2. Introdução à lógica proposicional O adjectivo “clássico” é usado para especificar a literatura, arte e filosofia da antiguidade grega e romana. Não é neste sentido que se usa “lógica clássica.” Aquele adjectivo é também usado para caracterizar obras particularmente bem-­‐sucedidas, que acabam sendo encaradas como expoentes máximos do seu género: falamos assim, por exemplo, de filmes clássicos, como é o caso de alguns westerns de John Ford. Também não é neste sentido que usamos “lógica clássica.” Usamos “lógica clássica” no sentido em que usamos “física clássica”: uma teoria muitíssimo influente e bem-­‐sucedida que precede as teorias mais recentes que rejeitam alguns dos seus pressupostos. A lógica clássica é uma teoria desenvolvida sobretudo a partir de finais de séc. XIX e do começo do séc. XX, e foi a primeira teoria lógica de amplo alcance adequadamente desenvolvida. Apesar de a lógica clássica ser um produto sobretudo do séc. XX, e apesar de o termo “clássico” não se referir aqui aos trabalhos lógicos da antiguidade clássica, nome-­‐
adamente grega, a verdade é que os seus princípios centrais foram pela primeira vez explicitados, desenvolvidos e discutidos na antiguidade grega. Apesar de a lógica deste período mais influente historicamente ter sido a de Aristóteles, que foi ensinada nas universidades europeias até ao séc. XX, foi a lógica dos estóicos, que só recentemente começou a ser mais cuidadosamente estudada, que mais próximo chegou da lógica pro-­‐
posicional clássica. Apesar de Aristóteles ter desenvolvido um trabalho notável em lógi-­‐
ca, sobretudo se tivermos em conta que nenhuns trabalhos relevantes eram na época conhecidos, a sua lógica é um beco sem saída, por fazer dos termos gerais (palavras co-­‐
mo “gregos”), e não das proposições, o ponto de partida do estudo do raciocínio correc-­‐
to. Os estóicos, pelo contrário, apesar de aceitarem os conceitos lógicos centrais correc-­‐
tamente estabelecidos por Aristóteles (como o conceito crucial de validade), não tomam os termos gerais como ponto de partida, mas antes as proposições — exactamente o que fazemos hoje na lógica proposicional clássica. Hoje em dia há muitas lógicas proposicionais alternativas, mas é pela clássica que começaremos o nosso estudo da lógica formal. 1. Forma lógica Um conceito central da lógica é a validade; um conceito central da lógica formal é a for-­‐
ma lógica. Contudo, ao passo que a validade é susceptível de uma boa definição, o mes-­‐
28/10/2013 35 mo não acontece no caso da forma lógica.18 O melhor que podemos fazer é dar exemplos esclarecedores e oferecer uma definição circular, mas desejavelmente informativa. Considere-­‐se o seguinte raciocínio: Se Deus existisse, não haveria injustiças. Mas há injustiças. Logo, Deus não existe. É evidente que este raciocínio tem algo em comum com o seguinte: Se Kant fosse italiano, não seria alemão. Mas ele era alemão. Logo, não era italiano. O que ambos têm em comum, contudo, não é certamente o tema: um deles é sobre Deus e o outro sobre Kant. O há de comum nos dois raciocínios é uma estrutura, que se torna mais nítida deste modo: Se p, então não-­‐q. q. Logo, não-­‐p. É a esta estrutura que se chama “forma lógica” e o que ela tem de especial é isto: qual-­‐
quer raciocínio que a tenha será dedutivamente válido. A forma lógica de qualquer raci-­‐
ocínio, por sua vez, resulta exclusivamente da forma lógica das proposições constituin-­‐
tes. No caso anterior, o que acontece é que tanto as premissas como a conclusão dos dois raciocínios, apesar de terem diferentes conteúdos, têm a mesma forma lógica. Assim, a forma lógica de uma proposição, no sentido que interessa na lógica for-­‐
mal, não é qualquer aspecto da sua estrutura, mas antes aqueles aspectos que forem re-­‐
levantes para a validade. Porém, há diferentes aspectos estruturais relevantes para a validade; o que conta como forma lógica nas lógicas formais é um aspecto estrutural mais geral, mas é difícil defini-­‐lo adequadamente. Podemos, contudo, esclarecer esta ideia com a ajuda de exemplos. Considere-­‐se o seguinte raciocínio: “Ulisses era casado; logo, não era solteiro.” Este raciocínio é dedutivamente válido, porque é impossível que tenha premissa verda-­‐
deira e conclusão falsa, mas não é formalmente válido. Contudo, há algo na sua estrutu-­‐
ra que é comum a vários outros raciocínios que, por isso mesmo, serão válidos, como “Eça era casado; logo, não era solteiro.” Porque a validade destes raciocínios depende crucialmente da semântica, ou seja, do significado, dos termos “casado” e “solteiro,” en-­‐
tre outros, podemos mudar o nome “Ulisses” para outro qualquer e o raciocínio conti-­‐
18 Veja-­‐se Sainsbury 2006 para uma recensão breve mas informativa das dificuldades associadas à definição de forma lógica. 28/10/2013 36 nuará válido. Portanto, há aqui uma estrutura relevante para estabelecer a validade. Contudo, consideramos que não é uma estrutura suficientemente geral precisamente porque depende da semântica dos termos “casado” e “solteiro”; trata-­‐se de uma valida-­‐
de semântica, e não formal. Em contraste, o raciocínio “Algumas mulheres casadas são felizes, logo algumas mulheres felizes são casadas” é formalmente válido porque a estrutura relevante para estabelecer a sua validade tem um grau bastante elevado de generalidade: não temos de continuar a falar de mulheres casadas, nem felizes, para obter outros raciocínios com a mesma estrutura: “Algumas cidades históricas são lindas à noite, logo algumas cidades lindas à noite são históricas.” Assim, a primeira ideia importante sobre a forma lógica é que se trata de um as-­‐
pecto da estrutura das proposições que é relevante para a validade; a segunda ideia é que, nas lógicas formais, esse aspecto estrutural tem de ser suficientemente geral, ainda que sejamos incapazes de especificar adequadamente o grau de generalidade em causa. A terceira ideia, que veremos agora, é que se tivermos em mente apenas uma da-­‐
da lógica formal é fácil especificar em que consiste a forma lógica: no caso da lógica proposicional clássica, a forma lógica é inteiramente determinada por cinco constantes lógicas: “não,” “e,” “ou,” “se” e “se e só se.” Encontrar a forma lógica de uma proposição é agora mais simples: trata-­‐se apenas de encontrar as constantes lógicas, ignorando tudo o resto. Assim, “Não há arte sem emoção” e “Agostinho não era francês” têm a mesma forma lógica, deste ponto de vista: “não-­‐p”. A constante lógica é a mesma, nos dois casos, sendo a proposição, sem essa constante, diferente: num caso trata-­‐se da proposição de que há arte sem emoção e no outro da proposição de que Agostinho era francês. Toda-­‐
via, estas proposições não têm qualquer constante lógica e por isso têm a mesma forma lógica proposicional. Assim, do ponto de vista da lógica proposicional clássica, duas proposições têm a mesma forma lógica se e só se 1) ou não têm constantes lógicas ou 2) têm exactamente as mesmas constantes lógicas, desempenhando exactamente o mesmo papel. No caso dos nossos dois exemplos, a constante lógica “não” limita-­‐se, em ambos os casos, a negar uma proposição, sendo irrelevante que proposição é essa, desde que não tenha quais-­‐
quer constantes lógicas. A p iremos chamar, por essa mesma razão, “variável proposici-­‐
onal,” porque simboliza qualquer proposição que não tenha constantes lógicas; p em si não é uma proposição, apenas simboliza ou ocupa o lugar de qualquer proposição. Tanto quanto sabemos, foi Aristóteles quem, pela primeira vez na filosofia euro-­‐
peia, se deu conta desses aspectos estruturais comuns a vários raciocínios a que hoje chamamos “forma lógica.” A sua lógica, que estudaremos no Capítulo 11, foi a primeira lógica formal desenvolvida no pensamento europeu. 28/10/2013 37 2. Validade formal Estamos agora em condições de compreender um aspecto crucial da lógica formal, razão pela qual tem essa designação: nesta lógica, estudamos apenas as validades e invalida-­‐
des formais, ou seja, as validades e invalidades que resultam da forma lógica. Isto signi-­‐
fica duas coisas. Primeiro, as validades semânticas e conceptuais não fazem parte do âmbito da lógica formal. Uma validade semântica é algo como “Rex Stout não era médico; logo, não era cardiologista”; uma validade conceptual é algo como “O céu é azul; logo, é colorido.” As validades semânticas dizem respeito a relações semânticas como a sinonímia (“ver-­‐
melho” e “encarnado” são sinónimos), a incompatibilidade semântica (“casado” é in-­‐
compatível com “solteiro”) e a inclusão semântica (“cardiologista” está incluído em “médico”), entre outras. As validades conceptuais dizem respeito a relações conceptu-­‐
ais: o conceito de azul e de cor estão relacionados de tal modo que é impossível algo ser azul e não ter cor, os conceitos de vermelho e azul estão relacionados de tal modo que é impossível algo ser completamente vermelho e completamente azul. A diferença entre as validades semânticas e conceptuais não é pacífica, sendo razoável defender que se trata de uma só categoria. Todavia, também é razoável considerar que os fenómenos semânticos dependem muito mais fortemente das contingências históricas das línguas em que os termos relevantes ocorrem, ao passo que as relações conceptuais dizem res-­‐
peito a aspectos da realidade largamente independentes das línguas humanas. Assim, as validades que estudamos em lógica formal são muitíssimo diferentes das validades semânticas ou conceptuais que encontramos em livros populares de que-­‐
bra-­‐cabeças. Neste último caso, trata-­‐se quase sempre de raciocínio semântico ou con-­‐
ceptual e não formal. As validades formais de que nos ocupamos em lógica formal desde o tempo de Aristóteles não abrangem também as relações entre conceitos filosóficos, pelo que é enganador usar o termo “lógica” para falar dessas relações, sem mais esclare-­‐
cimentos. As validades informais são estudadas na lógica informal, que estuda também outros aspectos do raciocínio, como veremos no Capítulo 12. Em segundo lugar, há uma diferença importante entre declarar um raciocínio formalmente válido e declará-­‐lo formalmente inválido. Quando um raciocínio é formal-­‐
mente válido, nenhum outro raciocínio com a mesma forma lógica é inválido. É o caso do raciocínio “Se quem não tem deveres não tem direitos, os bebés não têm direitos; mas os bebés têm direitos; logo, é falso que quem não tem deveres não tem direitos”: porque é formalmente válido, nenhum outro raciocínio com a mesma forma lógica é in-­‐
válido. Em contraste, quando um raciocínio é formalmente inválido, isso significa ape-­‐
nas que alguns raciocínios com essa forma lógica são inválidos, mas talvez nem todos o sejam. Por exemplo, o raciocínio “Rilke era poeta, logo era sensível” é formalmente invá-­‐
lido, mas alguns raciocínios com a mesma forma lógica são válidos, como “Carlos era 28/10/2013 38 cardiologista, logo era médico.” Assim, quando provamos que um raciocínio é formal-­‐
