CAPÍTULO 1
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MAKRON
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NÚMEROS REAIS
Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de
números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses conjuntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções,
usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais.
Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos
os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo
estas propriedades.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros
positivos ou naturais. Temos então o conjunto
N = {1, 2, 3, ...}.
Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos
números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números
inteiros que denotamos por
Z={0,±1,±2,±3,...}.
2
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Os números da forma mln, n O, m, n E Z, são chamados de frações e formam o
conjunto dos números racionais. Denotamos:
Q= {x I x mln , m, n
e Z, n O}.
Finalmente encontramos números que não podem ser representados na forma mln,
n O, m, n e Z, tais como -& = 1,414 ..., n = 3,14159 ..., e = 2,71 ... . Estes números
formam o conjunto dos números irracionais que denotaremos por Q'.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotamos por
1? = Qu Q'
A seguir apresentaremos os axiomas, definições e propriedades referentes ao
conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e multiplicação que satisfazem os axiomas abaixo:
1.1.1 Fechamento. Se a e b e 1?, existe um e somente um número real denotado
por a + b, chamado soma e existe um e somente um número real, denotado por
ab (ou a x b, ou a - b) chamado produto.
1.1.2 Comutatividade. Se a, b e R entãoa+b=b+a e
a-b=b-a.
1.1.3 Associatividade. Se a, b e c e R então
a + (b + c) = (a + b) + c
e a (b c) = (a•b) • c.
-
1.1.4 Distributividade. Se a, b, c E 1? então
a• (b + c) = ab + ac.
1.1.5 Existência de Elementos Neutros. Existem O e 1 e R tais que a + O = a
e a • 1= a, para qualquer a E R.
Números reais
3
1.1.6 Existência de Simétricos. Todo a E R tem um simétrico, denotado por —a,
tal que a + (—a) = O.
1.1.7 Existência de Inversos. Todo a E IR, a O tem um inverso, denotado por
1
1/a, tal que a • — = 1.
a
Usando 1.1.6 e 1.1.7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
1.1.8 Subtração. Se a, b E IR, a diferença entre a e b, denotada por a — b, é definida
por a — b = a + (—b).
1.1.9 Divisão. Se a,bEIReb O, o quociente de a e b é definido por —a
= a
b•
1.2 DESIGUALDADES
Para podermos dizer que um número real é maior ou menor que outro, devemos introduzir o conceito de número real positivo e uma relação de ordem.
1.2.1 Axioma de Ordem. No conjunto dos números reais existe um subconjunto
denominado de números positivos, tal que:
(i)
se a E E, exatamente uma das três afirmações ocorre: a -= O; a é positivo;
— a é positivo;
(ii)
a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é . positivo.
1.2.2 Definição. O número real a é negativo se e somente se — a é positivo.
1.2.3 Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos:
(i)
a < b <=> b — a é positivo;
(ii)
a > b .:;=> a — b é positivo.
4
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos:
(i)
a 5_ b <=> a < b ou a =-- b;
(ii)
a b<=>a>boua=b.
Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESIGUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto a ^ bea b são
desigualdades não estritas.
1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N.
(i)
Sea>b eb>c, então a > c.
(ii)
Se a>bec> O, então ac > bc.
(iii) Se a>be c< O, então ac < bc.
(iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c.
(v)
Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d.
(vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd.
As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as
definições anteriores. Por exemplo:
Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c).
(def)
Se a > b
(a — b) > O.
(def)
Se b > c
(b — c) > O.
Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O
(def)
ou
a—c>0a>c.
Números reais
5
Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc).
(def.)
Se a > b
(a — b) > O.
Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela
definição, ac > bc.
1.3 VALOR ABSOLUTO
1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como
lal = a, se a O
lal = — a, se a < O.
1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também
chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então
lal =
.
1.3.3 Propriedades.
(i)
(ii)
lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O.
>a<=>x>aoux<—a, onde a > O.
(iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl.
(iv) Se a,bEReb O, então
(v)
a
b
lal
Ibl •
(Desigualdade triangular)
Se a, b e IR, então la + bl
(vi) Se a, b E
R,
lal +
então la — bl 5 lal + Ibl.
(vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl.
6
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Vamos provar algumas das propriedades citadas.
Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0).
Provaremos por partes:
Parte 1: — a < x < a, com a > O
Ixl < a.
Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a.
Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluímos que — x < a.
Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a.
Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a.
Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0,
segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x<a.
Se x < O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl < a, temos que —x < a. Como x < 0,
segue que — x > 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a.
Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl).
Usando 1.3.2, vem
labl = I(ab) 2 = 'Va 2 • b2 = .Va 2 • 'NFoT
lal • Ibl.
Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então
a
b
Usando 1.3.2, vem
a
b
= "\I
=
*NW 1 a 1
—
—
b1
b2I
b O.
la 1
).
lb 1
Números reais
7
Prova da Propriedade v). (Se a, b E I?, então la + bl 5_ lal + lb1).
Como a, b E R, de 1.2.1(i) vem que ab é positivo, negativo ou zero. Em
qualquer caso vale,
ab
labl = tal Ibl.
(1)
Multiplicando (1) por 2, temos
2ab 2 lal IbI.
(2)
Da igualdade (a + b) 2 a 2 + 2ab + b2 e de (2)
vem que
(a + b) 2 a2 + 2 lal Ibl +b 2
(a + b) 2 la1 2 + 2 lal Ibl + Ib1 2
(a + b) 2 5_ (Ial + 1b1) 2 .
(3)
Tomamos a raiz quadrada de (3) e obtemos
la + bl 5_ lal + Ibl.
Prova da Propriedade vi). (Se a, b e 1?, então la — bl 5 lal + 1b1).
Basta escrever a — b = a + (—b) e aplicar a propriedade v).
Ia — bl = la + (—b)I lal + I —bl
lal + Ibl.
Prova da Propriedade vii). (Se a, b E R, então lal — Ibl
la — b1).
Vamos fazer a — b = c. Aplicando a propriedade v, vem
lal = Ic + bl
Icl + 1bl
lal — Ibl
Icl
lal — Ibl
la — bl .
8
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1.4 INTERVALOS
Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
1.4.1 Intervalo Aberto. {xl a < x < b} denota-se (a, b) ou ]a, b[.
1.4.2 Intervalo Fechado. fx1 a x b) denota-se [a, b].
1.4.3 Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda. {xl a < x b} denota se (a, b] ou ]a, b].
-
1.4.4 Intervalo Aberto à Direita e Fechado à Esquerda. {xl a x < b} denota se [a, b) ou [a, b[.
-
1.4.5 Intervalos Infinitos.
(i)
{x I x > a} denota-se (a, + oo) ou ] a, + oo[;
(ii)
{x 1 x a} denota-se [a, + o.) ou [a, + oo [;
(iii) {x 1 x < b} denota-se (-00, b) ou ]— ao, b{;
(iv) {x 1 x b} denota-se (— co, b] ou ]- .0, b].
Podemos fazer uma representação gráfica dos intervalos como nos exemplos
que seguem:
ex. 1.4.1 — (2, 3)
ex. 1.4.2 — [O, 3]
ex. 1.4.3 — (1, 4]
ex. 1.4.4 — [O, 4)
O
1
2 3
4
E
O
1
2 3
4
O
1
2 3
4
O
1
2 3
4
Números reais
9
ex. 1.4.5 —
(i)
(O, + ao)
(ii)
[1, +
(iii) (-0., 3)
4
(iv) (-00, 4]
4
O
1
2
3
4
O
1
2
3
4
O
1
2
3
4
0
1
2
3
3-4
1.5 EXEMPLOS
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
3+7x < 8x+9
3+7x-3 < 8x+9-3
(propriedade 1.2.5 iv)
7x < 8x + 6
7x-8x < 8x + 6 — 8x
(propriedade 1.2.5 iv)
—x < 6
x >
(propriedade 1.2.5
Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução,
e graficamente
6
iii)
10
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7 < 5x+35.9
(propriedade 1.2.5 iv)
7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3
4 < 5x<_6
46
<x
5
5
(propriedade 1.2.5 ii)
Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução,
e graficamente
4/5
(iii)
x+7<5,
6/5
x —7.
Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos.
então, considerar dois casos:
Caso].
Então,
x + 7 > O ou x>-7
x
< 5 (x + 7)
(propriedade 1.2.5 iv)
(propriedade 1.2.5
x < 5x + 35
x — 5x < 5x + 35 — 5x
(propriedade 1.2.5 iv)
— 4 x < 35
x > — 35/4
(propriedade 1.2.5 iii)
Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do
Caso 2.
Então,
4:354? 1.
x+7 < O ou x< —7.
5(x + 7)
x > 5x + 35
x < —35/4
Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2.
Números reais
11
A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co)
ou ainda x e [-35/4, —7].
Graficamente,
-35/4
(iv) (x + 5) (x — 3) > O.
A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
Caso 1.
(x + 5) > O e (x — 3) > O ou
x > — 5
e x> 3
ou
x >
Caso 2.
x + 5 < Oex-3<0
ou
x < —5 e x < 3
ou
x < — 5.
A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3].
Geometricamente,
4
-5
2. Resolva as equações:
(i) I5x — 31 = 7.
Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2
ou x = — 4/5.
12
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, as duas soluções da equação dada são:
x = 2 e x = - 4/5.
(ii) I7x - 11 = I2x + 51.
Esta equação será satisfeita se:
Caso 1.
7x-1 = 2x + 5
7x-2x = 5 +1
5x = 6
x = 6/5.
Caso 2.
7x -1 = -(2x +5)
7x -1
-2x-5
7x +2x = -5 +1
9x
-4
x = - 4/9.
Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9.
(iii) 1 9x + 71 = -7.
Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode
ser negativo.
3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
(i) 17x- 21<4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (i),
-4 < 7x-2<4
-4+2 < 7x-2+2<4+2
Números reais
-2 < 7x < 6
2
7
x <
6
.
Portanto, x E (-2/7, 6/7).
7 - 2x
4+x
s 2, x o - 4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),
17 - 2x1
14 +
^
2.
17 - 2x1 s 214 + xl.
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem
49-28x+4x2 s4(16+8x:Fx2)
49-28x+ 4x 2 s64+32x+4x2
49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2
s
0
- 60x - 15
s
O
- 60x
5
15
60x
-
15
- 15/60
x
(iii)
3 - 2x
s 4, x
2+x
z
- 1/4 ou x E [-1/4, +
-2.
1 3 - 2x1 s 4 12 + xl
9 - 12x + 4x 2
s
16(4+ 4x+x2)
9 - 12x + 4x2
s
64 + 64x + 16x2
-12x2 - 76x -55
s
O
13
14
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
12x2 +76x+55
O
12(x + 5/6) (x + 11/2) . O
(x + 5/6) (x + 11/2) O.
Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a
união de (— 00 —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6).
,
4. Mostre que, se a,bERea<b, então
(i)
(x — a) (x — b) > O
x [a, b].
(ii)
(x — a) (x — b) O
x (a, b).
(iii)
(x — a) (x — b) <O
x E (a, b).
(iv)
(x — a) (x — b) < O
x E [a, b].
Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O
x [a, b]).
Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:
Caso 1.
x — a > O e x — b>O
ou
x > a
e
x > b.
A solução deste caso será x > b ou (b, + 00).
Caso 2.
x—a < O e x—b<0
ou
x < a
e
x < b.
A solução deste caso será x < a ou (— 0 a).
,
Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b]
Números reais
15
De maneira análoga pode-se provar as demais relações.
1.6 EXERCÍCIOS
1.
Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a
representação gráfica.
a)
3 —x < 5 + 3x
c)
2 > — 3 — 3x —7
e)
x2 _^ 9
1)
g)
1— x — 2x 2O
h)
i)
x3 +1>x2 +x
k)
2
x+2
<1
x—2—x—2
rn)
o)
x
x—3
3
x
—
5
b)
1
3x
1 — x
2x —5 < — +
+
3
4
3
5
3
<—
4
x
x2 -3x+2>0
x + 1
2—x
x
3+x
(x2— 1) (x +4) 5_ O
1)
x4 > x2
<44
n)
1/2 x —
4+x
<2
p)
x3 — x2 — x —2>0
>1
q)
x 3 -3x+ 2 50
r)
1
x + 1
s)
8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O
t)
12x3 — 20x2 _ — 11x + 2.
a) 15x — 3 I = 12
b)
I —4+12x1=7
c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I
d)
3
x—2
2. Resolver as equações em R.
x+2
x—2
=5
16
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e)
g)
3x + 8
2x — 3
—4
I9x1-11 = x
f)
13x+2I=5—x
h)
2x-7=Ix1+1.
3. Resolver as inequações em R.
a)
I x + 121<7
b)
13x-41.<2
c)
15-6x1 9
d)
12x-51>3
e)
16+2x1<14—xl
f)
lx+415.12x-61
13x1>15-2x1
h)
lx-11+1x+21>4
j)
• g)
i)
k)
2 +x
3 —x
>4
1)
7 — 2x
5 + 3x
<
—2
_1<lx+21<4
5
2x— 1
1
x —2
m) lx1+1<x
n). 31x-11+1xl<1
o) 12x2 +3x+3I ^ 3
p)
1 1
lx+ 111x — 31 — 5
s)
3 — 2x
1 +x
<4
r)
lx-11+1x-31<14x1
x— 1/2
x + 1/2
<1
Números reais
4. Demonstrar:
a)
Se a Oeb O, então a2 = b 2 se e somente se a = b.
b)
1
Se x < y, então x < — (x+ y)< y.
2
c)
1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O.
d)
Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12
2
17
CAPÍTULO 2
MAKRON
EDITORA
DA
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FUNÇÕES
Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da matemática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência
entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro
conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R.
As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.
2.1 DEFINIÇÃO
Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que
a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é
chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de
valores de f.
Escrevemos:
f:. A —> B
x —> f (x)
ou
f
A —> B
x — > y = f (x).
18
Funções
19
2.2 EXEMPLOS
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
(i)
f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.
(ii) g: A --> B
x --> x + 1
é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.
2.3 CONTRA-EXEMPLOS
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois
o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.
20
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) g: A — B
x --> x - 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B.
Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.
2.4 DEFINIÇÃO
Seja f: A —> B.
i)
Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f unçãof no ponto
x ou imagem de x por f.
ii)
O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado
conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).
-
Funções
21
2.5 EXEMPLO
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra
que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
— a regra que defmef é y = 2x;
Então:
—a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.;
—o domínio de f, D(f) = A;
—a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}.
2.6 EXEMPLO
Seja f. R —> R
x —> x2 .
Então, D(f) = R,
Im(f) = [0, + 00).
Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função
apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f
é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida.
2.7 EXEMPLOS
Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo:
(i) f (x) = 1/x.
Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }.
Im(f) = 1?
—
{0}.
22
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) f (x) =
Para x < O, f (x) não está definida. Então, D(f) = [o, + 00) e Im(f) = [O, + 00).
(iii) f (x) =
— 1.
f (x) não está definida para x < 1. D(f) = [1, 00) e Im(f) = (— 00, O].
(iv) f (x) = lxl.
D(f) = R e Im(f) = [O, + 00).
2.8 GRÁFICOS
2.8.1 Definição. Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos
(x,f (x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos,
fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe
outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. No Capítulo 5,
desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos.
2.8.2 Exemplos
(i) O gráfico da função f (x) = x2 consiste em todos os pares (x, y) E R 2 tais
que y = x 2 . Em outras palavras, é a coleção de todos os pares (x, x 2 ) do plano xy. A
Figura 2.1 nos mostra o gráfico desta função, onde salientamos alguns pontos, de acordo
com a tabela.
Funções,
23
= x2
—2
4
—1
1
o
o
1
1
2
4
Figura 2-1
(ii) Consideremos a função f (x) = x. Os pontos de seu gráfico são os pares
(x, x) e E 2 . A Figura 2.2 mostra este gráfico.
Figura 2-2
(iii) Seja f: IR—> IR definida por
f(x)
=
-2,
2,
4,
se
x ^_ -2
se — 2 < x .^ 2
se
x > 2.
O gráfico de f pode ser visto na Figura 2.3.
24
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 2-3
(iv) Seja f(x) = lxl. Quando x . O, sabemos que f(x) = x. Quando x < O,
f (x) = —x. O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4.
Figura 2-4
(v) Seja f(x) =
de f (x) = 1/x.
1
Então, D(f) = IR
—
{ O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico
Podemos nos perguntar se, dada uma curva c no plano xy, ela sempre representa o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um
ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva c só representa o
gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um
ponto.
Funções
Figura 2-5
Na Figura 2.6 a curva c 1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva
c 2 não representa.
Figura 2-6
2.9 OPERAÇÕES
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números,
também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são
definidas como segue:
26
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.9.1 Definição. Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f — g.
produto f • g e quociente flg, são definidas por:
(i)
(f + g) (x) = f (x) + g (x);
(ii) (f — g) (x) f (x) — g (x);
(iii) (f g) (x) =.f (x) g (x);
(iv) (flg) (x) =
.
O domínio das funçõesf + g, f— g e f • g é a intersecção dos domínios de f
e g. O domínio de flg é a intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x
onde g (x) = O.
2.9.2 Exemplo. Sejam f (x) =
(f + g) (x) =
g)
g(x)
— x +
— x e g (x) =
— 3. Então,
—3 ;
(f— g) (x) =AIS —x — 'x — 3 ;
(x)
(fl g) (x) —
x = 3.
— 3
e
\/5 —
.
"Vx
é [3, 5].
— x
=
—
Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof g,f—g e f. g
O domínio de flg é (3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque g(x) = O quando
2.9.3 Definição. Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por
(kf) (x) = kf (x)
O domínio de kf coincide com o domínio de
Funções
27
2.9.4 Exemplo. Seja f (x) = I x2 — 4 e k = 3.
Então, (kf) (x) = 3 'Vx2 — 4 e D(kf) = (— .0, —2] u [2, + 00).
2.9.5 Definição. Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada
por g 0 f, é definida por
(g o f) (x) g (f (A)•
O domínio de g o f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que
f (x) está no domínio de g.
Simbolicamente,
D(g o f) = {x E D(f) / f (x)
E
D(g)}
.
Em diagrama,
2.9.6 Exemplos
(i) Sejam f (x) = -Cyc e g (x) = x — 1. Encontrar g o f .
Temos,
(g o f) (x) = g (f(x)) = g Wc) =
—1.
Como D(f) = [O, + .0) e Im(f) = [O, + o.) c D(g) =
D(g o f) = D(f) = [O, +
co).
Do), então,
28
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Sejam f (x) = 2x - 3 e g (x) =
Encontrar: a) g 0 f, b) f 0 g; c) f 0 f e
d) g o ga)
(g o (x) = g (f (x)) = g (2x 3) = -\12,x - 3.
