UM MÉTODO NÃO-PERTURBATIVO PARA DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE
DE ESTADOS DE POLARONS EM PONTOS QUÂNTICOS SEMICONDUTORES
Solemar Silva Oliveira1
1
Pesquisador, docente do Curso de Licenciatura em Física, UnUCET – UEG.
RESUMO
Estudamos um método de não-perturbativo para avaliar o espectro de energia e a densidade de
estados de um elétron interagindo com os fônons longitudinais ópticos (LO), conhecido como
efeito polarônico, presentes em um ponto quântico semicondutor composto de GaAs-AlGaAs.
O método, que utiliza a um procedimento matemático eficaz baseado na ortogonalização de
Gram-Schmidt, apresenta um mecanismo coerente para a obtenção da densidade de estados.
Realizamos cálculos utilizando vários valores de temperatura. Avaliamos o efeito da interação
elétron-fônons LO na estrutura dos níveis e na densidade de estados eletrônicos. Verificamos
o efeito do potencial químico na função densidade de estados e tecemos observações sobre a
natureza física desta função.
Palavras-chave: fônons, densidade de estados, potencial químico.
Introdução
A densidade de estados, também conhecida com função densidade espectral, do
polaron (acoplamento elétron-fônon LO) em sistema semicondutores zero-dimensionais
(pontos quânticos) (Bimberg et al., 1999), (Mukhopadhyay et al., 2002), (Hai & Oliveira,
2005), e comumente obtida usando o formalismo das funções de Green (Král & Khás, 1998).
Obtida por este método a densidade de estados é uma função contínua com a energia, para
uma dada temperatura. Sugerimos neste trabalho um método não-perturbativo onde a
densidade de estados resulta em um espectro discreto composto por uma série de funções
delta de Dirac (Stauber et al., 2000). O principal argumento é o seguinte: visto que nos pontos
quânticos os estados eletrônicos são discretos, a densidade de estados do sistema composto
pelo elétron interagido com os fônons-LO, com freqüência constante (modelo de Einstein),
deve possuir uma estrutura similar. Assim, o espectro de energia para o polaron em pontos
quânticos resultaria também em uma série de funções delta de Dirac (Mahan, 1981).
1
Estudaremos os níveis de energia e a densidade de estados de um elétron acoplado
com os fônons LO em um ponto quântico. Nós descrevemos o ponto quântico teoricamente
por dois potenciais parabólicos, com diferentes confinamentos para as direções x e y e um
potencial de um poço quântico simples na direção z.
Material e Métodos
O Hamiltoniano do sistema para dois estados eletrônicos discretos com energias ε0=0
e ε1=Ωx, acoplados com M modos de fônons LO com vetores de onda q1,...qM e com energia
igual a hωLO é dado por
(1)
onde ci+ e cj são respectivamente os operadores de criação e destruição de elétrons e bq+ e bq
são os operadores de criação de destruição de fônons. A matriz de interação elétron-fônon LO
é dada
. Onde V(q) é o potencial de
acoplamento da interação elétron-fônon LO.
Com base no procedimento de ortogonalização de Gram-Schmidt (Coimbra, 1994)
utiliza-se uma combinação linear de operadores
escritos como
assim temos
, onde
,
Escolhendo a combinação
, onde ξ(i,j) representa o índice de soma sobre os N(N+1)/2
linear
pares (i,j) com i≥j com N estados fermiônicos no espaço de Hilbert.
O Hamiltoniano pode ser escrito da seguinte forma (Stauber, 2000)
(2)
onde
e
, com
o operador número de
partículas. As constantes nas equações acima são dadas por:
e
. As constantes
,
estão relacionadas ao acoplamento
elétron-fônon LO, obtidas a partir do elemento de matriz desta interação.
As energias presentes na expressão (2) são dadas por
e
.
(3)
2
A primeira expressão em (3) é o primeiro nível de energia renormalizado e depende do
número de partículas e a segunda expressão em (3) é a energia devido ao efeito polarônico.
