Anais do IX Seminário Nacional de
História da Matemática
Sociedade Brasileira de
História da Matemática
Legendre e Números Primos: A Busca de Uma Fórmula “Mágica”
Legendre and Prime Numbers: The Search of a “Magic” Formula
Maria Aparecida Roseane Ramos1
Resumo
Esse artigo apresenta resultados sobre os números primos de nossa tese de doutorado Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e suas obras em
Teoria dos Números, desenvolvida em 2007-2009 no Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte sob a orientação de John Andrew Fossa. Avaliamos todas as obras em Teoria dos Números do matemático francês Adrien-Marie
Legendre (1752-1833), com ênfase no seu livro Teoria dos Números, edição francesa de 1830, bem como realizamos um estudo histórico da
vida desse matemático. Para tanto, investigamos o papel desempenhado por essas obras e sua influência no desenvolvimento da Teoria dos
Números no contexto de sua época. Um estudo sistemático da obra de 1830 num contexto histórico-social e a análise de certos conteúdos da
obra comparados a alguns textos de outros autores, nos permitiram compreender a evolução dinâmica dos caminhos percorridos pelo autor,
quanto à semântica, à organização das demonstrações, à estrutura lógico-dedutiva que permearam suas descobertas por quase meio século.
Mostramos que desde seu primeiro artigo “Sobre a Análise Indeterminada” (1785), Legendre descobriu importantes proposições e
restabeleceu uma ligação entre a Análise Indeterminada (Análise de Diofanto) e a Ciência dos Números. De sua autoria, encontramos as
proposições: “todo número é composto por pelo menos três números triangulares”; “todo número primo da forma 8n − 1 é da forma p2 + q2 +
2r2” e “todo número é a soma de quatro quadrados”, sobretudo, a sua famosa lei de reciprocidade quadrática que estabelece uma relação
particular entre dois números primos ímpares. Em todas as suas obras, Legendre reproduziu demonstrações de trabalhos de outros
matemáticos, a exemplo do Teorema de Fermat, a infinidade dos números primos de Euclides, os estudos de Euler e Lagrange sobre
equações e formas quadráticas, a lei de ciclotomia de Gauss, os estudos de Sophie Germain sobre números primos.
Nessa ótica, enfatizaremos: a busca de Legendre de fórmulas geradoras de números primos distribuídos em categorias que foram amplamente
utilizadas nas demonstrações de alguns teoremas, inclusive na sua lei de reciprocidade; algumas conjecturas sobre a distribuição de números
primos em progressões aritméticas infinitas do tipo... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B,... cujo termo geral é Ax + B, com A e B primos
entre si e por fim, estimativas de Legendre e de Gauss com fundamentos na propriedade de logaritmos para determinar quantos números
primos existem de 1 a N.
Palavras-chaves: Legendre. Números Primos. Progressões Aritméticas. Logaritmos.
Abstract
This paper presents results on the primes of our thesis Adrien-Marie Legendre (1752-1833) and his works in number theory, developed in
2007-2009 in the Graduate Program in Education at the Universidade Federal of the Rio Grande do Norte under the direction of John
Andrew Fossa. We value all the works on Number Theory of the French mathematician Adrien-Marie Legendre (1752-1833), with an
emphasis at his book Theory of Numbers, on his 1830 french edition, as well as we carry out a historical study of the life of this
mathematician. For so much, we investigate the paper fulfilled by these works and his influence in the development of the Theory of the
Numbers in the context of his time. A systematic study of the work of 1830 in a social-historical context and the analysis of certain contents
of the work compared to some texts of other authors, they allowed us to understand the dynamic evolution of the ways passed by the author,
1
UESB. E-mail: [email protected]
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2
as for the semantics, the organization of the demonstrations, to the structure deductive-logically what permeated his discoveries for almost
half a century.