O domínio de f é D(f) = (- Ge, + oe) e o domínio de g é D(g) = [O, + 00). Assim, o
domínio de g o féo conjunto de todos os números reais x, tais que f (x) E [O, +
isto é, todos os números reais tais que 2x - 3 O. Logo, D(g o f) = [3f2, + ao).
b)
(f o g) (x) = f(g(x)) =f(L) = 2 '\F-x-- - 3 e
D(f o g) = {x E D(g) [O, + ao) / g (x) E D(f)
ao)} = [O, +
c) (f o f) (x) = f (f (x)) =f -3)
= 2(2x - 3) - 3
= 4x - 9.
D(f 0 .f)
d)
00, 00) •
(g o g) (x) =- g (g (x)) = g (\rx-) ‘ .Nr -c =
D o g) = [O, +
{O,
x2 ,
O
, (iii) Sejam.fix) =
se x < O
se O < x < 1
se x > 1
1, se x < O
e g(x) = 2x, se O < x < 1
1, se x > 1 .
Determinar fo g.
Sex<0
, (f o g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1 2 =1 .
Se O x 1, (f o g) (x) =f (g (x)) =f (2x).
1
Para O x - ' temos O 2x 5. 1. Logo, neste caso, (f 0 g) (x) = (242 = 4x2 .
2
Funções
29
Para 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x > 1,
(f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1.
Logo, To g) (x) =
1,
4x2,
O,
1,
se
se
se
se
x <O
O < x
1/2
1/2 < x 5. 1
x>1
O domínio de f o g é D(f o g) = (— + ..).
O gráfico de f
0
g pode ser visto na Figura 2.7.
2.10 EXERCÍCIOS
1.
Se f (x) —
2
—x 4
achar:
—1 '
(a) f (0)
(b) f (-2)
(c) f (11t)
(d) f (x — 2)
(e) f (1/2)
(f) f (ê)
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
30
2.
3x — 1
, determine:
Se f (x) —x
—7
(a)
5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5)
(b) [f(-1/2)1 2
7
(c) f (3x — 2)
(e)
(d) f (t) f
f(h) — f(0)
(t) f Lf (5)1.
h
3.
Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai.
4.
Se f (x) —
5.
Se f (x) =
6.
+ , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x).
Dada (x) =
2x 7
7.
Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a 0,f (1/a) =f (a)/a 2.
8.
Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a).
9.
Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que
ax+ b
cx +d
e d = — a, mostre que f (f (x)) x.
+ 2x, achar
f(a + h) — f(a)
h
, h # O e interpretar o resultado geometricamente.
x—1
f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O.
10.
Exprimir como função de x:
a)
A área de uma esfera de raio x.
b)
A área de um cubo de aresta x.
c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de
lado x.
11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua
distância x cm ao centro do circulo.
12. Seja f (x) = (x — 2) (8 — x) para 2 5_ x 5_ 8.
a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2).
b) Qual o domínio da função f (x)?
c)
Determine f (1— 2t) e indique o domínio.
d)
Determine f (3)] e f (5)].
e) Trace o gráfico de f (x).
13. Determinar o domínio das seguintes funções:
a) y = x2
c) y —
b) y =114 — x2
1
d) y= -■ix — 2
x—4
e) y= I x2 — 4x + 3
g)
f)
+ x + 4'N/7 x
h) y x + a
x —a
3'Nix + 7 — 5\ix + 8
i) y=lx+21 + 4, —5 < x < 2
y
k) y = x — 1
x
i)
Y=
Y—
x +1
1
1+
14. Construir o gráfico cias seguintes funções:
a) f (x) = x2 + 8x + 14
f (x) = — x2 + 4x — 1
c) y = (x — 2) 2
y = — (x + 2) 2
e) y = x3
y = 4 — x3
g) f (x) = 1 xl, —3 5 x < 3
h) f (x) —
1
x—2
32
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
i)
f (x) —
k)
f(x) =
x+3
—
m) f
x'
x,
—25x 5O
O<x<2
1)
f(x) =
O,
1/2,
1,
f(x) =
x3 ,
1,
x2 ,
se
se
se
se
se
se
x<O
x=O
x>O
x 5_ O
O<x<2
x>2
2px .
15. Para cada uma das seguintes funções f (x) esboce primeiro o gráfico de y = f (x), depois o
f (x)
I f (x)
gráfico de y = If (x)1 e fmalmente o gráfico de y = 2 + 2
a) f (x) (x — 2) (x + 1);
b) f (x) = x2;
c) f (x) = —x2 ;
d) f (x) ,-- 4 —x2 .
2
—9
#—3
16. Sejam g (x) = x — 3 e f (x) ={x
x+ 3 ' x
k, x = —3 .
Calcule k tal que f (x) = g (x) para todo x.
17. Para cada item, calcule f + g, f—g, f- g, fl g, f o g, g o f, Ic-f, onde k é uma constante.
yk
1
a)
f (x) =- 2x
b)
f (x) 3x — 2
c)
f (x) —
d)
f (x)= "Nix + 1
,
x
1 + x2
g(x)=x2+1
g (x) I xl
g (x)= 1/x
g (x) x — 2
Funções
e) f (x) = 'lx — 2
f(A=
g (x) = lx — 3
g (x) = 1/
X3
33
f--
18. Seja h definida por h(x) = 2x — 7. Calcule h o h, h 2 e h + h.
19. Sabendo que f = g o h, nos itens (a), (c) e (d) encontre a função h e no item (b) a função g.
a)
f (x) = x2 + 1
g(x)=x+1
b)
f (x) = 'lx + 2
h(x) = x + 2.
c)
f (x) = a + bx
g(x)=x+a.
d)
f(x)=1x2 -3x+51 ,
g(x)=Ixl.
20.
Sendo f (x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f o f) (xj = 4x — 9?
21.
Sejarnf (x) = 'lx — 4 e g (x) = 1/2x + 1, x 3. Calcule f o g . Dê o domínio e o conjunto
imagem de f (x), g (x) e (f o g) (x).
5x, x O
22. Sejam f(x) = —x, O < x 8 e g (x). x3 . Calculef o g.
-Cx , x > 8
23. A função g é definida por g (x) = x2. Defma uma funçãof tal que (f 0 g) (x) = x, para x O e
uma função h, tal que (h o g) (x) = x, para x O.
24.
Se f (x) = x2 , encontre duas funções g para as quais (f o g) (x) = 4x2 — 12x + 9.
25. Se f (x) = x2 — 2x + 1, encontre uma função g (x) tal que (f / g)(x) = x — 1.
34
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1:
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x).
(b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x).
(c) Construa os gráficos de f (x) e g (x).
(d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f
o
g e g
o f.
(e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d).
2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS
A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es-
peciais.
2.11.1 Função Constante. É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer
número real x um mesmo número real k.
A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando
por y = k.
O domínio da função f (x) = k é D(f) =
O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}.
Exemplos.
(i) f (x) = 2
[Figura 2.8.(a)].
(ii) f (x) = —3
[Figura 2.8 .(b)].
Funções
35
Y
♦
X
2
-3
X
(a)
(b)
Figura 2-8
2.11.2 Função Identidade. É a função fl
.
1? 1?
definida por f (x) = x.
O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes
(Figura 2.9).
Figura 2-9
O domínio de f (x) = x é D(f) = 1?.
O conjunto imagem é Im(f) = E.
36
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.11.3 Função do 1 2 Grau. Função do 1 2 grau é toda função que associa a cada
número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são
chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear.
Quando a > O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce,
f (x) também cresce. Quando a < O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida
que x cresce, f (x) decresce.
nados.
O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordeO domínio de f (x) = ax + b é D(f) =
O conjunto imagem é Im(f) = 1?.
Exemplos.
(i)
f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a > O (Figura
2.10).
Figura 2-10
(ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 1 2 grau decrescente
porque a < 0 (Figura 2.11).
Funções
37
Figura 2-11
(iii) No movimento retilíneo uniforme, o espaço percorrido é uma função
do tempo, expresso pela fórmula s = so + vt, onde 3'0 e v são
constantes e v O. Esta função é do P grau.
2.11.4 Função Módulo. A função definida por y = lx 1 chama-se função módulo.
O seu domínio é o conjunto D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [O, +
O gráfico desta função está ilustrado na Figura 2.12.
Figura 2-12
2.11.5 Função Quadrática. A função f: IR —> R definida por f (x) = ax2 + bx + c,
a O é chamada função do
D(f) = R.
•
r
grau ou função quadrática. Seu domínio é
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria
paralelo ao eixo dos y. Se o coeficiente de x 2 for positivo (a > O), a parábola tem a
38
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
concavidade voltada para cima. Se a< O, a parábola tem a concavidade voltada para
baixo.
A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice.
A intersecção da parábola com o eixo dos x define os zeros da função. No
quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades (Figura 2.13).
A = tf-4ac> O
A = b2 -4ac = O
A = 11-4ac <O
a parábola intercepta o eixo dos x
em dois pontos
distintos.
a parábola intercepta o eixo dos
x em um único
ponto.
a parábola não
intercepta o eixo
dos x.
s
s
Figura 2-13
2.11.6 Função Polinomial. É a funça".03f: I? -->1? definida porflx) agn+ a ix"
1+
...+a n1 x+atz onde a 0' a 1 , • •' a ,, a 0 O, são números reais chamados
coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função.
-
Funções
39
O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos
de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções
com auxilio das derivadas.
O domínio é sempre o conjunto dos números reais.
Exemplos.
(i)
A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero.
(ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau.
(iii) A função quadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a # O é uma função
polinomial do r grau.
(iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica.
(v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5.
2.11.7 Função Racional.
É a função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é 4 f(x) = p(x) ,
q(x)'
p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O.
O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais
que q(x) = O.
Exemplos.
x—1
(i) A funçãoftx) —
é função racional de domínio D(f) = R — (-1 }
(Figura 2.14). x
Figura 2-14
40
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) A função f(x) —
(x2 + 3x — 4)(..x= — 9)
(f. + x — 12)(x — 3)
é racional de domínio
D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►.
-4 -3
Figura 2-15
2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x).
Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x).
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico
de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Exemplos.
(i)
A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-4 2 = x2 = f (x).
(ii) A função f (x) = x 5 + x 3 é ímpar, já que f (—x) = (—x) 5 + (—x) 3 =
— x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x).
(iii) A função f (x) = x 3 + 4 não é par nem ímpar.
Funções
41
2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS
Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal
que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f).
O número T é chamado período da função f (x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI.
Exemplos.
(i)
Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x
e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n.
(ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número
T O.
(iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas.
Figura 2-16
2.14 FUNÇÃO INVERSA
Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A —> B. Se, para cada y E B, existir
exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função
g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa
de f e denotada por f -1 .
42
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Exemplos.
(i) A função f: R -' E definida por y = 2x - 5 tem como função inversa
f
(ii)
-1 :
1?-> R, definida por x =
A função f: - {3} -'
a função inversa f
x=
-1 :
(y + 5).
- {-1} definida por y -
- 1
3 -x
admite
E - {-1} -' R - {3} definida por
1 + 3y
y+1
Graficamente, podemos determinar se uma função admite inversa. Passando
uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto. A Figura
2.17 ilustra a função f: E-> E dada por y = x 2 que não possui inversa. Fazendo uma
restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por
exemplo, para x z O existe a inversa x 1 = .6 e para x s O existe a inversa x2 = - V.
Figura 2 17
-
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e
observarmos a simetria.
Exemplos.
(i) A função f: [O, + 00) -> [O, + 00), definida por f (x) = x2 tem como inversa
a função g: [O, + 00) -0 [O, + 00) dada por g (x) = Vi (ver Figura 2.18).
Funções
43
(ii) A função f: I? ---> 11? dada por y = x 3 admite a função inversa
g:
R dada por g (x)= 3'\11x (ver Figura 2.19).
Figura 2-18
Figura 2-19
2.15 ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES
2.15.1 Função Exponencial. Chamamos de função exponencial de base a, a função f de IR em I? que associa a cada x real o número real ax, sendo a um
número real, 0 < a 1,
ou, f: R — > R
x ---> y = ax.
O domínio da função exponencial é D(f) = R. A imagem é Im(f) = (0, o.).
Podemos também denotar Im(f) = (0, = R+*.
Com relação ao gráfico da função f (x) = ax (Figura 2.20) podemos afirmar:
1)
a curva que o representa está toda acima do eixo das abcissas, pois
y = ax > O para todo x e R;
2)
corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
3) f (x) = a' é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a <
44
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Ay
Y = ax
(0<a<1)
(0, 1)
Figura 2-20
2.15.2 Função Logarítmica. Dado um número real a (O < a 1), chamamos
função logarítmica de base a a função de R +* em R que associa a cada x o
número log o x, isto é,
f: R± * -*R
x —> y = loga x.
As funções f de R+ 4, em R definida porf (x) = logo x e g de R em R 4,* definida
por g (x) = ax; O < a 1, são inversas uma da outra.
Temos D(f) = R ± * e Im(f) R.
Com relação ao gráfico da função f (x) = logax (O < a 1) (Figura 2.21),
podemos afirmar:
1)
está todo à direita do eixo y;
2)
corta o eixo das abscissas no ponto (1, O);
3)
f (x) = log ax é crescente se a > 1 e decrescente se O < a < 1;
4)
é simétrico ao gráfico da função g (x) = ax em relação a reta y = x.
Funções
45
01= ax Y
(0<a<1)
/'
X
Y= log x
(0<a<1)
Figura 2-21
2.15.3 Funções Trigonométricas
FUNÇÃO SENO
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na
circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de
intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.
Figura 2-22
Denominamos seno de x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema
U O V.
46
Cálculo A
-
Funções, Limite, Derivação, Integração
Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz
corresponder o número real y = sen x, isto é,
f: R -› R
x ---> y = sen x.
O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x.
Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo,
nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é
decrescente.
O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na
Figura 2.23.
t-
Figura 2-23
FUNÇÃO COSSENO
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP 2 do ponto P
em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função
f de 1? em I? que a cada x E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é,
f: I? -- I?
x y = cos x.
O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
Funções
47
Para todo x E 1?, temos cos (x + 27c) = cos x. Portanto, a função cosseno é
periódica e seu período é 27c.
Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente.
Por exemplo, no intervalo [O, 7c] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo
[n, 27c] ela é crescente.
O gráfico da função f (x) = cos x, denominado cossenóide, pode ser visto na
Figura 2.24.
Figura 2-24
FUNÇÕES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE
Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno.
As funções tangente e secante são, respectivamente, denotadas pelos símbolos
tg e sec e definidas por:
tg x —
sen x
cos x
sec x —
1
c os x
para todos os números reais x tais que cos x O.
48
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg 1
1
e cosec e definidas por:
cotgx =
cos x
sen x
cosec x —
1
sen x
para todos os números reais x tais que sen x # O.
O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x
E
37c
5
2 ± —
—2 , ..., isto é,
2 ,± 7c
para os quais cos x # O. Como cos x = O quando x for ± —
quando x = — + mc, n E Z, temos D(tg) = D(sec) = {x E R lx# ic12 + nn, n E Z}.
2
Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto
de todos os números reais x para os quais sen x # O. Como sen x = O para x =
n E Z, temos:
D(cotg) = D(cosec) = {x e 1?Ix
nn,neZ}.
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.25. Podemos observar
que as funções tangente e cotangente são periódicas de período E e que as funções
secante e cossecante são periódicas de período 27c.
2.15.4 Funções Trigonométricas Inversas.
COnforme definição da seção 2.14, sabemos que é impossível definir uma
função inversa para a função y sen x, porque a cada valor de y corresponde uma
infinidade de valores de x.
Portanto, para definirmos a função inversa de y = sen x necessitamos restringir
o domínio.
Este fato ocorre com todas as demais funções trigonométricas.
Funções
y = tg x
♦Y
-3n./2
-n12
o
n/2 3n/2 X
y = cosec x
y = sec x
Figura 2-25
FUNÇÃO ARCO SENO
Seja f: [-7t/2, n/2] —> [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função
inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por
[-1, 1] —> [—n/2, 7t/2], onde f -1 (x) = arc sen x.
Simbolicamente, para —2
y —7t escrevemos a equivalência:
2
'
y = arc sen x <=> sen y = x
O gráfico desta função nos mostra uma função crescente (Figura 2.26).
50
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
7c/2
-7c/2
Figura 2-26
Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido
o domínio de y = sen x a qualquer dos seguintes intervalos:
[7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou
[-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2], .
FUNÇÃO ARCO COSSENO
Seja f: [O, it]
[-1, 1] a função definida por f (x) = cos x. A função
inversa de f será chamada arco cosseno, e denotada por f -1 : [-1, 1] —> [O, n].
onde f -1 (x) = arc cos x.
Simbolicamente, para O ^. y S TC, escrevemos:
y= arc cos x <=> x = cos y
O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27).
Observação:
A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação
arc cos x = - arc sen x
2
Funções
Figura 2-27
De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos:
Figura 2-28
Os ângulos a e 13 são complementares, ou
o7c
a+p=
—
2
x = sen a = cos 13.
Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que
It
arc cos x = 2 — arc sen x.
51
52
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
FUNÇÃO ARCO TANGENTE
A função inversa da tangente é definida para todo número real.
Seja f:
it12) ----> /2 a função definida por f (x) = tg x. A função inversa
de f, será chamada função arco tangente e denotada por f -1 : 1? (-n/2, +n/2), onde
f -1 (x) = arc tg x.
Simbolicamente, para -n/2 < y < n/2, escrevemos
y = arc tg x <=> x = tg y
O gráfico nos mostra que quando x se toma muito grande, arc tg x aproxima-se
de n/2. Quando x se toma muito pequeno, arc tg x se aproxima de -n/2.
É uma função crescente (ver Figura 2-29).
Figura 2-29
OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Podemos definir a função inversa da cotangente como
y = arc cotg x = — - arc tg x
2
onde O < y < 7C.
Funções
53
As funções inversas da secante e da cossecante serão funções de x no domínio
1 xl z 1, desde que adotemos as definições:
y = arc sec x = arc cos (1/x)
y = arc cosec x = arc sen (1/x).
A Figura 2.30 mostra o gráfico dessas funções trigonométricas inversas.
y
n/2
-1
X
y = are cotg x
y = are sec x
Ay
Tu/2
-1
1
--a/2
y = arc cosec x
Figura 2-30
X
X
54
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2.15.5 Funções Hiperbólicas
As expressões exponenciais
e
ex +
2
ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada.
Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x
e cosseno hiperbólico de x.
O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as
funções trigonométricas.
SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO
A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico,
denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por:
senhx -
" - x
2
e
cosh x=
'
+ e
2
O domínio e imagem das funções senh e cosh são:
D (senh)
+ °°),
(-
D (cosh)
=
(-
Im (senh)
=
(-
Im (cosh)
=
[1, +
00
,
°°),
+ .0) e
O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo
método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos
1
das funções - e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.
2
2
Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)].
Funções
(a)
55
(b)
Figura 2-31
A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um
cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.
Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a
curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível
mostrar que a equação correspondente é:
y = cosh (x/a), a
E
R.
Esta curva recebe a denominação catenária.
Figura 2-32
As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de
senh e cosh.
56
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS
As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por:
tgh x
= senh x
coshx ex + e x
—
-
cotghx —
coshx
+
—
senhx ex — e - x
2
sechx = 1 = coshx ex +
cosechx = e
1
2
senhx eX _ e-x
Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33.
Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são
válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que
cosh 2 u — senh 2 u = 1.
Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen 2u = 1 e pode
ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições.
De fato, a identidade cosh 2u — senh 2 u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas
(cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x 2 — y 2 = 1.
Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito
da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como
acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação
interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u.
Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um
ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por
1
A C = 2 t (1) 2
1
=— t
2
e portanto, t = 2Ac.
I
Funções
X
57
X
-1
-1
y = tgh x
(a)
y = cotgh x
(b)
AY
y = sech x
(c)
y = cosech x
(d)
Figura 2-33
Uma relação análoga a esta, é válida para as funções hiperbólicas. De fato,
é possível mostrar que a área A h , do setor hiperbólico QOP da Figura 2.34(b), é dada
por
A =2 u
e dessa forma, u = 2A h
.
58
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
P (cosh u, senh u)
(a)
(b)
Figura 2 34
-
Relacionamos abaixo, outras identidades que podem facilmente ser verificadas:
tgh u —
1
cotgh u
1 — tgh 2 u = sech 2 u e
1 — cotgh2 u = —cosech2 u.
2.15.6 Funções Hiperbólicas Inversas
Nesta seção estudaremos as funções hiperbólicas inversas. Para isso, devemos
nos lembrar das definições da seção 2.15.5 e observar os gráficos das Figuras 2.31(a)
e (b) e 2.33.
FUNÇÃO INVERSA DO SENO HIPERBÓLICO
Analisando o gráfico da função y = senh x [Figura 2.31 (a)], vemos que a cada
valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio. Assim, podemos
definir a sua função inversa.
A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico
e denotada por arg senh, é definida como segue:
y = arg senh x <=> x = senh y
Funções
59
Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R.
O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido
fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.
Figura 2-35
FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO
Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir
o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de
y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio
Seja f: [O, +
-4 [1, +
a função dada por f (x) = cosh x. A sua função
inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh.
Simbolicamente, para y O, escrevemos
y = arg cosh x <=> x = cosh y
Temos D(arg cosh x) = [1, +
e Im(arg cosh x) = [O, +
O gráfico pode ser visto na Figura 2.36.
oo).
60
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
AY
X
Figura 2-36
INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE
HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA
Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus
domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no
domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)].
As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cossecante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são
definidas como segue:
y =
arg tgh x
<=> x = tgh y
y =
arg cotgh x
<=> x = cotgh y
y =
arg cosech x
<=> x = cosech y
A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções.
Funções
y= arg cotgh x
Jay
61
y= arg cosech x
y= arg tgh x
Figura 2-37
INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA
Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para
definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio
Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa
é denotada por arg sech. Para y O, temos
y = arg sech x <=> x = sech y
Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech.
62
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
X
Figura 2-38
Podemos exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos
naturais. Isso decorre do fato das funções hiperbólicas serem definidas em termos da
função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa.
A seguir apresentamos essas expressões, que aparecem freqüentemente na
integração.
arg senti x = ln (x + 11x2 + 1 ), x qualquer;
arg cosh x = ln (x + 11x2 — 1), x . 1;
1
(1 + x
arg tgh x = —
2 ln
1—x
rx + 1
1
arg cotgh x = —
2 ln
,
x
1
arg sech x = In
+
-‘11 - X2
—1<x <1;
lx I > 1 ;
, O<X.^ 1;
-11
+ x2 \
arg cosech x = ln[1 +
, x
x
lx1
)
—
O.
Funções
63
EXEMPLO. Mostrar que arg senh x = ln (x + •NI x2 + 1 ), para todo valor de x.
Sejam xeRey= arg senh x.
Então, x = senh y —
eY — e Y
2
-
e portanto,
- 2x — = O.
Multiplicando ambos os membros da igualdade por e, temos
e2Y — 2xeY — 1 = O.
Resolvendo esta equação para eY pela fórmula quadrática, obtemos
_
2x + •Ni 4x2 + 4
_ x ± x2+ 1 .
2
Como e > O para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser
descartada. Portanto,
ey
= x + x2 + 1 .
Tomando o logaritmo natural, temos
y = ln (x + x2 + 1 ) , ou seja,
arg senh x = ln (x + x2 + 1 ) .
2.16 EXERCÍCIOS
1. Construir os gráficos das funções de 1 9 grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = kx ; se k = O, 1, 2, 1/2, — 1, —2
(b) y=x+b, se b=0,1,-1
(c) y = 1,5x + 2.
64
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = ax2 , se a = 1, 1/2 e -2
(b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3
(c) y = yo + (x- 1) 2 , se y o = O, 1, -1
(d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5.
3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = 2 + (x - 1) 3
4.
Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) y = -
5.
(b) y = x4(c) y = 2x2 - 4.
2
. 1
b) y =
(
(x - 1) 2X
(c) y x-1
4
X -I-
A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se
f(-1)= 2 e f (2) = 3.
6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1
(b) f (x) = 5x3 - 2x
(c) f (s) = s2 + 2s -I- 2
(d) f (t) = t6 - 4
3
(e) f (x) =I xl
f(y)
(g) f(x) =
x-1
x+1
(i) f(x) = ln
1+x
1-x
-
Y
Y
y2 +1
1
(h) .ftx) =- (a' + a-x)
2
(j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) .
Funções
65
7.
Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares.
8.
Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares.
9.
Mostre que a função
1
—
2
[f(x) + f(—x)] é par e que a função
1
ff (x) — f (—x)] é ímpar.
—
2
10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par
com uma função ímpar.
11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar
(a) f (x) = x 2 2
(c) f(x) —
x—1
x+1
(b)
(x) = x3 — 1
(d) f(x)=Ix1+Ix-11.
12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar
esse gráfico no domínio x < O, se:
a)
f (x) é par;
b)
f (x) é ímpar.
13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função
dada e de sua inversa.
(a) y = 3x + 4
(c) y=
a
+ +
Xx a
1
x—a
(b) y — (d) y =
1,x>
O
66
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(e) y = .Nrx - 1, x>_1
(g) Y -
x2
x- + 1
(f) y = -
x O
(i) y = x2 - 4 , x
- x, x5 a
(h) y = x2 - 4 ,
O
O.
x+2
14. Mostrar que a função y = f(x) coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y)
2x
- 1
ou f (f (x)) = x.
15. Dada a função y = f(x) =
é a função x = g (y) \h.
16. Seja f(x) = x2,
27 -\rx- ,
definida para todo x real, demonstrar que sua inversa
"\1
1+
y2definida para ly I < 1.
se x < 1
se 1 .^ x 5 9
se x > 9 .
Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x).
17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que:
(a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T.
(b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T.
(c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T.
18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f
19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico.
Funções
20.
Se f (x) = 2x, mostrar que
f (x + 3) -f (x -1) = 15/2f (x).
21.
Seja 4)(x) = 1/2 (ax + a-x) e 111(x) = 1/2 (a' - a-x) .
Demostrar que
4T(x + y) =4)(x) 4)(Y) + Ni(x) • NI(Y) e
ni(x + =4)(x) - V(Y) +4)(Y) • 11 1(x).
22. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.
(a) y = ax, se a = 2, 1/2, e (e = 2,718 ...)
(b) y = 10 1 Ix
(c) y = e-x2
(d) Y = -
2x
1-x
verifique a igualdade 4)(a) + 4)(b) 1+x
23.
Dada 4)(x) = ln
24.
Sejam f (x) = log x e g (x) = x3 .
r
a+b
1 + ab
67
68
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Forme as expressões
(a) f [g (2)]
(b) f [g (a)], a > O
(c) g[f (a)], a > O.
25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
(a) y =ln (—x)
(b) y= ln I xl
(c) y=ln(x+1)
(d) y = logax se a = 10, 2 e 1/2
(e) y=x1nx.
26. Se f (x) = arc tg x prove que
I.
.f(x) +
KY) — f (ir xYy) •
27. Prove que arc tg a — arc tg b = arc cotg b — arc cotg a.
28. Sejaft0) = tg O . Verifique a igualdade f (2 O) =
2 f (0)
1—
LAO) 1 2
29. Seja f (x) = arc cos (log 10 x).
Calcular f (1110), f (1) e f (10).
30. Determinar o domínio das seguintes funções:
2
x
(a) y = arc cos
1+ x
(b) y = arc sen (log 10 x/10)
(c) y = Nisen 2x .
31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e em
caso afirmativo determinar o período.
Funções
69
(a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3
(b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1
(c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2
(d) y =- sen (x — rc/2)
(e) y = cos (x + n12)
(I) y = tg (x — 37r/2)
(g) y = cotg (x + rc/4)
(h) y = tg 2x
(i) y = 1 + sen x
(j) y=l+Isen2x1
32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0).
33. Prove as identidades:
(b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u.
(a) 1 — tgh2 u = sech2 u
34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico.
35. Mostre a validade das expressões:
(a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1;
(b) arg tgh x = 1/21n
(c) arg sech x = ln
1+x )
1—x
r i+ 11
,
, —1 < x < 1;
— x2 \
x
, O < x 1.
36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que
f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x
37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares.
38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares.
CAPÍTULO 3
EDITORA
DAU
MAKRON
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LIMITE E CONTINUIDADE
O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira
intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e
teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das
funções usando limites.
3.1 NOÇÃO INTUITIVA
Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos
números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer
regra pré-estabelecida.
Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(1)
1, 2, 3, 4, 5, ...
(2)
1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3)
1, 0, —1, —2, —3, ...
(4)
1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um
LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon70
Limite e continuidade
71
trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem
para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito.
Denota-se
X
->
00 .
Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números
aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que
De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3)
x —> — 00 .
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite
de uma função.
Observemos as seguintes funções:
Exemplo 1.
Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1).
Tabela 3.1
x
1
2
3
4
5
6
500
1000
y
O
1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
499/500
999/1000
x
—1
—2
—3
—4
—5
.
2
3/2
4/3
5/4
6/5
.
.
—100
—500
101/100
501/500
...
72
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
X
Figura 3-1
Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as
tabelas e o gráfico para constatar que:
y -4 1 quando x —> + 00 .
Denota-se
lim (1 - 1/x) = 1.
X
Exemplo 2.
A função y = x2 + 3x - 2 tende para +
Denota-se
ao
quando x --> ±
lim (x2 + 3x - 2) = +
X
—) ±
00
De fato, intuitivamente, basta analisar o gráfico (Figura 3.2) e as sucessões da
tabela (Tabela 3.2).
Tabela 3.2
x
x
1
2
3
4
5
6
7
100
1000
2
8
16
26
38
52
68
10298
1002998
-1
-2
-3
-4
-5
-6
. . .
-100
-500
-4
-4
-2
2
8
16
. . .
9698
248498
..
Limite e continuidade
Figura 3-2
Exemplo 3.
A função y =
.
hm
2x + 1
tende para 2 quando x > ± co, e escrevemos
x —1
—
2x + 1
— 2.
x— 1
Tabela 3.3
x
2
1,5
1,25
1,1
1,01
1,001
1,0001
3002
30002
y
3,5
5
8
14
32
302
x
—1
O
0,9
0,99
0,999
0,9999
y
0,5
—1
— 28
— 298
— 2998
— 29998
73
74
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3-3
Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y —> +
quando x —> 1 através de valores maiores do que 1 e que y —> — 00 quando x —> 1 através
de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais
denotados por:
lim
x 1+
x
+00
lim
e
-00,
respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda.
Exemplo 4.
A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função
Y—
1
(x + 1) 2
Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos
11111
x _>
1
(x + 1) 2
- Ce
Limite e continuidade
ou ainda,
lim
1
2
x->-1 ++ 1)
lim
1
+ 1) 2
— +00.
Tabela 3.4
x
—3
y
0,25
2
0,25
y
—1,25
—1,1
—1,01
—1,001
4
16
100
10000
1000000
1
O
x
—1,5
1
—
0,5
4
—
0,75
—
16
0,9
100
—
0,99
10000
—
0,999
1000000
-1
Figura 3 4
-
Exemplo 5.
A Figura 3.5 mostra o gráfico da função
Y=
-1
(x - 2) 2
Escrevemos lim
x->2
- 2) 2
— — 00
ou y —> —
oo
quando x > 2.
—
75
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
76
Tabela 3.5
2,5
2,1
— 4
— 100
1
1,5
1,9
— 1
— 4
— 100
3
x
—0,25
y
x
—0,25
y
2,01
2,001
— 10000 — 1000000
1,99
1,999
— 10000 — 1000000
2
Figura 3-5
Exemplo 6.
Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos
exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que
lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2,
x-41 +x-41
ou ainda,
lim (3x -1) = 2.
x-41
Limite e continuidade
77
Tabela 3.6
x
0
0,25
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
0,9999
y
—1
— 0,25
0,5
1,25
1,7
1,97
1,997
1,9997
x
2
1,75
1,5
1,25
1,1
1,01
1,001
1,0001
4,25
3,5
2,75
2,3
2,03
2,003
2,0003
y
Figura 3 6
-
Podemos agora analisar os exemplos dados de outro modo.
No Exemplo 3.6, observa-se que é possível fazer o valor de y tão próximo de
2 quanto desejarmos, tomando x suficientemente próximo de 1, mas não necessariamente igual a 1. Ou ainda, o valor absoluto da diferença y — 2 tão pequeno quanto
desejarmos, tomando o valor absoluto da diferença x — 1 suficientemente pequeno.
(Observe a Tabela 3.6.)
Estamos agora aptos a formular as definições formais.
78
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.2 DEFINIÇÃO
Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente
no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos
lim j(x) = L
x a
se para todo e > 0, existe um 8 > 0, tal que If (x) — LI < e sempre que 0 < lx — al < 8.
-
3.3 EXEMPLOS
Usando a definição 3.2 provar que:
lim (3x — 1) = 2.
(i)
x-->1
De acordo com a definição 3.2 devemos mostrar que, para todo E > 0, existe
um 5 > 0, tal que
I (3x — 1) — 2 I < E sempre que 0<lx—ll< 8.
O exame da desigualdade envolvendo E proporciona uma chave para a escolha
de 8.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
13x-1-21 < E
I3x — 3 I < e
I3(x — 1) I < E
3 lx — 1 I < E
Ix — 1 I < e/3.
A última desigualdade nos sugere a escolha do 8.
Fazendo 50 = E/3, vem que
I (3x — 1) — 2 I < e sempre que O < lx — 1 I < 8.
Limite e continuidade
79
Portanto, hm (3x — 1) = 2.
—> 1
lim x2 = 16.
x—>4
(i)
Vamos mostrar que dado e > O, existe 3 > O, tal que
1x2 — 16 1 < e sempre que O < Ix — 4 1 < 6.
Da desigualdade que envolve E, temos
lx2 — 16 1 < E
IX-41 IX+ 4 1 < E
Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso,
vamos supor
O < 8
1,
e então, de O < Ix — 4 1 < 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes:
lx — 4 1
<
1
—1 <x-4
<
1
3 <x
<
5
7 <x + 4
9
Portanto, Ix + 4 1 < 9.
Escolhendo 6 = min (e / 9,1), temos que se Ix — 4 1 < 8
então
Lx2 — 161= Ix— 411x + 41
<
6. 9
< 9
=
Logo lim x2 = 16.
x —>4
e.
9
80
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.4 PROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE)
Se lim f(x) = L 1 e lim f(x) = L2 , então L 1 = L 2.
x —> a
x )a
-
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 > O tal que
x-> a
I f (x) - L 1 1 < E /2 sempre que O < lx - a 1 < S i .
Como lim f(x) = L2, existe 5 2 > O tal que
-) a
I f (x) - L2 1 < E /2 sempre que O < Ix - a I < 8 2 .
Seja 8 = min {8 1 , S 2 }. Então, If(x) - L 1 1 < E/2 e If(x) - L 2 1 < E./2 sempre que
0 < ix - al < 8.
Seja x tal que O < lx - al < S. Então, podemos escrever
IL i - L2 I = IL 1 - f (x) + f (x) - L2 I ^ If (x) - L 1 1 + If (x) - L 2 1 < E/2 + e/2 = e.
Como e é arbitrário, temos IL 1 - L2 I = O e portanto L 1 = L2 .
3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES
- ,
Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número
era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares,
que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos
propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa
do número 8 que aparece na definição 3.2.
3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Limite e continuidade
81
Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e > O, devemos mostrar
que existe 8 > O, tal que
1 (m x + n) — (m a + n)I < e sempre que O < 1 x — al < 8.
Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que
envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes:
1 (m x + n) — (m a + n)I <
iM X — m
E
al < E
Iml I x — al < E
1 x — al <
E
1m 1
A última desigualdade sugere a escolha 8 = 1m 1
E
De fato, se 8 = 1m ' temos
1
1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al < Iml •
e
Iml
—
sempre que O < lx — al < 8,
e portanto,
lim (mx + n) = ma + n.
x —> a
Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x.
Logo, tomando qualquer 8 > O, a definição de limite é satisfeita.
Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais.
x a
Da proposição 3.5.1, decorre que:
(a)
Se c é um número real qualquer, então
lim
.x 4 a
-
C = C.
82
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(b) lim x = a.
x -› a
3.5.2 Proposição. Se lim f(x) e lim g(x) existem, e c é um número real
qualquer, então: x -4 ax
(a)
lim [f(x) ± g(x)1 = lim f(x) ± Hm g(x);
x—>a
—)(1
(b)
x—>a
lim f(x) • g(x) = Hm f(x) • lim g(x);
x—>a
(d) lim
x -4 a
(e)
x—>a
x-->a
lim f(x)
f(x)
g(x)
x-->a
Hm g(x)
x-4 a
, desde que lim g(x)
x-->a
lim V.gx) =
x-4a
lim f(x) , se lim f(x) > O e n inteiro ou se
x-4a
x—>a
lim f(x) 5 O e n é um inteiro positivo ímpar;
x -› a
(g)
lim ln [f(x)] = ln [ Hm f(x)], se lim f(x) > O;
x—>a
(h)
x—>a
lim cos [fix)] = cos [ lim f(x)];
x-->a
(i)
x—>a
lim sen [f(x)] = sen [ lim f(x)];
x—>a
x—>a
lim f (x)
(i
)
O;
x —> a
lim [Rx)]n = [lim f(x)]" para qualquer inteiro positivo n;
x—>a
(t)
x—>a
lim cf(x) = c • lim f(x);
x-->a
(c)
a
lim e f
x—>a •
x)
(
=e
x—'a
x—>a
Limite e continuidade
Provaremos o item (a) desta proposição usando o sinal positivo.
Prova do item (a).
Sejam lim f(x) = L, lim g (x) =M e E > 0 arbitrário. Devemos prox a
x—>a
var que existe S > 0 tal que
(f (x) + g (x)) — (L + M)1 < E sempre que 0 <
k - ai < 8.
