Modelagem e Simulação de Sistemas
Enrique Ortega
Laboratório de Engenharia Ecológica
e Informática Aplicada
Faculdade de Engenharia de Alimentos
Unicamp, março 2006.
Revisão: julho 2015
www.unicamp.br/fea/ortega
1
Modelagem e simulação
Para fazer a simulação de sistemas é necessário
conhecer:
a. As leis da Termodinâmica;
b. Os balanços de massa e energia;
c. O conceito de sistema fechado e aberto;
d. A tipologia das fontes de energia,
e. As funções que descrevem as interações
entre os elementos de um sistema.
2
Modelagem e simulação
Para representar um sistema usaremos o
diagrama de fluxos de energia.
Nesse diagrama, usam-se símbolos gráficos
(ícones e linhas de conexão) para mostrar os
componentes e as interações do sistema.
Existem símbolos para: fontes externas, linhas
de escoamento de energia e/ou massa,
interações de forças e estoques de energia.
“Ecossistemas e Políticas Públicas”:
http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco
“Modelagem e Simulação de Ecossistemas”:
http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco/ecosim
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Símbolos da Linguagem de Fluxos de
Energia
Fonte externa
ilimitada
Fonte externa
renovável
limitada
Símbolos com conexões
Fluxo de Energia
Sumidouro de Energia
Sistema ou
subsistema
Fonte externa
não renovável
limitada
Estoque
interno
preço
Interação
Produtor
Consumidor
Interruptor
Transação
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Modelagem e simulação
Existem várias técnicas de modelagem:
 a estatística,
 a fenomenológica,
 a determinística,
 e outras.
A técnica determinística consiste em propor
um tipo de comportamento entre forças,
interações e produtos para um sistema, ela
exige testar o desempenho do modelo com
dados reais e achar os valores corretos para
os coeficientes utilizados (calibração).
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Modelagem e simulação
DQ = J*DT - K*Q*DT
Por que simular?
Geralmente se quer prever o Q
desempenho de um sistema,
sabendo como mudam os
estoques internos com o
tempo (Q versus T).
T
O modelo permite visualizar o impacto de:
 alteração na composição das forças externas
 alteração nos fluxos internos
 formação de novos arranjos internos.
Assim, formulam-se ações de controle e melhoria
de desempenho e atingir padrões de qualidade.
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Modelagem e simulação
Para fazer a simulação de um sistema pode-se
usar qualquer linguagem de programação,
planilhas eletrônicas ou aplicativos específicos
(MatLab, Matemática, Stella, iThink, Simile,
EmSim).
Todos os programas são adequados para a
simulação matemática (equações, cálculo de
coeficientes, etc.). Além disso, alguns foram
adaptados para fazer a simulação diretamente a
partir do diagrama (EXTEND, Stella, EmSim).
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Leis da Termodinâmica
Primeira lei:
“A energia não se cria e não desaparece,
ela apenas muda de forma"
E = constante = soma de energias
Segunda lei:
"A energia potencial se converte em trabalho (W)
e energia degradada (Q)"
E=W+Q
8
Princípios dos Sistemas Abertos
4ª lei: "Os sistemas criam laços autocatalíticos e se
autoorganizam." Evoluem num processo que depende
das energias externas disponíveis, da organização
interna e da capacidade de aproveitamento dos
resíduos do sistema.
5ª lei: “Os sistemas interagem para criar redes de
fluxos”. As redes aumentam a circulação de materiais
e a captura de energia potencial disponível.
6ª lei: “Os sistemas pulsam, crescem e decrescem”.
Os sistemas funcionam em ciclos (produção,
consumo, reciclagem) em várias escalas, conectadas.
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Princípios dos Sistemas Abertos
 Os conceitos desenvolvidos pela Termodinâmica para
a energia se aplicam também à massa:
M = constante no sistema = soma de massas
M disponível = M transformada + M dispersada
 Os sistemas pulsam, desenvolvendo-se em ciclos de
produção, consumo, reciclagem.
 Os ciclos aumentam de intensidade e duração
quando o sistema cresce.
 O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para
incorporar mais estoques.
 O sistema terrestre vive um momento de consumo
intenso de estoques e esse crescimento é visto como
um processo contínuo, autônomo e infinito, porém é
apenas parte de um ciclo. Após o crescimento
ocorre um declínio.
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Modelos básicos
Exemplo 1 - TANQUE
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Estoque com fonte de fluxo constante

Um estoque é a quantidade de energia ou
matéria acumulada em um reservatório
(tanque) e é representado pelo símbolo
abaixo.

