1. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
Calcule o determinante da matriz
Justifique.
2. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial
A£ + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível
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3. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da
matriz
na forma de um produto de números reais.
4. (Ita 2004) Se A é uma matriz real, considere as definições:
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A¢ = A .
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a‹Œ = 0, para todo i, j = 1,..., n, com i · j.
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e
ortogonais.
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5. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.
Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
6. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (a‹Œ)‚Ö‚, tal que
a‹Œ = 2, se i < j
a‹Œ = 3i + j, se i µ j,
encontre o DETERMINANTE da matriz A .
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7. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação
encontramos 3 raízes reais.
Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.
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8. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes
Calcule:
a) o determinante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A).
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9. (Unesp 2004) Considere a matriz
a) Determine todos os números reais — para os quais se tem det (A - —I) = 0, onde I é a matriz
identidade de ordem 3.
b) Tomando — = - 2, dê todas as soluções do sistema
ý(6 - —) x - 3y = 0
þ- 3x + (6 - —) y = 0
ÿx - y + (2 - —) z = 0
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10. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um
grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da
criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da
matriz A, onde
Com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
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11. (Unesp 2006) Sejam
matrizes reais.
a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os
pares ordenados (x,y) que satisfazem a inequação det(A) ´ det(B).
b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.
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12. (Unicamp 2003) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de
óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar
uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida.
Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível.
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13. Considerando-se que f(p) = 12 p - p£ e g(p) = p¤ - 24p£ + 144p, o valor do determinante da
matriz
é igual a
a) 4 620
b) 2 420
c) 2 200
d) 400
e) 220
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14. (Fgv 2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula também de
ordem 3. Assinale a alternativa correta:
a) Se A . B = O, então: A = O ou B = O
b) det(2 . A) = 2 det(A)
c) Se A . B = A . C, então B = C
d) A. (B . C) = (A . B) . C
e) det(A + B) = det(A) + det(B)
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15. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1.
(02) A matriz A = (a‹Œ)Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8].
(04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2.
(08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A.
Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica.
(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja
uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
(32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se
afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os
determinantes das matrizes A e B.
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16. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As
unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses
consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem
ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1)
(02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para
ele.
(04) A solução da equação (figura 2) é x = 1.
(08) A matriz (figura 3) não possui inversa.
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17. (Pucpr) O determinante
a) 1
b) cos£‘ cos£’ cos£–
c) (cos‘ cos’ cos–)£
d) tg£‘ sec£‘ + tg£’ sec£’ + tg£– sec£–
e) 0
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18. (Fatec 2005) O polinômio
admite:
a) três raízes reais.
b) uma raiz de multiplicidade 2.
c) nenhuma raiz real.
d) uma única raiz real.
e) uma raiz de multiplicidade 3.
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19. (Fatec 2006) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal
principal. Se os números inteiros x e y são tais que a matriz
tem traço igual a 4 e determinante igual a -19, então o produto xy é igual a
a) - 4
b) - 3
c) - 1
d) 1
e) 3
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20. (Fei 99) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi
registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por:
ý 2i + f
a‹Œ
=
se i = j
þ
ÿj
se i · j
onde f é o valor associado à face correspondente.
Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5?
a) 63
b) 61
c) 60
d) 6
e) 0
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21. (Fgv 2002) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condições, det(3A) e
det(A¢) valem respectivamente:
a) 7 e -7
b) 21 e 1/7
c) 21 e -7
d) 63 e -7
e) 63 e 1/7
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22. (Fgv 2005) Seja
Se D = 0 e ™ ´ x ´ 2™, então:
a) x = ™
b) x = 2™
c) x = (5™)/4
d) x = (4™)/3
e) x = (7™)/6
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23. (Ita 2004) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n,
n µ 2:
I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (a‹Œ) é tal que a‹Œ = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = aa‚‚...aŠŠ.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por (Ë2) + 1 e a segunda por (Ë2)
- 1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
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24. (Ita 2004) Seja x Æ IR e a matriz
Assinale a opção correta.
a) ¯ x Æ IR, A possui inversa.
b) Apenas para x > 0, A possui inversa.
c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.
d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa.
e) Para x = log‚ 5, A não possui inversa.
