CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
FGV ADM – 31/maio/2015
Matemática Aplicada
01. Em 2014, durante uma campanha para vacinar a população
contra determinado tipo de hepatite, o Ministério da Saúde
estimou que o custo para vacinar x% da população é dado
360x
pela função f(x) = 450 – x milhões de reais.
02.Em uma fábrica, o custo de produção de x unidades de
certo produto é dado pela função
f(x) = x2 + log x90 + 10000 reais.
Estima-se que são fabricadas x = 10t unidades durante t
dias de trabalho.
a) Do ponto de vista estritamente matemático, qual é o
domínio da função f(x) ?
b) Para quais valores de x a função f(x) tem significado
nesse contexto da campanha de vacinação?
c) Qual é o custo para vacinar 50% da população e o
custo para vacinar os 50% restantes da população?
Aproxime a resposta ao número inteiro de milhões de
reais mais próximo.
d) Que porcentagem da população terá sido vacinada
após terem sido gastos 90 milhões de reais?
Resolução:
360 x
450 – x
f (x) =
a) 450 – x ≠ 0 \ x ≠ 450
O domínio da função é D =  – {450}.
b)Como x é expresso em porcentagem 0 ≤ x ≤ 100.
A função tem significado para S = {x Î  | 0 ≤ x ≤ 100}.
c) x = 50 Û f (50) =
360 . 50 18.000
\ f (50) = 45 milhões
=
450 – 50
400
O custo para vacinar 50% da população é 45 milhões.
x = 100 Û f (100) =
360 . 100
3600
=
450 – 100
350
\ f (100) = 103
f (100) – f (50) = 103 – 45 = 58 milhões
O custo para vacinar os 50% restantes da população é 58 milhões.
4
360 x
d) 90 =
Û 450 – x = 4x Û 5x = 450 Û x = 90
450
–x
Após terem sido gastos 90 milhões de reais, terá sido
vacinada 90% da população.
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a) Qual é o custo de produção nos primeiros oito dias de
trabalho, aproximadamente? Considere que 100,3 = 2.
b) Quantos dias de trabalho são necessários para que
o custo de produção atinja exatamente o valor de
R$ 20 180,00? Considere que, neste caso, log x é um
número natural.
Resolução:
f (x) = x2 + log x90 + 10.000 reais
x = 10t
x unidades
f (x) custo de produção
a) x = 10 . 8 = 80
t: dias de trabalho
log 2 = 0,3
f (80) = 802 + log 8090 + 10.000
f (80) = 6.400 + 90 (log 8 + log 10) + 10.000
f (80) = 6.400 + 90 (0,9 + 1) + 10.000
f (80) = 6.400 + 171 + 10.000 = 16.571
Resposta: R$ 16.571,00
b) 20.180 = (10t)2 + log (10t)90 + 10.000
20.180 = 100t2 + 90 log 10t + 10.000
20.180 = 100 t2 + 90 (log 10 + log t) + 10.000
Observamos que t = 10, pois log t é natural
20.180 = 10.000 + 90 . 2 + 10.000
para t = 100 Þ
Þ 20.180 < 100 . 1002 + 90 (log 10 + log 100) + 1.000
o que não é correto
Então, o único valor é t = 10.
Resposta: t = 10 dias
1
2
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03.No Teatro da Imaginação, um mágico pediu que uma
senhora subisse ao palco para fazer um truque. Solicitou
que multiplicasse o dia do seu nascimento por 12, o mês do
nascimento por 31 e somasse os dois produtos. A senhora
disse-lhe somente o resultado da soma: 184.
O mágico anotou algo em uma folha de papel, pensou por
alguns instantes e falou:
“A senhora nasceu no dia 5 de abril.”
A data estava certa.
Justifique a resposta do mágico.
04 A figura mostra um esboço simples do gráfico da função
f(x) = x3 – 18x2 + 60x – 16.
Resolução:
d:dia
m: Mês
12d + 31m = 184
"A senhora nasceu no dia 5 de abril"
A afirmação é verdadeira pois 12(5) + 31 (4) = 184
Justificativa
Obs: A expressão acima já justifica a veracidade da data. Supondo
que o examinador quissesse que o candidato mostrasse que é a
única solução, então temos que:
31m = 184 – 12 d
31m = 4 (46 – 3d) então m deve ser multiplo de 4
e 46 – 3d multiplo de 31
\ m = 4 e d = 5 é solução única.
a) Sem determinar suas raízes, explique por que a equação
x3 – 18x2 + 60x – 16 = 0 não tem nenhuma raiz complexa.
b) Sem determinar suas raízes, explique por que a equação
x3 – 18x2 + 60x – 16 = 0 tem três raízes reais e positivas.
c) Um fabricante estima que, se o preço de certo tipo de
apontador escolar for x reais a unidade, 0 < x £ 4 , os
consumidores comprarão x2 – 18x + 60 unidades por
mês. A que preço deve ser vendido cada apontador para
que o fabricante obtenha a maior receita mensal possível?
d) Quantos apontadores deverão ser vendidos por mês a
esse preço?
