TUTORIAL – 1R
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
Matemática
Divisibilidade
Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número,
resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero.
Antes de começar a fazer os exercícios, vamos fazer uma pequena revisão dos critérios de
divisibilidade:
1. Um número é divisível por 2 quando ele é par, isto é, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplo: 24, 542, 100008.
2. Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é
divisível por 3.
Exemplo: 72 é divisível por 3 pois 7 + 2 = 9, que é divisível por 3.
3. Um número é divisível por 4 quando terminar em 00 ou seus dois últimos algarismos formarem
um número divisível por 4.
Exemplo: 1500 é divisível por 4 pois termina em 00 : 2624 também é divisível por 4 pois 24 é divisível
por 4.
4. Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.
Exemplo: 125 é divisível por 5 pois termina em 5 ; 120 é divisível por 5 pois termina em 0.
5. Um número é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
Exemplo: 420 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
6. Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou seus 3 últimos algarismos formarem
um número divisível por 8.
Exemplo: 2000 é divisível por 8 pois termina em 000 ; 3184 também é divisível por 8, pois 184 é
divisível por 8.
7. Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é
divisível por 9.
Exemplo: 423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9, que é divisível por 9.
8. Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
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Exemplo: 10, 100, 1000, 150, 200 são números divisíveis por 10 pois terminam em zero.
Números Primos
Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.
Exemplos :
a) 2 é um número primo, pois D(2) = { 1,2}
b) 3 é um número primo, pois D(3) = { 1,3}
c) 5 é um número primo, pois D(5) = { 1,5}
d) 7 é um número primo, pois D(7) = { 1,7}
e) 11 é um número primo, pois D(11) = { 1, 11}
Obs. : O conjunto dos números primos é infinito.
P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,....}
Como reconhecer se um número é primo?
O matemático e astrônomo grego Eratóstenes, que viveu há cerca de 2.200 anos, inventou um método
que permite obter os números primos naturais. Esse método é conhecido, hoje como Crivo de
Eratóstenes.
Dispomos os números numa tabela e eliminamos os números que não são primos :
inicialmente eliminamos o 1, que não é primo.
2 é primo, mas os outros múltiplos de 2 não são primos e devem ser eliminados.
3 é primo ,mas os outros múltiplos de 3 não são primos por isso devem ser eliminados .
seguindo-se o mesmo raciocínio para 5, 7 e 11 eliminamos os múltiplos de cada um deles.
Os números que restaram e estão circulados são os primos.
Modo prático de reconhecer se um número é primo
a) O número é par:
O único número par que é primo é o 2. Os outros não são primos.
b) O número é ímpar:
Dado um número ímpar, verificamos se esse número é primo dividindo-o, sucessivamente pelos
números primos (3,5,7,11,17...) , até o quociente seja menor ou igual ao divisor.
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Exemplo:
Verificar se o número 43 é primo:
43: 3 = 14 resto 1 (14 é maior que 3)
43 : 5 = 8 resto 3 ( 8 é maior que 5)
43 : 7 = 6 resto 1 ( 6 é menor que 7)
- nenhuma das divisões é exata ;
- o quociente 6 é menor que o divisor 7 ;
- logo, 43 é primo.
Números Compostos
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplos :
a) 4 é um número composto, pois D(4) = { 1,2,4}
b) 6 é um número composto, pois D(6) = { 1,2,3,6}
c) 8 é um número composto, pois D(8) = { 1,2,4,8}
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número
pode ser fatorado
Exemplo :
140 I 2
070 I 2
035 I 5
007 I 7
001
Procedimentos
Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .
Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2.
O processo é repetindo até que o quociente seja 1.
Outros exemplos :
a) decompor em fatores primos o número 72
72 I 2
36 I 2
18 I 2
09 I 3
03 I 3
01
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b) Decompor em fatores primos o número 525
525 I 3
175 I 5
035 I 5
007 I 7
001
Quantidade de Divisores de um Número Natural
O conjunto formado por todos os divisores de um número natural é finito. Veremos agora como calcular
a quantidade de divisores. Primeiramente, iremos fatorar o número. Usaremos, como exemplo, o
número 72, cuja fatoração foi feita acima e quantidade de divisores iremos calcular.
Vimos que 72 = 23 . 32. Assim, 72 será dividido por potências de base 2 e por potências de base 3.
As potências de base 2 que o dividem são 20, 21, 22 e 23. Portanto, 72 pode ser dividido por 4 potências
de base 2.
As potências de base 3 que o dividem são 30, 31 e 32. Portanto, 72 pode ser dividido por 3 potências de
base 2.
Então, seu número de divisores será igual a 4 x 3, ou seja, 72 possui 12 divisores.
Os divisores de 72 são : D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.
Regra Prática: Fatora-se o número cuja quantidade de divisores se deseja calcular. Adiciona-se 1
ao valor do expoente de cada fator primo e multiplica-se.