We show that from his first article “ On the Indeterminate Analysis ” (1785), Legendre discovered important propositions and restored a
connection between the Indeterminate Analysis (Analysis of Diofanto) and the Science of the Numbers. Of his authorship, we find the
propositions: " any number is composed by at least three triangular numbers ”; “ any prime number of the form 8n − 1 is in the form p2 + q2 +
2r2” e “ any number is the sum of four squares ”, especially, his famous law of quadratic reciprocity that establishes a particular relation
between two unique prime numbers. In all his works, Legendre reproduced demonstrations of works of other mathematicians, just like the
Theorem of Fermat, the infinity of the prime numbers of Euclides, the studies of Euler and Lagrange on equations and quadratic forms, the
law of ciclotomia of Gauss, the studies of Sophie Germain on prime numbers.
In this optics, we will emphasize: the search of Legendre of formulas creators of prime numbers distributed in categories who were used
widely in the demonstrations of some theorems, inclusive in his law of reciprocity; some conjectures on the distribution of prime numbers in
arithmetical infinite progressions of the type ... − 2A + B, − A + B, B, A + B, 2A + B,... whose general term is Ax B, with A and B cousins
between you and finally, estimates of Legendre and of Gauss with bases in the property of logarithms to determine all the prime numbers
exist of 1 N.
Keywords: Legendre. Prime Numbers. Arithmetics. Progressions. Logarithms.
Legendre, Fermat, Mersenne, Euler, Gauss, números primos, fórmulas algébricas
n
Fermat conjecturou que 2 2 + 1 era uma fórmula que expressava um número primo.
Numa carta enviada a Mersenne em 1640, Fermat relatou que certos números primos
poderiam ser expressos como soma de dois quadrados. Mersenne, que era um monge e
matemático amador, ao invés de somar 1 a uma potência de dois optou por subtrair 1 e
também conjeturou que 2n − 1 era primo para n = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257. Foi um
espanto geral entre os matemáticos contemporâneos de Fermat e Mersenne quando esse
último conseguiu realizar o feito extraordinário de determinar o número 2 257 − 1, que contém
77 algarismos! (SAUTOY, 2005)
A História da Matemática ainda registra que Euler era um apaixonado pela Teoria dos
Números e isso pode ser verificado por suas experiências numéricas em suas obras e nas
correspondências trocadas com o alemão Goldbach, outro matemático amador que vivia em
Moscou e era secretário ad hoc da Academia de Ciências de São Petersburgo. (DIEUDONNÉ,
1978) É de sua autoria a questão em aberto: “todo número par pode ser expresso como soma
de dois números primos”. Historicamente, a busca de uma fórmula capaz de gerar números
primos é antiga, se tornou uma espécie de paixão entre os matemáticos e perdura há vários
séculos. Os estudos sobre os números primos levaram Euler a demonstrar que o número de
Fermat para n = 5 era composto e em 1772 ele obteve uma lista de números primos por meio
da integral de x2 + x + 41 entre 0 e 39. (SAUTOY, 2005). Esse fato é citado por Legendre em
1798:
Em geral não existe propriamente nenhuma fórmula algébrica para expressar apenas números
primos. Por exemplo, seja a fórmula P = a x3 + b x2 + c x + d, e suponhamos que fazendo x =
k, o valor de P seja igual a um número primo p: se fizermos x = k + p y , sendo y um inteiro
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3
qualquer, teremos P = p + (3 a k2 + 2 bk + c)p y + (3 a k + b) p2 y2 + a p3 y3. Donde vemos
que P não é um número primo, pois é divisível por p e distinto de p. No entanto, existem
algumas fórmulas importantes pela quantidade de números primos que elas contêm: tal é a
fórmula x2 + x + 41, onde Euler faz menção em seus “Mémoires de Berlin”, 1772, pág. 36, na
qual se fizermos sucessivamente x = 0, 1, 2, 3, etc., temos a seqüência 41, 43, 47, 53, 61, 71,
etc., onde os quarenta primeiros termos são números primos. Podemos citar dentro do mesmo
gênero a fórmula x2 + x + 17, onde os dezessete primeiros termos são números primos; a
fórmula 2x2 + 29, onde os 29 primeiros termos são primos e uma grande quantidade de outras
fórmulas. (LEGENDRE, 1798, p. 10-12, tradução nossa)
Embora estivesse consciente de que era muito difícil obter fórmulas geradoras de
números primos, Legendre apresentou em sua obra de 1798, uma demonstração similar da
Proposição 20 do Livro IX dos Elementos de Euclides que trata da infinidade deles e inclusive
faz uma referência à outra demonstração de Euler, que obteve o mesmo resultado por meio da
série harmônica
1
n:
Se não podemos encontrar a fórmula algébrica que contenha unicamente os números primos,
pela mais forte razão que não podemos encontrar uma que contenha todos esses números
expressa numa lei geral. Essa lei parece muito difícil de encontrar, e não há nenhuma
esperança que consigamos. Isso não impede que possamos descobrir e demonstrar um grande
número de propriedades sobre os números primos, as quais resplandecerão um grande dia
sobre natureza desses números. Agora nós podemos demonstrar rigorosamente que a
quantidade de números primos é infinita. Pois se a seqüência de números primos (I) 1. 2. 3. 5.