Como lim f (x) = L e E/2 > 0, existe S i > 0 tal que [f(x) —Li < E/2
x—>a
sempre que 0 < — ai < S i
Como lim g (x) = M, existe 8 2 > O tal que 1g(x) — Al < E/2 sempre
x—>a
que 0 <ix—al < 8 2 .
Seja S o menor dos números S i e 8 2 .
Então 8 s S i e s 8 2 e assim, se O < — ai < 8, temos
1g(x) —
< E/2 e [1(x) — Li < E/2.
Logo,
(gx) + g(x)) — (L + M)1 = 1 (gx) —L) + (g(x) —M)1
s 1 f(x) — L1 + 1g(x) — M 1
< 612 + cI2
=E
sempre que 0 < x — ai < S e desta forma lim (j(x) + g(x)) = L + M.
x >a
—
3.5.3 Proposição. Se f(x) s h(x) s g(x) para todo x em um intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente em x = a, e se
lim f(x) = L = lim g(x)
x—►a
x—>a
84
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
então,
lim h(x) = L.
x —> a
Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim flx) = L, existe S i > O tal que If (x) — LI <
x —> a
sempre que O < Lr — al < 8 1 . Como lim g(x) = L, existe 32 > O tal que Ig (x) — LI < e
X
a
sempre que O < lx — al < 82 .
Seja 8 = min {8 1 , 82 }.
Então, se O < Lr — a! < 8 temos que If (x) — LI < e e Ig (x) — LI < e, ou de forma
equivalente, L — e < g (x) <L-i-eeL—E<f(x)<L+ E.
Assim, usando a hipótese, concluímos que se O < lx — al j< 8, então,
L
< f (x) 5. h(x) g (x) < L + E ,
isto é,
L — e < h(x) < L + e.
Logo, se O < Lr — al < 8, temos que Ih(x) — LI < e e, portanto, lim h(x) = L .
x a
3.5.4 Exemplos.
(i) Encontrar lim (x 2 + 3x + 5).
x—> 2
Temos,
hm (x2 + 3x + 5) = lim x2 + lim 3x+ lim 5
x —> 2
x —> 2
x —+ 2
x --)22
= lim x2 + 3 lim x + lim 5
2
= 22 +
= 15.
x-422
32+5
x 2
Limite e continuidade
x
(ii) Encontrar lim
— L1 < e
—5
x3 — 7
x-93
x —5
Hm
x
x-, 3 3 — 7
85
lim (x — 5)
x->3
3 — 5—1
27 — 7
lim (x3 — 7)
10
x->3
L1 <e
(iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 .
x-4-2
Hm \ix4 — 4x + 1
de forma
\I Hm (X4 - 4x + 1)
x -> - 2
x ->- 2
= -\](-2) 4 —4(-2) + 1
= 5.
X2 -
(iv) Encontrar hm
1(x) =
-
1
—1
Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois
im (x — 1) = O .
-41
Porém, se fatoramos o numerador obtemos
x2 — 1(x — 1)(x + 1)
x — 1
x —1
— x + 1 para x # 1.
Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1,
ias diferentes de 1, temos
X2 - 1- 1)
lim
11111
x-,1
x — 1
x->1
(v) Encontrar Hm x 2
x
(X
x—
+ 1)
- Hm (x + 1) = 2
x-41
1
sen —
x
Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão
tre —1 e 1, temos
86
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
0
< sen 1
x
1, V x O.
Multiplicando a desigualdade por x2 , temos
o x2
sen 1
x
x2 , V x O.
Como lim 0 = O e lim x 2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que
x->I3
lim x2
x->0
1
x
sen -
x->I3
=0.
3.6 EXERCÍCIOS
1.
Seja f (x) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e(a) lim flx).
x->3
.(d)
6
(b)
lim f(x).
x->1+
(e)
lim f(x).
x->
-
lim f(x).
x ->
e(c)
lim f(x).
x -> 3
lim f(x).
x -> 4
Limite e continuidade
2.
Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
',(a) lim f(x).
x -> -2+x
c (c)
3.
lim f(x).
(b)
->
-2
lim f(x).
.(d)
lim f(x).
x -> -2
X ->
Sejafix) a função defmida pelo gráfico:
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x).
x->0+
0+x
b(d) lim f(x).
x -> +
->
lim f(x).
(b)
O-x
$(e)
lim f(x).
-
X -3
(c)
lim f(x).
O
lim f(x).
x -> 2
87
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
88
Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
4.
Intuitivamente, encontre se existir:
e (a) lim f(x).
.(b)
x 2+
(d) lim f(x).
0(e)
x
lim f(x).
(c)
lim f(x).
x ì+
-
lim f(x).
x
Seja f(x) a função definida pelo gráfico:
5.
Intuitivamente, encontre se existir:
.,
(a)
lim ,fix).
x -4 1 +
((d)
x
lim f(x).
-9 + m
(b)
o (e)
lim f(x).
x-) 1
lim f(x).
x--t- oo
'(c)
lim f(x).
1
Limite e continuidade
89
u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7.
7.
Mostrar que lim x 2 = 9.
x —› 3
Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado
x >a
—
tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S.
8.
9.
lim (2x + 4) = 8
e
=
0,01.
lim (-3x + 7) = 10 ,
e
=
0,5.
=
0,1.
=
0,25.
=
0,75.
x 2
x-*-1
10. lim
e
x2 — 4
x —> —2 X + 2
— —4
1 —1
11.
limE
x —> 5
12.
2—
x
3
X2 — 1
lim
— 2
X > 1 x— 1
e
—
13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0.
x >O
—
14. Mostrar que:
(0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a.
x 4a
-
(ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então
lim g(x) = g(a)•
x —> a
Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites.
45.
lim (3 — 7x — 5x2 ).
x —> O
16. lim (3x2 — 7x + 2).
x —> 3
90
17.
19.
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Em (-x5 + 6x4 + 2).
x->-1
-1
18. Hm (2x. + 7).
x -> 1/2
Hm [(x + 4) 3 (x + 2)-11.
20. lim [(x - 2) 10 (x + 4)].
x- -1
21.
23.
25.
lim
x ->2
lim
29.
.31.
33.
X2
lint
1.
22. Em
t->2
.
24. hm
t + 2.
t2
+St + 6
t+2
t->2
t2 - 5t + 6
s +4
t 2 26. s -3 1/2 2s
-
lim 3N2x + 3.
x -34
lim
x -) .5/1
3
+
-1
x -)1 x
t-2
27.
x + 4t
3x -
x ->
2x2 - x
3x
lim [2 sen x - cos x + cotg x].
x -37c/2
Em (2x + 3) 1/4 .
28. fim (3x + 2) 2/3 .
x -37
30. Hm
x -32
x
-3x - 4
032. lim (ex + 4x). ,21 i
x->4
34. lim
x ->2
senil x
4
3.7 LIMITES LATERAIS
3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos
que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
x a-F
Limite e continuidade
91
se para todo e > O, existe um 8> O, tal que f(x) - LI < e sempre que
a < x < a + 8.
Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela
x _> a +
direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores
do que a.
De maneira análoga, definimos limite à esquerda.
3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos
que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e
escrevemos
lim f(x) = L,
se para todo e > O, existe um 8 > O, tal que If(x) - LI < e sempre que
a - < x < a.
Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são
sempre menores do que a.
Observação. As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3
continuam válidas se substituirmos x —> a por x --> a+ ou x —> a .
-
3.7.3 Exemplos
(i) Dada a função f(x) = (1 + Vx - 3 ), determinar, se possível,
-
lim f(x) e lim f(x).
x -)3 +x-)3
A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x).
x-43
Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos,
x->3 +
lim f(x)
x-)3 +
lim (1 +
x -> 3
+
- 3)
OCV le4
0 -1
; 1.6 o 6 CP,
.‘
92
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
lim 1 + lim
x ->33 +x -> 3+
•
•
1 +
-3
lim
(x - 3)
+
3
•
1+0
-cri
• (ii) Seja f(x) =
se x
O
x
1,
se x = .
Determinar Hm flx) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
x->o+
x-r
Se x > O, então Ixl = x e f (x) =
=
Logo, lim f(x) = Hm -1 = - 1.
x-,o+
Se x < 0, então Ixl = -x e f(x) = = 1.
x
Portanto, Hm f(x) = Hm 1 = 1.
x
x
O gráfico da função pode ser visto na Figura 3.7. Observamos que
x
lim f(x) # lim f(x).
x-30
Limite e continuidade
93
Figura 3-7
(iii) Seja f(x) = Ixl. Determinar lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico.
x-:■+x-)o
Se x O, então f(x) = x. Logo, lim f(x) = lim x = O.
x-o+x->o+
Se x < O, então f(x) = -x. Logo, lim f(x) = lim (-x) = O.
A Figura 3.8, mostra o esboço do gráfico da função. Neste exemplo, podemos
observar que
lim f(x) = lim f(x).
x
x o+
Figura 3-8
94
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de
uma função.
3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L
x- a
x—►a+
e lim f(x) = L.
x- a
-
Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência
imediata das definições dos limites envolvidos.
Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e > 0 arbitráx -a+
rio, existe S i > O tal que if (x) - L < E' sempre que a < x < a + 8 1 e existe 8 2 > 0 tal
que tf (x) - Li < e sempre que a - 8 2 < x < a.
Seja 8 = min {S i , 8 2 }. Então a - 8 2 s a - 8 e a+Ssa+ 8 1 , e, portanto,
se x a e a-S<x<a+6, temos que If (x) - Li < E.
De forma equivalente, If (x) - Li <
E
sempre que O < lx - ai < S e desta forma,
lim f(x) = L.
3.7.5 Exemplos
(i) Analisando os exemplos anteriores, podemos concluir que:
(a) Também não existe lim x
(b) Hm ixi = 0.
x -o
kl -ó
z
-
-
o
Limite e continuidade
95
2 + 1 , para x < .2
, para x = 2
(ii) Seja f(x) = {x
2
9 - x2 , para x > 2 .
Determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico
x->2
x-)2+x->2 da função.
Se x > 2, então, f (x) = 9 - x2 .
Assim,
lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 =
x-42+
x->21-
2+x-2+
Se x < 2, então, f(x) = x 2 + 1.
Portanto,
Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5.
x->2
x->2
x-)2
x->2
Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que
x_)2
+
lim f(x) = 5.
x->2
A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x).
96
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 3 9
-
3.8 EXERCÍCIOS
1.
Seja f(x) =
Calcule:
3(a) lim f(x).
x -› 3 x
Em flx).
)(b)
) 3 +‘""(
-
,,(d) lim f(x).
x
-
>5
-
-(e)
Hm f(x).
x_5+
-
Esboçar o gráfico deflx).
.2.
Seja h(x) =
{x2 - 2x + 1 , x 3
7
x
3.
•Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x).
x-)33
(c)
lim fiz).
x -4 3
Em f(x).
x-)5
Limite e continuidade
3.
Seja F(x) = Lx — 4L Calcule os limites indicados se existirem:
e(a) lim F(x).
sa(b)
x->4 +
s(c)
lim F(x).
lim F(x).
x -> 4
x->4 Esboce o gráfico de F(x).
4.
Seja f (x) = 2 + 15x — 11. Calcule se existir:
(a)
(b)
lim f(z).
x —> 1/5 +
hm f(x).
x —> 1/5
e(c)
lim Rx).
x -> 1/5
Esboce o gráfico de f(x).
-5.
— 31
x — 3
Seja g(x) =
x
,
3
x=3.
(a) Esboce o gráfico de g(x).
'(b) Achar, se existirem lim g(x), lim g(x)
x > 3+
x —> 3 -
x/lx 1 , se x
e6.
e
lim
g(x).
x -> 3
O
Seja h(x) =
{
O
, se x = O .
Mostrar que h(x) não tem limite no ponto O.
el.
Determinar os limites à direita e à esquerda da função f(x) = arc tg 1/x quando x -* O.
a8.
1
Verifique se lim
existe.
X > x— 1
97
98
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1/x
9.
,
x2,
Seja f(x) =
2
,
2—x,
x < 0
O
X
<1
x =- 1
x>1.
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
é (a) lim f(x).
x —) —1
,*(19)
,(d) lim f(x) .
x—)
'(e)
,(g) lim f(x).
x- 2
•(h)
lim f(x).
x —)
a(c)
lim f(x).
lim f(x).
x )0+
lim f(x).
x ->2+
2+
x —> O
lim f(x).
x— 2
10. Seja f(x) = (x2 - 25)/(x — 5).
Calcule os limites indicados se existirem:
*(a) lim f(x).
x O _
1(b)
((d) lim f(x).
x —> 5
s(e)
lim f(x).
x -> 5 +x
,(c)
lim f(x).
-> -
lim f(x).
x --> - 5
3.9 CÁLCULO DE LIMITES
Antes de apresentar exemplos de cálculo de limites, vamos falar um pouco
sobre expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões:
o
o
'
-
00
,00
—oo,O x
3
O° ..°
são indeterminadas. O que significa isto?
Limite e continuidade
99
O
Vejamos, por exemplo, - •
O
Sejam f e g funções tais lim f(x) = lim g(x) = O. Nada se pode afirmar,
x-*a
x—>a
a priori, sobre o limite do quociente f/g. Dependendo das funções f e g ele pode assumir
qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de
indeterminação.
Para comprovar o que dissemos acima, vejamos dois exemplos:
(i)
Sejam f(x) = x 3 e g(x) = x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O
x
x
e lim
(ii)
3
= lim x
-5 = lim x = O.
g(x)
x --)13
x
Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2 .
Temos, lim f(x) = lim g(x) = O e, neste caso,
x-4c■
x->o
lim
x
f(x. )
x2
- lim
- lim 1 = -1 2
x2x2
g(x)
x-'0 2
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios
algébricos são necessários. São os casos de funções racionais em que o limite do
denominador é zero num determinado ponto e o limite do numerador também é zero
neste mesmo ponto.
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 0/0.
x3 - 3x + 2
Exemplo 1. h
lim
x2 - 4
x -4 -2
100
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as
simplificações possíveis. Aplicamos então a proposição 3.5.2.
Temos,
lim
x---2
- 3x + 2
x2 - 4
= hm
-2
x--2
= lim
x
--2
(x2 - 2x + 1)(x + 2)
(x - 2)(x+ 2)
x2 - 2x + 1
x - 2
lim (x2 - 2x + 1)
x->-2
um (x - 2)
2
x
- 9/4.
Exemplo 2. hm
x-›0
função.
+ 2 -
Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da
Segue então,
+ 2 esix + 2 -
(Nix + 2 +
lim
= lim
x-)o
x
Xe■ix + 2 +
x->0
= lim
x
(Nix + 2 ) 2 -(Nr2-:) 2
x ( "■ix + 2 + x+2-2
= lim
x->0 X( 1.7C
.
2 +')
)
Limite e continnifkrk
1
= lim ,
x—)o "Vx + 2 + N12—
1
2 *Ni2.-3fX
Exemplo 3. lim r
—
—
x-41 Nx
—
1
Neste caso faremos uma troca de variáveis para facilitar os cálculos.
Por exemplo, x = t6 , t O.
Quando t6 —+ 1, temos que t -->.1.
Portanto,
lim
x
3-■&"
— 1
— 1
— 1
= lim
r—› Nt6 — 1
= llim- 1
t-91
=lim
rol
=
lim
r—1
(t — 1) (t + 1)
(t +1) (t2 + t + 1)
t+ 1
t -41 , + t + 1
= 2/3.
101
102
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Exemplo 4. lim
(x + h) 2 — x2
h
h->0
Neste exemplo, simplesmente desenvolve-se o numerador para poder realizar
as simplificações.
Obtem-se:
x
.
( + h) 2 — x2
+
x2 2xh + h 2 — x2
—l im
hm
h->0
h
h
h->0
=um
2xh + h 2
h->0
h
um h(2x + h)
h->0
h
= lim (2x + h)
h->0
2x.
3.10 EXERCÍCIOS
1. Para cada uma das seguintes funções ache
f(x) — f(2)
hm
—2
2
xx -• 2
?,(u) f(x) = 3x2 .
(b) f(x) = 1/x, x O.
e(d) f(x)= 3x2 + 5x — 1. 6 (e) f(x) =
x+1
, x —1 .
• (c) f(x) = 2/3 x2 .
a (f) f(x) = x3.
Limite e continuidade
103
Nos exercícios 2 a 25 calcule os limites.
x3 +
hm ,
x- - 1
x
.
a.
E4.
06.
x->2
3x2
— 5x — 2
410.
x —a
x2 + 6x + 5
X2 - 4
x ->2 x — 2
.r.14.
lim
16.
x
D11.
(2 + h) 4 — 16
h
t.17.
h-->1 h — 1
—2
x->2 XL —12x + 20
(4 + 0 2 -16
bt — a
+
, a, b > O .
,a>O
'N/2(h2 — 8) + h
11111
h->-4
19. lim
x->0
h
17 (
,
x2 + 3x + 2 (/ -IJ)
r->0
"\ix2 + b 2 — b
(m-}, y,,y--n__L
x2 — 5x + 6
m15. lim
"V x2 + a 2 — a
•
— > tr)
1\Àt,
tf
2t — 5
3. fim
01
•
t
-3\1 8 +
2t2 — 3t — 5
x2-1
lim
'125 + 3t — 5.N1a2
r —> o
lim
x
lim
—> 5/2
3x2 — 17x + 20 3
lim
x->4 4x2 — 25x + 36 Li
▪
lim
lim
.
97.
lim
x-->_1 x— 3x — 4
42.
—
1$.
x2 + (1 — a)x — a
lim
x-*a
* 8.
(t + 2) (t — 3)
x2 + 3x — 10
lim
t3 + 4ê + 4f
3. lim
•21. lim h+4
.■11. + x — 1
—x
Vx' — 4a
x —> a x — a
a O.
104
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1
• 22.
te lim
•t; 24.
3 - \/5 + x
Hm
-X
x ->4 1 -
—
x ->1
23. lim
x
4\1; - 1
-
FI
-2
1
25. lim
ï; +
- 1)2
+ x —
—x
3.11 Limites no Infinito
No exemplo 1 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função
f(x) = 1 - 1/x para valores de x muito grandes.
Intuitivamente, vimos que podemos tomar o valor de f(x) tão próximo de 1
quanto desejarmos, tomando para x valores suficientemente elevados. (Observar a
Tabela 3.1.) Da mesma forma, fazendo x decrescer ilimitadamente vemos que f(x) se
aproxima desse mesmo valor 1.
Temos as seguintes definições:
3.11.1 Definição. Seja_ f uma função definida em um intervalo aberto (a, + oe
Escrevemos,
fim f(x) = L,
x-,++quando o número L satisfaz à seguinte condição:
Para qualquer e > O, existe A > O tal que If (x) - LI < e sempre que x > A.
3.11.2 Definição. Seja f definida em (- 00, b). Escrevemos,
lim f(x) = L,
X
-)
se L satisfaz a seguinte condição:
Para qualquer e > O, existe B < O tal que If (x) - LI < e sempre que x < B.
Limite e continuidade
105
Observação.As propriedades dos limites dadas na proposição 3.5.2 da seção 3.5,
permanecem inalteradas quando substituimos x —> a por x —> + .0 ou x —> — oo.
