QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS Fundamentos da Matemática II MATEMÁTICA — DCET — UESC Humberto José Bortolossi 1 Polı́gonos Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência (finita) de pontos V1 , V2 , V3 , . . . , Vn−1 , Vn e pelos segmentos V1 V2 , V2 V3 , . . . , Vn−1 Vn . Os pontos são denominados vértices da poligonal e os segmentos são os seus lados. Na figura (1), Crux (Cruzeiro do Sul) é a única constelação que não é uma poligonal. As constelações Centaurus, Lupus, e Musca não podem ser descritas como poligonais sem a repetição de lados e as constelações Triangulum Australe e Chamaeleon sem a repetição de vértices. Centaurus Crux Musca Chamaeleon Lupus Triangulum Australe Circinus Apus Figura 1: Algumas constelações. 1 Um polı́gono é uma poligonal em que as seguintes condições são satisfeitas: (a) Vn = V1 (o primeiro vértice coincide com o último), (b) os lados da poligonal se interceptam somente em suas extremidades, (c) dois lados com a mesma extremidade não pertencem a mesma reta e (d) exatamente dois lados se encontram em cada vértice. Um polı́gono de vértices V1 , V2 , V3 , . . . , Vn , Vn+1 será representado por V1 V2 V3 · · · Vn Vn+1 (note que este polı́gono tem n lados e n vértices). Das constelações na figura (1), apenas Triangulum Australe e Chamaeleon são polı́gonos. Na figura (2), ABCD e XY ZW não são polı́gonos: ABCD não satisfaz a condição (c) (os lados CD e DA estão sobre uma mesma reta) e XY ZW não satisfaz a condição (b) (os lados XY e ZW se interceptam em um ponto que não é uma extremidade). C Z Y X W D A B Figura 2: ABCD e XY ZW não são polı́gonos. O segmento ligando vértices não consecutivos de um polı́gono é chamado uma diagonal do polı́gono. Na figura (3) os segmentos tracejados são as diagonais do polı́gono ABCDEF . [01] Quantas diagonais tem um polı́gono de 6 lados? E 7 lados? E 20 lados? E n lados? Ângulo interno de um polı́gono é todo ângulo que é formado por lados consecutivos do polı́gono e cujo interior contém total ou parcialmente o interior do polı́gono. O polı́gono da figura (3) possui 6 ângulos interiores: ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF , ∠EF A e ∠F AB. 2 E D F C A B Figura 3: As diagonais de um polı́gono. 2 Polı́gonos convexos Um polı́gono é convexo se está sempre contido em um dos semi-planos determinados pelas retas que contêm os seus lados. Na figura (5), ABCDEF é um polı́gono convexo enquanto que KLM N OP não é convexo. Existe uma outra maneira de se caracterizar polı́gonos convexos. A partir do pressuposto de que um polı́gono divide o plano em duas regiões disjuntas, o interior e o exterior do polı́gono (teorema da curva de Jordan), um polı́gono é convexo se, e somente se, o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer da união do polı́gono com seu interior está inteiramente contido na união do polı́gono com seu interior. Por exemplo, na figura (5), o polı́gono KLM N OP não é convexo pois o segmento de reta que liga X a Y (dois pontos do interior do polı́gono) não está contido na união do polı́gono com seu interior. Esta definição pode ser estendida para subconjuntos arbitrários (não necessariamente polı́gonos). Assim, por exemplo, o subconjunto S da figura (6) não é convexo pois existe um segmento de reta que liga dois pontos de S que não está inteiramente contida em S. [02] Dê três exemplos de polı́gonos convexos e três exemplos de polı́gonos não-convexos. [03] Dê três exemplos de conjuntos convexos e três exemplos de conjuntos não-convexos que não sejam polı́gonos. 3 E D O F C A P N M B K Figura 4: ABCDEF é convexo e KLM N OP não é convexo. N O X P M Y K L Figura 5: KLM N OP não é convexo. 4 L S Figura 6: Um exemplo de um subconjunto não-convexo do plano. Os polı́gonos convexos recebem nomes especiais, dependendo do número de lados do polı́gono. A tabela (1) exibe alguns destes nomes. 3 Polı́gonos regulares Dizemos que um polı́gono convexo é regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos internos são congruentes. [04] O fato de um polı́gono convexo ter todos os seus lados congruentes não é suficiente para garantir que este polı́gono seja regular. Para ver isto, desenhe um polı́gono convexo com todos os lados congruentes mas com ângulos internos não todos congruentes. [05] O fato de um polı́gono convexo ter todos os seus ângulos internos congruentes não é suficiente para garantir que este polı́gono seja regular. Para ver isto, desenhe um polı́gono convexo com todos os ângulos internos congruentes mas com lados não todos congruentes. 4 Paralelogramos Um paralelogramo é um quadrilátero ABCD cujos lados opostos são congruentes, isto é, m(AB) = m(CD) e m(BC) = m(AD) (figura (7)). [06] Mostre que os lados opostos de um paralelogramo são paralelos. Reciprocamente, mostre que se os lados opostos de um quadrilátero são paralelos, então este quadrilátero é um paralelogramo. 5 número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 40 50 60 70 80 90 100 1000 nome do polı́gono convexo triângulo tetrágono pentágono hexágono heptágono octógono eneágono ou nonágono decágono hendecágono ou undecágono dodecágono tridecágono tetradecágono pentadecágono ou qüindecágono hexadecágono heptadecágono octadecágono nonadecágono icoságono hendecoságono docoságono tricoságono tetracoságono pentacoságono hexacoságono heptacoságono octacoságono nonacoságono triacontágono hentriacontágono dotriacontágono tritriacontágono tetracontágono pentacontágono hexacontágono heptacontágono octacontágono nonacontágono hectágono quiliógono Tabela 1: Nomes dos polı́gonos convexos de acordo com o número de lados do polı́gono. 6 D C A B Figura 7: No paralelogramo ABCD temos m(AB) = m(CD) e m(BC) = m(AD). [07] Mostre que as diagonais de um paralelogramo se interceptam em seus pontos médios. Reciprocamente, mostre que se as diagonais de um quadrilátero se interceptam em seus pontos médios, então este quadrilátero é um paralelogramo. Texto composto em LATEX2e, HJB, 27/04/2004. 7
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