7. 11, etc., fosse finita, e que p fosse o último ou maior de todos, seria preciso que um número
N fosse divisível por qualquer um dos números primos 2. 3. 5...p.2 . Mas se representamos P
pelo produto de todos estes números (1), é claro que dividindo P + 1 por qualquer um dos
números primos até p, o resto será 1. Portanto a hipótese de que P é o maior dos números
primos não tem fundamento; portanto a quantidade dos números primos é infinita. Essa
proposição pode ser mostrada de uma maneira direta e muito elegante, utilizando a seqüência
recíproca dos números primos
1
1

1
2

1
3

1

5
1
 etc. que é uma soma infinita (Introd. à Análise
7
infin., página 235). (LEGENDRE, 1798, p. 10-1, tradução nossa)
No artigo seguinte Legendre apresenta uma lista de números primos que está dividida
em duas categorias, classificação que será amplamente utilizada nas demonstrações de vários
2
Grifo nosso: na verdade a expressão deveria ser 1, 2, 3, 5,..., p.
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resultados envolvendo números primos, inclusive na que se refere à lei de reciprocidade:
Todos os números ímpares se representam pela fórmula 2x + 1, a qual segundo x é par ou
ímpar, contém as duas formas 4x + 1 e 4x – 1 ou 4x + 3. Desses resultados são obtidas duas
grandes divisões de números primos, uma compreendendo os números primos 4 x + 1, a saber,
1, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, etc., outra contemplando os números primos 4x – 1 ou 4 x
+ 3, a saber 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, etc. A forma geral 4x + 1 se subdivide em duas
outras formas 8x + 1 e 8x – 3 ou 8x + 5; da mesma forma que 4x + 3 se subdivide em duas
outras 8x + 3 e 8x + 7 ou 8x – 1; de maneira que relativamente aos múltiplos de 8, os números
primos se distribuem nessas quatro principais formas: 8x + 1 ... 1, 17, 41, 73, 89, 97, 113,
137, etc.; 8x + 3 ... 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, etc.; 8x + 5 ... 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101,
109, etc.; 8x + 7 ... 7, 23, 31, 47, 71, 103, 127, etc. (LEGENDRE, 1798, p. 11-2, tradução
nossa)
Os estudos prosseguem quando em outro artigo o autor subdivide a categoria anterior
agora com relação aos múltiplos de 6:
Vimos que se considerarmos os números primos em relação aos múltiplos de 6, eles podem
ser representados por uma das formas 6x + 1 e 6 x – 1 ou 6 x + 5; os quais x é ímpar ou par.