mente inválido, isso é compatível com a validade informal do raciocínio. As formas inferenciais não são realmente válidas ou inválidas, excepto no senti-­‐
do em que os raciocínios que têm tais formas são válidos ou inválidos. Afirmar que uma dada forma inferencial é válida é apenas uma maneira abreviada de dizer que todos os raciocínios com tal forma são válidos; afirmar que é inválida é dizer que nem todos os raciocínios com tal forma são válidos. São os raciocínios em si que são realmente válidos ou inválidos, e não as suas formas, porque a validade é uma relação entre valores de verdade e só os raciocínios em si são constituídos por proposições, verdadeiras ou fal-­‐
sas; as formas dos raciocínios não são constituídas por proposições, mas antes por for-­‐
mas proposicionais — representadas por p, por exemplo — e estas são insusceptíveis de ter valor de verdade (qual seria o valor de verdade de p?). Nunca devemos confundir uma proposição (como a expressa pela frase “Hume e Hobbes eram britânicos”) com uma forma proposicional (como “p e q”). Exercícios 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Por que razão a lógica formal tem esta designação? O que é a forma lógica? Quais são as constantes lógicas da lógica proposicional clássica? O que é uma variável proposicional? O que significa dizer que as formas inferenciais só secundariamente são válidas? Qualquer raciocínio que tenha uma forma inválida é inválido? Porquê? 3. Operadores verofuncionais A lógica proposicional clássica chama-­‐se “proposicional” porque nela estudamos valida-­‐
des que resultam do uso de alguns operadores proposicionais especiais. Há vários ope-­‐
radores proposicionais, como “não,” “necessariamente,” “e,” etc. Um operador proposicional é um termo que se aplica exclusivamente a uma ou mais proposições, dando essa aplicação origem a outra proposição. Assim, a aplicação de “não” à proposição expressa pela frase “Tolstói era romancista” dá origem à proposi-­‐
ção de que Tolstói não era romancista. Neste caso, trata-­‐se de um operador unário, pois é aplicável a uma só proposição. Já o operador “e” é binário porque é aplicável no míni-­‐
mo a duas proposições: aplicar este operador às proposições expressas pelas frases “Somerset Maugham era romancista” e “Ockham era filósofo” dá origem à proposição de que Somerset Maugham era romancista e Ockham filósofo. Em contraste, “alguns” não é um operador proposicional porque se aplica a partes de uma proposição, gerando então uma proposição: “dias são chuvosos” não exprime uma proposição, mas “alguns dias são chuvosos” exprime. 28/10/2013 39 Alguns operadores proposicionais são verofuncionais. O que isto significa é que o valor de verdade das proposições que resultam da aplicação do operador é inteiramente determinado pelo valor de verdade da proposição ou proposições de origem. Por exem-­‐
plo, mesmo que não saibamos se há ou não vida em Marte, sabemos que a proposição de que não há vida em Marte é verdadeira se e só se a proposição de que há vida em Marte for falsa, e sabemos que essa mesma proposição é falsa se e só se a segunda proposição for verdadeira. Isto acontece porque a negação é um operador verofuncional. Além disso, não precisamos sequer de dar atenção ao conteúdo da proposição de que há vida em Marte: basta saber que é uma proposição. Este facto acerca do operador de negação resume-­‐se facilmente na seguinte tabela, sendo p qualquer proposição: p não-­‐p V F F V O que esta tabela representa é precisamente a verofuncionalidade da negação: dada qualquer proposição p, se esta for verdadeira, a sua negação será falsa, e se p for falsa, a sua negação será verdadeira. Dizer que a negação é verofuncional é dizer que é uma função de verdade; mas o que é uma função? O conceito matemático de função é muito simples: trata-­‐se de uma operação que toma uma coisa como dado de entrada e produz uma coisa como dado de saída, mas o dado de saída é inteiramente determinado pelo dado de entrada. Por exemplo, a soma é uma função binária que toma como dados de entrada números, tendo como dado de saída também números. Se os dados de entrada forem 7 e 5, o dado de saída da função soma é invariavelmente 12. A soma é uma função numérica porque os dados de entrada e saída são números; a negação é uma função de verdade porque os dados de entrada e saída são valores de verdade. Quando uma operação não determina o dado de saída inteiramente com base no dado de entrada, não é uma função. Muitos operadores proposicionais não são funções, como é o caso do operador proposicional de possibilidade: p Possivelmente p V V F ? Neste caso, não se trata de uma função porque o valor de “possivelmente p” não é intei-­‐
ramente determinado pelo valor de verdade de p. Quando p é verdadeira, “possivelmen-­‐
28/10/2013 40 te p” também é verdadeira;19 mas quando p é falsa, “possivelmente p” é verdadeira nuns casos e falsa noutros. Por exemplo, é falso que 7 + 5 = 13, e é igualmente falso que seja possível que 7 + 5 = 13; mas apesar de ser também falso que Eça nasceu em Moscovo, é verdadeiro que poderia ter nascido nessa cidade. Exercícios 1. O que é um operador proposicional? Defina e dê exemplos contrastantes. 2. Se tivermos as proposições expressas pelas frases “Cleantes era filósofo” e “Anselmo era fi-­‐
lósofo,” certamente podemos acrescentar a negação: “Não é verdade que Cleantes e Anselmo eram filósofos.” Neste caso, aplicamos um operador unário a duas proposições. Em que sen-­‐
tido, pois, é a negação um operador unário? 3. O que é um operador verofuncional? 4. O que é uma função? 5. O que é uma função de verdade? 6. Explique por que o operador proposicional complexo “o Paulo acredita que” não é verofun-­‐
cional. 4. A lógica clássica é redutora? Agora que compreendemos o que são operadores verofuncionais, estamos em condi-­‐
ções de compreender um aspecto importante da lógica proposicional clássica: o seu ob-­‐
jecto de estudo reduz-­‐se aos raciocínios cuja validade ou invalidade dependa exclusi-­‐
vamente do uso de operadores verofuncionais. Isto significa que esta teoria tem limites muito severos. Significará isso que é redutora? Quando fazemos teorias, temos de delimitar cuidadosamente o nosso objecto de estudo. Isto é inevitavelmente limitador, mas precisamos de fazê-­‐lo porque somos cog-­‐
nitivamente muitíssimo limitados. Devido às nossas limitações cognitivas, cometemos muitos erros; ora, quanto mais vasta for uma teoria, mais fácil é errar quando a constru-­‐
ímos. Também devido às nossas limitações cognitivas, temos de simplificar a realidade que desejamos estudar — se tivéssemos poderes cognitivos infinitos não precisaríamos de simplificar a realidade, mas não precisaríamos também de teorizar porque compre-­‐
enderíamos tudo directamente. Assim, teorizar é, a um tempo, sinal da nossa limitação cognitiva e da nossa sabedoria. Toda a teoria é redutora no sentido de não abranger tu-­‐
do, mas criticar uma teoria apenas por ser redutora é não compreender o que é uma te-­‐
oria; uma crítica desse género, para ser adequada, tem de ser que a teoria não explica o que se propunha explicar, e não apenas que é redutora. Além disso, a história do pensamento humano mostra que começar por estudar aspectos muito modestos e limitados da realidade tem produzido resultados extraordi-­‐
19 A rigor, como veremos no Capítulo 8, há condições em que “possivelmente p” não se conclui va-­‐
lidamente de p. 28/10/2013 41 nários no alargamento da nossa compreensão da realidade: o estudo de uma coisa tão simples como as regularidades observadas na queda dos corpos e na sua aceleração permitiu-­‐nos compreender a estrutura do sistema solar com uma profundidade que nunca tinha sido alcançada. Em contraste, quando começamos com teorias muitíssimo vastas e gerais, incluímos tantas ilusões no nosso pensamento que praticamente nada de relevante compreendemos adequadamente. A maneira promissora de teorizar é co-­‐
meçar modestamente e ver se conseguimos alargar as nossas teorias gradualmente, pa-­‐
ra que tenham cada vez mais poder explicativo. A lógica proposicional clássica é uma teoria muito simples e limitada, mas será expandida à medida que o nosso estudo avan-­‐
çar. Exercícios 1. Por que razão fazemos teorias? 2. Por que razão as nossas teorias são inevitavelmente simplificadoras? 5. Bivalência, terceiro excluído e polivalência A negação clássica é verofuncional, transformando qualquer verdade numa falsidade e qualquer falsidade numa verdade. Será a negação realmente assim? Considere-­‐se o Eusebiozinho, que sempre teve uma vida pacata, nem mostrando coragem nem falta dela. Será ele corajoso? Em contraste, o Palma Cavalão mostrou repe-­‐
tidamente não ser corajoso, em várias situações da vida; neste caso, ele realmente não é corajoso. Deste modo, a negação parece ter dois sentidos diferentes nas proposições ex-­‐
pressas pelas frases “O Eusebiozinho não é corajoso” e “O Palma Cavalão não é corajo-­‐
so.” A negação clássica, contudo, não parece ter recursos para explicar esta diferença; nesse caso, talvez a negação clássica não esgote todos os sentidos inferencialmente re-­‐
levantes da negação. O que está aqui em causa é o princípio da bivalência, que é pressuposto na lógica clássica, mas rejeitado noutras lógicas. O princípio da bivalência é a ideia de que não há lacunas nos valores de verdade: toda a proposição é verdadeira ou falsa. Dado o modo como definimos o conceito de proposição no Capítulo 1, este pressuposto é inócuo; para ver a sua força é preciso rever a nossa definição ou acrescentar outro princípio à lógica clássica. Pois imagine-­‐se que insistimos na nossa definição, segundo a qual uma propo-­‐
sição é o conteúdo verdadeiro ou falso expresso por uma frase. Neste caso, uma respos-­‐
ta óbvia do defensor da lógica clássica para a dificuldade acima seria afirmar que a frase “O Eusebiozinho é corajoso” não exprime qualquer proposição, precisamente porque não exprime um conteúdo verdadeiro, nem falso: o Eusebiozinho nunca mostrou cora-­‐
gem, nem falta dela. Neste caso, não seria de espantar que a negação clássica, que é con-­‐
cebida como uma operação exercida sobre proposições, fosse inadequada para exprimir 28/10/2013 42 a ideia de que a frase “O Eusebiozinho é corajoso” não exprime uma proposição verda-­‐
deira, não no sentido de exprimir uma proposição falsa, mas antes no sentido mais radi-­‐
cal de não exprimir qualquer proposição. Seria uma frase absurda, como “As ideias ver-­‐
des incolores dormem furiosamente.” O princípio da bivalência revela a sua força quando insistimos que toda a frase assertiva que não contenha erros categoriais exprime realmente uma proposição, e con-­‐
sequentemente ou é verdadeira ou é falsa; em contraste, a frase sobre as ideias verdes não exprime qualquer proposição precisamente porque contém erros categoriais: a ca-­‐
