UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
Os Números Primos Sob a Visão da Ciência e da Educação no
Ensino Fundamental.
Por: Ronald Coutinho Pinto
Orientador
Prof. Antonio Fernando Vieira Ney
Rio de Janeiro
2005
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
Os Números Primos Sob a Visão da Ciência e da Educação no
Ensino Fundamental.
Apresentação
de
monografia
à
Universidade
Candido Mendes como condição prévia para a
conclusão do Curso de Pós-Graduação “Lato Sensu”
em Docência do Ensino Superior.
Rio de Janeiro
2005
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Agradecimentos
Agradeço a Deus pela oportunidade de ter realizado este trabalho, pelo dom da
vida e a todos que colaboraram pela realização desta obra, em especial ao professor
Antonio Fernando Vieira
Ney que me orientou nesse trabalho. Merece destaque
também, o meu amigo Eduardo Vieira Marques que muito me ajudou nos debates de
problemas relacionados ao tema.
Entre as pessoas que colaboraram indiretamente estão a minha família e a minha
noiva Vanessa que me apóiam e me incentivam em minha carreira.
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Dedicatória
Este trabalho é dedicado aos meus amigos da UCAM, aos professores desta
faculdade que me educaram nesse curso e aos demais, à minha família, à minha noiva,
aos alunos e leitores que se sentem fascinados por trabalhos de matemática.
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“...tudo falhou porque eu sempre confiei,
em última análise, nas proposições que eram “ evidentes’’
do ponto de vista Euclidiano.”
Adrien- Marie Legendre
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Resumo
Este trabalho conta um pouco da história dos números primos culminando em
atuais conceitos, mostra a argumentação de Euclides para a prova de que o conjunto dos
primos é infinito, algumas utilidades de tal conceito ao longo da história e na atualidade,
um algoritmo que revela se um número é primo, o crivo de Eratóstenes( algoritmo que
gera alguns números primos), além de responder a perguntas tais como: “Como
trabalhar o conceito de número primo no currículo de matemática atualmente
desenvolvido em nossas escolas, no ensino fundamental? Será que existe uma
fórmula matemática que gere todos os números primos? Caso exista essa fórmula,
o que isso mudaria em nossas vidas?” Pois tais problemas se tornaram a motivação
dessa monografia.
Há um capítulo que trata da formação de professores e do que é proposto pelos
PCNs para o ensino de matemática no ensino fundamental e uma análise de alguns
livros didáticos de matemática referentes ao assunto – números primos, comparando os
resultados com o que é proposto pelos PCNs.
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Metodologia
Para a confecção dessa monografia foram utilizados livros didáticos para a
análise do assunto apresentado no ensino fundamental. Livros que contam a história dos
números primos e os parâmetros curriculares nacionais, além de alguns sites
consultados na Internet que enriqueceram tal trabalho. Tais materiais serviram para
responder as perguntas propostas alcançando assim os objetivos dessa monografia.
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Sumário
Resumo................................................................................................................
Introdução...........................................................................................................
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Capítulo I – A história dos números primos....................................................
1.1. Contando a história dos números primos.......................................................
1.2. Definição de número primo...........................................................................
1.3. Definição de número composto ou não-primo...............................................
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Capítulo II – A Infinidade dos Primos..............................................................
2.1. O conjunto dos números primos é um conjunto infinito............................
2.2. Algumas fórmulas que geram alguns números primos e como saber se um
número é primo.....................................................................................................
2.3. Curiosidades relacionadas a números primos e sua importância no dia-adia do ser humano.................................................................................................
15
15
Capítulo III – Números Primos na Educação e A Formação de Professores
3.1. Os números primos no ensino fundamental e médio.....................................
3.2. A formação de professores.............................................................................
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Conclusões...........................................................................................................
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Bibliografia..........................................................................................................
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Introdução
A Matemática assim como as outras ciências sempre causaram no homem
enorme fascínio por revelarem ao mundo a verdade sobre assuntos que por serem
desconhecidos eram encarados como mistérios e associados à religião ou criava-se um
mito para tal explicação. Foi assim antes de descobrirmos que a terra era arredondada.
Hoje sabemos que na verdade ela tem a forma de um elipsóide. Foi assim antes de irmos
à lua. Foi assim antes de levarmos uma sonda a marte. O universo ainda esconde
grandes mistérios que um dia serão desvendados pela matemática aliada às outras
ciências.
Os professores têm o desafio e o compromisso de tornar realidade para todo
aluno um ensino prazeroso e competente da Matemática. Pensando nisso e observando a
dificuldade do aluno em assimilar tal assunto, este trabalho aponta alguns problemas
que desestimulam o aluno durante a aprendizagem de tal tópico, mostra uma forma de
apresentar ao aluno tal conceito – números primos – e evidencia a sua importância por
estar presente em seu cotidiano, embora para muitos professores isso passe por
despercebido. Do interesse em aprofundamento no assunto e através de pesquisas,
surgiram as seguintes perguntas: “Como trabalhar o conceito de número primo no
currículo de matemática atualmente desenvolvido em nossas escolas, no ensino
fundamental? Será que existe uma fórmula matemática que gere todos os números
primos? Caso exista essa fórmula, o que isso mudaria em nossas vidas?” Esses são
os problemas que se tornaram a motivação dessa monografia.
De acordo com os jornais, em 2001 um grupo de indianos havia descoberto um
algoritmo que gerava números primos. Era a pura ciência, a história acontecendo. Que
conseqüências tal descoberta poderia trazer à humanidade? Tal assunto desperta nos
homens muita curiosidade e escrever um bom trabalho sobre o mesmo é apenas
conseqüência desse enorme fascínio. Eis a oportunidade. Além disso, observa-se uma
enorme dificuldade por parte dos alunos para entenderem um conceito tão simples e ao
mesmo tempo tão presente na vida do ser humano.