Temos ainda o seguinte teorema, que nos ajudará muito no cálculo dos limites
no infinito.
/
3.11.3 Teorema.
Se n é um ral ero inteiro positivo, então:
(i)
lim
(ii)
hm — = 0.
xn
1= 0.
Xn
Prova. Vamos demonstrar o item (i). Devemos provar que, para qualquer e > 0, existe
A > 0, tal que
< e sempre que x > A.
O exame da desigualdade que envolve c nos sugere a escolha de A.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
— —0
xn
< E
< E
106
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
A última desigualdade nos sugere fazer A = 1/ W.
Temos que x > A
— -o
< E e desta forma
hm — = O.
lim
x—>+.0 Xn
A demonstração do item (ii) se faz de forma análoga. Sugerimos ao aluno que
tente fazê-la.
3.11.4 Exemplos
(i) Determinar lim
2x – 5
x+8
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo — •
Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as propriedades de limites juntamente com o teorema 3.11.3.
Temos,
2x – 5
2 – 5/x
lim
lim
x–>+. 1+ 8/x
x–>+– x + 8
lim (2 – 5/x)
lim (1 + 8/x)
lim 2 – lim 5/x
lim 1 + lim 8/x
Limite e continuidade
107
2 — 5.0
1 + 8.0
=
(ii) Encontrar lim
2.
2x3 3x + 5
4x5 — 2
Novamente temos uma indeterminação do tipo 00/co.
Para usarmos o teorema 3.11.3, dividimos o numerador e o denominador pela
maior potência de x, que neste caso (X--.5
Temos,
x
lira
2x3 — 3x + 5
4x5 — 2
—
x2
lim
3
+
x4
5
x5
4 — 2/x5
x -÷ -
lim (2/x2 — 3/x4 + 5/x5
)
X —) —
x
lim (4 — 2/x 5 )
2 lim 1/x 2 — 3 lim 1/x4 + 5 lim 1/x5
X
x
—) — 00
x
-) -0
lim 4 — 2 lim 1/x5
x
—
2.0 — 3.0 + 5.0
4 — 2.Ó
.=
2x + 5
(iii) Determinar lim J , 9
x +— LX- 5
X
—) — cc.
-- o0
108
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Neste caso, dividimos o numerador e o denominador por x. No denominador
tomamos x = &, já que os valores de x podem ser considerados positivos (x --> + co).
Temos,
hm
'
2x + 5
*V2x2 - 5
-
+ 5/x
lim ,
x->+- "%12x2 - 5 / yx
/72
lim (2 + 5/x)
x
2x2 - 5
x2
lim
x->+-
lim 2 + 5 lim 1/x
x->+-
x->+x->+-
•■12 - 5/x2
2 + 5.0
lim (2 - 5/x 2)
x
2
I2 - 5.0
2x
+ 5
(iv) Determinar lim
x->-- "V2x2 - 5
Como no exemplo (iii), dividimos numerador e denominador por x. Como
neste caso x —> - co, os valores de x podem ser considerados negativos. Então, para o
denominador, tomamos x = --517
2 . Temos,
2x + 5
2 + 5 / x
lim = lim ,
x->-- N2x2 _ 5
"V2x2 _ 5 / (-
Limite e continuidade
109
2 + 5/x
2x — 5
x2
lim (2 + 5/x)
x
— V lim (2 — 5/x 2)
2 + 5.0
— \12 — 5.0
2
—
=—
3.12 LIMITES INFINITOS
No exemplo 4 da seção 3.1, analisamos o comportamento da função
f(x) = 1/(x + 1) 2 quando x está próximo de —1. Intuitivamente, olhando a Tabela 3.4,
vemos que quando x se aproxima cada vez mais de —1, f(x) cresce ilimitadamente.
Em outras palavras, podemos tornar f(x) tãó grande quanto desejarmos, tomando
para x valores bastante próximos de —1.
Temos a seguinte definição.
3.12.1 Definição. Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto contendo
a, exceto, possivelmente, em x = a. Dizemos que
lim ftx) = + 00,
.
x —> a
se para qualquer A > 0, existe um
0<Lr—ai<S.
8 > O tal que f(x) > A sempre que
110
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
De modo semelhante, observando a Figura 3.5, do exemplo 5 da seção 3.1,
podemos ver o que ocorre com uma função f(x) cujos valores decrescem ilimitadamente
nas proximidades de um ponto a.
3.12.2 Definição. Seja f(x) definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que
lim ffx) =
x -3 a
se para qualquer B< O, existe um 8 > 0, tal que f(x) <B sempre que
0 < lx - al < 5.
Além dos limites infinitos definidos em 3.12.1 e 3.12.2, podemos considerar
ainda os limites laterais infinitos e os limites infinitos no infinito. Existem definições
formais para cada um dos seguintes limites:
lim f(x) = +
ao
->
lim f(x) = +
ao
D3
+
e
, lim f(x) = -
->
, lim f(x) = a°
lim f(x) =
x -> a-x
, lim f(x) = +
x -> a-x
x -> a+
00
,
00
,
a+
lim
x -> +oo
f(x) = -
lim f(x) =
Por exemplo, dizemos que lim f(x) + a° se para qualquer A > 0, existe
x -> a+
um 8 > O tal que f (x) > A sempre que 0 < x < a + 8.
A seguir apresentamos um teorema muito usado no cálculo de limites infinitos.
3.12.3 Teorema. Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
(i)
lim — = + co.
x - > O+ X"
Limite e continuidade
111
se n é par
se n é impar .
Prova. Vamos provar o item (i). Devemos mostrar que para qualquer A > O, existe
8 > O, tal que
xn
> A sempre que O < x <
Trabalhando com a desigualdade que envolve A, obtemos uma pista para a
escolha de S. Como x > O, as desigualdades abaixo são equivalentes:
1 >A
x"
1
xn < —
A
x < V1/A.
Assim, escolhendo 8 , = !■11/A , temos 1/x" > A sempre que O < x <
3.12.4 Propriedades dos Limites Infinitos.
De certo modo, a proposição 3.5.2 permanece válida para limites infinitos,
embora devamos tomar muito cuidado quando combinamos funções envolvendo esses
limites. A Tabela 3.7 nos dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites
infinitos, onde podemos ter x —> a, x —>a+, x —> a , x —> + 00 ou x --> — 00. As
demonstrações não são difíceis. Provaremos o item 01 como exemplo.
-
Na Tabela 3.7, 0 + indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero
por valores positivos e 0- indica que o limite é zero e a função se aproxima de zero, por
valores negativos.
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
112
Tabela 3.7
01
lim f(x)
lini g(x)
h(x) =
lim h(x)
± ao
±00
f(x) + g(x)
f00
+ ao
f(x) - g(x)
?
02
simbolicamente
+.+.=+.
(+ ao) - (+ oo) é indeterminação
03
+ ao
k
f(x) + g(x)
+00
+00+k=+00
04
-ao
k
f(x) + g(x)
- 0.
-00+k= - .**
+
05
06
-
00
f(x) - g(x)
...
f(x) • g(x)
_ ....
(+ c°) • (- °°) = - a°
(+ °e) - (+ c°) = + a°
07
+ c.
. k>0
f(x) • g(x)
+00
.
+00 •k=+00,k>0
08
+ co
k<0
f(x) • g(x)
-ao
+ oo • k = - 0*, k < O
f(x) - g(x)
?
± oo • O é indeterminação
± 03
f(x)/g(x)
O
k/± 00 = O
± ao
f(x)/g(x)
?
± *01+ oo é indeterminação
0+
f(x)/g(x)
+ ao
kl0+ = + co, k > O
f(x)/g(x)
+00
+ 0010 + = + 00
0-
f(x)/g(x)
- oo
k10- = - 09, k > O
r
f(x)1g(x)
- o.
+ 0010- = - c.
O
f(x)/g(x)
09
k
10
11
±
12
k>O
13
+ c.
14
k>0
ao
15
16
O
-
010 é indeterminação
Prova do item 01. Sejam f e g tais que lim f(x) = +co, lim g(x) = + co e
x —> a
x —> a
h(x) = f(x) + g(x). Vamos provar que lim h(x) = +
x —> a
Devemos mostrar que dado A > 0, existe 5 > 0, tal que h(x) > A sempre que
0 < Lx — al < 5.
Limite e continuidade
113
Seja A > O qualquer. Como lim f(x) = + 00, 3 S i > O tal que f(x) > A/2 sempre
X -9
a
que O < Ix — al < 8 1 . Como lim g(x) = + 00, existe 8 2 > O tal que g(x) > A/2 sempre
x—>a
que O < lx — al < 82 .
Seja 8 = min {S 1 , 842 }. Temos, então
h(x) = f(x) + g(x) > A/2 + A/2 = A sempre que O < Ix — al < 8 e desta forma
lim h(x) = + 00.
x—>a
3.12.5 Exemplos
(i)
Determinar lim (x 3 +
x
+ 1/x2).
Temos,
lim (x3 +
x—>0
+ 1/x2) = lim x3 + lim
x—>0
=
=
(ii)
+ lim 1/x2
x—>0
x—>0
O + O + 00
oo
Determinar lim (3x5 — 4x3 + 1).
X
—>
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0.0 — °O. Para determinar o limite
usamos um artifício de cálculo. Escrevemos,
x
lim (3x5 — 4x3 + 1)
= lim
4
X5 3 — - I-
1
"X"'
114
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
+.0(3-0+0)
=+
oo
lim
(iii) Determinar lim —1x1
—1x1
x -> oI- x2x
x -)0
e
lim
x
lx1
X2
Para x > 0, temos Ixl = x. Assim,
lim
IX I
x
= lim
x -> 0+x
r2
+
->
1
=
- = °.
Para x < 0, temos lx1 = - x. Portanto,
lx1
m
lim
= h -x
x -> 0 X-x -->
= lim
-1
-
x -> 0- X
=+
i
.
I
Como Hm=
, concluímos que lim IX I = co
x2 = hm
x -› o
x-> o x-x
o x2
(iv) Determinar lim
-> -1
x
5x + 2
lx + 11
Quando x —> - 1 , Ix + 11 --> O + . Assim,
5x + 2x
lim
x -› -i lx + 11
lim (5x + 2)
-1 -
lim lx + 11
x -)-1
(v) Determinar lim
x2 + 3x + 1
x -) 2+ X2 +
e lim
x -> 2
_ -3 _ - ... .
0+
x2 + 3x + 1
x2 + x - 6
X
-
lim
x -> 2
x2 + 3x + 1
x2 + x - 6
+
Limite e continuidade
115
Temos,
lim
x2-1- 3x + 1x2
,
x
+ x - 6
-
+ 3x + 1
l
x->m2+ (x 2) (x + 3)
•
lim (X2 + 3.X + 1)
x -> 2 +
lim [(x - 2) (x + 3)]
x -> 2+
o+
=
o°.
Ainda,
lim (X2 + 3x + 1)
x 2.lim [(x - 2) (x + 3)]
x2 + 3x + 1
hm
,
6
X
x -> r"-
x -> 2
11
'
= —00
Como
+ 3x + 1
.
x2 + 3x + 1
,
lim
hm
X - 6
x -> 2+ X + X - 6 x+
-
x2 + 3x + 1
•
2 X +X-6
não existe o lim
-
Porém, muitas vezes, calculando limites de urna maneira menos formal, escrevemos que
x2 + 3x + 1
x -> 2 x2 + x - 6
lim
00
sem nos preocuparmos com o sinal.
116
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
x2 + 3
x+2•
(vi) Determinar lim
Dividindo o numerador e o denominador por x 2 , temos
lim
x2 + 3
Y + 2
3
1+—
x2
lim
x-›+-
1
2
x2)
lim [ 1 +
x-›+x
lim
3
2
1
+
x x2
+ 00,
- x3
8x + 2
(vii) Determinar lim 5
Dividindo o numerador e o denominador por x 3 , temos
lim
5 - x3
8x + 2 -
lim
X
-+ oo
8
2
x2
lim (5/x3 - 1)
X
-
lim (8/x2 + 2/x3 )
X
---
Limite e continuidade
— o+
(viii) Determinar lim
2x4 + 3x2 + 2x + 1
4 - x4
Dividindo o numerador e o denominador por x 4 , temos
2
3
lim
2x + 3x2 + 2x + 1
4 - x4
= lim
x —› +
2 + —2 + —
x
X3 +
1
4
,
x4 3
2
1
2+ + —
x3 + x4
lim
44 _ 1
.% —4 4- c.
2
-2.
x2 + 3x - 1
(ix) Determinar lim
.x-9+0 x3 - 2
Dividindo o numerador e o denominador por x 3 , temos
x2 + 3x - 1
->
x3 - 2
lim
x-›+-
1
3
1
+
x x2 x3
1-X3
117
118
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
lim
lim
X —)
o
1
=
(x) Mostrar que se P(x) = acre + a i xn - 1 + + a n e
Q(x) = b oiln + b re" -1 + + b m , então
lim
x->±-
P(x)
-
lim x ->
a ux-n
boXin
Temos,
lim
aoxn + a 1xn-1 +
b oxm + b i xm-1 +
+ an
+ bm •
(
ai
an -1an
xn ao + + + xn-1 + —
vn
= lim x
1‘.
b
b
b
bo + + + f-1
m- + —
/
ao
= lim — •
x -)-4-
X
—>
ai
X
b
bo + 11 +
. . .
an - 1
xn - 1
I-
n
xn
+ xin-1
bm-1 + .„rn
m
Limite e continuidade
lim
▪
+
X`
Xrn
•
ao
bo
aoxn
= lim ▪ -4± boxm
3.13 EXERCÍCIOS
1.
3x + lxl
Se f(x) — 7x
5ixi ,calcule:
9(a)
lim f(x).
o(b)
lim f(x) .
x - ) --
#(b)
lim f(x) .
x -4+
—>
2.
Se f(x) =
t(a)
1
•
(x + 2)`:
calcule:
lim f(x) .
x -4 —2
Nos exercícios 3 a 40 calcule os limites.
o3.
%S.
x
lim
(3x3 + 4x2 — 1) .
.9 4.
1
4\
2——+
lim
x
x2
a + 00
.
Um
t + 1
r +1
,o6.
hm
lim
• 8.
lim
lim
99.
lim
t2,
—
2t + 3
2t` + 5t — 3
3x5 — x2 + 7
2 — X2
5
x
,
r
+1
+1
2x5 — 3x3 + 2
—
—x` + 7
-
'10.
—
—5x 3 + 2
lim
x -4 -- 7x3 + 3
119
120
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
11.
Hm
X
13.
15.
x2 + 3x + 1
x
CO
t2 — 1
*12. lim '"rx
14.
lim
+ OD t - 4
V VV — 1
lim
+
v r 3v - 1
lim x(Vx2 - 1 - x).
x►+
20.
23.
25.
27.
5x3 - x2 + x - 1
lim
x -00 x4 + x3 - x + 1
V
lim 2x
lim
+
29.
lim
Y
31.
33.
4-
CO
lim (13x 2 + 2x + 1 - Vfx ).
x + co
26. lim (116x4 + 15x3 - 2x + 1 - 2x
4
O
lim
X
30.
x 24- X2 —
+
28.
2s 7 + 1
X2 — 1
- 00
- s
3s / - 4s 5
3
+
x3 -2x+1
lim
x
24. hm
lim
+ OD VS2 + 7
c° V 5 + 4y2Y
lim
x+ 1
lim ( Vx2 + 1 - 1/x2 - 1) .
x
„V
x 3+ X —
lim
-7
2
3x2 - 5 sen x + 1
x +
10X2 - 3x + 4
4
21.
22.
lim
3x2 - 1
x
)
Nix2 + 1
lim
Vx2 + 1
1
17. 8.
lim
x -.-00 x + 1
19.
CO
16.
x3
x (2x - 7 cos x
lim
X
+ 3x - 10
32.
lim
+ CO
V2x2 - 7
x+ 3
3 - y
NI 5 + 4372
x 3— — 3
34.
lim
x
x
x.- - 4
Limite e continuidade
,35.
037.
x
439.
lim 2
+
+ 6
.36. lim Y
y - 6 y` - 36
6
y 6+ y - 36
3
-
x
.38.
lim
x -)4+- 2x - 8
lim
3 1
121
3-x
lim
,
x -)41 -- 2x - 8
•40.
3 1x
lim
-) 3+
1
31
3.14 LIMITES FUNDAMENTAIS
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites
fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 0/0,
1 - e 00 ° .
3.14.1 Proposição. O
lim x -)0
x
x é igual a 1.
Prova. Consideremos a circunferência de raio -1 (Figura 3.10).
Figura 3-10
Seja x a medida em radianos do arco AOM . Limitamos a variação de x ao
intervalo (O, n/2).
122
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observando a Figura 3.10, escrevemos as desigualdades equivalentes:
área A MOA <
área setor MOA <
área A AOT
OA • MM' <
OA • AM
OA • AT
2
<
2
MM'
<
sen x
<
2
AM
AT
x
tg x.
Dividindo a última desigualdade por sen x, já que sen x > O para
xE
—Tc
(0, 2
,
temos
x
sen x
1
1
cos x
sen x
1
cos X.
x
(1)
Por outro lado, sen x/x e cos x são funções pares. Então,
sen x)sen x
(-x)
e
cos (-x) = cos x.
Portanto, a desigualdade (1) vale para qualquer x, x # 0.
Como lim cos x = 1 e lim 1 = 1, pela proposição 3.5.3, segue que
x
x ->cs
lim
hm
x
enx
- 1.
Limite e continuidade
3.14.2 Exemplos
se. n 2x
(i)
hm
x
x
Por 3.14.1, podemos calcular limites do tipo
sen u
lim
u
onde u é uma função em x.
Neste exemplo, u 2x e u -> O quando x ---> O. Portanto,
sen 2x
lim
x -› o
(ii)
x
sen. usen
= 2 lim
uso u/2u soo
- hm
u
u - 2 • 1 = 2.
sen 3x
lim
xsen 4x
Neste caso, faremos inicialmente alguns artifícios de cálculo como segue:
lim
x
-
sen 3x
• 3x
3x
sen 4x
sen 3x
o sen 4x
4x
• 4x
• sen 3x
lim
3 x o 3x
4
sen 4x
lim
4x
x
3
1
4 1
3
4
123
124
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(iii) lim
x -)
•
Temos neste caso,
sen x
cos x
lim
x
x -> O
.
tg x
hm
x -) o
lim
x -13,
1
sen x
•
cos i
x
sen x
x >O
x
• lim
1
x _,(;) cosi
1•1
1.
3.14.3 Proposição. lim (1 +
1/x)x = e , onde e é o número irracional neperiano
±cujo valor aproximado é 2,718281828459 ....
x
Prova. A prova desta proposição envolve noções de séries, por este motivo será aqui
omitida.