tegoria verde é incompatível com a categoria incolor, a categoria ideia é incompatível com a categoria verde, a categoria dormir é incompatível com a categoria furiosamente. Deste ponto de vista, ficamos comprometidos com a plenitude proposicional, neste sen-­‐
tido: toda a frase assertiva que não contenha erros categoriais exprime uma proposição. Dado que toda a proposição é verdadeira ou falsa, por definição, vemos agora que o princípio da bivalência é incompatível com a ideia de que o Eusebiozinho não é corajo-­‐
so, nem deixa de ser. O princípio da bivalência é metafísico e não epistémico; não diz respeito ao que sabemos ou julgamos saber, mas antes à realidade em si. Entendido epistemicamente, o princípio da bivalência é trivialmente falso, pois é óbvio que há muitas proposições cujo valor de verdade desconhecemos, como as expressas pelas frases “A divindade cristã existe” e “Há extraterrestres inteligentes.” O princípio da bivalência é metafísico no sen-­‐
tido em que exprime a ideia de que, saibamos ou não se p é verdadeira, ou p é verdadei-­‐
ra ou p é falsa. Assim, aceitar o princípio da bivalência obriga-­‐nos a aceitar que ou é verdadeiro ou é falso que o Eusebiozinho é corajoso, mesmo que não saibamos se é uma coisa ou outra porque ele nunca teve oportunidade de se manifestar nesse sentido, de-­‐
vido à sua vida pacata. Quem considerar que, além de não sabermos se o Eusebiozinho é corajoso ou não, ele mesmo não é corajoso nem não-­‐corajoso, tem uma razão para rejei-­‐
tar o princípio da bivalência. Quando rejeitamos o princípio da bivalência, rejeitamos a ideia de que é adequa-­‐
do concluir que o Eusebiozinho não é corajoso partindo da premissa de que não é ver-­‐
dadeiro que ele é corajoso, pois defendemos que há duas maneiras diferentes de uma proposição não ser verdadeira: ou porque é falsa, ou porque não tem valor de verdade. Ora, na lógica clássica, negar a verdade de p é pura e simplesmente afirmar a sua nega-­‐
ção, ou seja, “não-­‐p.” Rejeitar este aspecto da lógica clássica dá origem a lógicas não-­‐
clássicas. O princípio da bivalência é subtilmente diferente do princípio do terceiro excluí-­‐
do, que também aceitamos na lógica clássica, mas rejeitamos noutras lógicas. O princí-­‐
pio do terceiro excluído é a ideia de que qualquer proposição com a forma “p ou não-­‐p” é verdadeira. Um exemplo de uma proposição com esta forma lógica é a expressa pela 28/10/2013 43 frase “Clemente de Alexandria era filósofo ou não.” Apesar de ser razoável rejeitar si-­‐
multaneamente o princípio da bivalência e o princípio do terceiro excluído, trata-­‐se de dois princípios independentes, ou seja, rejeitar um deles não obriga a rejeitar o outro. Vejamos porquê. Imagine-­‐se que se rejeita o princípio da bivalência; neste caso, temos ainda espa-­‐
ço teórico para aceitar o princípio do terceiro excluído. Para o fazer, temos de aceitar que quando p não tem valor de verdade, mesmo assim “p ou não-­‐p” exprime uma pro-­‐
posição verdadeira. Assim, defenderíamos que “O Eusebiozinho é corajoso” é destituída de valor de verdade, mas que “O Eusebiozinho é corajoso ou não” exprime uma proposi-­‐
ção verdadeira. Esta alternativa teórica talvez não seja particularmente atraente, mas a sua existência mostra que rejeitar a bivalência não implica rejeitar o terceiro excluído. Imagine-­‐se agora que se rejeita o princípio do terceiro excluído. Isto não implica aceitar lacunas nos valores de verdade; implica apenas rejeitar que toda a proposição da forma “p ou não-­‐p” é verdadeira. Uma maneira de o fazer é defender que há proposições falsas que, negadas, dão origem a outras proposições igualmente falsas. “O Eusebiozinho é corajoso,” por exemplo, talvez seja falsa, em vez de lacunar, acontecendo, contudo, que também “O Eusebiozinho não é corajoso” é falsa. Deste modo, “O Eusebiozinho é corajo-­‐
so ou não” não seria verdadeira, apesar de aceitarmos que toda a proposição tem valor de verdade e que todas as frases assertivas sem erros categoriais exprimem proposi-­‐
ções. Uma vez mais, talvez esta alternativa teórica não seja particularmente atraente; mas a sua existência mostra que a rejeição do terceiro excluído não obriga a rejeitar a bivalência. Apesar de haver espaço teórico para rejeitar a bivalência mas não o terceiro ex-­‐
cluído, ou vice-­‐versa, é mais natural rejeitar simultaneamente estes dois princípios. Nesse caso, defende-­‐se que há lacunas nos valores de verdade, como é o caso talvez de “O Eusebiozinho é corajoso,” lacunas estas que tornam falso o princípio do terceiro ex-­‐
cluído, pois “O Eusebiozinho é corajoso ou não” não é uma verdade lógica porque ex-­‐
prime uma proposição sem valor de verdade (ou não exprime qualquer proposição, se considerarmos que uma proposição é o conteúdo verdadeiro ou falso expresso por uma frase). Outra maneira de rejeitar o princípio da bivalência sem aceitar a tese de que há lacunas nos valores de verdade é defender que não há apenas dois valores de verdade, mas três ou mais. Assim, toda a proposição teria valor de verdade, sem excepção, mas não haveria apenas a verdade e a falsidade, mas também um terceiro ou quarto valor de verdade. Uma lógica é polivalente quando admite mais de dois valores de verdade. Do ponto de vista exclusivamente lógico, nada há de especial em fazer uma teoria poliva-­‐
28/10/2013 44 lente. Por exemplo, uma maneira de definir a negação numa lógica trivalente é a seguin-­‐
te: p não-­‐p V F F V X X Neste caso, quando uma proposição é verdadeira ou falsa, a sua negação é igual à da ló-­‐
gica clássica; contudo, quando uma proposição tem o misterioso valor de verdade X, a sua negação é também X. Claro que outra maneira de definir a negação, nesta lógica tri-­‐
valente, seria defender que quando uma proposição é X, a sua negação é V; ou F. A dificuldade de uma lógica trivalente não é técnica: os pormenores lógicos pro-­‐
priamente ditos são banais. A dificuldade é saber o que é esse tal valor de verdade X. Uma resposta natural seria dizer que X é o valor de verdade “indeterminado,” adequado precisamente no caso do Eusebiozinho, que nem é corajoso, nem deixa de ser. Todavia, é defensável que isto é uma confusão entre epistemologia e metafísica. O valor de ver-­‐
dade de uma proposição não é determinado pelo que nós sabemos ou deixamos de sa-­‐
ber, mas antes pela realidade em si. Por exemplo, o valor de verdade de “Existem orga-­‐
nismos extraterrestres com mais de cinco metros de altura” é independente da nossa ignorância actual. Claro que nós ignoramos o valor de verdade da proposição expressa por essa frase, mas isso não dá à proposição em si o valor de verdade “indeterminado”; o que determina o valor de verdade da proposição é exclusivamente a existência ou ine-­‐
xistência de organismos extraterrestres com mais de cinco metros de altura. Como se vê, há espaço para pôr em causa uma coisa simples e aparentemente ra-­‐
zoável como o entendimento clássico da negação: a ideia de que a negação de uma pro-­‐
posição verdadeira resulta numa proposição falsa, e que a negação de uma proposição falsa resulta numa proposição verdadeira. Todavia, temos de distinguir críticas bem pensadas ao entendimento clássico da negação, de críticas baseadas em desconheci-­‐
mento e falta de sofisticação intelectual. Por exemplo, rejeitar a negação clássica com base na ideia de que a negação de branco não é preto porque há outras cores é não en-­‐
tender que nada na negação clássica implica que negar o branco (admitindo esta manei-­‐
ra vaga de falar, pois o que se nega realmente são proposições e não meros predicados) seja afirmar o preto; a negação clássica só nos diz que negar o branco é afirmar o não-­‐
branco, onde, obviamente, se inclui todas as cores excepto o branco. Exercícios 1. Explique o que é o princípio da bivalência. 28/10/2013 45 2. Explique o que é o princípio do terceiro excluído. 3. O que é uma lógica polivalente? 4. Imagine que o princípio da bivalência é falso, assim como o princípio do terceiro excluído. Significa isso que a lógica clássica, que pressupõe ambos, é completamente inadequada? 6. Conjunção A conjunção é o operador proposicional verofuncional que exprimimos em português com as palavras “e,” “mas,” “tanto… como” e “quer… quer.” Por exemplo, “Locke e Ockham eram filósofos,” “Locke era filósofo mas Ockham também,” “tanto Locke como Ockham eram filósofos,” “quer Locke quer Ockham eram filósofos.” Como é evidente, estas palavras não têm todas exactamente o mesmo significado, apesar de todas serem usadas para exprimir a conjunção. O significado de “mas,” por exemplo, não é exacta-­‐
mente o mesmo do que o significado de “e”: a primeira palavra manifesta surpresa, ao contrário da segunda (“Eça era português, mas diligente” sugere que os portugueses em geral não primam pela diligência). Além disso, mesmo a palavra “e” inclui um aspecto temporal: “Berkeley deu uma palestra e morreu” é razoável, ao passo que “Berkeley morreu e deu uma palestra” sugere que ele deu a palestra morto — o que parece ocor-­‐
rer com alguns palestrantes, mas não literalmente. Todas estas subtilezas são ignoradas na lógica clássica, que dá atenção exclusi-­‐
vamente ao conteúdo verofuncional da conjunção. Esse conteúdo é simplesmente este: uma conjunção é uma proposição composta que é verdadeira se e só se as duas proposi-­‐
ções que a constituem forem verdadeiras. Este conteúdo verofuncional representa-­‐se adequadamente na seguinte tabela de verdade: p q p e q V V V V F F F V F F F F Uma tabela de verdade é, pois, uma representação gráfica das condições de verdade de uma forma proposicional composta. As condições de verdade de uma forma proposicio-­‐
nal são as circunstâncias logicamente possíveis em que uma proposição com essa forma é verdadeira ou falsa. Assim, na tabela acima, a única circunstância logicamente possí-­‐
vel20 em que qualquer proposição com a forma “p e q” é verdadeira é quando p é verda-­‐
deira e q também o é. 20 Só a partir do Capítulo 7 compreenderemos melhor o que são estas circunstâncias logicamente possíveis. 28/10/2013 46 Assim, imaginemos que queremos saber se a proposição expressa pela seguinte frase é verdadeira ou falsa: “A arte é expressão de emoções e o verdadeiro artista sente com a razão.” Mesmo sem saber se as proposições que compõem esta conjunção são verdadeiras ou falsas, sabemos que há uma só circunstância logicamente possível em que a conjunção é verdadeira: é a circunstância em que ambas as proposições são ver-­‐
dadeiras. No caso da conjunção, temos quatro circunstâncias logicamente possíveis porque temos duas formas proposicionais simples, p e q. No caso da negação, tínhamos apenas duas circunstâncias logicamente possíveis porque tínhamos apenas uma forma proposi-­‐
cional. Em geral, sendo n o número de formas proposicionais simples, há 2n circunstân-­‐
cias logicamente possíveis que serão representadas no mesmo número de filas de uma tabela de verdade. Sendo n = 3, por exemplo, teremos 23 = 8. Exercícios 1.
2.
3.
4.