Inicialmente será apresentado ao leitor um enfoque histórico do tema seguido de
algumas definições, tratando de algumas fórmulas que geram números primos e a prova
de que o conjunto dos números primos é infinito, além de curiosidades sobre o assunto.
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Depois disso, será discutido através dos (PCN’s) a maneira como tal assunto deve ser
abordado no ensino fundamental e como tal assunto é apresentado atualmente nos livros
didáticos. Também será mostrada a importância de tal assunto por estar presente no diaa-dia do ser humano.
O objetivo desse trabalho é, segundo a perspectiva da educação matemática,
abordar o conceito de número primo e mostrar sua importante utilidade ao longo da
história e na atualidade sem deixar de mencionar os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN’s) pois, segundo os especialistas eles ainda são o melhor instrumento de
orientação para todos os professores que querem mudar sua maneira de lecionar e, com
isso, combater o fracasso escolar. Além disso, tal trabalho pode servir como fonte de
consulta e(ou) formação continuada dos professores de modo a aumentar a qualidade do
ensino superior, principalmente nas áreas relativas ao magistério.
Será apresentado um capítulo que trata um pouco da história dos números
primos, da definição de número primo e de algumas outras definições que considero
relevante para o entendimento do trabalho. Depois disso, será apresentado um capítulo
onde será demonstrado através de argumentações de Euclides que o conjunto dos
números primos é infinito, apresentarei algumas fórmulas que geram alguns números
primos, além de mencionar curiosidades relacionadas ao assunto e a importância no dia
a dia dos números primos na vida do ser humano. Haverá um capítulo onde será feita
uma avaliação de alguns livros didáticos com o objetivo de observar a maneira como tal
tema é abordado no ensino fundamental e médio comparando o resultado com as
propostas dos PCNs, sem deixar de comentar a formação de professores. Finalmente o
capítulo final, é a conclusão do trabalho onde será feita uma reflexão e análise dos
objetivos alcançados.
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CAPÍTULO I
A história dos números primos
1.1. Contando a história dos números primos
Este trabalho tem o cuidado de apresentar matérias recentes e compatíveis sobre
os números primos para os alunos do nível fundamental e médio e futuros professores,
serão apresentados assuntos modernos que possam interessar ao aluno, sem contudo
deixar de abordar fatos do passado que contribuíram para a evolução do conhecimento
sobre estes números.
Seguindo nesta linha, será dado maior ênfase às definições e aplicações, sendo
reservadas demonstrações somente para aquilo que for estritamente necessário, já que o
objetivo não foi escrever um texto formal sobre a aritmética dos inteiros, mas sim
levantar material que possa ser aproveitado como fonte de consulta para alunos e
professores. Nesta parte inicial, será apresentado um resumo histórico, vindo na
seqüência algumas definições que se relacionam com os números primos.
De acordo com o livro, História da Matemática de Carl Boyer, os números
primos são estudados pelos aritméticos desde as civilizações mais antigas. Entretanto, é
na Grécia que identificaremos a Teoria dos Números tal como a estudamos hoje. Entre
os problemas da Teoria dos Números abordados pelos gregos estão: O cálculo do MDC
entre dois números, a determinação dos números primos menores que um dado inteiro e
a demonstração de que há infinitos números primos. Estes problemas constam do mais
famoso texto herdado dos Gregos, Os Elementos escrito pelo matemático Euclides, que
viveu em Alexandria por volta de 300 a.C.
Por que o nome primo para os números primos?
Certamente os estudantes acham, assim como a maioria das pessoas, que a
palavra primo tem analogia com alguma forma de parentesco. Porém, esta hipótese é
falsa, já que a palavra primo dentro deste contexto refere-se à idéia de primeiro, estando
sua origem na concepção numérica dos pitagóricos.
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A noção de número primo foi introduzida por Pitágoras em 530 a.C. A Escola
Pitagórica dava grande importância ao número um (1), que era chamada de unidade (em
grego: monad). Os demais números naturais (2, 3, 4, 5, 6, etc.) eram considerados como
múltiplos da unidade (gerados por ela), e por isso recebiam a denominação número (em
grego: arithmói). É importante registrar que os escritos de Pitágoras perderam-se ao
longo do tempo, tendo as suas idéias registradas em fragmentos de textos escritos várias
gerações depois dele. Contudo, estes fragmentos são unânimes em afirmar que Pitágoras
iniciou o estudo dos números primos. O mais antigo texto de matemática que chegou
completo ao nosso tempo e que desenvolve o estudo dos números primos é o Elementos
de Euclides. Como Euclides seguia a Escola Pitagórica, ele num dos livros que tratam
da Teoria dos Números, define número primo de forma compatível com as idéias
pitagóricas: Número primo é todo aquele que só pode ser medido através da
unidade.
Acima vimos a documentação grega. Agora, iremos falar do surgimento da
denominação latina primus. O livro do grego Nikomachos (100 d.C), Arithmetiké, é
depois de Elementos, o mais antigo livro da Teoria dos Números que chegou até nossos
dias. Este livro foi a base do primeiro livro sobre a Teoria dos Números escrito em
latim: De Institutione Arithmetica, do romano Boethius (500 d.C). Neste livro é que
aparece, pela primeira vez, a denominação numerus primus como tradução da
tradicional Protós arithmói preservada de Euclides por Nikomachos. O livro de
Boethius foi durante seiscentos anos, a única fonte de estudos da Teoria dos Números
na idade Média. Em 1200 iniciou-se o renascimento científico e matemático do Mundo
Cristão, com o afluxo das obras árabes e a tradução das obras gregas. Nesta época, surge
um dos mais influentes livros da Matemática: o Líber Abacci, de Fibonacci. Como ele
tinha estudado entre os muçulmanos do Norte da África, preferiu adotar primus ao invés
do incomposto preferido pelos árabes, consagrando desta forma em definitivo a
denominação número primo em toda a Europa.
