Modelagem e Simulação de Sistemas.
Enrique Ortega
Laboratório de Engenharia Ecológica
e Informática Aplicada
Faculdade de Engenharia de Alimentos
Unicamp, março 2006.
Revisão: junho 2007
www.unicamp.br/fea/ortega
Modelagem e simulação
Para fazer a simulação de sistemas é necessário
conhecer:
a. As leis da Termodinâmica;
b. Os balanços de massa e energia;
c. O conceito de sistema fechado e aberto;
d. A tipologia das fontes de energia,
e. As funções que descrevem as interações entre
os elementos de um sistema.
Para representar um sistema usaremos o
diagrama de fluxos de energia.
Nesse diagrama usam-se símbolos gráficos
(ícones) para mostrar os componentes e as
interações do sistema.
Existem símbolos para: fontes externas, linhas
de escoamento de energia e/ou massa,
interações de forças e estoques de energia.
“Ecossistemas e Políticas Públicas”:
http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco
“Modelagem e simulação de Ecossistemas”:
http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/ecosim
Fonte externa
ilimitada
Símbolos com conexões
Fluxo de Energia
Fonte externa
renovável
limitada
Sumidouro de Energia
Sistema ou subsistema
Fonte externa
não renovável
limitada
Estoque
interno
Produtor
preço
Transação
Interruptor
Interação
Consumidor
Existem várias técnicas de modelagem:
 a estatística,
 a fenomenológica,
 a determinística,
 e outras.
A determinística consiste em propor um tipo
de comportamento entre forças, interações e
produtos para um sistema, ela exige testar o
desempenho do modelo e achar os valores
corretos para os coeficientes utilizados.
Porque simular?
Geralmente interessa
prever o desempenho de
um sistema, observando
como mudam os
estoques internos com o
tempo (Q versus T).
DQ = J*DT - K*Q*DT
Q
T
O modelo permite visualizar o impacto de:
 alteração na composição das forças externas
 alteração nos fluxos internos
 formação de novos arranjos internos.
O modelo de um sistema permite ações de
controle para melhorar o desempenho, e
atingir certos padrões de qualidade.
Para fazer a simulação de um sistema pode
usar-se qualquer linguagem de programação
ou planilhas eletrônicas ou aplicativos
específicos (MatLab, Matemática, Stella,
iThink, Simile, EmSim).
Leis da Termodinâmica
Primeira lei:
“A energia não se cria e não desaparece,
ela apenas muda de forma"
E = constante = soma de energias
Segunda lei:
"A energia potencial se converte em trabalho (W)
e energia degradada (Q)"
E=W+Q
Princípios dos sistemas abertos
(quarta e quinta leis da termodinâmica) :
"Os sistemas criam laços auto-catalíticos e se
auto-organizam."
Os sistemas abertos evoluem e sua evolução
depende da energia externa disponível, da
organização interna e do aproveitamento dos
resíduos do sistema.
“Os sistemas interagem para criar redes de fluxo
de energia”.
As redes permitem aumentar a circulação de
materiais e a captura de energia potencial
disponível.
Princípios dos sistemas abertos
 Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para
a energia se aplicam também para a massa:
M = constante no sistema = soma de massas
M disponível = M transformada + M dispersada
 Os sistemas pulsam, eles se desenvolvem em ciclos de
produção, consumo, reciclagem.
 Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o
sistema cresce.
 O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para
incorporar mais estoques.
 Do ponto de vista do sistema terrestre vive-se um
momento de intenso consumo de estoques e esse
crescimento é visto como um processo contínuo,
autônomo e infinito, sendo que é apenas parte de um
ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio.
Exemplo 1. Fluxo constante de energia (J) e uma saída (kQ)
Temos um sistema que recebe o fluxo J, possui um
estoque Q e apresenta uma vazão de saída proporcional
ao volume do estoque Q. Como será o gráfico Q x T?
O fluxo constante J, expressado em energia ou massa por
unidade de tempo permite durante o incremento de tempo
DT (segundos) aumentar em DQ o estoque interno Q
(Joules ou kg).