Defina as condições de verdade da conjunção. O que é uma tabela de verdade? O que são condições de verdade? Qual é o valor de verdade das seguintes conjunções? Justifique as suas respostas. a. Leibniz e Descartes eram franceses. b. Deus existe e nenhum número é divisível por dois. c. Há trezentos anos havia menos pessoas mas mais doenças mortais. 7. Disjunção A disjunção é o operador proposicional verofuncional que exprimimos em português com a palavra “ou”; por exemplo, “Leibniz era matemático ou filósofo.” A mesma palavra portuguesa, contudo, exprime dois operadores proposicionais diferentes: a disjunção simples, também conhecida como disjunção inclusiva, e a disjunção exclusiva. No exem-­‐
plo anterior sobre Leibniz trata-­‐se de uma disjunção inclusiva, pois não queremos ex-­‐
cluir a possibilidade de ele ser simultaneamente matemático e filósofo; mas na proposi-­‐
ção expressa pela frase “A Maria Eduarda está em Lisboa ou Sintra” queremos excluir a possibilidade de ela estar nos dois lugares ao mesmo tempo e por isso trata-­‐se de uma disjunção exclusiva. Na lógica clássica, e na filosofia em geral, quando se fala de disjun-­‐
ção temos em mente a inclusiva. Por definição, uma disjunção (inclusiva) é uma proposição composta que é falsa se e só se ambas as suas proposições componentes forem falsas, ideia que representa-­‐
mos facilmente na seguinte tabela: 28/10/2013 47 p q p ou q V V V V F V F V V F F F Na disjunção exclusiva, em contraste, uma proposição da forma “p ou q” é verdadeira se e só se as suas proposições componentes diferirem em valor de verdade. Exercícios 1. Quais são as condições de verdade da disjunção? 2. Faça uma tabela de verdade que represente as condições de verdade da disjunção exclusiva. 3. Qual é o valor de verdade das seguintes disjunções? Justifique a sua resposta. a. Marx escreveu O Capital ou o Manifesto do Partido Comunista. b. Séneca era alemão ou egípcio. c. Ou os cépticos mais radicais estão enganados ou o conhecimento não é possível. 8. Condicional Chama-­‐se “condicional” a qualquer proposição que tenha a forma lógica “se p, então q,” como “se uma sociedade for justa, então é igualitária.” As condicionais ocupam um lugar muito importante no nosso raciocínio, e levantam vários problemas lógicos, alguns dos quais são conhecidos desde a antiguidade grega. Em língua portuguesa, exprimimos condicionais de várias maneiras; tomando “se p, então q” como a expressão central, as seguintes são equivalentes a esta: Se p, q. q, se p. q, caso p. q, a menos que não-­‐p. q, a não ser que não-­‐p. Sempre que p, q. p é condição suficiente de q. q é condição necessária de p. As muitas maneiras de exprimir condicionais atestam a sua centralidade no nosso pen-­‐
samento; além disso, é comum confundir condicionais com raciocínios, usando indis-­‐
criminadamente “se p, então q” e “p, logo q,” como se fosse o mesmo.21 Um dos aspectos 21 As pessoas menos familiares com a língua portuguesa culta escrevem coisas como “se p, logo q,” o que é gramaticalmente errado, além de uma aberração lógica. 28/10/2013 48 que iremos esclarecer com rigor é precisamente a relação entre as condicionais (“se p, então q”) e os raciocínios (“p, logo q”). A condicional clássica é definida como uma proposição composta que é falsa se e só se a antecedente for verdadeira e a consequente falsa. A antecedente de uma condici-­‐
onal como “se Tolkien é um autor britânico, não é alemão” é a proposição de que Tol-­‐
kien é um autor britânico, sendo a consequente a outra proposição. A representação gráfica da condicional clássica é então a seguinte: p q se p, então q V V V V F F F V V F F V Esta concepção clássica de condicional tem sido defendida em filosofia desde que foi explicitada, na antiguidade grega, por Fílon, o dialéctico, também conhecido como Fílon de Mégara (circa 300 a.C.). É hoje amplamente pressuposta nos textos filósofos, mate-­‐
máticos e científicos, mas está longe de ser pacífica. Na verdade, levanta tantas dificul-­‐
dades que há uma imensa bibliografia dedicada a discutir quais serão as condições de verdade correctas das condicionais. Para se ter uma ideia breve e superficial das dificuldades que a interpretação clássica da condicional enfrenta, considere-­‐se a proposição expressa pela frase “se Só-­‐
crates nasceu em Lisboa, era africano.” Parece evidente que se trata de uma proposição falsa: não é verdade que se ele tivesse nascido em Lisboa, teria sido africano. Contudo, segundo o entendimento clássico da condicional, a proposição é verdadeira precisamen-­‐
te porque a antecedente é falsa. Por outro lado, parece evidente que a condicional “se Sócrates nasceu em Lisboa, era português” é verdadeira. Assim, a dificuldade é que pa-­‐
rece razoável pensar que algumas condicionais com antecedentes falsas são verdadei-­‐
ras, sendo outras falsas — mas do ponto de vista clássico, são todas invariável e vacua-­‐
mente verdadeiras. Uma maneira de reagir a esta dificuldade é defender que o entendimento clássico da condicional se aplica apenas a condicionais indicativas, e não a condicionais subjun-­‐
tivas. Nestas últimas, estamos a pensar como seriam as coisas caso fossem diferentes do que realmente são, o que não acontece no primeiro caso. A diferença ilustra-­‐se melhor vendo o contraste entre as seguintes duas condicionais: “se Fernando Pessoa não escre-­‐
veu o poema A Tabacaria, outra pessoa o escreveu” e “se Fernando Pessoa não tivesse escrito o poema A Tabacaria, outra pessoa o teria escrito.” No primeiro caso, estamos admitindo que talvez estejamos enganados quando pensamos que foi Pessoa quem es-­‐
28/10/2013 49 creveu aquele poema; ora, dado que o poema realmente existe, e dado que os poemas não se escrevem sozinhos, outra pessoa qualquer o escreveu, se não foi Pessoa quem o fez. No segundo caso, contudo, estamos imaginando uma circunstância contrária aos factos, no qual Pessoa não escreveu tal poema; nesta circunstância, seria razoável afir-­‐
mar, por exemplo, que o poema não existiria, pois os poemas não se escrevem sozinhos. Todavia, o que a condicional subjuntiva ou contrafactual afirma é que, nessa circunstân-­‐
cia, outra pessoa teria escrito o poema. Assim, a condicional indicativa “se Pessoa não escreveu o poema A Tabacaria, outra pessoa o escreveu” é intuitivamente verdadeira, ao passo que a condicional contrafactual “se Pessoa não tivesse escrito o poema A Taba-­‐
caria, outra pessoa o teria escrito” é intuitivamente falsa. Esta diferença entre condicionais indicativas e contrafactuais é clarificadora, e permite responder à dificuldade original: talvez interpretemos “se Sócrates nasceu em Lisboa, era africano” como se fosse a contrafactual “se Sócrates tivesse nascido em Lis-­‐
boa, teria sido africano.” Neste caso, a resposta do defensor da condicional clássica seria insistir que a sua teoria não se aplica a condicionais contrafactuais. Esta resposta é interessante, mas há exemplos de condicionais indicativas que intuitivamente são falsas, apesar de serem verdadeiras do ponto de vista clássico: “se houver vida na Lua, Sócrates é ateniense” é muito razoavelmente considerada falsa, in-­‐
tuitivamente, mas segundo o entendimento clássico é, uma vez mais, verdadeira, porque a antecedente é falsa. E neste caso não se trata de uma contrafactual. Uma resposta a esta dificuldade consiste em explicitar a diferença entre a mera condicional indicativa e a condicional indicativa que exprime uma conexão conceptual entre a antecedente e a consequente. A defesa desta posição começa por fazer notar que a condicional é usada de muitos modos, incluindo para exprimir relações causais: “se Eça acender um fósforo numa sala cheia de gás doméstico, dá-­‐se uma explosão.” Ora, a condicional clássica pretende captar apenas o aspecto verofuncional da condicional; tal como a palavra “e” tem outros aspectos que não os verofuncionais, também a condicio-­‐
nal os terá — mas tudo o que temos em mente na lógica clássica é captar o seu aspecto verofuncional, nada mais. O aspecto verofuncional de um operador diz respeito exclusi-­‐
vamente às relações entre os valores de verdade das proposições relevantes, sendo tudo o resto ignorado. Isso inclui ignorar não apenas conexões causais e temporais, mas tam-­‐
bém conexões conceptuais. Uma condição necessária, mas não suficiente, para haver uma conexão conceptu-­‐
al entre p e q é ser impossível que p seja verdadeira e q falsa. Por outras palavras, é pre-­‐
ciso que a condicional “necessariamente, se p, então q” seja verdadeira. Ora, quando consideramos a condicional anterior sobre a Lua, não vemos qualquer conexão entre a antecedente e a consequente; na verdade, nem sequer é verdadeiro que necessariamen-­‐
te, se houver vida na Lua, Sócrates é ateniense, pois parece possível que haja vida na 28/10/2013 50 Lua apesar de Sócrates não ser ateniense. Como não existe esta conexão necessária en-­‐
tre a antecedente e a consequente da condicional, consideramo-­‐la falsa; na lógica clássi-­‐
ca, contudo, não avaliamos se há ou não tal conexão, pois não se trata nem de avaliar a condicional “necessariamente, se houver vida na Lua, Sócrates é ateniense,” nem de ava-­‐
liar qualquer conexão conceptual eventualmente existente entre antecedente e conse-­‐
quente. Ilustrámos, muitíssimo brevemente, as dificuldades que o entendimento clássico da negação enfrenta. Resta-­‐nos fazer notar três aspectos importantes. Primeiro, se o entendimento clássico da condicional estiver correcto, aplica-­‐se exclusivamente a proposições condicionais, e não a condicionais que contenham impera-­‐
tivos, promessas ou outros tipos de frases que não exprimam proposições. Por exemplo, a condicional “se amanhã estiver Sol, vou à praia,” não é uma condicional indicativa porque exprime uma promessa, ainda que disfarçadamente. Se a interpretarmos como uma condicional clássica, teríamos de aceitar que uma condição necessária para o Sol dar um ar da sua graça é a pessoa que proferiu aquela condicional ir à praia, o que não parece razoável. Segundo, imaginemos que a condicional indicativa expressa em português não tem as condições de verdade da condicional clássica. Mesmo assim, a condicional clássi-­‐
ca existe, no sentido em que é um operador perfeitamente bem definido, mesmo que não corresponda a todos os usos da expressão “se” em português. E a verdade é que os filósofos, matemáticos e cientistas tendem a usar a expressão “se” com o significado ve-­‐
rofuncional clássico em mente, acontecendo apenas que na maneira comum de se usar a língua isso aparentemente não acontece em todos os casos. Sempre que em filosofia examinamos teses, teorias ou definições expressas em condicionais, consideramos que são falsas exclusivamente no caso de a antecedente ser verdadeira e a consequente fal-­‐
sa. Em terceiro e último lugar, há uma relação importante entre condicionais e raci-­‐
ocínios, o que talvez explique a confusão comum entre eles. A relação importante é esta: qualquer raciocínio é transformável numa condicional de tal modo que se o raciocínio original era válido, a condicional resultante é necessariamente verdadeira. Por exemplo, o raciocínio “Ulisses era casado, logo não era solteiro” é transformável na condicional expressa pela frase “se Ulisses era casado, não era solteiro”; dado que o raciocínio é vá-­‐
lido, a proposição resultante é necessariamente verdadeira. E vice-­‐versa: sempre que temos uma condicional necessariamente verdadeira, podemos transformá-­‐la num raci-­‐
ocínio válido.22 Ora, se confundirmos condicionais com raciocínios, é natural esperar 22 Esta relação não significa, contudo, que uma condicional seja um raciocínio nem que um racio-­‐
cínio seja uma condicional. Os raciocínios são válidos ou inválidos; e as condicionais, como qualquer pro-­‐
posição, são verdadeiras ou falsas. 28/10/2013 51 que uma condicional da forma “se p, então q” seja verdadeira exactamente nas mesmas circunstâncias em que o raciocínio “p, logo q” for válido, caso em que iremos pensar que a condicional terá de ser necessariamente verdadeira para ser verdadeira. E, claro, a condicional “se houver vida na Lua, Sócrates é ateniense” não é necessariamente verda-­‐