1.2. Definição de número primo
Falamos sobre a origem do nome primo para os números primos, agora podemos
utilizar a definição atual e mais freqüentemente encontrada nos livros voltados para o
ensino fundamental e médio; aquela que, de acordo com Giovanni e Giovanni Jr
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(p.125), afirma que número primo é todo número natural maior do que 1 e que é
divisível apenas por si próprio e pela unidade. Da definição, podemos escrever uma
pequena seqüência de números primos: ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...). Facilmente
observamos, que com exceção do 2(único par primo), todos os demais primos são
ímpares. Também, podemos concluir que terminando em cinco (5) existe apenas um
único primo, que é o próprio 5 , já que os demais são todos múltiplos de 5, sendo por
isso, chamados de números não-primos ou compostos, cuja definição veremos em
seguida.
1.3. Definição de número composto ou não – primo.
De acordo com César Polcino Milies (p.78), podemos concluir que número
composto é todo número natural maior que 1 obtido pelo produto de números primos.
Neste caso, ele pode ser decomposto num produto de fatores primos, que em outras
palavras significa dizer que ele é fatorável em números primos, como por exemplo:
21 = 3 x 7 , 36 = 2 x 2 x 3 x 3 , 70 = 2 x 5 x 7. Pelo seu caráter básico, essa propriedade
é conhecida como o Teorema Fundamental da Aritmética, cujo enunciado, segundo
César Polcino Milies (p.77), afirma: Todo inteiro diferente de 0, 1 e –1 pode ser
expresso como produto de números primos, de forma única, a menos da ordem dos
fatores. Observando os exemplos de números fatorados, vemos que não podemos mais
continuar com a fatoração, de onde concluímos que a sua decomposição chegou no
limite. Neste ponto temos condições de responder uma das perguntas que mais
freqüentemente aparece: Por que o número 1 não é primo?
Para esta questão existem inúmeras respostas. A primeira resposta é imediata se
recorrermos para a definição: número primo é todo número inteiro maior do que 1 e
que é divisível apenas por si próprio e pela unidade. Claramente temos que o 1 está
excluído, porém a força da definição não responde plenamente ao “Por que ?”
A segunda resposta pode ser creditada ao Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo inteiro diferente de 0, 1 e –1 pode ser expresso como produto de números
primos, de forma única, a menos da ordem dos fatores. A chave da resposta está na
expressão “de forma única”, pois se o 1 fosse considerado primo não teríamos a
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unicidade, já que haveria infinitas fatorações para um dado número. Por exemplo:
12 = 2 x 2 x 3, mas,
12 = 1 x 2 x 2 x 3 como também,
12 = 1 x 1 x 2 x 2 x 3 ou ainda,
12 = 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3
Enfim, poderíamos continuar indefinidamente com esta construção o que nos
levaria a ter infinitas fatorações, contrariando desta forma o Teorema.
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CAPÍTULO II
A Infinidade dos Primos
2.1.O conjunto dos números primos é um conjunto infinito
Há cerca de 2300 anos, na proposição 20 do livro IX de seu livro Elementos,
Euclides apresentou uma demonstração de que a quantidade de números primos é
inesgotável. A argumentação de Euclides é bastante simples. Supondo que exista um
número finito de primos, sendo P o maior deles. Agora, peguemos o número N = 2 x 3 x
5 x7 x 11 x ...... x P + 1, que é o produto de todos os primos existentes, acrescido de
uma unidade. Esse número N, ou é primo ou composto. Se for primo, encontramos um
N, primo, maior que P, o que gera uma contradição. Se for composto, pelo Teorema
Fundamental da Aritmética, N será fatorado por um primo diferente de 2, 3, 5, ....., P,
pois ao ser dividido por qualquer um destes deixa resto 1. Em qualquer caso, teremos
encontrado um novo número primo, contradizendo a nossa hipótese inicial. A
demonstração de Euclides é a mais simples de todas as conhecidas sobre este resultado.
Sua vantagem em relação as demais é a sua simplicidade, pois requer apenas o domínio
do TFA.
2.2. Algumas fórmulas que geram alguns números primos e como saber
se um número é primo.
Podemos apresentar algumas fórmulas que geram alguns números primos, mas
até hoje ainda não descobriram uma fórmula capaz de gerar todos, os infinitos números
primos. Se isso acontecer algum dia, haverá uma revolução tecnológica no mundo, quer
seja, na biologia, informática, matemática, astronomia e até mesmo na economia.
Existem polinômios que geram uma boa quantidade de números primos, como,
P(x) = x2 + x + 41 ou P(x) = 2x3 – 489 x2 +39847 x – 1084553
A maneira mais simples de saber se um número é primo ou não é tentar
encontrar algum divisor desse número, pois se houver, esse número é composto. De
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acordo com livros didáticos analisados, que são utilizados no ensino fundamental e que
serão citados posteriormente, o algoritmo que é apresentado nesses livros aos alunos
consiste em dividir o número em questão pelos números primos menores que ele, até
obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhuma das divisões for exata, o
numero é primo.
Mas se o número é muito grande isso se torna inviável. Para isso existem outros
algoritmos mais complicados que podem ajudar nesse processo de descoberta e isso
vem desafiando matemáticos e cientistas do mundo inteiro, pois os algoritmos que são
conhecidos se tornam inviáveis quando o número é muito grande por requererem muito
tempo para tal verificação. Por algoritmo, entende-se um processo envolvendo uma
quantidade finita de passos, aplicáveis a qualquer número N e que nos vão indicar se N
é um número primo, ou, se N é composto, e quais são os seus fatores primos.
