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UFPE - CCB - DEPARTAMENTO DE BIOFÍSICA E RADIOBIOLOGIA
BIOMATEMATICA PARA FARMÁCIA (BR252) – ATIVIDADE DE GREVE – PROF. CONSONI - 1S 20012
EXEMPLOS COM SOLUÇÕES COMENTADAS SÔBRE DERIVADAS DE FUNÇÕES
CONSIDERAREMOS TRÊS EXEMPLOS COM SOLUÇÕES COMENTADAS DE DERIVADAS DE FUNÇÕES
INSTRUÇÕES IMPORTANTES
FAÇA TODOS OS CÁLCULOS EXPLICITAMENTE ( E SEMPRE JUSTIFIQUE O SEU RACIOCÍNIO. MUITAS VEZES O PRÓPRIO CALCULO
JÁ CONSTITUI A JUSTIFICATIVA E DAÍ DISPENSA AS PALAVRAS ). APRESENTE OS RESULTADOS, QUANDO FOR O CASO, EM TABELAS
CONSTRUÍDAS DE ACORDO COM AS NORMAS DA ABNT. NÃO SE ESQUEÇA DAS UNIDADES. ATENÇAÕ PARA O Nº DE CASAS DECIMAIS
SOLICITADO, TANTO NOS CÁLCULOS QUANTO NAS RESPOSTAS.
EXEMPLO COM SOLUÇÃO COMENTADA Nº1 (REF.1 / P.180)
UMA CIDADE X É ATINGIDA POR UMA MOLÉSTIA EPIDÊMICA. OS SETORES DE SAÚDE CALCULAM QUE O
NÚMERO DE PESSOAS ATINGIDAS PELA MOLÉSTIA DEPOIS DE UM TEMPO t (MEDIDO EM DIAS A PARTIR DO
PRIMEIRO DIA DA EPIDEMIA) É , APROXIMADAMENTE , DADO POR:
y = f(t) = 64 . t – ( t3 / 3 ) .
OBS. EQUAÇÃO ESCRITA NUMA SÓ LINHA
(a) QUAL É A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE y COM RELAÇÃO A t CALCULADA PARA O INTERVALO DESDE
t = 2 ATÉ t = 4 (DIAS)?
(b) QUAL É A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DE y COM RELAÇÃO A t CALCULADA PARA t = 2 (DIAS)?
(c ) QUANTAS PESSOAS SERÃO ATINGIDAS PELA EPIDEMIA NO 5º DIA?
(d) EM QUE INSTANTE O NÚMERO DE PESSOAS INFECTADAS É MÁXIMO? E QUAL O VALOR DESSE MÁXIMO?
SOLUÇÃO (ATENÇÃO: LER ANTES “INSTRUÇÕES IMPORTANTES”)
(a) A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE y COM RELAÇÃO A t , DENOTADA POR y / t , PODE SER OBTIDA
CALCULANDO-SE PRIMEIRO TANTO y COMO t E DEPOIS FAZENDO-SE O QUOCIENTE DE y POR t.
PARA ESSE CÁLCULO SERÁ PRECISO UTILIZAR AS DEFINIÇÕES DE y E t DADAS ABAIXO:
y = f(tFINAL) – f(tINICIAL)
t = tFINAL - tINICIAL
PARA O CASO PRESENTE:
y = f(4) – f(2) = (64 . 4 – (43/3) ) – (64 . 2 – (23/3) ) = 234,66667 – 125,33333 = 109,33334
t = 4 – 2 = 2
DAÍ: TAXA MÉDIA = y / t = 109,33334 / 2 = 54,66667 (Nº DE PESSOAS / DIA)
OBS. MANTENHA ESSE RESULTADO
FRACIONÁRIO
(b) MATEMATICAMENTE ISSO EQUIVALE A SOLICITAR O CÁLCULO DE
lim ( y / t )
(PARA t = 2)
t  0
ESSE LIMITE PODE SER OBTIDO DE VÁRIAS MANEIRAS. UMA DELAS É NUMERICAMENTE COMO FOI FEITO NA
TABELA ABAIXO.