3.14.4 Exemplos
(i) Provar que lim (1 + x) i/x =
x -O
Em primeiro lugar provaremos que lim (1 + x) l 'x = e .
x -)o+
Limite e continuidade
De fato, fazendo x = 1/t temos que t
lim (1 + x) 1 x
x
>+
—
oo
125
quando x —> 0+ . Logo,
(1 + 1 / t) t = e .
r->+-
Da mesma forma, prova-se que lim (1 + x) l 'x = e .
x-*
Portanto, lim (1 + x) lix = e .
x>o
(ii) Determinar lim ln (1 + t) In .
r -> o
Usando a proposição 3.5.2(g), temos
lim ln (1 + t) i n
▪
t
▪
3.14.5 Proposição. lim
x -> O
-
-x
in
[
hm (1
t-> O
+ 0 1/1
ln e
1
- ln a (a > O, a
1).
PrOva. Fazendo t = ax - 1, temos
= t + 1.
(1)
Aplicando os logaritmos neperianos na igualdade (1), vem
ln
ln (t + 1)
xlna =
ln(t+1)
126
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
ln (t + 1)
xln
a
Quando x -3 O, x O temos que t —> O, t O e então podemos escrever
ax
t
- 1
lim
x - o
x
lim ln (t + 1)
t -> O
In a
1
lim ln + 1)
t -) o
lim 1
ln a
lira
m
t-> 0
ln t + 1)
Considerando o exemplo 3.14.4(ü), concluímos que
lim ax
-1
- ln a.
x->o
3.14.6 Exemplos
(i) li m
x -) o
aX -17'
x
Temos,
lira
x-> o
aX
x
ax
bx bx -1
tr"
x-›o
x
Limite e continuidade
r
a jx
b
lim bx • lim
x
x-)0
127
- 1
X
1•ln a
ln a/b.
U i)
ex 1 ax - 1
lim
- >1
x2 - 1
Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a proposição
3.14.5.
lim
->1
ex - _ ax -
x2 - 1
= lim
m
(ex — 1) — (ax — 1)
(x + 1)(x - 1)
X -> 1
_ 1
=
ex
1 [ lim
x 1 x-1
_, 1 x + 1
1
2
lim x-+
1
ex _1
x-1
1
lim
x -> 1
ce _
_
lim
x _41 x - 1 I
- - 11
1
x-1
Fazemos t = x - 1 e consideramos que, quando x > 1, x 1, temos t O,
—
t
O.
Portanto,
lim
x-11
ex - 1
ax - 1
X2 - 1
t
1 [ lim et -
2 t -5 0t
a - 1 ]
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
128
1
- (ln e - ln a)
2
1
- (1 - ln a
2
3.15 EXERCÍCIOS
Nos exercícios 1 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
01.
b
.3.
lim
x
hm
sen 9x
.2.
•
se. n 10x
xsen
.
sen 4x
hm
x -)0 3x
4. lim sen
ax
O.
sen bx
x
7x
6.
hm
.
sen x/2
o 5.
lim tg
x -)0 xx
Àx+1
tg. 4
lim , •
x -)-1 (x + 1)J
o
x3
,
lim
x > o
11.
lim
x
13.
1 - cos x
x2
x --) o
10.
1 - cos x
x
•
lim (x - 3) coser
x --> 3
6x sen 2x
•
2x + 3 sen 4x
lim 1 - 2 cos x + cos 2x
x
.8. um
X2
12.
14.
lim
x
cos 2x - cos 3x
x2
lim (1 + 1/n)n 1- 5
n-).0
7C X.
Limite e continuidade
15.
16.
2n +
17.
n -->
19.
l
> —>
[
1+
129
X .)
\n + 1
2n +
lim (1 + cos x) licc"
lim (1 + l/tg Atg X .
18.
TC
x )2
lhn
20.
37e
2
1+
10
\rx
x
x+3
21.
23.
25.
27.
10x-2 — 1
x -2
x-32
lim
lim
- 25
x—>2 x — 2
lim
x -K)
lim
e-aX — CbX
x
45—1
22.
x -› —3
x+3
x —1
4
3
24.
- 1
11111
x,1 sen [5 (x - 1)]
tg. h ax
x—>I3
X
26. hm
e" - e b
x 0 sen ax - sen bx
3.16 CONTINUIDADE
Quando definimos lim f(x) analisamos o comportamento da função f(x) para
x-> a
valores de x próximos de a, mas diferentes de a. Em muitos exemplos vimos que
lim f(x) pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a. Se f está definida em
x -> a
a e lim f(x) existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).
x —> a
130
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Quando lim f(x) = fla) diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é
x a
contínua em a.
3.16.1 Definição.
Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes
condições forem satisfeitas:
(a)
(b)
f é definida no ponto a;
lim f(x) existe;
x —› a
(c) lim f(x) = fla).
x —> a
A Figura 3.11, mostra esboços de gráficos de funções que não são contínuas
em a.
a
a
X
Figura 3 11
-
X
Limite e continuidade
131
3.16.2 EXEMPLOS
(i) Sejam f(x) —
X2 - 1
{ x2 — 1
.•
g(x) =
x —1
1
x —1
se x
e
1
se X = 1 .
As funções f e g não são contínuas em a = 1. A função f não está definida em
a = 1. Portanto, não satisfaz a condição (a) da definição 3.16.1. Já para a função g,
temos g (1) = 1, mas
lim g(x) = hm
x—>1
x ->11
(x — 1)(x + 1)
—lim (x + 1) = 2 .
x— 1x -)1
Logo, a condição (c) não se verifica no ponto a = 1.
A Figura 3.12, mostra um esboço do gráfico dessas funções.
Figura 3-12
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Sejam f(x) = (x - 2) 2
g(x) = 1
(x 2) 2
e
se x # 2
3
se x = 2 .
As funções f e g não são contínuas no ponto a= 2. A função f não está definida
neste ponto e a função g, embora esteja definida em a= 2, não cumpre a condição (c)
da definição 3.16.1 pois lim g(x) g(2).
x->2
A Figura 3.13, mostra os gráficos dessas funções.
2
Figura 3-13
(iii) Seja f(x) =
x
lx I
se x #O
O
se x = 0 .
f não é contínua no ponto a = O. De fato, se x > O, .ftx) =
x
hm f(x) = 1. Se x < O, f(x) = = - 1.
-x
x -› o
x
= 1. Assim,
Limite e continuidade
133
Logo, lim f(x) = -1. Portanto, não existe lim f(x) e dessa forma f não é
x-)o
x--)13
contínua em a = O.
Na Figura 3.14, podemos ver um esboço do gráfico dessa função.
Figura 3-14
(iv) Seja h(x) =
x+3,
- x + 1,
se
x>-1
se x < - 1 .
h é contínua em todos os pontos.
De fato, seja a E R . Se a > - 1, temos
lim h(x) = lim (x + 3) = a + 3 = h(a).
x—*a
x—>a
Se a < - 1, temos
lim h(x) = lim (-x + 1) = -a + 1 = h(a).
x-4a
x-)a
Se a = - 1, temos
lim h(x) = lim (x + 3) = - + 3 = 2 = h(-1) e
x -1 +
134
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
lim h(x) = lim (-x+ 1) = -(-1) + 1 = 2.
x->-1
x-3-1
Logo, lim h(x) = 2 = h (-1).
Podemos ver um esboço do gráfico de h(x), na Figura 3.15.
AY
h(x)
X
Figura 3-15
se x -2
(v) Seja g(x) =
3
se x = - 2 .
Então, a função g não é contínua em x = - 2, pois
1
lim g(x)
= lim
1
e
lim
g(x) = lim
-+
x -> -2 +x
-> -2+ x +2
x->-2
x -> -2 x+ 2
C° .
Neste caso, embora a função g seja definida em a = - 2, lim g(x) não
x->- 2
existe.
Podemos ver um esboço do gráfico de g (x) na Figura 3.16.
Limite e continuidade
Figura 3-16
PROPRIEDADES DAS EVIVOES CONTÍNUAS
3.16.3 Proposição. Se as funções f_e g são contínuas em um ponto a, então:
(i)
f + g é contínua etn,A;
(ii)
é contínua em cr:
(iii) f g é contínua em a;
(iv) f/ g é contínua em a, desde que g(a)
Prova. Vamos provar o item (iv). Os demais ficam como exercício.
Suponhamos que g(a) O. Então f /g é definida no ponto a.
Como f e g são contínuas no ponto a, temos
lim f(x) = fia) e lim g(x) = g(a).
x-+a
x-*a
Assim, pela proposição 3.5.2, temos
lim f(x)
—
lim
— (f/g)(a)
g(x)
lim g(x)
g(a)
X-->a
f(x)x—>a f(a)
x—>a
Logo, f /g é contínua no ponto a.
135
136
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.16.4 Eroposição.
(i)
Uma função_nolinogiál é contínua para todo número real.
(ii) Uma_ função racional é contínua em todos os pontos de seu do 'aio.
(iii) As funções f(x) = sen x e f(x) = cos x são contínuas para todo número
real x.
(iv) A função exponencial f(x) _ = e é contínua para todo número real x.
A prova dessa proposição segue diretamente das propriedades de limites.
3.16.5 Proposição. Sejam f _e_gfunções tais que lim
x-*a
em b.
b e g é contínua
Então lim (g o f)(x) = g(b), ou seja,
x-*a
lim g[f(x)] = g [ lim f(x)].
x-*a
x-*a
Prova. Queremos mostrar que lim (g
o f)(x) = g(b), isto é, dado e > O, 3 8 > 0,
x—>a
tal que
1(g o f)(x) — g(b)I < e sempre que O < Lic
—
al < S.
Como g é contínua em b, por definição, Hm g(y) = g(b). Portanto, dado
y—>b
e > O, 3 S i > O, tal que Ig(y) — g(b)I < e sempre que O < ly — bl < 8 1 .
Como para y = b, temos Ig(y) — g(b)I = O < e, podemos escrever
Ig(y) — g(b)I < e, sempre que ly — bl < S i .
(1)
Limite e continuidade
137
Como lim f(x) = b e 8 1 > 0, pela definição de limite, 3 8 > 0, tal que
x -> a
1f (x) - bl < S i sempre que 0 < lx - al < 8.
Portanto, se O < Lr - al < 8, y = f (x) satisfaz (1) e dessa forma
I g[f (x)] - g(b)1 < e.
_
3.16.6 Proposição. Se f é contínua em aeg é contínua em ,ffa), então a função
composta g af é contínua no ponto a..
Prova. Como f é contínua no ponto a, temos lim f(x) = f(a).
x -) a
Como g é contínua emf(a), podemos aplicar a proposição 3.16.5. Temos, então
lim (g o f )(x) = g E lim fix)1 = g [(f(a)]
x —› a
x a
(g of ) (a)•
Logo, g 0 f é contínua em a.
3.16.7 Proposição. Seja v = fix) ima fanção-de • .
1
ua num
IL • II
J -› I, então
-
Seja J =1(aSefadnúte_umafunção_inmersa_g_
contínua em todos os pontos de J.
Observamos que, com o auxílio desta proposição, podemos analisar a continuidade das diversas funções inversas definidas no Capítulo 2. Por exemplo, a função
g: R+ * -> 1?
2-
X —> 111 X
é contínua, já que ela é a inversa da função exponencial f (x) =
*.%
ex.
138
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3.16.8 Definição. Seja fdefmida num intervalo fechado [a, b].
(i)
Se hm f(x) = f(a), dizemos que f é contínua à.direita no ponto a.
X
a
(ii) Se lim f(x) = f(b), dizemos que f é contínua à esquerda no ponto b.
x—b
(iii) Se f é contínua em todo ponto do intervalo aberto (a, b), f é contínua à
direita em a e contínua à esquerda em b, dizemos que f é contínua no
intervalo fechado [a, b].
3.16.9 Teorema do Valor Intermediário. Se f é contínua no intervalo fechado
[a, b] e L é um número tal que f(a) S L f(b) ou f (b) L 5_ 1(2), então existe
pelo menos um x E [a, b] tal que f(x) = L (Ver Figura 3.17).
Figura 3-17
Esse teorema nos mostra por que as funções contínuas em um intervalo
muitas vezes são consideradas como funções cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel, isto é, não há interrupções no gráfico. Não apresentamos sua
demonstração aqui.
Conseqüência. Se f é contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) tem sinais opostos,
então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = O (Ver Figura
3.18).
Limite e continuidade
Figura 3-18
3.17 EXERCÍCIOS
1.
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
sen x
(a) f(x) =
x O
em x = O.
x
,
x =O
(b) f(x) = x — x I em x = O.
X3
(c) f(x) =
-8
X2 -
3
(d) f(x) =
1
sen l/x
4
x2
em x = 2.
x=2
em x = 2.
{ x2 sen 1/x , x O
(e) f(x) =
x=0
emx=0.
139
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
140
.x2
-
(I) f(x) =
(g)
1
x<1
x>1
x=1
,
,
x2 — 4 ,
x2
f(x)
em x =1:
2
x
em x = 2.
x=2
a
x -1
(h) f(x) =
1_,x,,
(i) f(x) = x2
• 0) .f(X) =
2.
x<_1
+7
x2 + 1
3x2 +
2
.1
em x = —1.
,
em x = 2 .
em x = — 3 .
—x—3
Determine, se existirem, os valores de x e D(f), nos quais a função f(x) não é contínua.
x
, '
_2
(a) f(x) = { l''' — -I *
0
(b) f(x) —
(c)
x2 # 1
x = —1 .
1 + cos x
3 + sen x
f(x) — x — lx I
x
NIx2 + 5x + 6 , x < — 3 e x > — 2
(£0 itx) =
—1
—3 < x — 2
Limite e continuidade
1 - cos x , x<O
(e) f(x) =
x O
x2 + 1
(f)
2
f(x) =
x 2 - 3x + 4
x - 1
(g) f(x) {
1
(h) f(x) = cos
3.
x 1
x=1
x
X + 7Z
Faça o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
,
x O
x,
x>O
x2 - 4
a) f(x) =
x
c) f(x) =
lx I
1
x=-2
{ ln (x + 1) , x > O
x O
dj f(x) -=
-x
x=O
e) f(x)
x-2
x + 2
f(x)
b) f(x)
, x<O
x3 + 3x2 - x - 3
-
+ 4x + 3
4. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
x2 + px + 2 ,
(a) f(x) =
3
x3
x=3
x + 2p ,
(b)
x .^ -1
f(x) =
,
x > -1
141
142
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e2x
x O
1'3 — 7 ,
x=O.
(c) f(x) =
5.
Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
(a) f(x) —
(c) f(x) =
x
(x 3)(x + 7)
1
1 + 2 sen x
(b) f(x) = '/(3 — x)(6 — x)
(d) .f(x)
x2 + 3x 1
x
6x + 10
—
—
- —
6.
Prove que se f(x) e g(x) são contínuas em x o = 3, também o são f+g e f -g.
7.
Defina funções f, g e h que satisfaçam:
(a) f não é contínua em 2 pontos de seu domínio;
(b) g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em I? ;
(c) h o f é contínua em todos os pontos do domínio def;
Faça o gráfico das funções f, g, h e h of.
8.
Dê exemplo de duas fimçõesf e g que não são contínuas no ponto a= O e tais que h =f•gé
contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f, g e h.
9.
Sejam f, g e h funções tais que, para todo x,f (x) ^ g (x) h(x). Sef e h são contínuas no ponto
x = a e f(a) = g(a) = h(a), prove que g é contínua no ponto a.
10. Sejam a E R ef: R —> R uma função definida no ponto a. Se lim
que f é contínua no ponto a.
x —› a
f(x) — fia)
x—a
— m, prove
Neste capítulo, estudaremos a DERIVADA. Veremos, inicialmente, que ela
representa a inclinação de uma curva num ponto. Posteriormente, apresentaremos outras
aplicações práticas, em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc.
4.1 A RETA TANGENTE
Vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar
a equação da reta tangente à curva num ponto dado.
As idéias que usaremos, foram introduzidas no século XVIII, por Newton e
Leibnitz.
Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 4.1.
Sejam P(x 1 , y 1 ) e Q(x2 , y2) dois pontos distintos da curva y = f(x).
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo
retângulo PMQ, na Figura 4.1, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente angular
de s) é
tg =
Y2 Y1Ay
x2 -
—
X1
Ax
143
144
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-1
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção
a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se
aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos,
tendendo para um valor limite constante (Ver Figura 4.2.).
Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P,
ou também inclinação da curva em P.
Figura 4-2
4.1.1 Definição. Dada uma curva y = .ffx), seja P(x 1 , y 1 ) um ponto sobre ela. A
inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por
Derivada
m (x l ) = lim
->
Q
Ay
A =
1-1-4
"
flx2)
145
(1)
x2 -> X Ix2 - x 1
quando o limite existe.
Fazendo x2 = x 1 + Ax podemos reescrever o limite (1) na forma
m(x 1 ) = lim
-› O
f(x i + Az) — fiz )
Ax
(2)
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P.
4.1.2 Equação da Reta Tangente. Se a função f (x) é contínua em x 1 , então a reta
tangente à curva y = f(x) em P(x 1 , f (x 1 )) é:
(i) A reta que passa por P tendo inclinação
m(x 1 )
lim
Ax -> O
f(x / + Ax) — f(x 1 )
, se este limite existe. Neste caso temos a
Ax
equação
y — J(x 1 ) = m (x —x 1 ).
(3)
(ii) A reta x = x i se lim
Ax -> O
+ Ar) — J(x1)
Ax
for infinito.
4.1.3 Exemplos
(x 1 , y 1 )•
(i)
Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 — 2x + 1 no ponto
Se f (x) = x2 — 2x + 1, então
f(x 1 ) = x 1 2 - 2x + 1 e
Ax
146
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
+ Ax) = (x 1 + Ax)2 —2(x 1 + Ax) + 1
= x 1 2 + 2x i Ax + (Ax) 2 —2x 1 — 2Ax + 1.
Usando (2), vem
m(x ) =
—>
fixi + Ax) — J(x 1 )
lim Ax
O
xi + 2x
Ax + (Ax2) — 2x 1 —2Ax + 1 —
2x1 Ax
lim
AX
—> O
•
•
•
(x 1 , y 1 ) é
lim Ax O
lim — 2x 1 + 1)
2x 1 Ax + (0x) 2 — 2Ax
Ax
Ax(2x 1 + Ax — 2)
Ax -> o
Ax
2x1— 2.
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 — 2x + 1 no ponto
m (x 1 ) = 2x 1 — 2.
(ii) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 no ponto cuja
abscissa é 2.
O ponto da curva y = 2x2 + 3, cuja abscissa é 2, é o ponto P(2 , f(2)) = (2, 11).
Vamos encontrar a inclinação da curva y = 2x 2 + 3 no ponto P (2, 11). Para
isso, encontraremos primeiro, a inclinação da curva num ponto (x 1 , y 1 ). Temos,
147
Derivada
m(x 1 ) =
=
lim
Ax->oo
lim Azoo
•
•
lim
Az -4 O
lim f(xi + Ax) — J(x1)
Ax
2(x1 + Ax) 2 + 3 — (24 + 3)
Ax
24 + 4x 1 Ax- + 2(Ax) 2 +
Ax
Ax(4x 1 + 2Ax)
Ax -) o
•
4x 1 .