deira, dado ser possível que exista vida na Lua nas circunstâncias em que Sócrates não é ateniense. Assim, estaríamos a confundir a condicional simples da forma “se p, então q” com a condicional necessitada “necessariamente, se p, então q,” porque estaríamos a confundir a condicional simples com a sua expressão inferencial, “p, logo q.” Exercícios 1. Defina a condicional clássica. 2. Qual é a diferença entre uma condicional indicativa e uma condicional subjuntiva? Dê exem-­‐
plos esclarecedores. 3. Basta que uma condicional como “se p, então q” seja verdadeira para que a sua expressão inferencial, “p, logo q,” seja válida? Porquê? 4. Imagine que é verdadeiro que Deus existe, mas falso que a vida tenha sentido. Sob essa hipó-­‐
tese, qual é o valor de verdade das seguintes condicionais? a. Se Deus não existe, a vida não tem sentido. b. Se a vida tem sentido, Deus existe. c. Se Deus existe, a vida tem sentido. 5. Qual é valor de verdade das seguintes condicionais, segundo o entendimento clássico? Justi-­‐
fique as suas respostas. a. Se a água é H2O, o Egipto é um país africano. b. Se Marx não escreveu O Capital, a igualdade social é irrelevante. c. Se Platão nunca viveu em Atenas, a água não é H2O. 9. Bicondicional A bicondicional é o operador proposicional verofuncional que exprimimos em portu-­‐
guês com a expressão “se e só se” ou “se e somente se”; nas definições, exprime-­‐se tam-­‐
bém por vezes com a palavra “é.” A bicondicional especifica condições necessárias e su-­‐
ficientes e exprime uma conjunção entre duas condicionais, uma em cada direcção: “p se e só se q” é o mesmo que “se p, então q; e se q, então p.” Porque a bicondicional é enten-­‐
dida como a conjunção de duas condicionais, herda os problemas da condicional que discutimos muitíssimo brevemente na secção anterior. Por definição, a bicondicional clássica é a proposição composta que é verdadeira se e só se as duas proposições com-­‐
ponentes não diferirem em valor de verdade, o que dá origem à seguinte tabela de ver-­‐
dade: 28/10/2013 52 p q p se e só se q V V V V F F F V F F F V Exercícios 1. Defina a bicondicional clássica. 2. Quando uma bicondicional como “p se e só se q” é necessariamente verdadeira, os raciocí-­‐
nios “p, logo q” e “q, logo p” são válidos ou inválidos? Porquê? 3. Imagine que é verdadeiro que Deus existe, mas falso que a vida tenha sentido. Sob essa hipó-­‐
tese, qual é o valor de verdade das seguintes bicondicionais? a. Deus não existe se e só se a vida não tem sentido. b. A vida tem sentido se e só se Deus existe. c. Deus existe se e só se a vida não tem sentido. 4. Qual é valor de verdade das seguintes bicondicionais, segundo o entendimento clássico? Jus-­‐
tifique as suas respostas. a. A água é H2O se e só se o Egipto é um país africano. b. Marx não escreveu O Capital se e só se Platão não escreveu a República. c. Platão nunca viveu em Atenas se e só se a água não é H2O. 10. Símbolos lógicos Os cinco operadores verofuncionais serão a partir de agora representados por símbolos diferentes dos que habitualmente usamos na língua portuguesa: Língua portuguesa Lógica não ¬ e ∧ ou ∨ se → se e só se ⇄ Usa-­‐se por vezes a expressão “lógica simbólica,” o que é enganador, porque sugere que a lógica é uma linguagem que se distingue das outras, como a portuguesa, por ser simbó-­‐
lica. Ora, a verdade é que toda a linguagem é simbólica, incluindo a portuguesa. Claro que quem não conhece a lógica está habituado aos símbolos da língua portuguesa, mas não aos da lógica; mas tanto num caso como no outro estamos perante símbolos. 28/10/2013 53 Todavia, é verdade que há pelo menos uma diferença relevante entre os símbo-­‐
los da língua portuguesa e os da lógica: estes últimos, ao contrário dos primeiros, são explicitamente estipulados exactamente com o significado especificado, e só esse, ao passo que os primeiros incluem muitos significados misturados e misteriosos. Assim, é uma verdade banal que “→” tem exactamente o significado verofuncional que especifi-­‐
cámos, mas é um problema em aberto saber se tal significado capta adequadamente o significado relevante de “se.” Exercícios 1. Um operador proposicional binário é comutativo se e só se a ordem das proposições com-­‐
ponentes não altera o valor de verdade da proposição composta. Recorrendo a tabelas de verdade, determine quais dos operadores binários são comutativos e quais não o são. Justi-­‐
fique a sua resposta. 11. O âmbito dos operadores Sempre que temos mais de um operador proposicional numa proposição, temos de sa-­‐
ber qual é o âmbito de cada operador. Na proposição expressa pela frase “se não houver livre-­‐arbítrio, a vida é absurda” temos dois operadores. É mais fácil ver onde estão os operadores se explicitarmos a sua forma lógica: ¬p → q. A proposição é uma condicional, que tem como antecedente uma negação; isto é muito diferente de ser uma negação de uma condicional, que seria ¬(p → q). Os parêntesis são usados em lógica formal do mesmo modo que os usamos na matemática: para indicar o âmbito. Assim, do mesmo modo que (5 + 6) × 7 é uma multi-­‐
plicação e não uma soma, ao passo que 5 + (6 × 7) é uma soma e não uma multiplicação, também ¬p → q é uma condicional e não uma negação, ao passo que ¬(p → q) é uma ne-­‐
gação e não uma condicional. Nesta última forma proposicional, a negação tem um âm-­‐
bito maior do que do que a condicional: a negação opera sobre a própria condicional, ao passo que a condicional opera apenas sobre p e q. Já na primeira forma proposicional a negação tem um âmbito menor do que a condicional porque opera apenas sobre p, ao passo que a condicional opera sobre ¬p e q. Quando preenchemos uma tabela de verdade ou de validade, temos de começar pelos operadores de menor âmbito: p q ¬(p → q) V V F V V F V F F V F V F F F V 28/10/2013 54 Neste caso, preenchemos primeiro os valores da condicional (a cinzento), preenchendo depois os valores da negação. Por sua vez, estes resultam da negação do valor de verda-­‐
de respectivo dessa fila: V na primeira fila, F na segunda, etc. Em alguns casos, é óbvio qual é o âmbito adequado: “se existe mal no mundo, Deus não existe,” p → ¬q, é obviamente diferente de “não é verdadeiro que se existe mal no mundo, Deus não existe,” ¬(p → q). Noutros, contudo, a língua portuguesa é ambígua: “a arte não é expressão de emoções ou sentimentos” quererá dizer que não é verdadeiro que a arte seja expressão de emoções ou expressão de sentimentos, ¬(p ∨ q), ou quererá dizer que a arte não é expressão de emoções ou não é expressão de sentimentos, ¬p ∨ ¬q? Estas e outras ambiguidades nunca existem na lógica; neste caso, toda a fórmula tem de ter no máximo um operador proposicional principal. Por exemplo, p → q ∧ r é uma fórmula mal formada precisamente porque não especifica, usando parêntesis, qual dos dois é o operador principal ou de maior âmbito. Exercícios 1. Indique qual é o operador principal das formas proposicionais seguintes: a. ¬(p ∧ q) b. ¬p ∧ q c. ¬p ⇄ ¬q d. ¬(p ⇄ ¬q) e. p ⇄ (¬q ∧ p) f. p ∧ ¬(q ∧ p) g. ¬(p ∧ ¬(q ∧ p)) 2. Formalize as proposições expressas a seguir, discutindo as ambiguidades de âmbito que en-­‐
contrar: a. Sartre não era parisiense se, e só se, Paris era uma cidade alemã. b. Não é verdade que Sartre não era parisiense se, e só se, Paris era uma cidade alemã. c. Não há felicidade nem justiça. d. Não é verdade que há ou felicidade ou justiça. e. Não há felicidade ou justiça. 3. A conjunção é associativa porque (p ∧ q) ∧ r tem o mesmo valor de verdade do que p ∧ (q ∧ r). Recorrendo a tabelas de verdade, determine quais são os operadores proposicionais bi-­‐
nários associativos. Justifique a sua resposta. 12. Formalização Formalizar proposições é muito mais do que um mero exercício de lógica: é uma tenta-­‐
tiva de explicitar a forma lógica em causa, condição sine qua non para saber quais são as suas condições de verdade, o que por sua vez é crucial para avaliar a plausibilidade filo-­‐
sófica da tese em causa. 28/10/2013 55 Para formalizar uma proposição na lógica proposicional clássica começamos por encontrar todos os operadores proposicionais verofuncionais. Atribuímos então uma variável proposicional a cada proposição simples, não composta, que ocorre na proposi-­‐
ção. Na posse deste dicionário de atribuições, formalizamos a proposição em causa. O que obtemos é a forma proposicional da proposição original. Vejamos um exemplo: Proposição a formalizar: Se a vida for absurda, a morte é uma bênção. Dicionário: p: A vida é absurda. q: A morte é uma bênção. Formalização: p → q Evidentemente, este exemplo é muitíssimo simples; a realidade é bastante menos óbvia porque a língua portuguesa inclui muitas ambiguidades e perplexidades. A aplicação da lógica à linguagem comum é a parte mais importante da lógica, quando esta é estudada instrumentalmente, como um meio de melhorar a qualidade do nosso raciocínio e de avaliar mais rigorosamente o raciocínio dos filósofos ou outros autores. Todavia, essa aplicação não é em si uma actividade susceptível de ser formali-­‐
zada pela própria lógica; tudo o que podemos fazer é usar o nosso conhecimento da ló-­‐
gica formal, o nosso conhecimento da linguagem comum e o contexto das proposições ou raciocínios, para tomar decisões judiciosas quanto à forma lógica. Uma vez formali-­‐
zado um raciocínio ou uma proposição, temos instrumentos formais de completo rigor para nos dizer se o raciocínio é formalmente válido ou não, se a proposição é uma ver-­‐
dade lógica ou se é consistente com outra proposição; a formalização em si, contudo, está em muitos casos aberta a dúvidas, sobretudo em textos mais complexos, sendo difí-­‐
cil ver qual será realmente a proposição ou o raciocínio que torna mais interessante o pensamento do autor. Este é um dos casos em que há uma grande diferença entre uma abordagem so-­‐
bretudo filosófica dos textos dos filósofos e uma abordagem exclusivamente histórica. Neste último caso, queremos saber principalmente qual era o pensamento do autor, sendo irrelevante se esse pensamento é mais plausível ou menos. No primeiro caso, in-­‐
teressa-­‐nos apenas descobrir ideias interessantes filosoficamente, sejam ou não as que o autor realmente tinha em mente: ao formalizar um raciocínio de Kant, por exemplo, estamos muito mais preocupados em encontrar um raciocínio interessante filosofica-­‐
28/10/2013 56 mente, do que em saber se esse era realmente o raciocínio de Kant. E, claro, quando há mais de uma formalização interessante de uma proposição ou raciocínio de um filósofo, interessa-­‐nos discuti-­‐las todas, sem que nos aflija a questão de saber qual deles tinha o autor em mente: essa é uma questão histórica, importante certamente, mas não é uma questão filosófica. Apesar de a formalização não ser uma tarefa mecânica, ao contrário da constru-­‐
ção de uma tabela de verdade ou de validade, há três princípios orientadores que nos ajudam a fazer um trabalho melhor. Primeiro, não podemos esquecer que a lógica proposicional clássica só devolve resultados relevantes quando as proposições e raciocínios a analisar não dependem de outros elementos lógicos que não os cinco operadores verofuncionais. Um raciocínio que dependa da quantificação, da predicação, do uso de nomes próprios, dos advérbios “necessariamente” ou “possivelmente,” e de muitos outros factores será inadequada-­‐
mente analisado na lógica proposicional clássica. Por exemplo, “Alguns jovens são pes-­‐
soas gentis e leais, logo algumas pessoas gentis e leais são jovens” será analisado como “p, logo q” na lógica proposicional clássica, não captando por isso elementos lógicos cru-­‐
ciais para a sua validade. Segundo, temos de ter em mente que a linguagem comum inclui várias subtile-­‐
zas, nomeadamente no que respeita à negação. Por exemplo, na proposição expressa pela frase “A obra de Thomas Kuhn é imortal” é razoável considerar que estamos ape-­‐
nas a negar que a obra de Thomas Kuhn seja mortal, pelo que diremos que a sua forma lógica é ¬p. A ideia aqui é que “imortal” esconde uma negação: queremos realmente di-­‐