Q é o estoque interno que muda
com o tempo, como resultado do
balanço de entrada e saída, que
devem ser do mesmo tipo
(matéria, energia, emergia).
Para cada símbolo de estoque em
um minimodelo, há uma equação
de balanço associada.

12
Modelo TANK
DQ = J*DT - K*Q*DT
Figura 1: Diagrama sistêmico elaborado com os símbolos da linguagem de
fluxos de energia e equação do modelo de tanque.
13
Modelo TANK


Na Figura 2, J é um fluxo de energia externa
constante e Q é o estoque do sistema.
S é a saída do estoque, considerada
proporcional ao volume estocado, ou seja,
quanto mais matéria, energia ou informação
houver no estoque, maior será sua saída.
SαQ
S = KQ
K = coeficiente de
esvaziamento
14
Modelo TANK

T é o tempo que varia desde zero até um
valor máximo (T MAX) pré-estabelecido. A
mudança no tempo ocorre em pequenos
saltos iguais ou “intervalos de tempo
regulares”.
Como é o
gráfico
Q x T?
15
Modelo TANK



O incremento do tempo é DT, constante.
O incremento de Q no intervalo DT é DQ, variável.
A taxa de mudança do estoque Q é expressa na
equação do balanço entre entrada e saída:
Num instante:
Taxa de
O que O que
Acúmulo = entra - sai
(DQ/DT) = J – KQ
A mudança no estoque é:
DQ = J*DT – K*Q*DT
Equação do modelo
16
Modelo TANK


DQ = J*DT – K*Q*DT
Finalmente, podemos analisar como mudou o
estoque (DQ) no intervalo DT:
O estoque novo é o estoque anterior mais o
incremento calculado.
Q novo = Q anterior + DQ
Podemos supor um certo valor de DT para
fazer os cálculos, por exemplo, DT = 1.
T novo = T anterior + DT
17
Gráfico