Disso resultam que em relação aos múltiplos de 12, eles podem ser representados pelas quatro
formas 12x + 1, 12x + 5, 12 x + 7, 12 x + 11 e cada uma dessas formas contém uma
infinidade de números primos. Em geral, sendo a um número qualquer, todo número ímpar
pode ser representado por 4ax  b, no qual b é ímpar, positivo e menor do que 4a. Se entre
todos os valores possíveis para b retirarmos os que têm um divisor comum com a, as demais
formas, 4ax + b contém todos os números primos (com exceção daqueles que dividem 4a),
distribuídos, relativamente, aos múltiplos de 4a, tantas quantas espécies ou formas que b terá
como valores diferentes. Assim fazendo a = 15, teremos as dezesseis formas distintas, a saber,
60 x + 1, 60 x + 7, 60 x + 11, 60 x + 13; 60 x − 1, 60 x − 7, 60 x −11, 60 x − 13; 60 x + 17, 60 x
+ 19, 60 x + 23, 60 x + 29; 60 x − 17, 60 x − 19, 60 x − 23, 60 x − 29, onde cada uma delas
contém uma infinidade de números primos e conjuntamente englobam a totalidade deles,
exceto os números 2, 3, 5. (LEGENDRE, 1798, p. 12, tradução nossa.)
Legendre, números primos e progressões aritiméticas
Na busca de uma fórmula capaz de fornecer números primos Legendre desenvolveu
estudos nas três edições de Ensaio sobre a Teoria dos Números (1798, 1808, 1830).
Os estudos de 1798 têm por objetivo encontrar quantos números primos há em n
termos sucessivos de uma progressão aritmética de razão constante do tipo ... − 2A + B, − A +
B, B, A + B, 2A + B, ... cujo termo geral é Ax + B, A e B primos entre si e n é um número
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5
grande. Ao considerar A + B como o primeiro termo da seqüência, os n termos consecutivos,
 1
dessa progressão, Legendre conclui (sem demonstrar) que os n 1   termos remanescentes
 
não serão divisíveis por  . Posto isto ele deduz que se  ,  ,  ,  , etc for uma seqüência
1   1
 1  1
aleatória de números primos não divisores de A, a fórmula n 1   1   1   1  
    
etc representará a quantidade de termos da seqüência A + B, 2A + B,
A + B, 3A + B, ... , nA + B que não são divisíveis por nenhum dos números primos  ,  ,  ,
 , etc. De acordo com a fórmula anterior, considerando a seqüência natural dos números
primos 3, 5, 7, ...,  , onde  é o maior deles contido em
(nA  B) (excluídos os divisores
de A), Legendre cria, novamente sem demonstrar, o produto n
se A + B for maior do que
2 4 6   -1
  ···
 e conclui que
3 5 7   
(nA  B) essa fórmula é a ideal para estimar a quantidade de
números primos na progressão A + B, 2A + B, A + B, 3A + B, ... , nA + B e se isso não
ocorrer, será necessário acrescentar à fórmula a quantidade de números primos menores do
que
(nA  B) pertencentes à seqüência acima. (SILVA, 2010)
Legendre aplica a fórmula em alguns casos: encontrar quantos números primos existem
nos 1 000 primeiros termos da seqüência 49, 109, 19, 229, 289, etc, cujo termo geral é 60x −
11. Determinando a
59989  244, tem-se que 241 é o maior primo contido nessa raiz
quadrada. Os números 3 e 5 são excluídos por serem divisores de 60 e assim utilizando-se os
240 
 6 10 12
primos de 7 a 241 na fórmula anterior, é obtida a expressão 1.000      
 
241 
 7 11 13
377, que acrescida aos dois números primos 109 e 229 da seqüência que são menores do que
241, no que resulta que existem aproximadamente 380 números primos na seqüência proposta
menores do que 1000. No fim dos estudos Legendre também apresenta uma tabela contendo
valores sucessivos do produto
2 4 6   -1
  ···
 , onde  é um número primo de 3 a 353 e
3 5 7   
por último para determinar quantos números primos existem menores do que 100 000. Invés