zer que não é mortal. Todavia, considere-­‐se a proposição expressa a seguir: “Não há imortais”. Neste caso, temos de considerar que a sua forma lógica proposicional é a ne-­‐
gação da proposição de que há imortais; se tentarmos eliminar a negação de “imortais” obtemos a proposição de que não é verdadeiro que não há mortais, o que não capta de modo algum a proposição original. Neste caso, o facto de estar envolvida a quantificação (“há”), que estudaremos no Capítulo 4, torna impossível a eliminação da negação pre-­‐
sente em “imortais”. Além disso, temos de ter a consciência de que “infeliz” não é ade-­‐
quadamente captado pela mera negação da felicidade: quando Kafka está infeliz isso é muito diferente de Kafka apenas não estar feliz. Estar infeliz implica não estar feliz, mas não estar feliz não implica estar infeliz, pelo que tratar “infeliz” como se fosse apenas a negação da felicidade é um erro. O que estes dois casos mostram é que temos de ser ju-­‐
diciosos quando pensamos que encontramos negações ocultas. Terceiro, temos de ter em mente que a lógica clássica, seja apenas a proposicio-­‐
nal ou não, não tem recursos para lidar com a indexicalidade. Esta é uma das razões pe-­‐
las quais é importante distinguir as frases das proposições. Considere-­‐se a frase profe-­‐
rida por Epicteto em 134 a.C.: “Apetece-­‐me agora uma salada de tomate.” Esta mesma 28/10/2013 57 frase, proferida por David Hume em 1775, exprime uma proposição muitíssimo diferen-­‐
te. A primeira exprime a proposição de que apetece a Epicteto uma salada de tomate no ano 134 d.C., a segunda de que apetece a David Hume uma salada de tomate em 1775. Assim, ao formalizar raciocínios e proposições, temos de eliminar adequadamente os indexicais (termos como “eu,” “ontem,” etc.), o que inclui referências temporais para nós óbvias: é verdadeiro que Sócrates viveu, mas é falso que ele esteja agora vivo. Apesar disso, em contextos menos rigorosos, não encontraremos dificuldades se considerarmos que “Hume existe” exprime a proposição de que Hume existe, apesar de, a rigor, a pro-­‐
posição verdadeira expressa é a de que Hume existiu entre 1711 e 1776. Exercícios 1. Formalize as proposições expressas a seguir: a. Se tudo está determinado, o livre-­‐arbítrio é impossível. b. Sempre que chove, o presidente fica eloquente. c. Ou Deus existe ou a vida não faz sentido. d. O Homem é um bípede sem penas. e. Nem Kant nem Hegel sabiam inglês. f. Ser um artefacto não é uma condição suficiente para que algo seja uma obra de arte. 13. Negar proposições Quem não sabe lógica tende a pensar que a negação de “se a vida é absurda, a morte é um alívio” é “se a vida é absurda, a morte não é um alívio” ou “se a vida não é absurda, a morte não é um alívio.” A verdade, porém, é que nenhuma das proposições expressas por estas duas frases é a negação correcta da proposição original. A negação correcta de uma condicional não é outra condicional, mas antes uma conjunção: “a vida é absurda, mas a morte não é um alívio.” Usando tabelas de verdade, vemos qual é a negação correcta da condicional, ten-­‐
do em mente que a negação de uma proposição é outra proposição cujas condições de verdade sejam opostas: na circunstância em que uma é V, a outra é F, e na circunstância em que uma é F, a outra é V. Assim, façamos três tabelas de verdade em sequência: p q p → q p → ¬q ¬p → ¬q p ∧ ¬q V V V F F F V F F F V F F V V F V V V V F V V V F V F F F F F F V V V V V V F V 28/10/2013 58 Como se vê, só p ∧ ¬q é F em todas as circunstâncias em que p → q é V, sendo V em todas as circunstâncias em que esta última é F. O que significa que só aquela conjunção é a ne-­‐
gação correcta da condicional. A tabela seguinte resume as negações correctas de cada tipo de proposição com-­‐
posta: ¬(p → q) p ∧ ¬q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ¬p ∧ ¬q ¬(p ⇄ q) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Como se vê, a negação de uma conjunção é uma disjunção com ambas as proposições disjuntas negadas, sendo a negação de uma disjunção uma conjunção com ambas as conjuntas negadas. À negação correcta de conjunções e disjunções chama-­‐se por vezes “leis de De Morgan.”23 Quanto à negação da bicondicional, é uma disjunção de conjunções. Se tivermos em mente que o “é” das definições, como vimos, é para ser entendido como uma bicon-­‐
dicional, compreendemos agora por que razão examinar criticamente uma definição é uma questão de ver se temos o definiendum sem o definens, ou este último sem o pri-­‐
meiro: o que estamos a explorar é a hipótese de a negação da bicondicional ser falsa. Quando se nega mal uma proposição o que acontece é uma confusão entre a sua negação genuína ou total e a negação parcial. Uma negação parcial de uma condicional, por exemplo, limita-­‐se a negar a antecedente, a consequente ou ambas, mas sem negar a própria condicional — por exemplo, ¬p → ¬q. E o mesmo acontece quando se nega par-­‐
cialmente uma disjunção: ¬p ∨ ¬q não é a negação total de p ∨ q porque não nega a pró-­‐
pria disjunção, limitando-­‐se a negar cada uma das suas proposições componentes. Exercícios 1. Negue correctamente as proposições expressas a seguir: a. Paris e Madrid são cidades chinesas. b. Nem Kant nem Orwell acreditavam nas divindades gregas. c. Um raciocínio é válido se e só se for formalmente válido. d. Se Boécio defendia os universais, não há razão para ser nominalista. e. Ou foi Ursula LeGuin ou Gabriel García Márquez quem escreveu O Elogio da Loucura. 23 Augustus De Morgan, 1806-­‐1871, foi o lógico e matemático britânico que explicitou estas nega-­‐
ções. 28/10/2013 59 14. Consistência, contraditoriedade e implicação O estudo da lógica tem no seu centro o estudo da validade. Todavia, a validade ou a in-­‐
validade é apenas uma relação, entre outras, que ocorre sempre que temos um conjunto de proposições. Vejamos três outros pares de relações importantes: a consistência e in-­‐
consistência, a contraditoriedade e contrariedade, e a implicação. •
Um conjunto de proposições é consistente se e só se há pelo menos uma circunstân-­‐
cia em que são todas verdadeiras. Por exemplo, p → q é consistente com ¬p → ¬q porque há duas circunstâncias em que são ambas verdadeiras: p q p → q ¬p → ¬q V V V F V F V F F F V V F V V V F F F F V V V V A negação da consistência é a inconsistência: •
Um conjunto de proposições é inconsistente se e só se não há qualquer circunstância em que sejam todas verdadeiras. À inconsistência chama-­‐se também por vezes “contrariedade,” o que é diferente da con-­‐
traditoriedade: •
Um conjunto de proposições é contraditório se e só se não há qualquer circunstância em que sejam todas verdadeiras, nem qualquer circunstância em que sejam todas falsas. A contraditoriedade é a relação que, na lógica clássica, existe entre qualquer proposição e a sua negação. Por exemplo, p ∧ q é inconsistente com ¬p ∧ ¬q porque não há qualquer circuns-­‐
tância em que as duas conjunções sejam verdadeiras; todavia, as duas conjunções não são contraditórias, são apenas contrárias, como se pode ver na tabela, porque há cir-­‐
cunstâncias em que são ambas falsas: 28/10/2013 60 p q p ∧ q ¬p ∧ ¬q V V V F F F V F F F F V F V F V F F F F F V V V Quanto à implicação, é precisamente a relação existente entre a premissa ou premissas de um raciocínio formalmente válido e a sua conclusão: •
Um dado conjunto de proposições implica uma proposição q se e só se não há qual-­‐
quer circunstância em que todas as proposições desse conjunto sejam verdadeiras e q seja falsa. Estamos agora em melhores condições para voltar a discutir a ideia de que em todos os raciocínios dedutivos válidos a conclusão estaria contida nas premissas. Isso acontece em alguns casos: na forma inferencial que tem p, q como premissas e q como conclusão, esta está obviamente contida nas premissas e é realmente uma forma dedutivamente válida. Contudo, na forma que tem p → q, ¬q como premissas e ¬p como conclusão, e que também é dedutivamente válida, a conclusão obviamente não está contida nas premis-­‐
sas; na verdade, o que na premissa há de mais próximo da conclusão é a sua contraditó-­‐
ria (!), p, mas nem mesmo esta proposição está contida nas premissas, pois p é apenas a antecedente de uma proposição composta que, essa sim, faz parte das premissas. O que acontece, efectivamente, é que as formas proposicionais p → ¬q e ¬q implicam ¬p; mas o conceito de implicação é sinónimo do conceito de validade dedutiva, de modo que dizer que numa dedução válida as premissas implicam a conclusão, ainda que pareça infor-­‐
mativo, é o mesmo do que dizer que numa dedução válida a dedução é válida, o que, apesar de inequivocamente verdadeiro, não prima pela sagacidade. Estamos também em condições de compreender por que razão é falsa a ideia po-­‐
pular de que no raciocínio o que conta é a coerência. Uma vez que a coerência é o mes-­‐
mo do que a consistência, esta ideia é indefensável porque tudo o que é necessário para que um raciocínio seja consistente é que exista pelo menos uma circunstância em que tanto as premissas como a conclusão sejam verdadeiras. Ora, isto é precisamente o que acontece com muitíssimos raciocínios inválidos; o que os torna inválidos não é serem inconsistentes, mas antes as premissas não implicarem a conclusão. Além disso, há raci-­‐
ocínios que são válidos precisamente porque as proposições que os constituem são in-­‐
consistentes. De modo que um sinal seguro de desconhecimento da lógica elementar é pensar que a consistência, ou a coerência, é uma propriedade relevante do raciocínio válido. 28/10/2013 61 Exercícios 1. Explique por que razão todas as proposições contraditórias são inconsistentes. 2. Explique por que razão nem todas as proposições inconsistentes são contraditórias. 3. Explique por que razão qualquer raciocínio que tenha premissas inconsistentes é dedutiva-­‐
mente válido. 4. Dê dois exemplos de raciocínios obviamente inválidos, mas coerentes. 15. Equivalências A equivalência é outra relação importante entre proposições: •
As proposições p e q são equivalentes se e só se têm exactamente as mesmas condi-­‐
ções de verdade. Ou seja, p e q são equivalentes se e só se p ⇄ q. Os cinco operadores verofuncionais usados na lógica clássica não são os únicos operadores verofuncionais possíveis. O operador português “nem… nem…” também é verofuncional: p q nem p nem q ¬p ∧ ¬q V V F F F F V F F F F V F V F V F F F F V V V V Contudo, como se vê na tabela acima, o operador “nem… nem…” tem exactamente as mesmas condições de verdade do que ¬p ∧ ¬q, pelo que se trata de operadores verofun-­‐
cionais equivalentes. Ora, isto acontece com todos os operadores verofuncionais biná-­‐
rios logicamente possíveis: cada um desses operadores é equivalente a uma composição de outros que efectivamente usamos na lógica clássica. Deste modo, com os cinco ope-­‐
radores clássicos temos uma capacidade expressiva bastante maior do que poderia pa-­‐
recer à primeira vista: somos capazes de exprimir todos os operadores verofuncionais binários logicamente possíveis. Eis uma tabela com todos os operadores verofuncionais logicamente possíveis: p q 1 ∨ 3 4 → 6 ⇄ ∧ 9 10 11 12 13 14 15 16 28/10/2013 V V V V V V V V V V F F F F F F F F V F V V V V F F F F V V V V F F F F F V V V F F V V F F V V F F V V F F 62 F F V F V F V F V F V F V F V F V F Os operadores clássicos estão devidamente explicitados. Contudo, todos os outros são susceptíveis de serem expressos combinando os primeiros. O operador 12, por exemplo, é equivalente à negação da condicional: ¬(p → q); o obsessivo operador 1 é equivalente a (p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q) — ou, na verdade, a qualquer verdade lógica. O operador 3 é equi-­‐
valente a ¬p → ¬q; o operador 10 é a disjunção exclusiva. Além disso, o operador 16 é a negação do 1, o 15 é a negação do 2, o 14 é a negação do 3, e assim por diante. Assim, vemos que os cinco operadores verofuncionais clássicos são completos, no sentido em que com eles podemos exprimir quaisquer outros operadores verofunci-­‐
onais. Na verdade, basta a negação e qualquer um dos outros quatro operadores clássi-­‐
cos para que consigamos exprimir todos os outros. A condicional, por exemplo, é equi-­‐