O grande desafio hoje é o de achar um algoritmo eficiente, tal que este contenha
tão poucas operações quantas as possíveis, e que, além disso, necessite de menos tempo
e menos custo, ao ser realizado.
Além das fórmulas apresentadas, também existem alguns algoritmos capazes de
gerar alguns números primos, os quais irei apenas apontar, pois o entendimento de tais
algoritmos requer um conhecimento mais apurado da matemática, o que fugiria da
proposta desse trabalho.
São apresentados alguns algoritmos: O Crivo de Erastótenes , algoritmos de
Lucas, algoritmo de Brillhart, Lehmer & Selfridge; algoritmo do matemático Pepin.
2.3.Curiosidades relacionadas a números primos e sua importância no
dia-a-dia do ser humano
Os números primos são ainda hoje fonte de pesquisa e estudo no mundo inteiro
por estarem relacionados a várias áreas da ciência e por desafiarem estudiosos com
problemas ainda em aberto que atingem cifras inimagináveis como oferta para quem
solucioná- los.
Os números primos existem em qualquer sistema de numeração. Isso nos faz
acreditar na sua universalidade. O homem possui dez dedos, por isso o nosso sistema
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numérico é baseado em dez algarismos (base decimal). Os computadores usam o
sistema binário (base 2) e hexadecimal (base 16). Os Babilônicos tinham um sistema de
base 60 (60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora). Em todos estes
sistemas existem também números primos. Astrônomos enviam mensagens ao espaço,
baseadas em números primos na tentativa de obterem respostas de outras formas de
vida. Na biologia ou na química, os números primos são associados a elementos
químicos criando tabelas onde números compostos fatorados geram substâncias
conhecidas.
Mas de acordo com o livro números inteiros e criptografia RSA, a aplicação
mais importante dos números primos é a criptografia que é a ciência de esconder o
significado de uma mensagem. A palavra tem origem grega (Kripto = escondido,
oculto). Ela consiste em codificar informações, usando-se uma chave, antes que sejam
transmitidas, e em decodificá-las, após a recepção. O principio básico da criptografia é
encontrar uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens
escritas em um determinado alfabeto (letras, números) para um conjunto de mensagens
codificadas. Como f é inversível existe a garantia de o processo ser reversível, o que vai
possibilitar a revelação das mensagens pelos destinatários. O grande segredo da
criptografia está justamente em esconder de maneira eficiente o processo (chave) para a
inversão de f. Os dados confidenciais na Internet ou nas comunicações bancárias, são
transmitidos em cifra pelas redes públicas, sendo codificados na partida e decodificados
na chegada.
Durante a segunda guerra mundial, três americanos desenvolviam um sistema de
código secreto, chamado SRA, baseado nas dificuldades insuperáveis para descobrir os
fatores primos de um número muito grande. Criava-se um novo ramo da Criptografia, a
ciência dos códigos, fortemente baseado na Teoria dos Números. Com o advento dos
computadores e da computação algébrica, a Criptografia ganhou um novo impulso.
Neste momento, a proliferação de senhas bancárias e de cartões de crédito, bem como a
crescente necessidade de criptografar dados confidenciais que inundam a Internet,
fazem da Criptografia um dos ramos mais em moda da Matemática aplicada. E um dos
mais úteis.
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CAPÍTULO III
Números Primos na Educação e A Formação de
Professores
3.1.Os números primos no ensino fundamental e médio.
Por mais de dois mil anos, alguma familiaridade com a Matemática foi
considerada parte indispensável da bagagem intelectual de todas as pessoas cultas. Até o
século XVIII, as Ciências eram reservadas aos filósofos. A revolução Industrial, a
administração e os sistemas bancário e de produção passaram a exigir mais do cidadão.
A Matemática chega às escolas, mas currículos e livros didáticos são criados com base
na formalização e no raciocínio dedutivo do grego Euclides (Séc. III aC). A obra é
crucial para compreender a matemática, mas inadequada para aulas no Ensino Básico.
O professor de matemática comprometido com o ensino está aberto para o novo,
para o desconhecido. Ao invés de repetir, ele cria. O seu maior desafio é buscar
processos educativos transformadores para que os seus alunos dominem conhecimentos
e informações importantes para a sociedade de hoje e estejam preparados para enfrentar
a sociedade do futuro.
No dia-a-dia, os alunos fazem uma matemática ligada às necessidades reais.
Durante o plantio, desenvolvem noções de geometria ao traçar e dividir canteiros.
Fazem estatísticas e cálculos ao contar e separar figurinhas de jogadores de futebol.
Finanças, ao estabelecer preços para a mesada. Lidam com volume e proporção ao
estipular a quantidade de refrigerante que cabe em um copo. Tudo ao seu modo, com
linguagem própria e sem formalidade.
Na escola essas crianças costumam levar um choque. A Matemática dada em
sala de aula mais parece grego. Trata dos mesmos assuntos, todavia despreza a
informação que vem do cotidiano do aluno. Tudo em nome do cumprimento de um
currículo ultrapassado, abstrato, baseado numa formalização proposta há mais de 2000
anos. O resultado não poderia ser outro. O aluno cria ódio da disciplina e, claro, vai mal.
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Segundo o professor Luiz Márcio Imenes ( Revista Nova Escola - on- lineEdição no 150 ) autor de livros didáticos:
"O equivoco é do modelo, não das
pessoas. Os erros são históricos. O principal
deles é gastar 90% do tempo das aulas fazendo
continhas. O ensino deve estar voltado à
resolução de problemas".
E enfatiza:
"Felizmente, muita gente boa está mudando esse quadro." ( Revista Nova
Escola - on- line-Edição no 150 )
Há pelo menos duas décadas, educadores de todo o mundo, organizados no
chamado movimento de Educação Matemática, criam estratégias, propõem currículos
com enfoques diferentes para os conteúdos, pedem a reintegração da geometria ao
programa e, sobretudo, a adoção de uma abordagem ligada ao cotidiano e vinculada às
demais áreas do conhecimento.