Como m (x 1 ) = 4x 1 , então m (2) = 4 2 = 8.
P(2, 11).
Usando (3), escrevemos a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 em
Temos,
(xi)
(x —x 1 )
y — 11 = 8 (x — 2), ou ainda,
8x — y — 5 = O.
(iii) Encontre a equação da reta tangente à curva y =
à reta 8x — 4y + 1 = O.
, que seja paralela
Antes de desenvolvermos este exemplo, convém lembrar que duas retas são
paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais.
Vamos primeiro encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = ■ijc num
ponto (x 1 , y 1 ). Temos,
-
_L
•
148
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
m(x i ) =
lim
est -“)
•
lim
Ar -> 0
•
lim
eximo
f(xi + Ax) - .fixe)
Ax
+ Ax -
+ Ax +
Ax (•■Ix i + Ax + •fx )
-
x1 + Az - x 1
lim
e
z
-Ks Ax ('Ix 1 + Ax +
Ax
Ax(Ix 1 + Ax +
Portanto, m (x 1 ) -
1
2 •Ni.
Como a reta que queremos deve ser paralela a 8x - 4y + 1= O, podemos
escrever
m (x 1 ) - 1
2 Nx i
- 2 , já que o coeficiente angular de 8x - 4y + 1 = O é 2.
1
De
- 2 concluímos que x 1 = 1/16.
2 Nx i
Portanto, a reta que queremos é a reta tangente à curva y = Cx no ponto
(1/16,.ft1/16)), ou seja, (1/16, 1/4). Temos,
Derivada
y
149
= m (x — x 1 )
y — 1/4 = 2 (x — 1/16)
16y — 4- = 32x — 2
32x — 16y + 2 = O, ou ainda,
16x — 8y + 1 = 0.
Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.3.
*
y= NiX
1/4
-1/8
1/16
Figura 4-3
(iv) Encontre a equação para a reta normal à curva y = x 2 no ponto P(2, 4).
Para resolvermos este exemplo, devemos lembrar que a reta normal a uma
curva num ponto dado, é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto.
Duas retas t e n são perpendiculares se
mn =
-1,
(4)
onde m t e m n são as inclinações das retas t e n, respectivamente, num dado ponto P.
Vamos então calcular a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (2, 4).
Usando (2), temos
f(x i + Ax) — f(x )
mr(xi) = lim .-K)
Ax
150
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
mt
(x 1 ) = 2x 1'
Quando x 1 = 2, temos m t (2) = 2 2 = 4.
Usando (4), podemos encontrar a inclinação da reta normal à curva y = x 2 no
ponto (2, 4). Temos,
m t • mn = —1
4m M
n
—1
— 1/4.
Aplicando os dados à equação da reta, vem
y —,f(x 1 ) = m (x x 1 )
y — 4 = — 1/4 (x — 2)
O U,
4y + x — 18 = 0.
Portanto, x + 4y — 18 = O é a reta normal à curva y = x 2 em (2, 4).
Graficamente, este exemplo é ilustrado na Figura 4.4.
Figura 4-4
Derivada
4.2 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
A derivada de uma função f (x) no ponto x l , denotada por f' (x i ), (lê-se/linha
de x, no ponto x 1 ), é definida pelo limite
- % f(x i
f (x 1 ) = lim Ax
f
->
+ Ax)
-
.f(x l )
Ax
O
quando este limite existe.
Também podemos escrever
f '(x ) = lim f(x
2)
-
x2 "1 x2 - x1
-
Como vimos na seção anterior, este limite nos dá a inclinação da reta tangente
à curva y = f(x) no ponto (x 1 : f(x 1 )). Portanto, geometricamente, a derivada da função
y f(x) no ponto x l , representa a inclinação da curva neste ponto.
4.3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f ' (x), (lê-se f linha
de x), tal que, seu valor em qualquer x E D (f) é dado por
'(x)
=
hm
-> O
f(x + Ax) - f(x)
, se este limite existir.
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os
pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de y' = f (x):
(i)
D x f (x)
(ii)
D xy
(lê-se derivada de f (x) em relação a x).
(lê-se derivada d,e y em relação a x).
152
dy
(tu) — ( lê-se a derivada de y em relação a x).
dx
4.4 EXEMPLOS
Az
Ax
Ar
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(i)
Dada f (x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f ' (2).
Usando a definição 4.2, temos
f ' (2) =
->
lim
O
f(2 + Ax) – fl2)
Ax
ulin 5(2 + Ax) 2 + 6(2 + Ax) – 1 – (5 • 2 2 + 6 • 2– 1)
->
Ax
0
lhn
20 + 20Ax + 5(Ax)` + 12 + 6Ax – 20 – 12
Ax
Ax->OO
lim
->
O
26Ax + 5(Ax) 2
Ax
urn Ax(26 + 5Ax)
Ax -> O
lim (26 + 5Ax)
Ar --> O
26.
(ii)
Dada f(x) –
x– 2
, encontre f ' (x).
x+ 3
Derivada
Usando a definição 4.3, temos
f ' (x) =
•
•
•
•
•
+ i\x) — f(x)
lim
Ax-->0
Ax--)0
x + Ax — 2 x — 2
x + Ax + 3 x + 3
Ax
lim
eX o
(x + Ax — 2)(x + 3) — (x — 2)(x + Ax + 3)
(x + Ax + 3)(x + 3) • Ax
hm
2
m x x+xAx+ Ma— 6— x2 — xdx — x + 2Ax + 6
lim
± Ax + 3)(x + 3) • Ax
Az -4 CI
lim
Ax-)0 (x + AX
.
5Ax
+ 3)(x + 3) Ax,
5
lim
-) O (-X ±
1-
3)(x + 3)
5
(x + 3) 2 •
(iii) Dada f(x) = Cx, encontre f ' (4).
f ' (x i ) =
lim
f(x) — f(x i )
.
■Tx —2
x —4
153
154
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
•
•
lim
4
(L-2)('+2)
(L—
+ 2)
(x — 4) (
x —4
11111
x —> 4 (x — 4)("G +
2)
2
x—>4 \. +
1
4
(iv) Dada f(x) = x 1/3 , encontre f '(x).
Usando a definição 4.3, temos
x
f ' (x) =
•
.
hm
• —> O
fim
• —› O
+ Az) — f(x)
Ax
(x + AX) 1/3 — X 1/3
Ax
Resolveremos este limite como no exemplo 3, da Seção 3.9, fazendo troca de
variáveis.
Sejam (x + Ax) = t3 e x = a 3 . Então,
f ' (x) =
lim
t a
•
t—a
a3
1
lim 2
t a t2 + at + a
1
3a 2
Derivada
155
Como a = X 1/3 , vem
1
f '(x) — 3x2 "3
Observamos, neste exemplo, que f(x) =
1
f '(x) = 33 não é definida em O.
X 1/3
é contínua em O, mas
4.5 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
De acordo com a observação feita no exemplo (iv) da Seção 4.4, concluímos
que f(x) contínua em x i , não implica na existência de f ' (x 1 ). A recíproca porém é
verdadeira, como mostra o seguinte teorema. -
4.5.1 Teorema. Toda função derivável num ponto x 1 é contínua nesse ponto.
Prova. Seja f(x) uma função derivável em x 1 . Vamos provar que f(x) é contínua em x 1 .
Em outras palavras, vamos provar que as condições da definição 3.16.1 são válidas.
Isto é:
(i)
f(x 1 ) existe;
(ii)
lim f(x) existe;
x
(iii) lim f(x) = f(x 1 ) .
x xl
Por hipótese, f (x) é derivável em x 1 . Logo, f ' (x 1 ) existe e, pela fórmula
f '(x) = lim
xx1
f(x) — f(x 1 )
x—x
concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite tenha significado.
156
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Além disso, temos
lim [RA
x ix i
f(x) — f (x
lim (x — x)_
x —> x 1
"1
- f (x l )] =
•
X
lim— x 1 )
-)
.f(x) — f(x 1 )
lim
x
-
X
-
X
1
O f' (x 1 ).
•
Portanto, lim [f(x) — f(x i )] = O .
x x1
Temos então,
lim f(x) =
1
•
lim [f(x) — f(x + f(x)] .
x x
lim [f(x) — f(x i )] + lim f(x1)
X1
•
O + f(x 1
)
Valem então as condições (i), (ii) e (iii) e conclui-se que f (x) é contínua em x 1 .
4.6 EXERCÍCIOS
1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o
gráfico em cada caso.
Derivada
a)
157
f(x)=x2 -1;x=1,x=0,x=a,ae R.
b) f(x)=x2 -3x+6;x=-1,x=2.
c)
f(x)=x(3x- 5) ; x =
1
1
2
, x =a,ac R.
1
d) f(x) = - ; x - , x =3.
3
1
, ae R-{-2,4)
e)
f(x) =
f)
f(x)= 2' ; x=0, x=3, x=a, a>0.
x- a
2.
Em cada um dos itens do. exercício (1), determinar a equação da reta normal à curva, nos
pontos indicados. Esboçar o gráfico, em cada caso.
3.
Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x 2 , que seja paralela à reta y = 1 - x.
4.
Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y x 2 - 2x + 1 no ponto (-2, 9).
5.
Encontrar a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 1, que seja perpendicular à reta y = - x.
6.
Dadas as funções f (x) = 5 - 2x e g (x) 3x2 - 1, determinar:
a) f' (1) + g' (1)
2f' (0)- g' (-2)
c) f (2) -f ' (2)
e) f( 5- ) -
2
7.
d)
[g' (0)] 2 + 1 g' (0) + g(0)
2
f '(5/2)
g'(5/2)
Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = 1- 4x2b)
1-x
d) f(x) x+3
f(x) = 2x2 - x - 1
e) f(x) -
1
-■12x - 1
1
f(x) x+2
f(x) = '34x + 3 .
158
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
8. Dadas as funções f(x) —
1
x— 1
a) f o f'b)
9.
e)
c)
go f
f ' + g'
f)
f'
-
2g '
- g' ff
Dada a função f(x) =
x — 1 , x O
„
x
10.
0f
f'
d) g O f
g)
e g (x) = 2x2 — 3, determinar:
Dada a função f(x) —
, x <O
verificar se existe f ' (0). Esboçar o gráfico.
1
6 verificar se existe f ' (3). Esboçar o gráfico.
2x —
11. Dada a função f(x) = 2x2 — 3x — 2 , determinar os intervalos em que:
a) f' (x)>
O
b) f' (x) <
O.
4.7 DERIVADAS LATERAIS
4.7.1 Definição. Se a função y =f (x) está definida em x i , então a derivada à direita
de f em x 1 , denotada por f: (x 1 ) , é definida por
lim
f(xi
Ax -) 0+
f(x) lim x - x1
x
caso este limite exista.
Ax
Ax
)
f(xi)
Derivada
159
4.7.2 Definição. Se a função y = f(x) está definida em x i , então a derivada à
esquerda de f em x 1 , denotada por f ' (x 1 ) , é definida por
lim f(x
l
+ Az) — f(x i )
f(x) —
x 1 _ x — xi
x-*x
caso este limite exista.
Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à
esquerda nesse ponto existem e são iguais.
Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em
um ponto x 1 , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função.
4.8 EXEMPLOS ,
(i) Seja f a função definida por
3x — 1 , se x < 2
flx) =
7 — x , se x 2 .
(a) Mostre qtlef é contínua em 2.
(b) Encontre ff.' (2) e r (2) .
Na Figura 4.5 esboçamos o gráfico desta função.
160
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-5
(a)
Esta função é contínua em 2. De fato, existe f(2) = 5; existe o limite
lim flx) = lim+ (7 - x) = /hm (3x - 1) = 5;
x-> 2
x->2
x--►2
e finalmente,
lim f(x) = ff2) = 5 .
x->2
(b)
Obtemos!: (2) usando a definição 4.7.1. Temos,
(2) =
um A2 + dx) - f(2)
Ar
-› o+
[7.;. - (2 + dx)] - 5
hm
dx
az-4o+
lim 5 - dx - 5
dx
Ax-40 +
Derivada
•
•
lim (-1)
Ax -> O+
- 1.
Usando a defmição 4.7.2, obtemos f (2) . Temos,
f' (2) =
•
lim
Ax) /(2)
Ax
lim
[3 (2 + Ax) - 1] - 5
Ax
Ox -3O
Ax -> O
•
lim
m
Ax -> õ
•
6 3Ax - 1 - 5
Ax
lim 3
Ar -> O
•
3.
Como
. f(2 +
hm
Ax -> O +
Ax)
- f(2)
#
. f(2. +
bm
Ax)
Ax -> O
concluímos que não existe o
lim
Az -> O
f(2 + Ax) - f(2)
Ax
Portanto, a função f(x) não é derivável em x 1 =
- ft2)
161
162
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Dizemos que x 1 = 2 é um ponto anguloso do gráfico de f(x).
(ii) Seja a função f(x) = (x - 2) 1 x 1. Encontre f; (0) e f" (0) .
Podemos reescrever a f(x) como:
(x - 2) • x = x2 - 2x
, se x O
f(x) =
(x - 2) • (-x) -x2 + 2x , se x < O .
A Figura 4.6 mostra o gráfico de f (x).
Figura 4-6
Usando 4.7.1 e 4.7.2, respectivamente, obtemos f+ (0) e r (0) .
Temos,
(0) =
lim
lim Ax
-> O
f(0 + Ar) - f(0)
+ Ax) 2 - 2 (0 + Ar)] - 0
Ar
Derivada
+
•
lim
4x -+ O •
lim
Ax_,O+
r
•
(Ax) 2 — 2Ax
Ax
(Ar Ax — 2)
Ax
lim (Ax — 2)
Ax -40+
(0)
•
—2.
=
lim
•
A
z
Az
•
->
lim
-3 0-
.ff0 + Ax) — f(0)
[— (0 + Ax) 2 + 2 (0 + Ax)] — 0
AX
lirn — (Ax) 2 + 2Ax
Ax
0
•
Az-)
lim
ó
Ax (—Ax + 2)
Ax
lim (—Ax + 2)
Ax -> 0
•
2.
Concluímos, então, que não existe f ' (0) porque f_ 1' (0) f ' (0) .
163
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
164
Ainda podemos concluir que o gráfico da função f tem duas tangentes no
ponto x = O. A Figura 4.6 mostra estas tangentes, dadas por
y — O = (-2) (x — O) , ou seja, y = —2x
e
y — O = 2(x — O), ou seja, y = 2x.
4.9 EXERCÍCIOS
Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar
o gráfico.
x
1.
f(x) = 2Lx - 3 I
3.
.nx) = I2x + 4 I + 3
2.
f(x) =
2x- 1,
4.
{1 - x2 ,
j(x) =
O
2 - x2 ,
-2
2x - 6 ,
5.
f(x)
6.
Seja f(x) =
x < -2
tx I 5 2
x<2.
{x2 - 1 ,
1 - x2,
se lx I 5 l
se lx I > 1 .
3.
a)
Esboçar o gráfico de f
b)
Verificar se f é contínua nos pontos - 1 e 1.
c)
Calcular!' (-
d)
Calcular f ' (x), obter o seu domínio e esboçar o gráfico.
),
f ' (-1 + ), f ' (1 - ) e f ' (1 + ).
Derivada
7.
165
Encontrar as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os
intervalos onde f ' (x) > O e f ' (x) < O.
4.10 REGRAS DE DERIVAÇÃO
Nesta seção, deduziremos várias regras, chamadas regras de derivação, que
permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
4.10.1 Proposição (Derivada de uma Constante).
f(x) = c para todo x, então f ' (x) = O.
Se c é uma constante e
166
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Prova. Seja f(x) = c. Então,
f ' (x) =
A
x->
+ Ax) - f(x)
lim
o
Ax
c - c
lim
Ax *oo Ax
•
•
hm
Ax —> O
•
O
O.
4.10.2 Proposição (Regra da Potência). Se n é um número inteiro positivo e
então f ' (x) = n xn -1 .
f(x) = xn,
Prova. Seja f(x) = x". Então,
ft +
lim
f '(x) =
Ax
•
Ax
Ax-
0
lim
->O
Ax) - .fix)
± AX) n — Xn
Ax
Expandindo (x + A x)" pelo Binômio de Newton, temos
f '(x) =
[xn +
lim
Ax^
n(n - 1)
2!
—> O
_
_
xr,
2 Axenx(Ax)n —1 ± (A
(Ax)"
Ax
O
Ax[nxn
lim
-1 Ax
- 1 ) xn -2 Axnx(Ax)" — 2 + (A
—1
(Ax)"
2!
Ax
- + 101
xn
167
Derivada
n(
n — 1)
.11
2!
lim [nXn
Ax —) O
2
Ax +
+ nx(Ax)n
2 +
(&)n
11
n x" .
4.10.3 Exemplos
(i)
Se f(x) = x5 então f ' (x) = 5x4 .
(ii)
Se g(x) = x então g' (x) = 1.
(iii) Se h(x) = xl° então h' (x) = 10x9
4.10.4 Proposição (Derivada do Produto de uma Constante por uma
Função). Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por
g(x) = c f (x). Se f ' (x) existe, então g' (x) = c f' (x).
Prova. Por hipótese, existe
.
f '(x) = lun
Ax O
x + Ax) — f(x)
Ax
Temos,
urn g(x + Ax) — g(x)
Ax
O
g ' (x) =
—)
=lim
cf (x + Ax) — cf (x)
Ar
Ax -o
lim c
Ax —>
x + Ax) — f(x)1
Ar
x. Ax) — f(x)
f( +
Ax
—) 0
c hm
c f ' (x).
168
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
4.10.5 Exemplos
(i)
Se f (x) = 8x2 então f ' (x) = 8(2x) = 16x.
(ii)
Se g(z) = -2z 7 então g' (z) = -2(7z 6 ) = -14z 6 .
4.10.6 Proposição (Derivada de uma Soma). Sejam f e g duas funções e h a
função definida por h(x) = f (x) + g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então
h' (x) = f ' (x) + g' (x).
Prova. Por hipótese, existem
f '(x) = lim
ar -3 o
,Rx + Az) - j(x)
e
Ax
g '(x) - lim
g(x + Ax) - g(x)
Ax
Temos,
h '(x) =
•
lim
ex -4 o
lim
h(x + Ax) - h(x)
Ax
[f(x + Ax) + g(x + Az)] - [f(x) + g(x)]
Ax -+ O
AX
lini [fix + Ax) - f(x)] + [g(x + Ax) - g(x)]
Ax
• -> o
•
•
fix + Ax) - f(x) lim g(x + Ax) - g(x)
Ax
Ax
• —> O
Ax -* o
lim
f' (x) + g ' (x).
Derivada
169
A proposição 4.10.6 se aplica para um número finito de funções, isto é, a
derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se
estas existirem.
4.10.7 Exemplos
(i)
f ' (x)
(ii)
Seja f (x) = 3x4 + 8x + 5. Então,
=
3•(4x3 ) + 8 1 + 0
=
12x3 + 8.