valente a uma disjunção: ¬p ∨ q. Dominar algumas das equivalências mais elementares é um instrumento cogniti-­‐
vo importante, nomeadamente porque permite ver de maneira mais imediata que al-­‐
guns raciocínios são válidos. Eis algumas dessas equivalências elementares, usando o trigrama para indicá-­‐las: p → q ≡ ¬p ∨ q p ⇄ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) p ∨ q ≡ ¬p → q p ∨ q ≡ ¬(¬p ∧ ¬q) p ∧ q ≡ ¬(¬p ∨ ¬q) p ≡ ¬¬p Exercícios 1. Determine as combinações de operadores clássicos que são equivalentes aos operadores 4, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15 e 16. 2. Exprima a disjunção usando apenas a negação e a condicional. 3. Exprima a conjunção usando apenas a negação e a condicional. 4. Exprima a condicional usando apenas a negação e a conjunção. 5. Exprima a condicional usando apenas a negação e a disjunção. 6. Use tabelas de verdade para verificar as equivalências explicitadas no texto. 16. Verdades e falsidades lógicas Uma verdade lógica é uma proposição verdadeira em qualquer circunstância logicamen-­‐
te possível, sendo uma falsidade lógica uma proposição falsa em qualquer uma dessas circunstâncias. Quando uma proposição não é uma verdade lógica nem uma falsidade lógica, é logicamente contingente. As tabelas de verdade permitem ver se uma dada 28/10/2013 63 forma proposicional é uma verdade lógica, uma falsidade lógica ou uma contingência lógica: p p → p p ∧ ¬p p → ¬p V V F F F F F V F V V V Assim, “se a vida é bela, a vida é bela” é uma verdade lógica porque não há qualquer cir-­‐
cunstância logicamente possível em que seja falsa, sendo “há e não há conhecimento sem crença” uma falsidade lógica porque é falsa em qualquer circunstância logicamente possível. Já “se a autonomia é um valor importante, não é um valor importante,” apesar de parecer uma falsidade lógica, é apenas uma contingência lógica, pois há uma circuns-­‐
tância logicamente possível em que a proposição é verdadeira e outra em que é falsa. Nem todas as verdades lógicas são tautologias, se com este último termo quere-­‐
mos dizer uma proposição que não é informativa. Claro que quando pensamos em ver-­‐
dades lógicas muito simples, como no exemplo anterior, não são informativas. Contudo, há verdades lógicas complexas que são muitíssimo informativas, como o teorema da in-­‐
completude de Gödel de 1931.24 Do mesmo modo, seria uma confusão afirmar que a ma-­‐
temática não é informativa porque temos em mente apenas operações como 2 + 2 = 4; acontece que há muitas outras operações matemáticas muitíssimo informativas, e sem elas não teríamos as teorias da física que temos hoje. Uma proposição é uma verdade lógica desde que seja verdadeira em todas as cir-­‐
cunstâncias logicamente possíveis, mas o que é uma circunstância logicamente possí-­‐
vel? Será logicamente possível, por exemplo, que Ulisses seja casado apesar de ser sol-­‐
teiro? O sentido de “logicamente possível” relevante na lógica formal é exclusivamente o que resulta de se considerar apenas a forma lógica das proposições. Ora, considerando apenas a forma lógica da proposição de que Ulisses era casado e solteiro, obtemos p ∧ ¬q, sendo p “Ulisses era casado” e q “Ulisses era solteiro”: assim, é logicamente possível, no sentido formal do termo, que Ulisses seja casado apesar de ser solteiro, ainda que isso não seja realmente possível. A circunstância logicamente possível em que Ulisses é casado e solteiro não é uma circunstância realmente possível; na lógica formal, porém, tudo o que podemos determinar é se uma dada circunstância é logicamente possível nesse sentido muitíssimo fraco que resulta de se ter em consideração apenas para a forma lógica. Todas as verdades lógicas são equivalentes entre si, o que significa que uma ver-­‐
dade lógica extremamente complexa, surpreendente e informativa é equivalente a uma 24 Este teorema estabelece que se uma teoria lógica suficientemente forte para exprimir verdades aritméticas for consistente, não tem recursos suficientes para provar todas as verdades aritméticas. 28/10/2013 64 banalidade como p → p. Isto poderá ser surpreendente, se esquecermos o que significa equivalência, neste contexto. Não se trata de equivalência semântica, nem de qualquer outro tipo de equivalência; trata-­‐se exclusivamente de equivalência quanto às condições de verdade. Assim, afirmar que duas ou mais proposições são logicamente equivalentes é afirmar apenas que são verdadeiras ou falsas exactamente nas mesmas circunstâncias logicamente possíveis; nada mais. Exercícios 1. Recorrendo a tabelas de verdade, determine se as formas proposicionais seguintes são ver-­‐
dades lógicas, falsidades lógicas ou contingências lógicas: a. (p ⇄ q) → p b. (p → q) → q c. (p ∧ ¬p) → q d. p → (q ∨ ¬q) e. (p ∧ q) → (q ∨ r) f. (p ∨ r) → p 17. Tabelas de validade Podemos usar sequências de tabelas de verdade para verificar se um dado raciocínio é formalmente válido, desde que seja relativamente simples e desde que a sua validade dependa exclusivamente dos operadores verofuncionais. Ilustremos este método par-­‐
tindo do seguinte exemplo: “Se há livre-­‐arbítrio, nem tudo está determinado; contudo, tudo está determinado; logo, não há livre-­‐arbítrio.” Para ver se este raciocínio é válido, começamos por identificar as premissas e conclusão, o que neste caso é fácil porque o raciocínio apresenta já uma estrutura lógica transparente. O passo seguinte é atribuir uma variável proposicional a cada uma das proposições simples que constituem o racio-­‐
cínio: p: Tudo está determinado. q: Há livre-­‐arbítrio. Estas são as únicas proposições que ocorrem no raciocínio. O passo seguinte é formali-­‐
zar o raciocínio, usando as atribuições estipuladas acima: p → q, ¬q ⊨ ¬p. O símbolo “⊨” chama-­‐se “martelo semântico” e indica que a forma proposicional seguinte é uma con-­‐
sequência semântica das anteriores, exclusivamente no sentido formal do termo; ou se-­‐
ja, significa que não há qualquer circunstância em que as formas proposicionais anterio-­‐
res sejam verdadeiras e a posterior falsa. 28/10/2013 65 Tudo o que temos agora de fazer é uma tabela de verdade para cada proposição do raciocínio, colocando-­‐as numa sequência a que chamaremos “tabela de validade”:25 p q p → q ¬q ¬p V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V Na coluna da forma proposicional da primeira premissa, p → q, encontramos as suas condições de verdade; porque é uma condicional, esta premissa será falsa se e só se a antecedente for verdadeira e a consequente falsa. Na coluna seguinte encontramos a forma proposicional da segunda premissa, ¬q, sob a qual encontramos as suas condi-­‐
ções de verdade. Finalmente, na última coluna encontramos a forma proposicional da conclusão, ¬p, também com as suas condições de verdade. Tudo o que temos agora a fa-­‐
zer é examinar a tabela, tendo em mente a definição de validade dedutiva: num raciocí-­‐
nio dedutivo válido é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão fal-­‐
sa, ou seja, não há circunstância alguma em que as premissas sejam verdadeiras e a con-­‐
clusão falsa. Tendo em mente esta definição, só nos interessam aquelas filas nas quais todas as premissas são simultaneamente verdadeiras; no presente caso, só na quarta fila isso acontece. Ora, nessa circunstância, a conclusão também é verdadeira. Logo, o raciocínio é válido. É válido porque não há qualquer circunstância em que as duas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Há circunstâncias em que a conclusão é falsa, mas isso não torna o raciocínio inválido porque nessas mesmas circunstâncias as premissas não são todas verdadeiras. Contraste-­‐se com a seguinte forma inferencial inválida: p q p → q ¬p ¬q V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V Esta forma inferencial é inválida porque há uma circunstância em que as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa: trata-­‐se da circunstância representada na terceira fila 25 Chama-­‐se-­‐lhe por vezes também “inspector de circunstâncias.” 28/10/2013 66 da tabela. O que excluímos na validade dedutiva é precisamente a possibilidade de ter premissas verdadeiras e conclusão falsa; é isso que é a validade. O raciocínio “Se há justiça social, há igualdade; mas não há justiça social; logo, não há igualdade” talvez pareça válido. Contudo, não o é, porque a análise da sua forma lógica, que encontramos na tabela acima, diz-­‐nos não apenas que há uma circunstância em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa, como nos diz também que cir-­‐
cunstância é essa: é a circunstância na qual não há justiça social mas há igualdade; nela, as premissas são ambas verdadeiras e a conclusão é falsa. Saber se um dado raciocínio dedutivo é válido é saber se há alguma circunstância em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Trata-­‐se, pois, de um exercí-­‐
cio de imaginação, pois o que conta não é se as premissas são realmente verdadeiras e a conclusão também, mas antes se conseguimos imaginar alguma circunstância em que as premissas sejam verdadeiras, ainda que na realidade não o sejam, e a conclusão falsa. Acontece que a nossa imaginação deixa muitas vezes a desejar; as tabelas de validade permitem-­‐nos descobrir que circunstâncias há que tornam uma dada forma inferencial inválida. São, pois, poderosos auxiliares da imaginação cognitiva. Além disso, as tabelas de validade tornam vívida a definição de validade dedutiva porque vemos que é impossível um raciocínio com uma forma lógica como p ∨ q, p → r, ¬r ⊨ q, por exemplo, ter premissa verdadeira e conclusão falsa, mesmo que isso não seja imediatamente óbvio. As tabelas de validade só dão resultados correctos quando as aplicamos a racio-­‐
cínios cuja validade ou invalidade decorra exclusivamente dos cinco operadores propo-­‐
sicionais verofuncionais; quando a validade ou invalidade decorre de outros factores que não esse, detectar a invalidade da forma inferencial por meio de uma tabela não significa que o raciocínio era realmente inválido. Vejamos dois exemplos. Considere-­‐se o raciocínio “Alguns romancistas são pessoas muito ricas, logo al-­‐
gumas pessoas muito ricas são romancistas.” Vemos intuitivamente que é um raciocínio válido, e é-­‐o de facto; contudo, a sua forma proposicional é p ⊨ q, que é obviamente in-­‐
válida, o que confirmamos se fizermos a respectiva tabela de validade. O que aconteceu? Aconteceu que a validade daquele raciocínio não depende exclusivamente dos operado-­‐
res proposicionais verofuncionais; em particular, depende de outros elementos lógicos importantes (quantificação e predicação), que iremos estudar no Capítulo 3. Assim, este primeiro exemplo mostra-­‐nos que quando estabelecemos a invalida-­‐
de de uma dada forma proposicional recorrendo a um tabela, isso não significa que todo o raciocínio com essa forma é inválido, mas antes que alguns deles o são. Considere-­‐se agora o raciocínio “Ulisses é casado; logo, não é solteiro.” A sua forma lógica é p ⊨ ¬q. Como é evidente, esta forma lógica é inválida: 28/10/2013 67 p q p ¬q V V V F V F V V F V F F F F F V A tabela diz-­‐nos que há uma circunstância em que a premissa é verdadeira e a conclusão falsa: é a circunstância em que Ulisses é casado e solteiro. Acontece que esta circunstân-­‐
cia não é uma possibilidade semântica, dado o significado de “casado”: uma pessoa ca-­‐
sada não é solteira. Assim, tudo o que tabela nos diz é que o raciocínio em causa tem uma forma lógica inválida, ou seja, o raciocínio não é formalmente válido. Daqui não se conclui correctamente, contudo, que o raciocínio não é válido. Qualquer raciocínio formalmente inválido que seja semanticamente válido trans-­‐
forma-­‐se facilmente num raciocínio formalmente válido: basta acrescentar uma premis-­‐
sa que explicite a relação semântica relevante. No nosso caso, acrescentar a premissa “Se Ulisses é casado, não é solteiro,” permite-­‐nos obter um raciocínio formalmente váli-­‐
do. Isto não significa, contudo, que o raciocínio original, sem essa premissa era inválido; significa apenas que era formalmente inválido. Além disso, a premissa que acrescentá-­‐
