então diremos que x não pertence ao conjunto.
Exemplos de conjuntos :
•Conjunto das vogais do alfabeto: seus elementos são as letras a,e,i,o,u.
•Conjunto dos dias da semana: seus elementos são segunda, terça,
quarta , quinta, sexta, sábado e domingo.
Representação
Usualmente, os conjuntos são representados
por uma letra maiúscula e os elementos que os
compõem são representados por letras minúsculas
entre chaves. Portanto, sua representação será:
Conjunto das vogais do alfabeto
V = {a,e,i,o,u}
Conjunto de figuras geometricas de quatro lados .
S = {quadrado, retângulo, trapézio, losango , paralelogramo}
OBSERVAÇÃO: Podemos observar que no conjunto das vogais a
letra “a” pertence ao conjunto V e a letra “b” não pertence ao
conjunto V, por ser uma consoante .
Elemento:
Como já vimos, os objetos de um conjunto
recebem o nome de elementos deste conjunto. A
partir de então, podemos definir nosso conjunto e
organizá-lo.
.
Algumas
ciências
fazem
uso
deste
pensamento. Como exemplo, citamos a Biologia,
que separa o conjunto de animais que apresentam
pelos. Os objetos deste conjunto, ou seja seus
elementos, são todos aqueles que apresentam
pelos como os seres humanos, ursos, lobos e etc ...
Existem animais que não possuem pelos, logo eles
não
pertencem
a
esse
conjunto.
Pertinência:
É a característica associada a um elemento que
faz
parte
de
um
conjunto.
Podemos
apresentar
vários
exemplos
relacionados à pertinência. O planeta Terra pertence ao
conjunto dos planetas do sistema solar, logo a lua não
pertence a este conjunto, pois ela não é um planeta.
Representação:
Se um elemento pertence a um conjunto,
utilizamos o símbolo ∈ que se lê: "pertence“. Se um
elemento não pertence a um conjunto, ultilizamos o
simbolo
∉
que
se
lê
“não
pertence”.
Logo,
como
já
vimos:
a
∈
V
(“a”
pertence
ao
conjunto
V)
b ∉ V (“b” não pertence ao conjunto V por ser uma
consoante).
CONJUNTO VAZIO
Podemos pensar em um conjunto que não apresenta elementos, ou
seja, existe um x ∉ Ø (se x ∈ Ø teríamos o conjunto Ø com o elemento
x deixando de ser vazio).
Indicamos um conjunto vazio por { } ou ∅ , nunca por {∅} , pois assim
teríamos um conjunto com o elemento Ø .
CONJUNTO UNITÁRIO
É todo conjunto constituído por apenas um elemento.
Por exemplo:
O conjunto formado pelo único mamiíero voador é um conjunto unitário, pois
apresenta apenas um elemento: o morcego .
CONJUNTO UNIVERSO
É um conjunto importante, cuja notação é U.
É o conjunto formado por todos os elementos, com os quais estamos
trabalhando num determinado assunto.
União de Conjuntos
Podemos pensar na união de conjuntos quando dois
ou mais conjuntos se unem.
Tomemos então os conjuntos das vogais e das consoantes. O que
aconteceria ao unirmos estes dois conjuntos ?
Fazendo esta união teríamos o conjunto das letras do alfabeto .
Representação:
Representamos a união de conjuntos pelo símbolo U . Logo teremos :
V = {a,e,i,o,u}
C = {b,c,d,f,...}
VUC = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,...} (V união C)
Ao pegarmos o conjunto AUB e tomarmos qualquer elemento x ∈ AUB,
logo teremos x ∈ A ou x ∈ B (isso quer dizer que o elemento pode
pertencer ao conjunto A , pode pertencer ao conjunto B e pode pertencer
também aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Observe que este “ou” não é um “ou” excludente e sim um “ou” que
inclua .
Interseção de conjuntos
A interseção de conjuntos se define quando um ou
mais elementos, de dois ou mais conjuntos
relacionados, são comuns a estes conjuntos, ou seja :
pegamos dois conjuntos diferentes (ou iguais) que
apresentam um ou mais elementos em comum (se
forem iguais apresentarão todos elementos em
comum) .
Representação :
Representamos a interseção de dois ou mais conjuntos pelo simbolo ∩.
Exemplo:
P = {2,3,5,7,...}
I = {1.3.5.7,...}
I∩P = {3,5,7,...}
Ao pegarmos o conjunto A ∩ B e tomemos qualquer elemento x A ∩ B
então teremos x ∈ A e x ∈ B
Outras maneiras de se representar
conjuntos
Existem outras maneiras de se representar os
conjuntos . Uma delas seria por diagramas, mais
conhecido pelo nome diagramas de Venn-Euler ou
apenas pelo nome diagramas de Venn .
Representação por descrição:
O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
Exemplos:
V={x| x é uma vogal} (seja o elemento x talque x seja uma vogal )
N={x| x é um número natural}
M={x | x é um mamífero}
P = {x | x é um número primo }
A = { α | α é uma letra do alfabeto}
Exercícios
1) Escreva sob forma simbólica os conjuntos:
a) Conjunto dos números primos
b) Conjunto dos números pares
c) Conjunto dos números impares
d) Conjunto dos numeros ímpares e dos numeros pares
e) Represente por descrição os mesmos conjuntos representados em cada
ítem anterior.