Resolução:
a)
Obs: Nesta questão acreditamos que houve um "engano"
por parte do examinador no item A, pois toda equação
algébrica de 3o grau admite 3 raízes complexas, o que torna
a sentença falsa.
b) Supomos que
o examinador quisesse dizer "raízes
imaginárias" então como f(0) = – 16, as intersecções do
gráfico de f(x) com o eixo das abscissas (raízes) ocorrem em
três pontos, portanto admite 3 raízes reais positivas.
f(x)
x1
– 16
x2
x3
c)0 < x ≤ 4
Sendo x o preço unitário e x2 – 18x + 60 a quantidade vendida, a receita é R(x) = x(x2 – 18x + 60) Þ
R(x) = x3 – 18x2 + 60x cujo gráfico será:
R(x) = f(x) + 16
f(x)
– 16
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Portanto, o preço que deve ser vendido cada
apontador é R$ 2,00.
d) n = x2 – 18x + 60 Þ n = 22 – 18.2 + 60 = 28 unidades
Portanto, deverão ser vendidos 28 apontadores por mês.
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05.Um grupo de trabalhadores foi contratado para pintar as
superfícies de duas quadras de voleibol, uma com o dobro
da área da outra. Nas quatro primeiras horas, o grupo
trabalhou na quadra maior. Depois, foi dividido em dois
grupos iguais: o primeiro permaneceu na quadra maior
e terminou o trabalho nas 4 horas seguintes. O segundo
grupo ficou na quadra menor, mas após 4 horas ainda não
havia terminado a pintura. No dia seguinte, a parte que
faltava foi terminada por um único trabalhador após 8
horas de trabalho. Quantos operários havia no grupo?
06. Atenda ao que se pede.
Resolução:
a) Seja 0,25636363... = x então
25,636363... = 100x e 2563,6363... = 10000x.
Sendo n o número de operários e x a área feita nas quatro
primeiras horas, temos:
Quadra maior:
n . 4 →x Þ 4n (2A – x) = 2 n x
n
. 4 → 2A – x
Þ 8A – 4x = 2x
2
Þ 8A = 6x
3x
Þ A =
4
Quadra menor:
n
. 4 → 2A – x
Þ 8 (2A – x) = 2 n (x – A)
2
Þ 8A – 4x = n (x – A)
1 . 8
→ A – (2A – x)
(
3x
3x
– 4x = n x –
4
4
x
Þ 6x – 4x = n .
4
nx
Þ 2x =
Þ n=8
4
Assim,8 .
)
a) Expresse o decimal periódico 0,256 363 63... na forma
a
de fração , a e b números naturais.
b
49
3
b) Determine o valor da soma
å
n–1
1
1
–
n n+1
Resolução:
Subtraindo 2563,6363... = 10000 x
25,636363... = 100 x
___________________
2538 = 9900 x
141
2538
=
550
9900
Portanto, x =
Obs. São inúmeras as frações que atendem ao que se pede.
49
(
)
1
1 1
1 1
1
1
1
=1– + – + – + +
–
2
2 3
3 4
4
n
n+1
1
1
1
1
49
... –
+
–
=1–
=
49 49 50
50
50
49
Portanto, a soma será
.
50
b)å
n=1
Portanto, havia 8 operários no grupo.
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07.Em 1731, Euler descobriu que a soma dos m primeiros
1 1 1 1
termos da sequência 1, , , , , ... é aproximadamente
2 3 4 5
igual a k + lnm, onde k é uma constante cuja aproximação
com duas casas decimais é 0,58.
08. Atenda ao que se pede.
Calcule aproximadamente a soma dos 1000 primeiros
termos da sequência. Use, se necessário, as aproximações:
ln20 = 3 e ln2 = 0,7. Observe que o número e é igual a
2,718... e que y = lnx se e somente se ey = x, com x > 0.
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a) “Ver é crer”.
Os antigos matemáticos gregos viam as figuras
como forma de compreender as suas demonstrações
geométricas.
Observe as duas figuras abaixo e, através delas,
demonstre o teorema de Pitágoras.
Resolução:
1 1 1
1
+ + + ... + , então
2 3 4
m
Seja: A = 1 +
A = 0,58 + ln m. Se m = 1000, então A = 0,58 + ln 103 Þ
A = 0,58 + 3 .
(l )
n
20
= 0,58 + 3 . (3 – 0,7) = 6,9
2
Portanto, a soma dos 1000 primeiros termos dessa
sequência será 6,9.
b) Pedro está numa praia e quer calcular a distância
entre um ponto A e uma pedra que está em um lugar
inacessível.
Para isso, ele traça uma reta r que passa por A e uma
paralela a ela, s.
De A observa P em uma linha reta que corta s em A’.
Em outro ponto B de r, faz o mesmo e obtém o ponto
B’ em s.
Mede as distâncias AB = 64 m, A’B’ = 56 m e AA’ = 8 m.
Qual é a distância do ponto A à pedra?