Exercícios
1. Quantos são os números divisíveis por 6 entre 70 e 100 ?
a)
b)
c)
d)
e)
4
5
6
7
8
2. Qual é o maior número de três algarismos distintos divisível por 6?
a)
b)
c)
d)
e)
996
896
984
986
990
3. Um número é composto de três algarismos distintos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas
é 5. Determine os possíveis valores do algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por
3.
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas o algarismo 8
2, 5 e 8
0e8
2e5
-1, 2 e 5
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4. ‘’Também são atribuídas aos pitagóricos, com dúvidas quanto ao período em questão, as definições
de números perfeitos, conforme a soma dos divisores próprios do número (excluindo-se o próprio
número) seja igual ao número em questão’’. (Boyer, Carl B.)
Assim, por exemplo, 6 é o menor dos números perfeitos, pois seus divisores próprios são 1, 2 e 3, tal
que 1 + 2 + 3 = 6.
Dos números abaixo listados, o que representa um número perfeito é o
a)
b)
c)
d)
e)
36, um quadrado perfeito.
60, o número de minutos em uma hora.
29, o número de dias de fevereiro em um ano bissexto.
28, o número de dias do ciclo lunar.
12, o número de meses do ano.
5. O código secreto do sistema de segurança do Museu de Arte Contemporânea é formado por uma
sequência de cinco algarismos. Um secretário esqueceu qual era o código. Lembrava-se apenas de
seus quatro algarismos iniciais, que eram 1, 2, 7 e 9. Recorreu, então, a sua agenda eletrônica, onde
tinha escrito alguns lembretes que ele usaria numa situação como a que estava vivendo agora. Estava
escrito o seguinte: o número do código secreto é divisível por 11.
Assim sendo, qual o código?
a)
b)
c)
d)
e)
12790
12791
12792
12793
12799
6. Ao escolher sua senha bancária, formada por quatro dígitos, Marcelo decidiu usar o seguinte critério:
um número começando pelo algarismo 1, seguido por dois algarismos iguais (diferentes de 1) e que
seja divisível por 9. Quantas são as possibilidades?
a)
b)
c)
d)
e)
7
8
9
10
12
7. Este é um jogo de números cruzados, parecido com as palavras cruzadas. Você deverá substituir os
espaços por um algarismo, de modo que os números formados estejam de acordo com as seguintes
instruções :
Horizontais :
A – Um número primo.
B – O maior número de três algarismos distintos que seja divisível por 5.
C – Um número maior que 200 e menor que 300 que seja divisível por 13.
Verticais :
A – Um número que é divisível por 6 e por 16.
B – Um número menor do que 100, com dois algarismos iguais e que não é divisível por 5.
C – Um número par com dois algarismos ímpares diferentes e um par, tal que o maior algarismo é o
dobro do menor.
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A
B
C
A
B
C
Após resolvida a cruzadinha, a soma de todos os algarismos que a compões será igual a
a)
b)
c)
d)
e)
40
41
42
43
44
8. Determine o algarismo m tal que o número 88888m seja divisível por 7.
a)
b)
c)
d)
e)
m=0
m=8
m =7
m=4
m=1
9. Se n é um número natural ímpar, então n2 – 1 é um número necessariamente divisível por
a)
b)
c)
d)
e)
9
8
7
5
3
10. Determine o menor número natural que possui exatamente 10 divisores.
a)
b)
c)
d)
e)
48
16
81
126
128
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Respostas:
1) (B) 5. São os números 72, 78, 84, 90 e 96 (formam uma Progressão Aritmética de razão 6).
2) (C) 984.
3) (A) Apenas o algarismo 8 dará um número divisível por 3, ao formar o número 582.
4) (D) Os divisores próprios de 28 são 1, 2, 4, 7 e 14, cuja soma é igual a 28.
5) (D) 12793.
6) (C) 1224; 1332; 1440; 1449; 1557; 1665; 1773; 1881; 1998. São 9 possibilidades.
7) (C) 42. A cruzadinha ficará assim :
1
0
3
9
8
5
2
8
6
8) (B) 8.
9) (B) Sendo n um número ímpar, ele é da forma 2k + 1.
Assim, n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1.
Ou seja, n2 – 1 = 4k2 + 4k.+ 1 – 1.
Teremos : n2 – 1 = 4k2 + 4k  n2 – 1 = 4k( k + 1). Se k é par, n2 – 1 é múltiplo de 8, pois todo par é
múltiplo de 2 e 4 x 2 = 8. Se k é ímpar, (k + 1) é par e o que dissemos anteriormente se repete.
10) (A)10 = 10 x 1 = 5 x 2.
Assim, o número procurado é 24 x 3, ou seja, 48. As outras opções serão maiores de 48:
34 x 2; 29 ; 39.
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