Podemos fazer o cálculo manualmente em
uma tabela se temos todos os dados de que
precisamos.
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Simulação em planilha
Feita com o cálculo de diversos pontos (Qi,Ti) do
gráfico, cada um em uma linha da planilha.
Um ponto (Qi,Ti) representa a quantidade, Qi,
estocada no tanque no tempo Ti.
1) Definir valores
iniciais das variáveis:
Incremento
de tempo
Aumento no
tempo entre
uma linha e a
próxima.
Fluxo de energia
que vem da fonte
Neste modelo, ele é
constante e, por
isso, possui o
mesmo valor em
todas as linhas.
Senão, ele seria
calculado linha a
linha.
Constante de
esvaziamento, K
Definida no slide 14 e
presente na equação
diferencial do modelo
TANK, do slide 16
Quantidade
inicial
estocada
19
Simulação em planilha
2) Construir uma tabela na planilha para
cálculos sucessivos de T e Q equivalente a
cada T. O cálculo dos primeiros valores é
mostrado, passo a passo, a seguir.
Instante
inicial da
análise,
T=0
No primeiro instante da
análise, ainda não há entrada
nem saída e, portanto, não há
variação em Q.
Quantidade dentro
do tanque no tempo
(T) definido nesta
linha (T=0)  na
primeira linha, é o
valor inicial de Q.
20
Simulação em planilha
2) Construir uma tabela na planilha para
cálculos sucessivos de T e Q equivalente a
cada T. O cálculo dos primeiros valores é
mostrado, passo a passo, a seguir.
ENTRADA entre T=0 e T=1
(slide 16)
Neste modelo, a entrada é
sempre igual, porque tanto J
quanto DT são constantes.
J x DT = 4 x 1 = 4
SAÍDA entre
T=0 e T=1
(slide 16)
Neste modelo, a saída é
variável, porque é
proporcional à
quantidade estocada,
que varia. Em cada
Instante
linha, ela terá um valor
representado nos
diferente, calculado
cálculos desta linha.
com base em Q da linha
Como DT = 1 (slide
anterior.
anterior), o tempo de
K definido K x Q x DT =
cada linha será:
inicialmente 0,05 x 10 x 1 = 0,5
Tanterior + 1
(slide 19)
VARIAÇÃO EM Q entre
T=0 e T=1
(slide 16)
Definida na equação do
modelo (slide 16),
sempre é igual à
entrada menos a saída.
Como entraram 4 e
saíram 0,5, a variação
total é de 3,5 (a
quantidade estocada
aumenta, porque entra
mais do que sai)
DQ = 4 – 0,5 = 3,5
Quantidade
dentro do tanque
no tempo (T=1)
Como
anteriormente
havia 10 no
tanque e houve
um aumento de
3,5, o novo valor
de Q é 13,5
Q = Qant + DQ
= 10 + 3,5 = 13,5
21
Simulação em planilha
2) Construir uma tabela na planilha para
cálculos sucessivos de T e Q equivalente a
cada T. O cálculo dos primeiros valores é
mostrado, passo a passo, a seguir.
ENTRADA entre T=1 e T=2
(slide 16)
Neste modelo, a entrada é
sempre igual, porque tanto J
quanto DT são constantes.
J x DT = 4 x 1 = 4
Instante
representado nos
cálculos desta linha.
T = Tanterior + 1
SAÍDA entre
T=1 e T=2
(slide 16)
Como Q da segunda
linha é maior que o
da primeira, a saída,
que é proporcional a
Q, que aumentou,
também será maior.
K x Q x DT =
0,05 x 13,5 x 1 =
0,675
VARIAÇÃO EM Q entre
T=1 e T=2
(slide 16)
Como a saída aumentou, a
variação em Q (ENTRADA –
SAÍDA) diminui da segunda
linha para a terceira. Como
entraram 4 e saíram 0,675,
a variação total é de 3,325
(a quantidade estocada
ainda aumenta, porque
entra mais do que sai)
DQ = 4 – 0,675 = 3,325
Quantidade
dentro do tanque
no tempo (T=2)
Como
anteriormente
havia 13,5 no
tanque e houve
um aumento de
3,325, o novo
valor de Q é
16,825
Q = 13,5 + 3,325
= 16,825
22
Simulação em planilha
2) Construir uma tabela na planilha para
cálculos sucessivos de T e Q equivalente a
cada T. O cálculo dos primeiros valores é
mostrado, passo a passo, a seguir.
ENTRADA entre T=2 e T=3
(slide 16)
Neste modelo, a entrada é
sempre igual, porque tanto J
quanto DT são constantes.
J x DT = 4 x 1 = 4
Instante
representado nos
cálculos desta linha.
T = Tanterior + 1
SAÍDA entre
T=2 e T=3
(slide 16)
Como Q da terceira
linha é maior que o
da segunda, a saída
também será
maior.
K x Q x DT =
0,05 x 16,825 x 1 =
0,841
VARIAÇÃO EM Q entre
T=2 e T=3
(slide 16)
Como a saída aumentou
ainda mais, a variação em Q
(ENTRADA – SAÍDA) diminui
mais da segunda linha para
a terceira. Como entraram 4
e saíram 0,841, a variação
total é de 3,159
DQ = 4 – 0,841 = 3,159
Quantidade
dentro do tanque
no tempo (T=3)
Como
anteriormente
havia 16,825 no
tanque e houve
um aumento de
3,159, o novo
valor de Q é
19,984
Q = 16,825 +
3,159 = 19,984
23
Simulação em planilha
2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos
como mostrado abaixo.
Célula de cálculo da saída (K x Q x DT = $C$8*E11*$A$8)
A fórmula desta célula inclui:
$C$8 = valor da célula C8 (valor de K) travado, porque é constante
E11 = valor da célula E11 (valor de Q do instante anterior)
destravado (quando se copia esta célula e se cola na debaixo, ela
passa a referenciar a célula E12. Assim fica mais fácil copiar e colar
as fórmulas. Experimente!)
$A$8 = valor da célula A8 (valor de DT) travado
Aqui é possível ver e
editar o conteúdo da
célula selecionada.
Quando há um sinal de
igual no início, a célula
contém uma fórmula.
Ao clicar sobre um dos
termos, cada termo da
fórmula é destacado
com uma cor diferente
e as células
equivalentes,
destacadas com a
mesma cor.
Isto é uma célula!
Sua referência é E7
(Coluna E, Linha 7)
24
Simulação em planilha
2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos
como mostrado abaixo.
Célula de cálculo da variação (DQ = J x DT – K x Q x DT =B12 – C12)
A fórmula desta célula inclui:
B12 = valor da célula B12 (J x DT) destravado. Desta forma, ao
copiá-lo e colá-lo para nas linhas seguintes, ele usará, para cada
linha, seu próprio valor de entrada.
C12 = valor da célula C12 (K x Q x DT) destravado
Aqui é possível ver e
editar o conteúdo da
célula selecionada.
Quando há um sinal de
igual no início, a célula
contém uma fórmula.
Ao clicar sobre um dos
termos, cada termo da
fórmula é destacado
com uma cor diferente
e as células
equivalentes,
destacadas com a
mesma cor.
Isto é uma célula!
Sua referência é E7
(Coluna E, Linha 7)
25
Simulação em planilha
2) Na planilha Excel, esses cálculos são feitos
como mostrado abaixo.
Aqui é possível ver e
editar o conteúdo da
célula selecionada.
Quando há um sinal de
igual no início, a célula
contém uma fórmula.
Ao clicar sobre um dos
termos, cada termo da
fórmula é destacado
com uma cor diferente
e as células
equivalentes,
destacadas com a
mesma cor.
Célula de cálculo de Q (Q = Qanterior + DQ = E11 + D12)
Isto é uma célula!
Sua referência é E7
(Coluna E, Linha 7)
26
Simulação em planilha
3) Gerar gráfico a partir dos valores de Q e t.
Como a entrada inicial é
maior que a saída, o
tanque vai enchendo com
o tempo. Porém, com o
aumento do estoque,
aumenta-se a saída e,
assim, diminui-se a
variação de Q com o
tempo, o que leva o
estoque a atingir um
equilíbrio (valor
constante), em que a
entrada é igual à saída.
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Aplicativos disponíveis para Modelagem e
Simulação Emergética de um tanque
Excel
Excel com VBA
JavaScript
Applets Java
EmSim
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DQ = J*DT - K*Q*DT
Gráficos
Q versus T
J=4
Q=10
K=0.05
80,000
Q versus T
50,000
160,000
40,000
140,000
30,000
120,000
10,000
0,000
0
10
20
Tempo
Q versus T
100,000
12,000
80,000
10,000
60,000
30
40
40,000
20,000
0,000
0
10
20
Estoque interno
20,000
DT=1
TMAX=10
K=0.0025
60,000
Estoque interno
Estoque interno
70,000
K=0.05
T=0
Tempo
K=1.0
8,000
6,000
4,000
30
40
2,000
0,000
0
10
20
30
40
Tempo
29
Exemplo de Modelos de Estoque