t
4,00000
3,00000
2,50000
2,25000
2,12500
2,06250
2,03125
2,01563
2,00781
2,00391
2,00196
2,00098
2,00049
2,00024
y=f(t)=64 t - t3/3
234,66667
183,00000
154,79167
140,20313
132,80143
129,07544
127,20637
126,27064
125,80181
125,56790
125,45093
125,39213
125,36273
125,34773
t
2,00000
1,00000
0,50000
0,25000
0,12500
0,06250
0,03125
0,01563
0,00781
0,00391
0,00196
0,00098
0,00049
0,00024
y = f(t+t) - f(t)
109,33333
57,66667
29,45833
14,86979
7,46810
3,74211
1,87304
0,93731
0,46848
0,23457
0,11759
0,05880
0,02940
0,01440
y / t
54,66667
57,66667
58,91667
59,47917
59,74479
59,8737
59,93717
59,96866
59,98436
59,99217
59,99608
59,99804
59,99902
59,99952
OBSERVE QUE QUANDO t TENDE A
ZERO (EM SÍMBOLOS: t  0) ,
tFINAL TENDE A tINICIAL . NESTE EXEMPLO,
t  2 ( LEMBRE-SE:
t = tFINAL - tINICIAL = t – 2 )
DA TABELA AO LADO, CONCLUI-SE
(NUMERICAMENTE) QUE y / t  60
(VER COLUNA 5) QUANDO t  0 (VER
COLUNA 3).
LOGO: lim ( y / t ) = 60
t  0
NA VERDADE ESSA “DEMONSTRAÇÃO” NUMÉRICA NÃO É RIGOROSA E EM OUTROS CASOS PODE LEVAR A
RESULTADOS ERRADOS. NO CASO PRESENTE ELA FUNCIONOU RAZOAVELMENTE BEM, MAS O PRINCIPAL
OBJETIVO AQUÍ É REVELAR, DE MODO CLARO, O ESPÍRITO POR TRÁS DESSE CÁLCULO DE LIMITE. NEM SEMPRE
ESSE LIMITE EXISTE: HÁ FUNÇÕES y = f(x) PARA AS QUAIS ELE DIVERGE: lim ( y / x )    QUANDO x  0.
O ITEM (b) PEDE O CÁLCULO DA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
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(ISTO É, TAXA DE VARIAÇÃO NO INSTANTE t = 2 DIAS) PORQUE A VARIÁVEL INDEPENDENTE É O TEMPO.
EM OUTRAS APLICAÇÕES A VARIÁVEL INDEPENDENTE NÃO É O TEMPO E AÍ É PREFERÍVEL CHAMAR DE TAXA
DE VARIAÇÃO NUM DETERMINADO PONTO ESPECIFICADO DA VARIÁVEL INDEPENDENTE. A NOTAÇÃO GERAL É
A SEGUINTE:
y = f(x)
lim (y / x)
COM x = x - x0
x = PONTO FINAL E xo = PONTO INICIAL
x  xo
O PONTO INICIAL xo É MANTIDO FIXO DURANTE O CÁLCULO DESSE LIMITE MAS PODERÁ SER MODIFICADO
PARA UM OUTRO VALOR EM OUTRO CÁLCULO DESSE MESMO TIPO DE LIMITE. POR EXEMPLO, NO PRESENTE
EXEMPLO, PODER-SE-IA TER SOLICITADO A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DE y COM RELAÇÃO A t PARA
t = 2,5 3 5,7 8 20 ETC (DIAS). O PROCEDIMENTO NUMÉRICO SERIA ANÁLOGO. TAMBÉM É PRECISO
ASSINALAR O MODO PARTICULAR COM QUE SE FÊZ t  2 (COLUNA 1 DA
TABELA) E UTILIZANDO-SE APENAS VALORES SUPERIORES DE t = 2 (ISTO É, t  2; MAS PODERIA SER t  2 )
GRÁFICO DA FUNÇÃO y = f(t) = 64 . t – ( t3 / 3 )
A PARTE DO GRÁFICO DE y = f(t) QUE ESTÁ NO TERCEIRO
QUADRANTE SÓ TEM INTERESSE SOB O PONTO DE VISTA
MATEMÁTICO APENAS. A PARTE QUE ESTÁ NO PRIMEIRO
QUADRANTE É QUE TEM INTERPRETAÇÃO EPIDEMIOLÓGICA. TRATA-SE DE UM MODÊLO MATEMÁTICO.
y (nº de pessoas atingidas)
400
300
200
100
0
-100
-14 -12 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-200
-300
-400
t (dia)
y (nº de pessoas atingidas)
400
300
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TAXA MÉDIA
A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA NO INTERVALO DE t = 2 ATÉ
t = 4 , COMO VISTO NA FIGURA, CORRESPONDE AO VALOR
DA INCLINAÇÃO DA RETA SECANTE QUE PASSA PELAS
COORDENADAS (2, f(2)) E (4, f(4)) SENDO f(2) = 125,33333
E f(4) = 234,66667.