Na vida, isso significa acabar com a idéia de que a sala de aula é um templo
silencioso, onde alunos amedrontados e cabisbaixos só ouvem, e transformá- la num
espaço de agitação, troca de idéias, trabalhos em grupo e efervescência do raciocínio.
Os números primos são apresentados pela primeira vez aos alunos na 5a série e
depois são quase esquecidos. No nível médio, apesar do aluno estar mais amadurecido
para a Matemática, eles não reaparecem, embora pudessem ajudar na fixação do
conteúdo específico e despertar no aluno o gosto por problemas da Teoria dos Números.
Cabe ressaltar, que os números primos têm ganhado importância por causa das
aplicações na criptografia, deixando de ser uma mera curiosidade.
Fazem parte do ensino fundamental, entre outras, as noções de Máximo Divisor
Comum (MDC), Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Fatoração, que compõem uma
parcela significativa da Teoria dos Números. No caso específico dos números primos, é
evidente a relevância destes por estarem presentes em temas atuais e devido a sua
conexão com outras áreas do conhecimento. Com isso, se deve sempre visar a
contextualização e a interdisciplinaridade, ambas importantes para que o aluno veja a
matemática como uma aliada na vida prática e sua relação com outras disciplinas. Neste
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sentido, é esperado que o aluno perceba que os números e a álgebra formam um sistema
de códigos ligados especialmente a diversas aplicações.
Do ponto de vista matemático, o conhecimento dos números primos justifica-se
pelo teorema fundamental da aritmética, que já foi mencionado anteriormente. Porém,
de uma maneira geral, o olhar que se tem desse assunto - os números primos - é de
apenas ser pré-requisito para o estudo de frações e o que se observa na prática letiva, é
uma ênfase quase exclusiva nas técnicas de fatoração e/ou na determinação do mínimo
múltiplo comum e Máximo divisor comum.
Diante disso é possível dizer que boa parte das crianças, quando solicitadas a
efetuar fatorações, raramente conseguem se valer exclusivamente dos números primos;
e quando o fazem, raramente diferenciam essa decomposição da determinação do menor
múltiplo comum ou maior divisor comum.
Uma prova disso é o fato das crianças ficarem confusas, por exemplo, quando
verificam que, após a fatoração de um certo número, o produto dos fatores é igual a esse
mesmo número.
Nessa perspectiva, vamos assumir que para conhecer os primeiros números
primos não é suficiente à criança saber avaliar a pertinência de um certo número inteiro
natural ao conjunto dos primos, mas, sobretudo, é necessária a compreensão de que isso
deve ser feito porque os números primos formam uma seqüência numérica singular e
cabe aos professores buscar formas, caminhos para que o aluno consiga perceber esses
pequenos detalhes que são cruciais para o seu desenvolvimento.
Serão citados agora alguns dos objetivos de matemática para o terceiro ciclo do
ensino fundamental que corresponde à 5a série que são propostos pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais:
Neste ciclo, o ensino de matemática deve visar ao desenvolvimento:
1. Do pensamento numérico, por meio da exploração de situações de aprendizagem
que levam o aluno a:
· Ampliar e construir novos significados para os números naturais, inteiros e
racionais, a partir de sua utilização no contexto social e da analise de alguns problemas
históricos que motivaram a sua construção;
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· Resolver situações-problema envolvendo números naturais, inteiros, racionais
e a partir dela ampliar e construir novos significados da adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação;
· Identificar, interpretar e utilizar diferentes representações dos números
naturais, racionais e inteiros, indicadas por diferentes notações, vinculando-as aos
contextos matemáticos e não matemáticos;
· Selecionar e utilizar procedimentos de calculo( exato ou aproximado, mental
ou escrito) em função da situação-problema proposta.
2. Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem
que levam o aluno a:
· Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações
sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer
as possíveis soluções;
·
Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e sua propriedades
para construir estratégias de calculo algébrico.
Observa-se, de acordo com os parâmetros curriculares nacionais, que para o
estudo dos conteúdos relativos a números e operações é fundamental a proposição de
situações-problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os
significados das operações.
Para o estudo dos conteúdos apresentados no bloco Números e Operações é
fundamental a proposição de situações-problema que possibilitem o desenvolvimento
do sentido numérico e os significados das operações. Com relação aos números naturais,
muitas vezes se considera que o trabalho com eles se encerra no final do segundo ciclo;
no entanto, é fundamental que o aluno continue a explorá- los em situações de contagem,
de ordenação, de codificação em que tenha oportunidade de realizar a leitura e escrita de
números grandes e desenvolver uma compreensão mais consistente das regras que
caracterizam o sistema de numeração que utiliza. É pouco provável que ele tenha
desenvolvido plenamente essas noções, tendo em vista a complexidade dos conteúdos,
como saber quantos agrupamentos de centena são necessários para construir uma dezena
de milhar, relações de inclusão. Também os estudos relacionados ao desenvolvimento
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histórico dos números podem fornecer excelentes contextos para evidenciar as regras
desse sistema e a necessidade da construção de números, que não os naturais.
Conceitos como os de múltiplo e divisor de um número natural ou o conceito de
número primo podem ser abordados neste ciclo como uma ampliação do campo
multiplicativo, que já vinha sendo construído nos ciclos anteriores, e não como assunto
novo, desvinculado dos demais. Além disso, é importante que tal trabalho não se resuma
à apresentação de diferentes técnicas ou de dispositivos práticos que permitem ao aluno
encontrar, mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum sem
compreender as situações-problema que esses conceitos permitem resolver.
