Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
PAPMEM - Julho 2013
Combinatória
Prof.Luciano Monteiro de Castro
Exercícios
1. (PROFMAT 2013) Na primeira fase de um campeonato interescolar de basquete, onde
cada time joga uma vez contra cada um dos outros times, foram realizados 253 jogos.
Quantos times havia no campeonato?
(A) 15
(B) 17
(C) 23
(D) 51
(E) 126
2. (PROFMAT 2013) Uma pequena praça tem a forma de um hexágono dividido em triângulos,
como ilustrado na figura. A reta que liga A e B está alinhada com a direção norte-sul,
sendo A mais ao norte. Os espaços do hexágono fora dos triângulos são ruas nas quais
uma pessoa pode caminhar.
Quantos são os caminhos diferentes que uma pessoa pode seguir (sem sair da praça) para
ir do ponto A ao ponto B se, durante sua caminhada, ela sempre está mais ao sul do que
estava em qualquer instante anterior?
(A) 6
(B) 9
(C) 11
(D) 12
(E) 72
3. (PROFMAT 2012) Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes?
(A) 448
(B) 504
(C) 546
(D) 952
(E) 1008
4. (PROFMAT 2012) De quantas maneiras é possı́vel escolher três números inteiros distintos,
de 1 a 20, de forma que a soma seja par?
A) 1620
B) 810
C) 570
D) 720
E)120
5. (PROFMAT 2013) Cristina e Pedro vão com outros seis amigos, três moças e três rapazes,
para uma excursão. No ônibus que vai fazer a viagem sobraram apenas quatro bancos
vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco
vago será ocupado por uma moça e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarão juntos.
Respeitando-se esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos
assentos vagos do ônibus? Justifique sua resposta.
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
PAPMEM - Julho 2013
Combinatória
Soluções
Soluções
Prof.Luciano
Monteiro de Castro
n(n − 1)
1. Sendo n o número de times, temos
n(n − 1)
1. Sendo n o número de times, temos
= 253. Ao invés de resolvermos a equação do
1. (PROFMAT 2013) Na primeira fase 2de um campeonato interescolar de basquete, onde
segundo grau, podemos aproveitar o fato de que n tem que ser inteiro positivo. Fatorando,
cada time joga uma vez contra cada um dos outros times, foram realizados 253 jogos.
obtemos 253 = 11 × 23, logo n(n − 1) = 23 × 22, logo n = 23 (a outra solução da equação
Quantos times havia no campeonato?
do segundo grau é n = −22).
(A) 15 (B) 17 (C) 23 (D) 51 (E) 126
2. Nomeamos as esquinas do mapa como na figura a seguir.
2. (PROFMAT 2013) Uma pequena praça tem a forma de um hexágono dividido em triângulos,
A
como ilustrado na figura. A reta que liga A e B está alinhada com a direção norte-sul,
sendo A mais ao norte. Os Cespaços do hexágono foraF dos triângulos são ruas nas quais
uma pessoa pode caminhar.
G
E
D
B
Antes de chegar a B, é necessário chegar a D, G ou E. De cada um desses três pontos há
uma única forma de chegar a B, logo o número de maneiras de se chegar a B é igual à
soma dos números de maneiras de se chegar a D, G e E a partir de A. Denotaremos este
fato simplesmente por B = D + G + E (ou seja, vamos convencionar utilizar a mesma letra
para denotar um ponto ou o número de maneiras de se chegar a este ponto a partir de A).
Utilizando também a convenção natural A = 1, temos C = F = 1 e G = C + A + F = 3.
Podemos agora calcular D = C + G = 4 e E = G + F = 4. Assim, obtemos B = D + G + E =
11.
3. O último algarismo pode ser 0 ou 5. Se é 0, podemos escolher quaisquer 3 algarimos
distintos para os 3 primeiros: 9 × 8 × 7 escolhas. Se o último é 5, passamos a ter 8 opções
para o primeiro, pois não pode ser 0 nem 5. Escolhido o primeiro, o segundo não pode ser
5 nem igual ao primeiro, mas pode ser 0, logo há 8 opções. Restam então 7 possibilidades
para o terceiro algarismo.
Juntando os dois casos, obtemos o total de 9 × 8 × 7 + 8 × 8 × 7 = 56 × 17 = 952.
4. Para que a soma seja par, devem ser três pares ou um par e dois ı́mpares. Como há 10 pares
10 × 9 × 8
10 × 9
e 10 ı́mpares, há C310 =
= 120 modos de escolher 3 pares e C210 × 10 =
×
3×2×1
2
10 = 450 modos de escolher 2 ı́mpares e um par. Assim, o total é de 120 + 450 = 570.
5. Escolhemos o banco de Cristina e Pedro: 4 possibilidades. Depois escolhemos os assentos
de ambos nesse banco: 2 possibilidades. Feito isso, escolhemos o assento de um dos homens
(6 possibilidades), a seguir escolhemos a mulher que sentará a seu lado (3 possibilidades).
Seguimos escolhendo o assento de outro homem (4 possibilidades) e a mulher a seu lado
(2 possibilidades). Restam então 2 escolhas para os 2 últimos assentos. Total: 4 × 2 × 6 ×
3 × 4 × 2 × 2 = 2304.