INCLINAÇÃO = y / t ( dia – 1 )
y

t
NOTE QUE A INCLINAÇÃO NÃO IGUAL À TANGENTE DE 
POIS INCLINAÇÃO PODE TER UNIDADE E tan  NÃO!
200
100
0
-100
-14 -12 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-200
-300
-400
t (dia)
10
12
14
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA TAXA INSTANTÂNEA
A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA EM t = 2 COMO
VISTO NA FIGURA, CORRESPONDE AO VALOR
DA INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE QUE PASSA PELAS
COORDENADAS (2, f(2)).
A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE NÃO É NECESSARIAMENTE IGUAL À DA RETA SECANTE. ISTO ACONTECERÁ
APENAS SE O GRÁFICO DA FUNÇÃO FÔR UMA LINHA
RETA.
UMA OUTRA POSSIBILIDADE DE CALCULAR A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA É ATRAVÉS DO CÁLCULO DA
DERIVADA . COMO SE SABE DA TEORIA, A DERIVADA DE UMA FUNÇAO EM UM DETERMINADO PONTO DÁ ESSA
TAXA. LEMBRE-SE QUE , DADA UMA FUNÇÃO CONTÍNUA y = f(x) :
dy/dx |x=xo = lim ( y / x )
x  0
NESSE CASO SERÁ PRECISO UTILIZAR AS PROPRIEDADES DA DERIVADA BEM COMO USAR UMA TABELA COM
AS DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, FUNÇÕES ESSAS REPRESENTADAS
SIMBOLICAMENTE POR y = f(x) .
PARA O CASO PRESENTE TEMOS: dy/dt = (d/dt) y = (d/dt) [ 64 . t – ( t3 / 3 ) ] = (d/dt) [ 64 . t ] – (d/dt) [ t3 / 3 ]
dy/dt = 64 – t2
dy/dt | t =2 = 64 – (22) = 64 – 4 = 60
DAÍ, A RAZÃO (TAXA) DA EXPANSÃO DA EPIDEMIA EM t = 2 É 60 dia-1 OBS. 60 PESSOAS INFECTADAS POR DIA
PROPRIEDADES DA DERIVADAS
[k f(x)]´= k [f(x)]´ k = cte
[f(x)  g(x)]´= [f(x)]´ [g(x)]´
[f(x) . g(x)]´= [f(x)]´. g(x) + f(x) . [g(x)]´
[f(x) / g(x)]´= { [f(x)]´. g(x) - f(x) . [g(x)]´ } / g2(x)
REGRA DE CADEIA:
y = f(u) E u = g(x)  y´x = y´u . u´x
g(x)  0
MINI - TABELA DE DERIVADAS
y = f(x)
dy/dx = df(x) / dx
xm
m xm-1
kx
e
k ek x
sen (k x)
k cós (k x)
cos (k x)
(-) k sen (k x)
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(c) CONSIDERE A FIGURA ABAIXO.
1º
0
2º
1
3º
2
4º
3
5º
4
5
t(dia)
O 5º DIA CORRESPENDE À VARIAÇÃO DE t DE 4 PARA 5. DAÍ: f(5) –f(4)  43
(d) SE dy/dt = 0 PARA t = T ENTÃO T É UM PONTO DE MÁXIMO OU DE MÍNIMO OU DE INFLEXÃO.
NESSE EXEMPLO: dy/dt = 64 – T2 = 0 LEVA A T =  64 =  8. APENAS T = + 8 TEM SIGNIFICADO.
EXAMINANDO O GRÁFICO DE f(t) VERSUS t VERIFICA-SE QUE SE TRATA DE UM PONTO DE MÁXIMO.
E f(T=8) = 64 . (8) – (8)3 / 3 = 341,33333
EXEMPLO COM SOLUÇÃO COMENTADA Nº2 (REF.1 / P.183)
O RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA CRESCE À RAZÃO (TAXA) DE 21 cm/s. QUAL A TAXA DE CRESCIMENTO DO
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA EM RELAÇÃO AO TEMPO?