A resolução de situações-problema com números naturais, racionais e inteiros
permite,
neste ciclo, a ampliação do sentido operacional, que se desenvolve
simultaneamente à compreensão dos significados dos números. A esse respeito convém
salientar que a resolução de situações-problema com diferentes tipos de números é
pouco trabalhada neste ciclo (e menos ainda no quarto ciclo), não possibilitando aos
alunos ampliar ou construir novos significados, seja para a adição/subtração,
multiplicação/divisão ou para a potenciação/radiciação.
O fato de que muitas situações da vida cotidiana funcionam de acordo com leis
de proporcionalidade evidencia que o desenvolvimento do raciocínio proporcional é útil
na interpretação de fenômenos do mundo real. Assim, é desejável explorar no terceiro
ciclo problemas que levem os alunos a fazer predições por meio de questões que
envolvam aspectos qualitativos e quantitativos (O número encontrado deveria ser maior
ou menor? Quanto maior? Essa resposta faz sentido?). Para resolver esses problemas os
alunos poderão construir procedimentos não-convencionais, deixando para o quarto
ciclo o estudo dos procedimentos convencionais.
Neste ciclo, os alunos devem ser estimulados a aperfeiçoar seus procedimentos
de cálculo aritmético, seja ele exato ou aproximado, mental ou escrito, desenvolvido a
partir de procedimentos não-convencionais ou convencionais, com ou sem uso de
calculadoras. Certamente, eles ainda não têm domínio total de algumas técnicas
operatórias, como da multiplicação e da divisão envolvendo números naturais,
compostos de várias ordens, ou aquelas com números decimais, e isso precisa ser
trabalhado sistematicamente. O importante é superar a mera memorização de regras e de
algoritmos (divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima, inverte a segunda e
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multiplica.) e os procedimentos mecânicos que limitam, de forma desastrosa, o ensino
tradicional do cálculo.
Diante do exposto acima, extraído dos Parâmetros Curriculares Nacionais que
serviram como base para a análise de alguns livros didáticos utilizados no terceiro ciclo
do ensino fundamental que corresponde a 5a série, pude observar que a maior parte
desses livros estão bem aquém do que se espera de um livro didático, mas cabe lembrar
que o livro didático é apenas um instrumento de apoio para o professor. O mais
importante é o conhecimento adquirido pelo professor e o interesse em aprimorar esse
conhecimento através de formação continuada ou até mesmo através de pesquisas, pois
o magistério deve ser visto como uma infinita formação continuada.
Dos livros analisados - Aprendendo Matemática de Giovanni Parente,
Matemática pensar e descobrir de José Rui Giovanni e José Rui Giovanni Jr, Falando de
Matemática de José Roberto Bonjorno, Matemática Conceitos e Histórias de Scipione
de pierro Netto, pude observar que a maior parte deles não faz relação alguma do
conteúdo, números primos com o mundo, com a vida do aluno, ou seja, na maioria dos
livros pude observar que a única aplicação desse conceito tão importante é na fatoração
de números para o cálculo do MDC ou MMC. Pude perceber uma completa
despreocupação com a interdisciplinaridade, fato tão importante, muito citado nos PCNs
e que vem mudando o estilo de provas dos vestibulares. Já foi citado que o conceito de
número primo pode ser associado a várias áreas, como astronomia, química, economia,
informática, etc...Pude observar também que os livros não se preocupam em provar para
o aluno que o conjunto dos números primos é infinito, tendo em vista que a
argumentação de Euclides é bem simples, e se limitam apenas a comentar tal fato, o que
gera muitas dúvidas e questionamentos no aluno. Forçar o aluno a conjecturar algo
desse tipo é um incentivo à novas descobertas, um incentivo à pesquisa que deveria ser
iniciada já nessa fase da vida. Também pude observar pontos positivos em alguns livros,
pois os livros Matemática Pensar e Descobrir, Aprendendo matemática, Matemática
Pensar e Descobrir não tratam do assunto como um fato isolado e sim como uma
extensão da divisibilidade dos números naturais. Todos os livros mostram que os
números primos formam um conjunto especial, com características especiais, além
disso, os livros analisados mostram um método de reconhecimento de números primos,
mas somente o livro Pensar e Descobrir mostra, além disso, um dos métodos para se
obter os números primos conhecido como o Crivo de Eratóstenes, matemático e
23
Astrônomo grego que viveu de 276 a.C. a 194 a.C. de acordo com o próprio livro. O
crivo consiste em:
1. Escrever o número dois e todos os números ímpares a partir do três;
2. Circular os números dois e três e riscar todos múltiplos de três, ciscular o
cinco e riscar todos os múltiplos de cinco, circular o sete e riscar todos os
múltiplos de sete, e assim por diante;
3. os números circulados são os números procurados.
(2)
(3)
(5)
(7 )
9
(11)
(13)
15
(17 )
(19)
21
(23)
25
27
(29)
(31)
33
35
(37 )
39
(41)
(43)
45
(47 )
49
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55
57
(59)
(61)
63
65
(67 )
69
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(73)
75
77
(79)
81
(83)
85
87
(89)
91
93
95
(97 )
99
O resultado de tal análise é uma opinião pessoal que foi comparada com o que é
proposto pelos parâmetros curriculares nacionais e não tem o intuito de depreciar ou
desmerecer o autor.
3.2. A formação de professores.
Os cursos de formação de professores de Matemática vêm sendo discutidos e
analisados, especialmente num momento em que a profissionalização dos educadores se
coloca como questão estratégica para intervenção na educação. O ponto central das
discussões é o fato de que, concomitantemente com as proposições de transformação da
educação em seus diferentes níveis é preciso reorientar a formação de profissionais, que
atenda a demandas contemporâneas da sociedade e que levam a um novo papel de
24
professor e da própria escola.
Apesar dos avanços conseguidos por algumas instituições, ou seja, da existência
de
experiências positivas, há uma enorme distância entre o que fazem e sabem a
maioria dos professores em exercício e as atuais concepções de trabalho do professor e
de escola que vêm sendo elaboradas.