Os auto-estados dos fônons são representados pelos operadores de oscilador
harmônico deslocados (denominados estados coerentes)
onde o vácuo dos fônons é definido por
,
com
.
O Hamiltoniano apresentado em (2) será resolvido exatamente. Usamos as seguintes
bases para os estados eletrônicos
e
, onde
,
elétron
e
,
,
é o vácuo de elétrons. E para os fônons, usamos as bases
e
para os três modos considerados. A base completa, combinando
fônons,
pode
ser
escrita
como
onde N0,N1=0,1 e n1,n2,n3=0,1,2,...,nmáx com nmáx o número de
fônons suficiente para fazer convergir os cálculos numéricos e
e
são os deslocamentos do
oscilador harmônico para n2 e n3.
Nos sub-espaços de Hilbert de N=0 e N=2, as energias são
+
e
.. No sub-espaço de N=1, a solução é mais complicada
pois envolve termos cruzados que relacionam transições entre os dois níveis eletrônicos de
energia e adiciona um acoplamento ressonante do polaron.
Para N=1, o Hamiltoniano pode ser escrito de tal forma que apareçam apenas as
transições ressonantes 0→1 com absorção de um fônon e 1→0 com a emissão de um fônon, o
Hamiltoniano fica
(4)
obtido da aproximação conhecida como “rotantig-wave (RW) approximation” como no
modelo óptico de Jaynes-Cummings (Jaynes & Cummings, 1963). Os autovalores de energia
, onde o
relacionados ao Hamiltoniano acima são
termo
=
está relacionado ao acoplamento elétron-fônon LO e é
conhecido como deslocamento de Rabi.
A função densidade espectral do elétron é definida por
(5)
onde ρ é a matriz densidade dada por
com
constante de Boltzmann, µ é o potencial químico do sistema,
, onde kB é a
é a
3
normalização da matriz densidade e ci(t) é o operador de destruição de férmions dependente
do tempo, dado por
.
Resultados e Discussão
A interação elétron-fônon modifica os níveis de energia do elétron. O estado
fundamental e o primeiro estado excitado do sistema sofrem correção devido à
renormalização causada pelo efeito polarônico. O estado fundamental do elétron sofre uma
redução do seu valor original, no sub-espaço N=1, por uma quantidade igual ao deslocamento
de energia de um elétron confinado em um ponto quântico simples. Considerando um
confinamento parabólico nas direções x e y com freqüências de confinamento Ωx e Ω y
(considerando Ωy=1,5Ωx) e um poço simples com largura W (considerando W=100Å) na
direção z num ponto quântico composto de GaAs-AlGaAs, onde a constante adimensional de
acoplamento de Fröhlich é igual a 0,07. Para o GaAs a constante de temperatura T0 é
aproximadamente igual a 420K. A figura 1 mostra a energia obtida para o elétron. O
desdobramento dos níveis de energia está relacionado ao termo B1 do Hamiltoniano. A
intensidade do deslocamento é proporcional à constante
e aos modos n1 de fônons. O modo
n2 de fônons fornece um peso para o desdobramento dos níveis de energia. Os modos n2 e n3
fornecem acréscimos aos dois níveis de energia do elétron. O número de níveis do sistema
está relacionado à quantidade de fônons que é adicionada. Observando a figura verificamos
que o estado fundamental permanece praticamente fixo com energia igual a ε0-Ep(1), para o
GaAs Ep(1)≈-0,06. Incluindo um grande número de fônons no sistema, as energias que surgem
devido a estes fônons desdobram os níveis superiores mais vezes. Mas como existem mais de
um modo de fônons, n2 e n3, os níveis desdobram mais à medida que mais fônons são
adicionados.
2,5
Energia [hωLO]
2,0
1,5
1,0
0,5
α= 0.07
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Ωx
4
Figura 1 Níveis de energia do elétron acoplado com os fônons LO em função do
confinamento lateral para um ponto quântico.