O modelo de estoque representa qualquer
sistema que possua entrada constante e
saída proporcional à quantidade estocada.
Exemplo: um tanque de estocagem em que a
saída depende da pressão exercida pela
coluna de fluido estocada.
Uma lagoa pode ser representada por este
modelo, considerando-se uma entrada média
constante de água proveniente de um rio e
saída proporcional a altura do reservatório.
30
31
Exemplo de Modelos de Estoque

Já em sistemas econômicos, pode-se usar o
modelo do tanque para representar uma conta
pessoal de banco, com entrada constante de
um salário e gastos proporcionais ao dinheiro
em conta.
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EmSim aplicado ao Modelo
TANK
33
Modelos básicos
Outros Exemplos
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DQ = J - K*Q*DT
Q
Energia
externa
J
K*Q
Tanque
Energia dispersada
DQ = - K*Q*DT
Q
K*Q
Dreno
Energia dispersada
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DQ = K1*E – K2*Q
Q
E
K2*Q
K1*E
Dreno
Estoque não
renovável
DQ = K1*J*Q – K2*Q
K1*J*Q
Q
Energia
externa
K2*Q
X
Dreno
Fonte ilimitada
Laço de retro-alimentação
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Fonte ilimitada
Laço de retro- K1*J*Q
alimentação
DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q
K2*Q*Q
Q
Energia
externa
X
X
Dreno
DQ = K1*R*Q – K2*Q
K1*R*Q
Q
J
Energia
externa
K2*Q
X
R
Dreno
Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação
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DQ = K1*E*Q – K2*Q
K1*E*Q
Fonte limitada
Q
K2*Q
X
E
Dreno
Laço de retroalimentação
Fonte limitada
DQ = K1*R*Q +
K2*E*Q – K3*Q
K2*E*Q
E
X
Energia
externa
R
Q
J
K3*Q
X
K1*R*Q
Fonte limitada na origem
Dreno
38