Sabe-se que mudanças só ocorrem de modo processual e que é preciso partir do
que hoje constitui as práticas de ensino e aprendizagem e do que se tem como meta.
Assim, estas diretrizes têm como objetivos:
·
servir como orientação de melhorias e transformações na formação de professores de
Matemática.
·
estabelecer critérios para o credenciamento ou recredenciamento de cursos de
licenciatura em Matemática, assegurando uma uniformidade mínima entre esses
cursos.
·
assegurar que os egressos dos cursos credenciados de licenciatura em Matemática
tenham sido adequadamente preparados para uma carreira do ensino de Matemática
assim como, para um processo contínuo de educação permanente.
Um curso de Licenciatura em Matemática tem por objetivo formar um professor
de Matemática para a segunda fase do ensino fundamental e para o ensino médio.
À medida que se redefine o papel do aluno, colocando-o como agente da
construção de seu conhecimento, é preciso redimensionar também o papel do professor
que ensina Matemática.
Nessa perspectiva de trabalho, listamos a seguir algumas das funções do professor
no processo de aprendizagem.
Organizador: para desempenhar essa função, além de conhecer as condições
socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará
escolher problemas que possibilitem a construção de conceitos e procedimentos
tendo em vista os objetivos que se propõe atingir.
Facilitador:
nessa função, faz explanações, oferece materiais, textos e
informações que o aluno não obteria por si só.
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Mediador: nesse papel, é responsável por arrolar os procedimentos empregados e
as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e métodos, orientar
as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas, elaborando uma síntese,
em função das expectativas de aprendizagem previamente estabelecidas em seu
planejamento.
Incentivador: nessa função estimula a cooperação entre os alunos, e utiliza o
confronto entre o que um aluno pensa e o que pensam seus colegas ou seu
professor para formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e
validação (questionando, verificando, convencendo).
Avaliador: nessa função procura identificar e interpretar, mediante observação,
diálogo e instrumentos apropriados, sinais e indícios das competências
desenvolvidas pelos aluno. Também faz parte dessa tarefa levar os alunos a ter
consciência de suas conquistas, dificuldades e possibilidades para que possam
reorganizar suas atitudes diante do processo de aprendizagem.
Nesse contexto um curso de licenciatura em Matemática deve garantir que seus
egressos tenham:
a) uma sólida formação de conteúdos matemáticos
b) uma formação pedagógica dirigida ao trabalho do professor
c) uma formação que possibilite tanto a vivência crítica da realidade do ensino
básico como também a experimentação de novas propostas que considere a
evolução dos estudos da educação matemática
d) uma formação geral complementar envolvendo outros campos do
conhecimento necessários ao exercício do magistério.
Os currículos dos cursos de licenciatura em Matemática devem ser elaborados de
maneira a desenvolver as seguintes competência e habilidades nos profissionais da área
do ensino de Matemática:
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a) visão abrangente do papel social do educador.
b) capacidade de expressar-se, escrita e oralmente, com clareza e precisão.
c) capacidade de trabalhar em equipes multidisciplinares .
d) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua pratica também fonte de
produção de conhecimento.
e) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas idéias e tecnologia.
f) capacidade de analisar e selecionar material didático e elabora propostas
alternativas.
g) capacidade de planejamento de cursos com criação e adaptação de métodos
pedagógicos.
h) visão histórica e critica da matemática tanto no estado atual como nas varias
fases de sua evolução.
i) capacidade de relacionar vários campos da Matemática para elaborar
modelos, resolver problemas e interpretar dados.
j) capacidade de trabalhar com conceitos abstratos na resolução de problemas.
k) capacidade de interpretação e representação gráfica.
Sabemos que reconhecer que a aprendizagem é um processo que requer o
envolvimento dos alunos em atividades significativas e que é fortemente influenciado
pela cultura da sala de aula não retira importância ao professor. O professor é o
elemento chave na criação do ambiente que se vive na sala de aula. Cabe-lhe a
responsabilidade de propor e organizar as tarefas a realizar e de coordenar o
desenvolvimento da atividade dos alunos.
Na verdade, tanto a necessidade de promover uma aprendizagem significativa da
Matemática para todos como a perspectiva atrás esboçada sobre a aprendizagem tornam
o trabalho do professor ainda mais difícil e mais exigente do que se apenas lhe fosse
pedido que “explicasse” a matéria de maneira clara, escolhesse uma lista de exercíciostipo e verificasse os erros dos alunos. Quando se diz que o professor não deve ignorar as
experiências e os conhecimentos prévios que os seus alunos possuem, isso significa que
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o professor precisa estar atento e construir as situações de aprendizagem além
promover a reflexão dos alunos sobre essas experiências e esses conhecimentos. Por
outras palavras, ainda que utilizando materiais e propostas de trabalho inspiradas em
livros ou fichas pré-existentes, tem que os selecionar e adaptar, bem como conduzir toda
a atividade na sala de aula, de um modo adequado aos seus próprios alunos. Por outro
lado, se a aprendizagem é um processo de construção de significados por parte dos
alunos, então a comunicação e a negociação desempenham um papel central na sala de
aula.
Ora, estes aspectos têm a ver, essencialmente, com o modo como o professor
conduz as suas aulas. Além disso, uma vez que os alunos são diferentes uns dos outros e
vão construindo diferentes imagens e concepções sobre os temas em estudo, o professor
precisa de valorizar as interações entre os alunos e entre estes e o professor. Esta
perspectiva é realmente mais exigente para o professor, de quem se espera não só
trabalho como também criatividade, mas é igualmente para o aluno. De fato, aprender
requer esforço e envolvimento pessoal. A afirmação de que o professor deve ser, acima
de tudo, um “facilitador” da aprendizagem é muitas vezes interpretada num sentido
errado: não se pretende dizer que o processo se torna “fácil” mas sim realçar que são os
alunos quem aprende e que o professor deve criar as melhores condições para que isso
ocorra.