de utilizar o valor n = 49.999, para simplificar os cálculos, o autor considera os 50 000
primeiros termos da seqüência 3, 5, ... , 99.999. Como 313 é o maior primo contido em
99999 então para  = 313, por meio da tabela é obtido o produto 50 000∙
2 4 312
∙ ∙∙∙
= 50
3 5 313
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6
000  0, 192 986 que fornece como primeira estimativa 9 649 primos menores do que 100
000. Considerando que existem 66 números primos da seqüência menores do que
99999 ,
esses são acrescidos à quantidade anterior resultando que existem aproximadamente 9 715
números primos menores do que 100 000. (LEGENDRE, 1798, p. 12-20, tradução nossa)
A estimativa de Legendre sobre a distribuição de números primos numa sequência
aritmética exerceu certa influência sobre Riemann, que na juventude estudou todo o conteúdo
do livro Teoria dos Números(1830). Tempos depois, em 1859, Riemann conjecturou que os
zeros da função zeta criada por Euler (1748) (função definida por meio de séries cujos
elementos são os inversos dos quadrados de números naturais) pode controlar essa repartição
dos números primos. (LACHAUD, 2005, tradução nossa)
Legendre, Gauss, números primos e logaritmos
O anseio de estimar a quantidade de números primos em uma progressão aritmética
levou Legendre a conjecturar outra fórmula algébrica, nesse caso com fundamentos na
propriedade de logaritmos decimais que transformam multiplicações em adições, que segundo
ele:
Se existem b números primos na progressão natural 1, 2, 3, 4, 5 , ... , a, é extraordinário
observar que segundo os variados valores de a temos aproximadamente as seguintes relações:
a = 101,
102,
103,
104,
105 ,...
b
1
,
4
1
1
1
10
,...
a
2la
, onde la é o logaritmo decimal de
a
=
1
2
,
6
,
,
8
Donde parece que em geral podemos concluir que b =
a comumente apresentados em tabelas. Essa fórmula muito simples pode ser olhada como
uma aproximação suficiente, pelo menos quando a não é maior do que 1 000 000. Assim se
quisermos saber quantos números existem de 1 a 400 000, encontraremos que esse número é
400000
ou aproximadamente 35 700. Além disso, verdadeiramente a fórmula que fornece o
2  5,602
valor de b quando a é muito grande é da forma b =
a
, onde A e B são constantes e
A log a  B
log a o logaritmo hiperbólico. A determinação exata desses coeficientes é um problema
curioso e digno do exercício da sagacidade dos analistas. (LEGENDRE, 1798, p. 18-9,
tradução nossa)
Embora em 1785 tenha criado uma fórmula associada a logaritmos na qual acreditava
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7
ter obtido êxito, Legendre ainda um tanto cético afirmou que “Se não podemos encontrar uma
fórmula algébrica que contenha unicamente os números primos, pela mais forte razão que não
podemos encontrar uma que contenha todos esses números expressa numa lei geral. Essa lei
parece muito difícil de encontrar, e não há nenhuma esperança que consigamos”.
(LEGENDRE, 1798, p. 10, tradução nossa)
Corroborando com Legendre, Euler, o águia da Matemática, também admitiu ser
impossível encontrar uma fórmula que gerasse todos os números primos, quando em 1751
disse: “Alguns mistérios sempre escapam ao espírito humano. Para nos convencermos é
suficiente olhar uma tabela de números primos e veremos que não existe nenhuma ordem,
nenhuma regra entre eles”. (EULER, apud SAUTOY, 2005, p. 76, tradução nossa)
Numa transição entre as obras de Lagrange e Legendre se encontra Disquisitiones
Arithmeticae, de Gauss que foi escrito em 1796, publicado em 1801 e traduzido para o francês
em 1807 como Recherches Arithmétiques por Poullet-Delisle, um ex-aluno de Laplace.