mos é uma verdade semântica, mas não uma verdade lógica; o que significa que a vali-­‐
dade semântica anterior, que com essa premissa se transforma numa validade formal, inclui agora uma verdade semântica, pelo que o fenómeno semântico original não foi eliminado, mas antes deslocado do raciocínio para a premissa. Na verdade, qualquer raciocínio inválido se transforma facilmente num modus ponens acrescentando uma condicional que tenha como antecedente uma das premissas e como consequente a conclusão: “Nietzsche declarou a morte de Deus, logo Deus exis-­‐
te” é obviamente inválido, mas acrescentando a premissa “Se Nietzsche declarou a mor-­‐
te de Deus, Deus existe” ficamos com um raciocínio válido. Assim, se as validades semâ-­‐
nticas são apenas entimemas porque facilmente as transformamos em validades for-­‐
mais, qualquer raciocínio inválido é um entimema porque facilmente o transformamos numa validade formal. Uma vez que é falso que qualquer raciocínio inválido seja um en-­‐
timema, segue-­‐se que nem todas as validades semânticas são apenas entimemas. Exercícios 1. Teste a validade das seguintes formas inferenciais recorrendo a tabelas de validade: a. p ∧ q, ¬p ⊨ q b. p ∨ q, ¬p ⊨ q c. p → q ⊨ p ⇄ q d. p ⇄ q ⊨ p → q e. p → q ⊨ q ∧ p 28/10/2013 68 f. p → q ⊨ q → p g. p → q, q → p ⊨ ¬p ∨ q 2. Recorrendo a tabelas de validade, determine a validade ou invalidade formal dos seguintes raciocínios: a. Ou o livre-­‐arbítrio é possível ou a nossa vida é uma ilusão. O livre-­‐arbítrio é impossí-­‐
vel. Logo, a nossa vida é uma ilusão. b. Deus existe. Logo, a felicidade eterna é possível. c. Se Sócrates tem razão, a vida por examinar não vale a pena ser vivida. Logo, a vida por examinar não vale a pena ser vivida. d. Aristóteles era grego. Aristóteles não era grego. Logo, Deus existe. e. A justiça é possível se, e só se, Platão tiver razão. Platão não tem razão. Logo, a justi-­‐
ça não é possível. 18. Variáveis de fórmula Considere-­‐se o seguinte raciocínio: Se o amor e a arte integram a vida boa, a frivolidade e a superficialidade são os nossos inimigos. Se são estes os nossos inimigos, devemos resistir-­‐lhes corajo-­‐
samente. Uma vez que o amor e a arte realmente integram a vida boa, conclui-­‐se que devemos resistir corajosamente à frivolidade e à superficialidade. Vejamos qual é a sua forma lógica, começando para isso por atribuir variáveis proposi-­‐
cionais a cada uma das suas proposições: p: O amor integra a vida boa. q: A arte integra a vida boa. r: A frivolidade é nossa inimiga. s: A superficialidade é nossa inimiga. t: Devemos resistir corajosamente à frivolidade. u: Devemos resistir corajosamente à superficialidade. Estas são todas as proposições simples que ocorrem no raciocínio, ou seja, proposições que não têm quaisquer operadores proposicionais verofuncionais. A formalização do raciocínio é então a seguinte: (p ∧ q) → (r ∧ s) (r ∧ s) → (t ∧ u) p ∧ q ∴ (t ∧ u) Quem conhece a lógica elementar vê que o raciocínio é obviamente válido, em parte porque a estrutura mais geral que vemos nele é esta: A → B B → C A 28/10/2013 69 ∴ C A está em lugar de p ∧ q, B em lugar de r ∧ s, e C em lugar de t ∧ u. O que acontece quan-­‐
do temos uma forma inferencial válida é que desde que este seja mantido, não importa qual é a complexidade das proposições componentes: a forma inferencial continua váli-­‐
da. Assim, a seguinte forma lógica é também um exemplo da anterior: p → (p ∨ q) (p ∨ q) → q p ∴ q Neste caso, o que está em lugar de A é p, o que está em lugar de B é p ∨ q, estando q em lugar de C. Iremos usar as primeiras letras maiúsculas do alfabeto latino, A, B, C, etc., como variáveis de fórmula, continuando a usar p, q, r, etc., como variáveis proposicio-­‐
nais. Uma variável de fórmula está no lugar de qualquer proposição, seja ela composta ou simples, ao passo que uma variável proposicional está exclusivamente no lugar de proposições simples (proposições que não têm qualquer operador proposicional vero-­‐
funcional). As seguintes tabelas são esclarecedoras: Proposição Forma proposicional A vida é bela mas absurda. Somerset Maugham foi um romancista, assim como Victor Hugo. Se a vida não for absurda, é bela. Se Deus não existir, tudo é permitido. p ∧ q ¬p → q Raciocínio Se a vida é bela mas absurda, a arte não é a salvação. Porém, a arte é a salvação. Logo, a vida não é bela mas absurda. Se Somerset Maugham foi um romancista, assim como Victor Hugo, a arte não é apenas denúncia política. Todavia, a arte nada é senão denúncia política. Logo, não é verdadeiro que Maugham e Hugo foram romancistas. Forma inferencial simples Forma inferencial geral (p ∧ q) → ¬r r A → B ¬B ∴ ¬A ∴ ¬(p ∧ q) Como se vê, temos uma abstracção progressiva que começa nas proposições e nos raci-­‐
ocínios, avança para as formas proposicionais e inferenciais, e termina na forma infe-­‐
rencial mais geral. Do mesmo modo que proposições diferentes têm a mesma forma proposicional, e vários raciocínios a mesma forma inferencial, também várias formas 28/10/2013 70 inferenciais simples têm a mesma forma inferencial geral. As formas inferenciais sim-­‐
ples são captáveis usando variáveis proposicionais, ao passo que as formas inferenciais gerais só são captáveis usando variáveis de fórmula; estas últimas, contudo, captam também as formas inferenciais simples. Considere-­‐se agora a seguinte forma inferencial geral: A → B, ¬A ⊨ ¬B. Esta forma é inválida no sentido em que alguns raciocínios com esta forma lógica são inválidos, mas isso é compatível com a existência de raciocínios válidos que tenham esta forma lógica, como é o caso de p → ¬(q → q), ¬p ⊨ q → q: p q p → ¬(q → q) ¬p q → q V V F F V F V V F F F V F V F V V F V V V F F V F V V V Como se vê, não há qualquer circunstância em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa — porque não há qualquer circunstância em que a conclusão seja falsa, pois é uma verdade lógica. Esta forma inferencial é válida, ainda que vacuamente válida. Assim, é falso que seja inválido todo o raciocínio que tenha uma forma inferenci-­‐
al inválida: quando uma forma inferencial é inválida, isso significa que alguns raciocí-­‐
nios com essa forma são inválidos, e não que todos o são. 19. Validades dedutivas elementares O número de formas inferenciais dedutivamente válidas captáveis na lógica proposicio-­‐
nal clássica é infinito. Contudo, há um número relativamente restrito de formas inferen-­‐
ciais que são a um tempo muito usadas e bem conhecidas desde a antiguidade clássica. Por essa razão, muitas delas receberam nomes, por vezes latinos. Reconhecer estas formas inferenciais válidas é um instrumento cognitivo impor-­‐
tante porque nos poupa o trabalho de verificar, caso a caso, se são válidas; do mesmo modo, poderíamos verificar que 5 + 7 = 12 mas não o fazemos porque já o sabemos. Além disso, algumas destas formas inferenciais válidas são semelhantes a formas infe-­‐
renciais inválidas que, por essa mesma razão, são particularmente enganadoras. Eis en-­‐
tão algumas dessas formas inferenciais e respectivas designações comuns: Modus ponens A → B, A ⊨ B Modus tollens A → B, ¬B ⊨ ¬A 28/10/2013 Falácia da afirmação da consequente A → B, B ⊨ A Falácia da negação da antecedente A → B, ¬A ⊨ ¬B 71 Dilema A ∨ B, A → C, B → C ⊨ C Contraposição A → B ⊨ ¬B → ¬A Falácia da inversão da condicional A → B ⊨ B → A As designações comuns seguintes são ligeiramente enganadoras porque, como veremos no Capítulo 11, o termo “silogismo” é usado em duas acepções diferentes; no presente contexto, é usado como sinónimo de “dedução” e não no sentido específico da teoria aristotélica. Silogismo hipotético (transitividade da condicional) A → B, B → C ⊨ A → C Silogismo disjuntivo A ∨ B, ¬A ⊨ B As formas inferenciais válidas seguintes não têm uma designação comum, apesar de se-­‐
rem elementares e óbvias para quem domina a lógica: A ⊨ A ∨ B B ⊨ A ∨ B A ∧ B ⊨ A A ∧ B ⊨ B Exercícios 1. Identifique a forma lógica dos seguintes raciocínios, indicando se são válidas ou inválidas: a. Se a felicidade for possível, a vida faz sentido. Logo, se a vida fizer sentido, a felicida-­‐
de é possível. b. Se Sartre tiver razão, temos livre-­‐arbítrio. Mas não temos livre-­‐arbítrio. Logo, Sartre não tem razão. c. Se a coragem é filha do medo, o medo é pai da coragem. Logo, se o medo não é pai da coragem, a coragem não é filha do medo. d. Se temos livre-­‐arbítrio, Sartre tinha razão. Ora, Sartre tinha razão. Logo, temos livre-­‐
arbítrio. e. Se os animais não humanos sentem dor, são dignos de protecção moral. Mas os ani-­‐
mais não humanos não sentem dor. Logo, não são dignos de protecção moral. f. Se Deus existe, a vida tem sentido. Ora, Deus existe. Logo, a vida tem sentido. 2. Prove que o número de formas inferenciais dedutivamente válidas captáveis na lógica pro-­‐
posicional clássica é infinito. 20. Tabelas de validade com três variáveis Como vimos, o número de filas de uma tabela de verdade é determinado pelo número de variáveis proposicionais: com duas variáveis proposicionais a tabela tem quatro filas, tendo oito se tiver três variáveis, dezasseis se tiver quatro, etc., dobrando o número 28/10/2013 72 sempre que se acrescenta uma variável. Quando fazemos uma tabela apenas com quatro filas, é fácil não nos enganarmos, pois é só uma questão de colocar VV, VF, FV e FF. Po-­‐
rém, como fazer com oito ou dezasseis filas, para garantir que não nos enganamos? Uma maneira de o fazer é começar sempre por fazer uma tabela com as quatro combinatórias já bem conhecidas: VV VF FV FF Se olharmos com atenção, vemos um padrão simples: na primeira coluna, lendo na di-­‐
recção descendente, encontramos dois V e depois dois F, ao passo que na segunda colu-­‐
na nos limitamos a variar o V com o F. Para aumentar esta combinatória para o dobro, limitamo-­‐nos a acrescentar uma coluna à esquerda com quatro V seguidos de quatro F; na segunda coluna mantemos o padrão de valores de verdade combinados dois a dois, e na terceira coluna valores de verdade combinados um a um: VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF Se tivéssemos de acrescentar mais uma coluna, seria só repetir o processo: oito V segui-­‐
dos de oito F, e na segunda coluna os valores ficariam emparelhados quatro a quatro, na terceira ficariam emparelhados dois a dois, e na última um a um. Eis então a tabela de validade do dilema: A B C A ∨ B A → C B → C C V V V V V V V V V F V F F F V F V V V V V V F F V F V F F V V V V V V F V F V V F F F F V F V V V F F F F V V F 28/10/2013 73 Verificamos assim que o dilema é uma forma inferencial válida, uma vez que não há qualquer circunstância em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Exercícios 1. Verifique a validade ou invalidade das formas inferenciais elementares indicadas na secção anterior, recorrendo a tabelas de validade. 21. Conclusão Temos agora uma ideia mais precisa do que é a lógica formal, porque temos uma ideia mais precisa do que é a forma lógica. Além disso, pudemos também aprofundar a nossa compreensão do que é a validade dedutiva, formal e informal. No caso da primeira, as tabelas de validade ajudam sobremaneira a ver se há ou não alguma circunstância logi-­‐
camente possível na qual as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Contudo, o que estudámos até agora não é ainda, propriamente falando, uma te-­‐
oria rigorosa da lógica formal. O que estudámos foram algumas aplicações da lógica formal que são instrumentais para nos ajudar a raciocinar melhor, e que nos ajudam também a começar a compreender o que é uma teoria da lógica formal. Além disso, es-­‐
clarecemos e aprofundamos vários conceitos importantes para compreender a lógica formal e o raciocínio. Contudo, só no próximo capítulo estudaremos a lógica formal pro-­‐
priamente dita. Estudo complementar Sobretudo em língua inglesa, há muitas introduções de qualidade à lógica formal; em muitas delas encontramos vários exercícios de formalização de proposições e raciocí-­‐
nios — de certo modo, a parte mais difícil da lógica. Newton-­‐Smith 1985, cap. 1-­‐2, tem vários exercícios, nomeadamente de formalização, alguns com conteúdo filosófico. 28/10/2013 74