SOLUÇÃO (ATENÇÃO: LER ANTES “INSTRUÇÕES IMPORTANTES”)
SEJAM R = RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA t = TEMPO L = COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
DA GEOMETRIA PLANA SABE-SE QUE L = 2  R .
A TAXA DE CRESCIMENTO DE R EM RELAÇÃO A t É dR/dt = 21 cm/s (VER ENUNCIADO)
PEDE-SE dL/dt . A REGRA DE CADEIA FORNECE dL/dt = (dL/dR) (dR/dt) .
DAÍ:
dL/dt = (2 ) (21) = 42  cm/s
EXEMPLO COM SOLUÇÃO COMENTADA Nº3 (REF.2 / P.175)
CINQÜENTA ANIMAIS AMEAÇADOS DE EXTINÇÃO SÃO COLOCADOS EM UMA RESERVA. DECORRIDOS t ANOS A
POPULAÇÃO N DESSES ANIMAIS É ESTIMADA POR
t2 + 6 t + 30
N(t) = 50
= 50 [ ( t2 + 6 t + 30 ) / ( t2 + 30 ) ]
OBS. A 2ª EXPRESSÃO OCUPA APENAS UMA LINHA
2
t + 30
EM QUE INSTANTE ESSA POPULAÇÃO ANIMAL ATINGE SEU MÁXIMO? QUANTO ELE VALE?
SOLUÇÃO (ATENÇÃO: LER ANTES “INSTRUÇÕES IMPORTANTES”)
COM f(t) = t2 + 6 t + 30 E g(t) = t2 + 30 TEM-SE N(t) = 50 [ f(t) / g(t) ] . DAÍ N´(t) = 50 { [ f´(t) g(t) – f(t) g´(t) ] / (g(t))2 }
NOTE QUE N´(t) NÃO É IGUAL A 50 [ f´(t) / g´(t) ]
OBS. COMPARE: log (a . b) = log a + log b E NÃO log (a . b) = log a . log b
FAZENDO AS DERIVADAS: f´(t) = 2 t + 6 E g´(t) = 2 t .
ASSIM: N´(t) = 50 { [ (2 t + 6) (t2 + 30) – (t2 + 6 t + 30) (2 t) ] } / (t2 + 30)2
DESENVOLVENDO OS PRODUTOS NO NUMERADOR E REUNINDO OS TERMOS SEMELHANTES RESULTA:
N´(t) = 50 . [ ( - 6 t2 + 180) / (t2 + 30)2 ]
PARA ENCONTRAR O PONTO DE MÁXIMO: N´(t) = 0 . ISSO IMPLICA QUE SÓ O NUMERADOR DESSA FRAÇÃO
POLINOMIAL DEVE SE ANULAR. PORTANTO, - 6 t2 + 180 = 0   30  + 30 = 5,47723 (COM 05 CASAS DECIMAIS)
N(5,47723) = 50 (92,86335 / 60) = 77,38613  77 ANIMAIS APROXIMADAMENTE.
OUTRO MÉTODO: PODER-SE-IA ESCREVER N(t) COMO N(t) = 50 (t2 + 6 t + 30) (t2 + 30)-1 . DENOTANDO AGORA
f(t) = t2 + 6 t + 30 E g(t) = (t2 + 30)-1 TER-SE-IA: N(t) = 50 f(t) g(t) . DAÍ:
N´(t) = 50 [ f´(t) g(t) + f(t) g´(t) ] . É PRECISO CALCULAR g´(t) DA SEGUINTE MANEIRA:
y = f1(u) = u-1 COM u = f2(t) = t2 + 30
ASSIM: dy/dt = (dy/du) (du/dt) = (-1 u-2 ) (2 t) = - 2 t (t2 + 30)-2
DAÍ:
N´(t) = 50 [ (2 t + 6) (t2 + 30)-1 + ( t2 + 6 t + 30 ) ( - 2 t (t2 + 30)-2 ) ] = 50 . [ ( - 6 t2 + 180) / (t2 + 30)2 ]
REFERÊNCIAS
Nº1 CÁLCULO A D. M. FLEMMING – M. B. GONÇALVES PEARSON – PRENTICE HALL (2006)
Nº2 CÁLCULO PARA CIÊNCIAS MÉDICAS E BIOLÓGICAS A.F.A.AGUIAR – A.F.S.XAVIER – J.E.M.RODRIGUES ED. HARBRA (1988)