2) Represente pelo diagrama de Venn as vogais do alfabeto .
3) Sendo A = {1,3,5,7,11}, verifique quais das seguintes sentenças são
verdadeiras ou falsas :
a)1 ∈ A
b)2 ∈ A
c)4 ∉ A
d)13 ∈ A
e)11 ∈ A
f)13 ∉ A
4) Dados os conjuntos A = {∂,∆,α,ↄ,2,6}
B = {2, 3, 5,∆}
C={0}
D = {1,2,7,£,€,α }
faça o o que se pede:
a)AUB
b)BUD
c)BUA
d)C∩A
e)A∩D
f)AUD
g)B∩D
h)A∩B∩D
i)B∩C
j)(AUD)∩B
Com base neste exercício:
AUB=BUA será verdadeiro para quaisquer conjuntos, sempre?
5) Colora o diagrama de Venn que represente :
a)AUB
b)BUA
c)A∩B
d)(AUB)UC
e)A∩(B∩C)
f)(AUB)∩C
g)(A∩C)U(A∩B)
6) Diga se a sentença é verdadeira ou falsa. Se for falsa, justifique.
A = {2,4,p,δ,{a},e}.
a)2 ∈ A
b)5 ∈ A
c) a∈ A
d) p ∉ A
e){a} ∈ A
f)a ∉ A
Conjuntos Númericos
Podemos pensar em um mundo no qual a
contagem não exista? E se os números também
não existissem? Como seria este mundo ?
Na antiguidade, assim como atualmente, sempre houve uma
grande necessidade de se ordenar ou contar certo número de objetos.
Utilizamos os números para tal tarefa.
Podemos criar conjuntos numericos para nos ajudar a contar .
Números Naturais
O conjunto dos números naturais é
representado pela letra maiúscula N e estes
números são construídos com os algarismos: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos
como algarismos indo-arábicos. No século VII, os
árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema
numérico.
Representação:
N = {0,1,2,3,4,5...}
N* = {1,2,3,4,5,6...}; N* significa o conjunto dos
números naturais sem o zero
Construção dos números naturais
• Todo número natural dado tem um sucessor
(número que vem depois do número dado). A
partir do número zero, podemos criar o conjunto
somando uma unidade ao seu número antecessor.
•
•
•
•
•
0
0+1=1
1+1=2
2+1=3
N = {0,1,2,3 ...}
Números Inteiros
Durante muito tempo só poderiamos subtrair
dois números se o que viesse primeiro fosse maior
do que o múmero que viesse em segundo:
a-b se a > b (a maior que b)
Com isso, como resolveríamos esta operação?
5-6 =?
Os números negativos apareceram para explicar
circunstâncias que os números naturais não davam conta
de representar (registro de temperaturas, prejuízo,
desaceleração...). Estes exemplos permitem compreender
melhor o uso dos números negativos .
Representação dos Números inteiros
Representamos os números inteiros pela letra Z , ou seja :
Z = {... -3,-2,-1,0,1,2,3 ,...}
Ao estudarmos os números inteiros, podemos perceber a presença do
simétrico (o próprio número com o sinal oposto). Pensando assim, qual
número somado a um resulta em zero ?
Equacionando, teremeos :
1+x=0
x = -1
Então podemos concluir que o número -1 é o simétrico do número 1
Z + = {0,1,2,3,4,...}
Z- = {...,-2,-1, 0,1,2,...}
Z* = {...,-2,-1,1,2,3,...}
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido
em B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A
também estão em B.
Os números naturais como
subconjuntos dos números
inteiros
Usando a definição de subconjuntos, o que podemos
observar ao comparar o conjunto N={0,1,2,3,...}
com o conjunto Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}?
Números Racionais
O surgimento dos números racionais está
associado à noção de comparação de medidas.
Quantas vezes um segemento DC caberia em um segundo
segmento AB ?
A|-----|-----|-----|-----|-----|B
D|-----|-----|C
Resposta : duas vezes e meia .
Podemos pensar também que DC é igual a 2/5 de AB
Número racional é todo número que pode ser escrito na forma a/b ,
com a e b inteiros , ou seja, ( a , b ∈ Z , com b diferente de 0).
Representamos os números racionais :
Q = {a/b, tal que a ∈ Z e b ∈ Z * }
O que podemos dizer ao comparar o conjunto dos
naturais, dos inteiros com o conjunto dos racionais?
Conjunto dos irracionais
Os números irracionais são aqueles que não podem
ser representados por meio de uma fração. O
surgimento desses números veio de um antigo
problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era
o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado
mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este
número deu início ao estudo de um novo conjunto,
representado pelos números irracionais.
Exemplos
Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados
perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é
irracional.
Logo são irracionais √ 2, √3,√5,√7,√8,√10,√n , com n natural e
n diferente de um quadrado perfeito
Números representáveis por dízimas infinitas não periódicas.
São irracionais os resultados da soma, subtração, multiplicação e divisão
de um número irracional com um número racional.
Ex: 1 + √3, (1 + √5) /2, (√8 – 1)/2
π é um número irracional
Representação:
Seu conjunto é representado pela letra I
Conjuntos dos números
reais
Podemos pensar no conjunto dos números reais
como a união de Q U I.
Ou seja, R=Q U I
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