O trabalho do professor de uma disciplina é fortemente influenciado pelo
ambiente que lhe é proporcionado pelas estruturas de gestão e de coordenação
pedagógica da escola e que, por sua vez, ele próprio ajuda a construir. Quanto aos
alunos, podemos dizer que a aprendizagem não ocorre apenas na escola e que, dentro
desta, não depende apenas do que se passa nas aulas de cada disciplina; está igualmente
relacionada com o ambiente geral que a escola lhes proporciona e, em especial, com a
coerência do trabalho do conjunto dos seus professores e dos projetos interdisciplinares
que estes forem capazes de ajudar a desenvolver.
28
Conclusões
Terminado o trabalho, é possível reportar os resultados alcançados. A escolha
deste tema também se deve ao fato deste ser um assunto tão importante, mas tão pouco
explorado no ensino fundamental, o que pôde ser observado nos livros analisados e pelo
interesse em aumentar o conhecimento neste assunto e oferecer a professores e alunos
leitores um material de fácil compreensão.
Foram vistos o conceito de número primo e a argumentação de Euclides para
provar que o conjunto dos números primos é infinito.
Também ficou claro que este é um assunto de grande importância e utilidade no
dia a dia do ser humano, por estar presente em diversas áreas da ciência, mas que é
banalizado no ensino fundamental onde limitam o assunto apenas a uma extensão da
divisibilidade sem contextualização com tópicos do dia a dia do aluno como prevêem os
PCNs.
O conceito de número primo começa a ser trabalhado pela primeira vez na 5a
série do ensino fundamental onde aluno já deveria ser incentivado a pesquisa, forçando
o mesmo a conjecturar que o conjunto dos primos é infinito e mostrando-o após suas
próprias conclusões a argumentação de Euclides. Além disso, nessa fase já é possível
falar de atualidades como senhas de bancos e cartões sem falar em criptografia.
O Crivo de Eratóstenes poderia ser mostrado aos alunos nessa fase como
incentivo à pesquisa.
Ficou claro nesse trabalho que ainda não existe uma fórmula matemática ou um
algoritmo capaz de gerar todos os números primos. Existem fórmulas e algoritmos que
geram grandes quantidades, mas não todos, pois se isso acontecesse, tal fato daria início
a uma revolução tecnológica, pois senhas de banco poderiam ser quebradas facilmente,
seria o fim da criptografia e piratas de computadores entraria mais facilmente em
sistemas para cometerem crimes que hoje são cometidos com maior dificuldade.
Por último, convém lembrar que a formação de professores como é sugerida na
LDB não se limita apenas a graduação, o professor deve procurar uma formação
continuada. Além disso, é importante que o professor siga os PCNs para que possa
aumentar a qualidade de suas aulas e tentar melhorar os tópicos que são propostos pelos
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livros, até mesmo porque os livros didáticos que são adotados nas Escolas devem ser
vistos apenas como fonte de consulta e complemento para os professores e não como
verdades incontestáveis.
Se espera que esta obra corresponda às expectativas de todos e ajude muitos
leitores atingindo os objetivos que lhe foram propostos.
Não houve intenção alguma em esgotar o assunto através desse trabalho, assim
como não se pretendeu passar essa idéia. O mais importante foi ter iniciado um estudo
mais aprofundado sobre o assunto – números primos, alertar aos leitores de sua
importância por estar presente no dia a dia do aluno e nas diversas áreas de
conhecimento e por desafiar ainda hoje a matemática e outras áreas com problemas em
aberto que oferecem aos candidatos cifras milionárias para quem solucioná- los. É
importante dizer aos futuros leitores que este é só o início, pois a ciência evolui dia após
dia. Seria interessante para o leitor pesquisar mais sobre a assunto.
Ficou claro pelas conclusões feitas que os objetivos reais desta monografia
foram alcançados, que eram o de abordar o conceito de número primo e mostrar sua
importante utilidade ao longo da história e na atualidade e responder as perguntas
iniciais: Como trabalhar o conceito de número primo no currículo de matemática
atualmente desenvolvido em nossas escolas, no ensino fundamental? Será que
existe uma fórmula matemática que gere todos os números primos? Caso exista
essa fórmula, o que isso mudaria em nossas vidas?”.
Agora os leitores já são capazes de responder tais perguntas e professores podem
utilizar tais resultados em sala de aula.
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BIBLIOGRAFIA
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BOYER, Carl B.: História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1996.
COUTINHO, S.C.: Números Inteiros e Criptografia RSA. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada,1997.
DOMINGUES, Hygino e IEZZI, Gelson: Álgebra Moderna. São Paulo: Atual Editora,
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GIOVANNI, José Ruy e GIOVANNI JR, José Ruy: Matemática Pensar e descobrir. São
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HEFEZ, Abramo: Curso de Álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
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IMENES, Luiz Marcio: A matemática pulsa no dia a dia www.novaescola.abril.com.br Revista Nova Escola - on-line-Edição no 150, capa, 2004.
MILIES, César Polcino e COELHO, Sônia Pitta: Números - Uma Introdução à Matemática.
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RIBENBOIM, Paulo: Números Primos: Mistérios e Recordes. Rio de Janeiro: Instituto de
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www.mat.puc-rio.br: números primos, 2004.
www.numaboa.com.br: números primos e compostos, 2004.
www.educ.fc.ul.pt: Página dos números primos, 2004.
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FOLHA DE AVALIAÇÃO
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PROJETO A VEZ DO MESTRE
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
Os Números Primos Sob a Visão da Ciência e da Educação no Ensino Fundamental.
Data da Entrega:
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