(SILVA, 2010)
Em 1792, Gauss aos quinze anos já percebera que os conhecimentos matemáticos até
então desenvolvidos não eram suficientes para sanar o problema, vez que “Se séculos de
pesquisas não permitiram encontrar uma fórmula mágica capaz de fornecer uma lista de
números primos durante todo esse tempo foi por quê é necessário adotar uma nova
estratégia”. (SAUTOY, 205, p. 77, tradução nossa)
A estratégia inicial de Gauss foi a mesma de Legendre em 1785 e anos depois, Gauss
estabeleceu outra relação entre logaritmo e probabilidade. Desde a tenra idade Gauss
descobriu que poderia contar números primos de uma seqüência numérica com a ajuda de
logaritmos na base e. Como hábil calculista, construiu aos dezoito anos uma tabela que
permitia descobrir que entre os números 1 a N, aproximadamente
1
é primo. Ele então
log N
estimou que a quantidade real dos números primos de 1 a N, denotada por  (N) é
aproximadamente N log( N) . Gauss não pretendia que esse sistema oferecesse uma fórmula
exata para encontrar números primos até N, mas ela ainda constitui uma boa aproximação
para essa finalidade. Com esses cálculos, Gauss rompeu com o empirismo de Euler e
valorizou o poder de uma demonstração em Teoria dos Números. Para alguns matemáticos, se
ele tivesse difundido todas as suas descobertas teria avançado em mais de meio século o
desenvolvimento dessa ciência. (SAUTOY, 2005, p. 86, tradução nossa)
Importante destacar que na estimativa de Gauss para N de 1 até 100, a chance de se
encontrar um número primo é de 1 para 4. De 1 até 10 000 000 a proporção é de 1 para 15.
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8
Para N maior do que
10 000 000 essa proporção é de aproximadamente 2,3. A relação que existe entre
multiplicação e adição nos logaritmos justifica nesse caso, que a cada multiplicação por 10,
deve-se somar 2,3 em relação aos números que devem ser contados para se obter um número
primo. Como a proporção de números primos aumenta de 2,3 mais rapidamente do que 1 cada
vez que é efetuada uma multiplicação por 10, então Gauss deduziu que a melhor estimativa
para determinar a quantidade de números primos menores do que N não são os logaritmos
decimais, mas os logaritmos na base e = 2, 718281828459...
Comparamos as estimativas de Gauss e Legendre para determinar quantos números
primos existem de 1 a 10n, para n = 1, 2, 3, e detectamos que as fórmulas de ambos
matemáticos fornecem estimas bem próximas. Pela fórmula
a
de Legendre, onde log a é o
2la
logaritmo decimal e a menor do que 1 000 000, as proporções para se encontrar quantos
números existem de 1 a 10, de 1 a 100, de 1 a 1 000, são, respectivamente,
25,
1
1
= 0,5,
= 0,
2
4
1
= 0, 167. O que significa que existem aproximadamente, 5, 25, 167 números primos
6
menores do que 10n, n = 1, 2, 3. Já a estima de Gauss pela fórmula N log( N) , onde log(N) é
o logaritmo natural ou neperiano, essas quantidades são, respectivamente 4, 25, 168. Pela
tabela construída por Legendre, excluído 1 como número primo, de fato essas quantidades
são, respectivamente 4, 25, 168. No entanto, de 1 a 100 000, Legendre estimou que há
aproximadamente 9 715 números primos menores do que 100 000 (LEGENDRE, 1798, p. 1220), enquanto que pela fórmula N log( N) de Gauss esse número é aproximadamente 9 592.
E de 1 a 400 000, pela fórmula de Legendre existem aproximadamente 35 700 números
primos e pela de Gauss esse número é aproximadamente 32 000. As duas primeiras
estimativas diferem de 123, e em relação às duas últimas a diferença é de 3 700. Pela
observação acima, a proporção de números primos aumenta de 2,3 mais rapidamente do que 1
pela fórmula de Gauss, à medida que n é um número muito grande. Portanto esses argumentos
são suficientes para deduzir que a escolha do logaritmo neperiano torna a fórmula de Gauss
muito mais eficaz do que a escolha de Legendre que é fundamentada no logaritmo decimal.