Resolução:
a) Nas duas figuras, temos que a soma das áreas que compõem
o quadrado é igual a área total do quadrado. Assim,
a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
ab
c2 + 4
= (a + b)2
2
Þa2 + b2 + 2ab = c2 + 4
ab
Û a2 + b2 = c2 (c.q.d.)
2
b) Temos que ΔPA‘B‘ ~ ΔPAB.
PA – 8 56
Assim,
=
Û PA = 64 m
PA
64
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Portanto, a distância do ponto A à pedra será 64 m.
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09. Atenda ao que se pede.
a) Guilherme e Pedro jogam a final de um torneio de
tênis. O campeão será o primeiro que conseguir vencer
três sets. De quantas formas possíveis pode terminar a
final? Por exemplo: GGPPG significa que Guilherme
venceu os dois primeiros sets, Pedro, os dois seguintes
e Guilherme, o último.
b) Pedro foi a uma loja de brinquedos para comprar 1
avião, 1 carro, 1 barco e 1 trem. Quanto ele vai pagar
por tudo isso? O valor indicado em cada linha e coluna
é igual à soma dos preços dos 4 brinquedos da linha ou
coluna.
Resolução:
a) Temos as seguintes formas que pode acabar a final:
3 x 0 Þ G G G ou P P P = 2
3 x 1 Þ
GGPG / GPGG / PGGG
=6
PPGP / PGPP / GPPP
3 x 2 Þ
4!
GGPPG=
=6
2! 2!
permutar
4!
GGPPP=
=6
2! 2!
permutar
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10. A polícia já havia comprovado que o único supermercado
da cidade fora arrombado entre 7h e 7h15min da manhã.
A quantia de R$ 1895,00 havia sido roubada do caixa.
Os únicos suspeitos eram dois seguranças do próprio
supermercado: Luís e Pedro. Foram tomados seus
depoimentos e um croqui foi feito:
1o suspeito: Luís
Saí da minha casa para trabalhar às 6h20min. Fui
de bicicleta, em linha reta, direto da minha casa ao
supermercado. Vou, como todos os dias, a uma velocidade
média de 18 km/h. Quando cheguei, vi a porta arrombada
e muitos curiosos observando.
2o suspeito: Pedro
Fui direto da minha casa ao supermercado, em linha reta,
de bicicleta a uma velocidade média de 24 km/h. Saí da
minha casa exatamente às 6h. Quando cheguei, vi a porta
arrombada e o carro da polícia estacionado em frente.
Com base nos depoimentos e no croqui, descubra o
provável culpado.
Use as aproximações que julgar convenientes:
sen 40º = 0,6 sen 68º = 0,9 sen 72º = 0,9
cos 40º = 0,8 cos 68º = 0,4 cos 72º = 0,3
tg 40º = 0,8 tg 68º = 2,5 tg 72º = 3,1
Resolução:
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
180º.
Assim, o ângulo desconhecido da figura será 180º – 72º – 68º = 40º
Chamemos de x, a distância do supermercado à casa de Luís e de
y, a distância do supermercado à casa de Pedro.
Utilizando o Teorema dos Senos, temos:
x
12
=
Þ x = 18 km
sen 68°
sen 40°
Portanto, há 2 + 6 + 6 + 6 = 20 formas de terminar a final.
b) Na 2a coluna temos: 4c = 32 Þ c = 8
na
A velocidade média de 18 km/h, Luis levaria cerca de 60 minutos
para chegar ao supermercado, ou seja, chegaria às 7h20min.
y
12
=
Þ y = 18 km
sen 72°
sen 40°
Na 3a coluna temos: b + a + 2c = 41 Þ b + a = 25 (I)
Na 1a coluna temos: a + b + 2t = 48 Þ 25 + 2t = 48 Þ
Þ t = 12
A velocidade média de 24 km/h, Pedro levaria cerca de 45
minutos para chegar ao supermercado, ou seja, chegaria às
6h45min.
Se o supermercado fora arrombado das 7h às 7h20min, segundo
os depoimentos, Pedro estaria mentindo e, portanto, seria o
provável culpado.
Na 4a linha temos: t + 2c + a = 43 Þ 12 + 16 + a = 43 Þ
Þ a = 15
Assim, em (I) temos 15 + b = 25 Þ b = 10
Portanto, o valor a ser pago é 8 + 12 + 15 + 10 = 45 reais.
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o
Cursinho
COMENTÁRIO DA
PROVA DE MATEMÁTICA APLICADA
A Prova de Matemática da FGV de 2015 - 2o semestre manteve
o padrão de abrangência das versões anteriores.
Apenas salientamos que a banca examinadora deveria ter um
cuidado maior na elaboração de alguns enunciados, bem como
alguns detalhes conceituais.
Observamos também que a prova de maneira geral cumpre a
função de selecionar os candidatos mais bem preparados.
Distribuição das questões:
01. Função e Porcentagem
02.Logaritmo
03.Aritmética
04. Equações Algébricas
05. Razão e Proporção
06. Sequência e Cálculo Básico
07. Logaritmo e Sequência
08. Geometria Plana
09. Análise Combinatória e Sistemas Lineares
10. Geometria Plana
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