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25. (Ita 2006)
a) 0
b) 4
c) 8
d) 12
e) 16
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26. (Mackenzie 2001) Se A = (a‹Œ) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que
a‹Œ = -3, se i = j
a‹Œ = 0, se i · j
então o determinante de A vale:
a) -27
b) 27
c) 1/27
d) -1/27
e) zero
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27. (Mackenzie 2003) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que
zero e A¢ a sua inversa. Se 16 . det A¢ = det (2A), então o determinante de A vale:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
28. (Pucmg 2003) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A)
= 2x -150, o valor de x é:
a) 11
b) 16
c) 43
d) 67
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29. (Pucmg 2004) Considere as matrizes
É CORRETO afirmar que o valor do determinante da matriz AB é:
a) 32
b) 44
c) 51
d) 63
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30. (Pucpr 2001) O valor de x no determinante:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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31. (Pucpr 2004) A soma dos valores de — para que det (A + —I) = 0, onde I é matriz identidade
e
é:
a) 5
b) -7
c) 2
d) -3
e) 0
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32. (Pucpr 2004) Calcular o valor de x para que o determinante
a) 128
b) 64
c) 32
d) 16
e) 256
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33. (Pucpr 2005) Sendo 0 ´ x ´ ™/2, o valor de x para que o determinante da matriz
seja nulo é:
a) ™/2
b) ™/3
c) ™/6
d) ™/4
e) ™
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34. (Pucrs 2001) Se
então det (A£ B£) é igual a
a) -1
b) 1
c) 5
d) -7/5
e) 7/5
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35. (Pucrs 2004) Se a matriz
tem inversa, então det A¢ é
a) bc - ad
b) (1/ad) - (1/bc)
c) c) det A
d) - (1/bc) c) det Ad) 1/det A
e) 1/(det A)£
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36. (Pucrs 2005) O determinante da matriz
é
a) 0
b) 1
c) sen x + cos x
d) sen£x
e) ( sen x + cos x )£
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37. (Pucsp 2001) Seja a matriz A = (a‹Œ)ƒ Ö ƒ, tal que
ýcos 7™/i se i = j
a‹Œ=
þ
ÿsen 7™/j se i · j.
O determinante da matriz A é igual a
a) - (Ë3/2)
b) - (1/2)
c) - 1
d) 1/2
e) (Ë3/2)
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38. (Pucsp 2003) Indica-se por det A o determinante de uma matriz
quadrada A. Seja a matriz A = (a‹Œ), de ordem 2,
em que
ý sen[(™/4) . (i + j)], se i = j
a‹Œ = þ
ÿsen[x . (i - j)], se i · j
Quantos números reais x, tais que -2™ < x < 2™, satisfazem a sentença det A = 1/4?
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
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39. (Ueg 2005) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes
é verdade que y/x é igual a
a) 1/20
b) - 1/20
c) 20
d) - 20
e) 3/20
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40. (Uel 2001) O determinante mostrado na figura a seguir
é positivo sempre que
a) x > 0
b) x > 1
c) x < 1
d) x < 3
e) x > -3
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41. (Uerj 2003) Observe a matriz a seguir.
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado:
a) 1
b) sen x
c) sen£ x
d) sen¤ x
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42. (Ufc 99) Considere a matriz mostrada na figura adiante
onde ‘ representa qualquer uma das raízes (complexas) da equação x£+x+1=0. Se detM
simboliza o determinante da matriz M, assinale a opção na qual consta o valor de
(detM)£+(detM)+1.
a) i.
b) 0.
c) -1.
d) 1.
e) -i.
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43. (Ufc 2000) Considere a matriz A mostrada na figura adiante.
O valor de a para o qual a equação detA=1 possui exatamente uma raiz real é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
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44. (Ufc 2002) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é
igual a:
a) 32
b) 48
c) 64
d) 80
e) 96
45. (Ufes 2001) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k é um número real
tal que det(kA)=192, então o valor de k é
a) 4
b) 8
c) 32
d) 64
e) 96
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46. (Ufes 2004) Se as matrizes A e B a seguir, com k È {-1,0,1}, então o determinante da matriz
BAB¢ é
a) - 1
b) 0
c) 1
d) k
e) 1/k
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47. (Uflavras 2000) Os valores de "a" na matriz adiante,
que satisfazem f(det M) = 0, para f(X) = X + a, são
a) -1, 1
b) 0, -1
c) 0, 1
d) 0, 2
e) -2, 2
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48. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.
(04) A soma das raízes da equação
(08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
(16) O sistema
ý3x - 2y = 0
þ
é indeterminado.