(SILVA, 2010)
Conclusão
Enfatizamos nesse trabalho a busca de Legendre para encontrar uma fórmula geradora
de números bem como para determinar quantos números primos existem numa sequência
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aritmética. Dentre outros assuntos, destacamos e comparamos duas fórmulas para avaliar
quantos números primos existem de 1 a N: a fórmula de Legendre
a
em que la é o
2la
logaritmo decimal e a fórmula de Gauss N log( N) onde log(N) é o logaritmo neperiano. Para
números infinitamente grandes, a fórmula de Gauss demonstrou ser mais eficiente do que a de
Legendre. Encontrar fórmulas que contenham uma lei algébrica para determinar números
primos ou sobre como os números primos podem estar distribuídos em sequências aritméticas
de números naturais, estão entre as questões que no fim do século XIX foram apontadas por
Lucas (1891) como questões que não possuíam uma solução satisfatória, a exemplo de: 1.
Dado um número primo p, encontrar outro número primo que seja maior do que p. 2.
Encontrar uma função que forneça números primos. 3. Encontrar um número primo sucessor
de um determinado número primo. 4. Encontrar a quantidade de números primos menores do
que um determinado número. 5. Calcular diretamente um número primo a partir de uma
seqüência numérica.
O matemático Legendre bem como Fermat, Mersenne, Goldbach, Euler, Gauss,
Riemann tentaram responder algumas dessas questões e envidaram esforços utilizando os
mais variados conhecimentos com fundamentos não somente no ponto de vista estático da
Aritmética, mas também na divergência dinâmica de uma teoria dividida em vários ramos de
estudos em função dos métodos utilizados e das questões tratadas. (SILVA, 2010)
Nesse sentido divisamos que Legendre ao utilizar a Análise Indeterminada,
ultrapassou os limitados artifícios da Aritmética na abordagem de uma série de problemas
clássicos. Suas demonstrações de importantes resultados em Teoria dos Números até foram
consideradas como incompletas e mesmo algumas, deixaram a desejar, por estarem
fundamentadas no que ele chamava de “forma indutiva”. Na verdade, tais demonstrações
eram por apreensão por meio de exemplos numéricos, que até certo ponto se adequava à
teoria exposta, porém, sem o devido rigor matemático que o método de indução finita impõe.
Embora as suas consequências fossem verdades matemáticas, deduzimos que Legendre tinha
a concepção de que existiam teoremas que não precisavam ser rigorosamente demonstrados.
(SILVA, 2010)
No entanto, os seus estudos sobre os números primos deixaram como legado a
conjectura sobre a existência de números primos numa sequência aritmética que somente foi
demonstrada por Lejeune-Dirichlet em 1837 utilizando o cálculo infinitesimal e a análise
complexa, quatro anos após a morte de Legendre. Tal conjectura também inspirou o
matemático Riemann a criar a Hipótese de Riemann. Esse problema colocado pelo
Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática
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matemático há mais de 150 anos, ainda focaliza o interesse dos maiores matemáticos. (SILVA,
2010) Um deles foi André Weil, que em 1940 demonstrou um caso particular da conjectura de
Riemann utilizando argumentos da geometria. (LACHAUD, 2005)
O sonho de encontrar uma fórmula mágica para gerar números primos permanece
ainda hoje e permitiram grandes avanços à Teoria dos Números: na teoria combinatória dos
números os métodos algébricos ou analíticos são fundamentais nesse campo de estudos. A
teoria calculatória dos números estuda em particular os algoritmos deterministas e
probabilistas que são utilizados nos testes de primalidade dos números e nas decomposições
em produtos primos de números com grande quantidade de algarismos e, tais números têm
importantes aplicações na criptografia. (SILVA, 2010)
E o sonho continua... Como no caso da demonstração do famoso Teorema de Fermat,
muitos matemáticos até hoje ainda procuram demonstrar a hipótese de Riemann e a conjectura
de Goldbach: “todo número par pode ser expresso como soma de dois números primos”.
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