O potencial químico afeta fortemente a função espectral. Nos cálculos, podemos
considerar o potencial químico como um parâmetro. Quando µ é menor que o estado
fundamental (que corresponde a um sistema sem elétron), identificamos que a expressão (5)
fornece a densidade de estados do estado fundamental e do primeiro estado excitado,
respectivamente como mostrado na figura 2(a) para vários valores de temperatura. Quando
µ=(ε0+ε1)/2 o sistema está aproximadamente ocupado com um elétron. Este resultado é
mostrado na figura 2(b). Para um sistema exatamente ocupado por um elétron, precisamos
fazer cálculos auto-consistentes incluindo o potencial químico. A expressão para a função
densidade espectral é um conjunto de funções delta. Incluímos uma largura fictícia para os
picos e para isso escolhemos uma expressão gaussiana para a função delta de Dirac.
Os picos da densidade de estados na figura 2(b) estão coerentes com o espectro de
energia da figura 1. O estado fundamental tem seu valor renormalizado para ε0-Ep(1) enquanto
o primeiro estado excitado sofre um deslocamento em dois estados bem definidos devido à
interação elétron-fônon LO. Mas, à medida que a temperatura aumenta, como podemos ver na
outras curvas da figura 2(a) e 2(b), o potencial químico não representa mais um fator
determinante e as duas situações, com os dois diferentes parâmetros para µ, coincidem para
temperaturas altas. Para temperaturas altas existe a possibilidade do elétron absorver um
fônon e saltar para o primeiro estado excitado, desde que a energia do fônon seja coerente
com a separação energética entre os dois níveis de energia.
(a)
(b)
A0
T=T0
A1
T=T 0
T=3T0/4
Ai(ω)
Ai(ω)
T=3T0/4
T=T0/2
T=T0/2
T=T 0/4
T=T0/4
T=T0/10
T=T0/10
T=T0/100
-0,3
0,0
0,3
0,6
E
0,9
1,2
1,5
T=T0/100
-0,3
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
E
Figura 2 (a) Densidade espectral considerando o potencial químico igual a µ=(ε0+ε1)/2 e (b)
Densidade de estados possíveis quando o potencial químico está abaixo do estado
fundamental renormalizado.
5
Conclusões
Fizemos cálculos para a função densidade espectral utilizando um modelo nãoperturbativo em um ponto quântico simples composto de GaAs-AlGaAs. Verificamos que o
modelo produz uma estrutura de picos determinados por funções delta de Dirac para a função
densidade espectral. Tratamos o potencial químico µ como um parâmetro de ajuste do
sistema. Mostramos a densidade de estados do sistema quando o valor µ é menor que o valor
da energia do estado fundamental e a distribuição de estados eletrônicos em função da energia
quando um elétron está presente no sistema no caso de µ=(ε0+ε1)/2.
Referências Bibliográficas
BIMBERG, D.; GRUNDMANN, M.; IEDENTSOV, N.N. Quantum Dot Heterostructures.
John Wiley and Sons Ltd., 1999.
COIMBRA, A.L. Espaços vetoriais – Lições e exemplos. Editora Edgard Blücher LTDA,
1994.
JAYNES, E.T.; CUMMINGS, F.W. Proc. IEEE 51. P. 89, 1963.
KRÁL, K.; KHÁS, Z. Phys. Rev. B 57, P. R2061, 1998.
MAHAN, G. Many-particle Physics. New York: Plenum, 1981.
MUKHOPADHYAY, S.; PEETERS, F.M. J. Phys. Condens. Matter 14, p. 8005-8010, 2002.
OLIVEIRA, S. S.; LOPEZ-RICHARD, V.; HAI, G. Phonon-assisted tunneling in coupled
semiconductor quantum dots. Physical Review B, The American Physical Society, v. 71, p.
75329, 2005.
STAUBER, T.; ZIMMERMAN, R.; CASTELLA, H. Phys. Rev. B 62, p. 7336, 2000.
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