Diferença no estoque no intervalo DT =
entrada ocorrida em DT- saída ocorrida em DT
Entrada de energia no intervalo de tempo DT:
DQ (in) = J * DT
-> (J/s).(s) ou (kg/s).(s)
O estoque tem um dreno e assumimos que a a vazão de
saída é proporcional ao estoque de energia. Então a saída
de energia no intervalo de tempo dT é:
DQ (out) = K*Q*DT -> (1/s).(J).(s) ou (1/s).(kg).(s)
A equação do balanço de energia no intervalo DT é:
Acumulação = Entrada - Saída
DQ = DQ(in) - DQ(out)
DQ = J*DT - K*Q*DT
DQ = J*DT - K*Q*DT
Q = Q + DQ
Se o intervalo de tempo for unitário (DT = 1) a expressão fica
como:
DQ = J - K*Q
Para simular a variação do estoque interno de energia Q no
decorrer do tempo T teríamos que escrever em qualquer
linguagem de programação o seguinte procedimento:
Inicio do programa
Definir o tipo o os nomes das variáveis: J, Q, T, DT, K, TMAX
e atribuir valores iniciais as variáveis:
J=4
Q=10
K=0.05
T=0
DT=1
TMAX=10
Q versus T
DQ = J*DT - K*Q*DT
K=0.05
80,000
J=4
Q=10
60,000
50,000
K=0.05
T=0
DT=1
TMAX=10
40,000
Q versus T
30,000
20,000
160,000
10,000
140,000
0
10
20
Tempo
K=0.0025
120,000
30
40
100,000
Q versus T
80,000
60,000
K=1.0
12,000
40,000
10,000
20,000
0,000
0
10
20
Tempo
30
Estoque interno
0,000
Estoque interno
Estoque interno
70,000
8,000
40
6,000
4,000
2,000
0,000
0
10
20
Tempo
30
40
Applets Java
miniworld.htm
Modelos básicos
DQ = J - K*Q*DT
Q
Energia
externa
J
K*Q
Tanque
Energia dispersada
DQ = - K*Q*DT
Q
K*Q
Dreno
Energia dispersada
DQ = K1*E – K2*Q
Q
E
K2*Q
K1*E
Dreno
Estoque não
renovável
DQ = K1*J*Q – K2*Q
K1*J*Q
Q
Energia
externa
K2*Q
X
Dreno
Fonte ilimitada
Laço de retro-alimentação
Fonte ilimitada
Laço de retro- K1*J*Q
alimentação
DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q
K2*Q*Q
Q
Energia
externa
X
X
Dreno
DQ = K1*R*Q – K2*Q
K1*R*Q
Q
J
Energia
externa
K2*Q
X
R
Dreno
Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação
DQ = K1*E*Q – K2*Q
K1*E*Q
Fonte limitada
Q
K2*Q
X
E
Dreno
Laço de retroalimentação
Fonte limitada
DQ = K1*R*Q + K2*E*Q – K3*Q
K2*E*Q
E
X
Energia
externa
R
Q
J
K3*Q
X
K1*R*Q
Fonte limitada na origem
Dreno
Uso da ferramenta EmSim para
resolver o modelo SlowRen
Modelo
SlowRen
Desenvolvimento com recursos
renováveis, inicialmente há grandes
estoques disponíveis que se esgotam e
depois se sustenta com fluxos contínuos.
Modelagem e
simulação
Um balanço para cada nó.
As vezes, também nas fontes!
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
Estoque de
formação rápida
Estoque de
formação lenta
Fonte de energia
renovável de
fluxo pequeno
E
-k*E*Q
Q
– k3*Q
J
-k4E
+ k1*E*Q
Interação de consumo
Diagrama sistêmico
-> Modelagem
-> Calibração (com dados dos fluxos e dos estoques)
-> Simulação
k8
Sm
Jm
k6
M
k9
Q
E
k6
k3
Je
k5
k1
Re
k2
k4
Equações dos balanços dos
estoques e das fontes
k8
Sm
Jm
k6
M
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
k9
Je = Re + k0 E*M*Re
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
DE/DT = + k1*M*E – k2*E –k3*E*Q
Re = Je / (1 + k0*E*M)
Q
E
k6
k3
k0
Je
k5
k1
Re
k2
k4
Je = Re + k0 E*M*Re
DE/DT = + k1*E*M*Re – k2*B –k3*E*Q
Re = Je / (1 + k0*M*E)
DQ/DT = + k4*Q*E – k5*Q - k6*Q
k8
Sm
Jm
DM/DT = + Jm + k6*Q – k8*M –k9*M*Re
k6
M
k9
E
Q
E
Je
k3
k0
Se
k6
k5
k1
k2
k4
Re
Equações dos balanços em torno dos estoques e das fontes
SlowRen
DE/DT = + J – k4*E -k*E*Q
Estoque de
formação lenta
Fonte de energia
externa limitada
E
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
-k*E*Q
Q
S
J
k4E
+ k1*E*Q
Interação de consumo
– k3*Q
DE/DT = + J – k4*E -k0*E*Q
DQ/DT = + k1*E*Q – k3*Q
SlowRen
Agora vamos a prática!