ÿx + y = 0
Soma (
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)
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pag.43
49. (Ufscar 2000) A condição para que o determinante da matriz A mostrada na figura a seguir
seja diferente de zero é:
a) a = -1 e a = 2.
b) a · 1 e a · -2.
c) a > 0.
d) a · -1 e a · 2.
e) a · 1 e a · 2.
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50. (Ufscar 2005) Seja A = (a‹Œ) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que,
ýp, se i = j
a‹Œ = þ
ÿ2p, se i · j
com p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é
múltiplo de
a) 2.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
e) 11.
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51. (Ufsm 2001) Analise as afirmações a seguir.
I. A matriz adiante é invertível se x = 2b.
II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB.
III. Se detA = m · 0 e detB = 1/m, então det(AB)=1.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) I, II e III.
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52. (Ufsm 2002) Seja A uma matriz 2 x 2 com determinante não-nulo. Se det A£ = det (A + A),
então det A é
a) - 4
b) 1
c) 4
d) 8
e) 16
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53. (Ufsm 2002) 09. A equação
na variável x, tem duas soluções reais
a) somente para m Æ Z
b) para todo m Æ IR
c) somente para m=O
d) somente para m = 1/3
e) para m = 1 + i, onde i é a unidade imaginária
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pag.48
54. (Ufsm 2003) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B · 0, então
det [(1/2) . A . B¢] é igual a
a) 1/(2¾)
b) 1/2
c) (1/2) . det A
d) [1/(2¾)] . det A
e) 2¾
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55. (Ufsm 2003) Sendo
então a soma de todos os valores reais x, tal que det (A£ - xI) = 0, é igual a
a) -5
b) 0
c) 5
d) 7
e) 4Ë2 + 7
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pag.50
56. (Ufv 2000) Seja a matriz A‚Ö‚ mostrada na figura adiante.
O determinante de A vale:
a) 1
b) sen10°
c) sen 190°
d) cos£10°
e) cos 20°
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57. (Ufv 2002) Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A)=det(A£), então o valor de
det A é:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 0
e) 1
58. (Ufv 2004) Na matriz quadrada A = (aij) de ordem 2, os elementos a••, a‚, a‚ e a‚‚, nesta
ordem, apresentam a seguinte propriedade: "Os três primeiros estão em progressão aritmética
e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão". Se a‚ = 2, o
determinante de A vale:
a) -8
b) 8
c) 0
d) -4
e) 4
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pag.52
59. (Unesp 2003) Seja a matriz
onde a, b, c e d Æ R. Se os números a, b, c e d, nesta ordem, constituem uma P.G. de razão q,
o determinante desta matriz é igual a
a) 0.
b) 1.
c) q£a¤.
d) q¤a£.
e) 2q¤a£.
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60. (Unifesp 2004) Se |A| denota o determinante da matriz A, e se
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GABARITO
1.
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d =
a + 3n.
Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0.
2. a) Se B é inversível, temos:
AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì
A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì
B¢ . A = A . B¢
c.q.d.
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b) Como A e B comutam, tem-se:
A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B)
Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos:
det B = det [ A (A+2B) ] Ì
det B = det A . det (A+2B)
Como B é inversível, det B = k, k · 0.
Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos:
k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0
O que é uma contradição, pois k· 0.
Portanto, A é inversível.
c.q.d.
3. (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c)
4. Ver figura de resolução.
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5. det = 80 + 140 - 64 - 20
det = 136
det = 17 . 8
é divisível por 17
6. det (A ) = 18
7. 2; 2 + Ë7 e 2 - Ë7
8. a) 50
b)
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9. a) — = 2 ou — = 3 ou — = 9
b) S = { (0, 0, 0) }
10. a) 18 kg
b) 11 anos
11. a) det(A) = y - 4x
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b) x = 1 e y = 2
12. a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i
b) {a Æ IR | - 3 < a ´ 5}
13. [E]
14. [D]
15. 02 + 16 = 18
16. proposições corretas: 04 e 08
proposições incorretas: 01 e 02
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17. [E]
18. [D]
19. [B]
20. [B]
21. [E]
22. [B]
23. [D]
24. [A]
25. [D]
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26. [A]
27. [D]
28. [A]
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32. [B]
33. [D]
34. [B]
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35. [D]
36. [B]
37. [A]
38. [B]
39. [D]
40. [B]
41. [D]
42. [D]
43. [E]
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44. [E]
45. [A]
46. [A]
47. [C]
48. 04
49. [B]
50. [C]
51. [C]
52. [C]
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53. [B]
54. [A]
55. [D]
56. [A]
57. [B]
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59. [A]
60. [D]
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