Seja g(y) = 9y 5 — 4y 2 + 2y + 7. Então,
9 • (5y4 ) — 4 • (2y) + 2 1 + O
g' (.Y)
45y4 — 8y + 2.
4.10.8 Proposição (Derivada de um Produto). Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x) • g(x). Se f ' (x) e g' (x) existem, então
h' (x) = f(x) • g' (x) + f ' (x) • g(x).
Prova. Por hipótese, existem
f '(x) = lim
Az->
f(x + Ax) — f(x)
Ax
o
e g '(x) — lim
g(x + Ax) — g(x)
Ax -> o
Ar
Também podemos concluir, pelo teorema 4.5.1, que f é contínua e assim
lim fiz + Ar) = f(x) . Temos,
Az -* o
h 'fx) =
lim
h (x + Ax) — h(x)
lim
f (x + Ar) • g(x + Ax) — f(x) g(x)
Ax
Ax —> O
—> O
Ar
170
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Adicionando e subtraindo ao numerador a expressão f (x + A x) g(x), vem
h '(x) = lim f (x +
o
AX
=
Ax) g (x + Ax)—f(x + Ax)g(x) + f(x + Ax) g(x) — flx) gexl
Ax
(. + Ax) [g(x + Ax) — g(x)1 + g(x)[f (x + Ax) fix)]
fx
Ax
Ax -) O
lim
Ax
-> O
f + Ax) . g (x Ax) - g
Ax
+
lim
[ ( x.)
Az
f + Ax) - f (x)
Ax
O
-)
lim f (x + Ax) • lim g (x Ax) g
Ax
Az-) O
Ax -> O
+
=
11111 g (X)
-) O
lim
O
f
f (x) • g ' (x) + g (x) f ' (x).
4.10.9 Exemplos
(i)
Seja f (x) = (2x3 — 1) (x4 + x2 ). Então,
f ' (x) = (2x3 — 1) (4x 3 + 2x) + (x 4 + x2 ) (6x2 ).
(ii)
1
Seja f(t)
t) =- (t2 + 5) (t6 + 4t) . Então,
2
f '(t) = —
1 [(t
[(r.2 + 5)(6t 5 + 4) + (t6 + 40(20] .
2
±
(x)
Ax)
f(X)
Ax
Derivada
171
4.10.10 Proposição (Derivada de um Quociente). Sejam f e g funções e h a
função definida por h(x) = f(x)/g(x), onde g(x) O. Se f' (x) e g' (x) existem,
então
h '(x) =
g(x) • f '(x) - f(x) g '(x)
[ g(x)] 2
Prova. Por hipótese, existem
f , (x)
lim f (x + Ax) - f(x)
Ax
Ax -> O
e g '(x) = lim
ex -) o
g(x + Az) - g(x)
Ax
Temos também, pelo teorema 4.5.1, que g é contínua e assim
lim g(x + Ax) = g(x). Temos,
-> o
hm h(x + Ax) - h(x)
h '(x) =
Ax
-> O
lim
Ox
lim
f (x + Ax) f(xl
g (x + Ax)
g (x)
O
1
f (x + Ax) g(x) - j(x) g(x + Ax)1
r
g(x
Ax
g(x)
AX
--)13
Subtraindo e adicionando f(x) • g(x) ao numerador, obtemos
h '(x) =
= hm
1 [f(x + Ax)g(x) - f(x) g(x) + f(x) g(x) - f(x)g(x + Ax)]
Ax ->0 Ax
[.
g(x + Ax) g(x)
172
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f (x + Ax) — f (x)
=
g(x) — f (x)-
Ax
Ax
g (x + Ax) - g (x)
ex -> o
lira
g(x + Ax) — g (x)
f (x + Ax) — f (x)
Ax ->O
Ax
. g (x + Ax) — g(x)
um g (x) — lim f (x) • lira
Ax -*O
Ar -) O
Az->O
lim g (x + Ax) • lim g (x)
Az->o
Arom o
f '(x) • g(x) — f(x) • g '(x)
g(x) g(x)
f '(x) g(x) — f(x) g'(x)
[g(x)] 2
4.10.11 Exemplos
(i)
Encontrar f ' (x) sendo f(x) — x2
2x4 _ 3
5x +
3
Temos,
f '(x) =
(x2 — 5x + 3)(2 • 4x 3 — O) — (2x4 — 3)(2x — 5)
(x2 — 5x + 3)2
(x2 — 5x + 3)(8x 3 ) — (2x4 — 3)(2x — 5)
(x2 — 5x + 3) 2
1
(ii) Se g(x) = — , encontrar g'(x).
Ax
Derivada
173
Temos,
g '(x) =
—1
X2
4.10.12 Proposição. Se
f(x) = x-n onde n é um inteiro positivo e x
então f ' (x) = - n•x- n - 1 .
Prova. Podemos escrever f(x) = 1
xn
Aplicando a proposição 4.10.10, vem
f '(x) =
xn•O - 1 -
(xn )2
nxn -1
nxn - 1
x2n
_ n xn -1 x-2 n
- n x- n -1
4.11 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
1. f(r)= nr2
2. f(x)=3x2 + 6x - 10
3. ,ftw) = aw2 b
4. f(x) = 14 - - x3
1
2
,
174
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
5. f(x) (2x + 1) (3x 2 + 6)
6 f(x) = (7x -1) (x + 4)
7. f(x) = (3x5 - 1) (2 -x4 )
8. f(x) = - (5x - 3) -1 (5x + 3)
3
2
10. f(s) = (s 2 -1) (3s -1) (5s 3 + 2s)
9. f(x)= (x -1) (x + 1)
11. f(x) =7(ax 2 + bx + c)
13. f(x) =
15. f(t) -
17. f(x) =
f(x) =
12. f(u) = (4u2 - a) (a -2u)
2x + 4t
3x - 1
3ê + 5t - 1
16. f(t) -
t- 1
4-
ê
t - 2
5x + 7
X 1-
3
2
18. f(x) - 2x 2
x5
.x2
-'"4
X + 2
-1
14. f(t) t+1
6X)
5
21. f(x) = — + —
X4 x5
20. f(t) -
(t - a)2
t- b
1 4
22. f(x) = - x +
2
2
.
23. Seja p(x) = (x - a) (x - b), a e b constantes. Mostrar que se a # b então p (a) p (b)= O,
mas p' (a) # O e p ' (b) # O.
24. Dadas as funções f(x) = x2 + Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que
f '(x) + g '(x) = 1 + 2x
f(x) - g(x) = x2 .
25. Dada a função f(t) = 3t3 - 4t + 1, encontrar f(0) - T'(0).
26. Encontrar a equação da reta tangente à curva y x +1
3x - 4
no ponto de abscissa x = -1.
27"; Encontrar a equação da reta normal à curva y = (3x 2 - 4x) 2 no ponto de abscissa x = 2.
Derivada
7-,
Encontrar as equações das retas tangentes à curva y
y
1
29. Em que pontos o gráfico da função y = —3 x
3
—
175
x —1
x + 1 que sejam paralelas à reta
3 2
+ 2x tem tangente horizontal?
——
2
30.) Seja y ax2 + bx . Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente à curva no ponto
(1, 5) tem inclinação m = 8.
4.12 DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos duas funções deriváveis f e g onde y = g(u) e u = f(x).
Para todo x tal que f(x) está no domínio de g, podemos escrever y = g(u) =
g [f(x)], isto é, podemos considerar a função composta (g 0 f) (x).
Por exemplo, uma função tal como y = (x 2 + 5x + 2) 7 pode ser vista como a
composta das funções y = u 7 = g(u) e u = x2 + 5x + 2 = f(x).
A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função
composta g 0 f em termos das derivadas de f e g.
4.12.1 Proposição (Regra da Cadeia).
e as derivadas dy/du
e du/dx existem, então a função composta y = g [f(x)] tem derivada que é dada
por
cly _dy du
dx du • dx
Se y = g(u), u f(x)
ou y '(x) = g '(u) f '(x) .
Prova Parcial. Vamos fazer a demonstração supondo que existe um intervalo aberto I
contendo x, tal que
Au = (x + Ax) — 1(x)1 # O sempre que (x + Az) E 1 e Ax # O.
.
(1)
Isso se verifica para um grande número de funções, porém não para todas. Por
exemplo, se f for uma função constante a condição acima não é satisfeita. Porém neste
176
Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração
caso, podemos provar a fórmula facilmente. De fato, se f (x) = c então f ' (x) = O e
y = g [f (x)] = g(c) é constante. Assim, y' (x) = O = g' (u) • f ' (x).
Então provemos que y' (x) = g' (u) • f ' (x) quando f(x) satisfaz a condição (1).
Como y = g [f (x)], temos
Ax)] - g [f(x)]
Y '(x) = lim g [x
Ax
Ax -*o
se este limite existir.
Vamos considerar primeiro o quociente
g [f(x + Ax)] - g [f(x)]
Ax
Seja Au = f(x + Ax) - f(x). Então Au depende de Ax e Au -> O quando
Ax -> O. Temos,
g [f(x + Ax)] - g [f(x)] Ax
g [f(x) + Au] - g [l x)]
Ax
g (u + Au) - g(u)
Ax
Pela condição (1), Au O em um intervalo aberto contendo x. Assim, podemos
dividir e multiplicar o quociente acima por Au. Temos então,
g [f(x + Ax)] - g [f(x)]
Ax
g (u + Au) - g(u) Au
Ax
Au
g(u + Au) - g(u) Au
Au
Ax
g (u + Au) - g(u) f (x + Ax) -f(x)
Au
Ax
Derivada
177
Aplicando o limite, temos
lim g [f(x + Ax)] — g [Rx)]
Ax
—> o
y '(x)
lim
Au
-›
O
g u + Au) — g(u)lim f(x + Ax) — f(x)
Az
Au
g '(u) • f '(x).
4.12.2 Exemplos
(i)
Dada a função y = (x 2 + 5x + 2) 7 , determinar dy/dx.
Vimos anteriormente que podemos escrever y = g(u) = u7 , onde u = x2 + 5x + 2.
Assim, pela regra da Cadeia,
dy
dx
du
du dx
7u6 • (2x + 5)
7(x2 + 5x + 2) 6 (2x + 5).
(ii)
Dada a função y =
(3x + 2)s
■
2x + 1
Podemos escrever y = u 5 , onde u
temos
, encontrar y'.
3x + 2
—+
2x 1
. Aplicando a regra da cadeia,
178
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
dy
dy du
dx
du • dx
5u 4 (2x + 1) - 3 — (3x + 2) - 2
(2x + 1) 2
4
▪
5•
•
5
3x + 2)
2x
3x +
2x+ 1
\4
)
6X + 3 — 6x — 4
+
(2x +1
1) 2
—1
(2x + 1) 2
(iii) Dada a função y = (3x 2 + 1) 3 • (x — x2 ) 2 , determinar dy/dx.
Neste caso temos o produto de duas funções
f(x) = (3x 2 + 1) 3 e. g(x) = (x — x2 ) 2 .
Assim, pela proposição 4.10.8,
y ' (x) = f(x) - g ' (x) + f ' (x) g(x).
Encontrando f ' (x) e g' (x) pela regra da cadeia, temos
f ' (x) = 3(3x 2 + 1) 2 • 6x e g ' (x) = 2(x
—
x2 ) • (1
—
2x).
Logo,
y '(x) = (3x2 + 1) 3 • 2(x — x2) (1 — 2x) + 3(3x 2 + 1) 2 • 6x (x — x2) 2
= 2(3x2 + 1) 3 (x — x2) (1 — 2x) + 18x (3x2 + 1) 2 (x — x2)2.
Derivada
179
4.12.3 Proposição. Se u = g(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não
nulo, então
dx
[g(x)r = n • [g(x)r
• g '(x).
Prova. Fazendo y = un, onde u = g(x) e aplicando a regra da cadeia, temos
y '(x) = n I u ' ou —
dx [g(x)]n = n • [g(x)r 1 • g '(x).
A regra da potência pode ser generalizada como segue:
Se u = g(x) é uma função derivável e r é um número racional não nulo
qualquer, então
[g(x)] r = r [g(x)] r-1
•
g '(x),
ou ainda,
(u•) ' = r
ur -1
.
4.12.4 Exemplos
(i) Dada a função f(x) = 5x2 + 3 , determinar f ' (x).
Podemos escrever
f(x) - 5 (x2 + 3 ) 1/2 .
Assim,
f '(x) =
1 (x2 ± 3)-1/2
_
2 \
5x
4/
180
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Dada a função g(t)
-
31
t2
' determinar g (t).
-\it3 + 1
Escrevendo a função dada como um produto, temos
g(t) = t2 . (t3 + 1) -1 /3 .
Assim,
f
g ' (t) =
-1
3
-1 -1
2
t' + 1 () 33t2 + t3 + 1) -1/3 2t
= - ê (t3 + 1) -4/3 + 2t (t3 + 1) -1/3 .
Podemos resumir as proposições da Seção 4.10 e 4.12 na seguinte tabela de
derivadas.
4.12.5 Tabela. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis e c uma constante
qualquer.
(I) y = c
y' =
(2) y = x
y ' = 1.
(3) y = c•u
y' = c • u'
(4) y = u + v
y ' = u' + v'
(5) y = u v
y' = u v' + v • u'
(6) y
y, = vu' - uv '
v2
V
(7) y=u a,0 aE Q
a - 1 u'
= u
•
.
A Tabela 4.12.5 nos ajuda a determinar as derivadas de algumas funções.
Derivada
4.12.6 Exemplos. Determinar a derivada das funções:
(i)
y
=
x8 + (2x + 4) 3 +
2 +1
2 x -1 /2
8x7 + 3(2x + 4)
8x76+(2x + 4) 2 + 2\rx_
(ii) Y =
x+1
-\.1x2 -
3
CV x2 — 3
— (x + 1)
Y=
x2 _ 3 ) 2
1x2 — 3 — x(x + 1)t1lx2 — 3
x2 — 3
(x2 — 3) — x(x + 1)
'\ix2 — 3
x2 — 3
—3 — x
(x2 — 3)11x2 — 3,
•
y'
1
3x (8x3 — 2).
3x (24x2 ) + (8x3 — 2) 3
•
72x 3 + 24x3 — 6
•
96x3 — 6.
(x2 — 3) -1/2
•
2x
181
182
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv) y= \I6x2 + 7x + 2 .
Podemos escrever y = (6x2 + 7x + 2)1'3.
Temos,
y' =
(6x2 + 7x + 2)-273 - (12x + 7)
3 1
12x + 7
3 .N1 (6x2 + 7x + 2) 2
4.13 TEOREMA (DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA)
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos
que f(x) admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f ' (x) existe e é diferente de
zero para qualquer x E (a, b), então g = f -1 é derivável e vale
1
1
g '(Y) = f , (x) f ' [g(y)]
Prova. A Figura 4.7 nos auxiliará a visualizar a demonstração que segue.
Sejam y = f(x) e Ay = f(x + Ax) - f(x). Observamos que, como f possui uma
inversa, se Ax # O temos que f(x + Ax) f(x) e portanto, Ay # O. Como f é contínua,
quando Ax O temos que Ay também tende a zero.
Da mesma forma, quando Ay --> O, Ax = g(y + Ay) - g(y) também tende a zero.
Temos então,
Ax —>0 Ay --> O. (1)
Derivada
AY
f(b) y + Ay = t(x + Ax)
Ay
y= f(x)
f(a)
Ax
a x x + Ax b x
g (y) g (y+Ax)
Figura 4-7
Por outro lado, para qualquer y = J(x) vale a identidade
g(y + Ay) — g(y)
Ay
(x + Ax) — x
f(x + Ax) — f(x)
Ar
f(x + Ax) — flx)
1
f (x + Ax) — f (x)
Ax
Como f ' (x) existe e f ' (x) O para todo x E (a, b), usando (1), vem
fim g (y AY) g(Y)
Ay
ey --> O
1
-
lim f (x + Ax) f(x)
Ax -40
Ax
1
f '(x)
Concluímos que g '(y) existe e vale g '(y) —
1
f '(x)
183
184
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
4.13.1 Exemplos
(i) Seja y = f(x) = 4x — 3. A sua inversa é dada por
x = g(y) =
1
(y + 3) .
4
—
Podemos ver que as derivadas, f '(x) = 4 e g '(y) = 1/4 são inversas uma da
outra.
(ü) Seja y = 8x3 . Sua inversa é x =
y.
Como y ' = 24x 2 é maior que zero para todo x # O, temos
1
dy 24x2
dx
1 1
1 3 --- )263'2/3
24
2
Para x = O, temos y = O e y ' = O. Portanto, não podemos aplicar o teorema
4.13.
4.14. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Nesta seção apresentaremos as derivacraS das funções elementares: exponencial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas
inversas.
Apresentaremos uma tabela de Regras de Derivação que será usada no
decorrer de todo o estudo de Cálculo Diferencial e Integral.
Derivada
4.14.1 Proposição (Derivada da função exponencial)
185
Se y = ax, (a > O e
a # 1) então
y'=axlna(a>0ea#1).
Prova. Seja y = ax (a > O e a # 1). Aplicando a definição 4.3, temos
y ' = lim
Az
—5
= hm
Ax
ax +
ax
Ax
O
ax (a te — 1)
O
Az
aA'r — 1
Ax
Ax —> 0
= lim a' • lim
—>
O
•
aAx —
é o limite fundamental provado na Seção 3.14.5, vem
Ax
e
x imo
Como
lim
y' = ax • ln a.
Caso Particular:
Se y = ex então y' = ex - in e = e', onde e é o número neperiano.
4.14.2 Proposição (Derivada da função logarítmica). Se y = log a x (a > O,
a
1), então
y'=
lx logae (a > O , a # 1).
186
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Prova. Seja y = log o x (a > O, a
1).
Aplicando a definição 4.3, temos
y' = lim A
x -> o
log a(x + Ax) - log ax
Ax
Ioga
= lim
x + Ax
Ax
ex
= lim [1
Ax
logo
+
Ax
—
x
—)
= 11111
Ax O
■
logo 1
1/4x
-I-
Usando a proposição 3.5.2(g), podemos escrever
1/u
y ' =
logo
-
Ax
1+—
lim
x
1/Ax
=
Ioga
filim
Ax
O
1/Ax
=
logo [
lim
-
Ax/Ax
x/ Ax
I+
1
—> O x/Ax
x/x
-
Derivada
x/Ax
logo [ Axlim
o
=
1
—
log
a
lim
Ax —> O
1 +
/
•
187
1/x
1
x /Ax
1+
1
x/Ax
x/Ax
1
1
Usando o limite fundamental da Seção 3.14.3, vem
y ' = 1— logoe .
x
Caso Particular:
Se y=lnxentãoy'=
1lne
1
x
4.14.3 Proposição (Derivada da função exponencial composta). Se
y = uv, onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e
u (x) > O, Vxe I então y' = v • ui'
u' + uv•ln u • v'.
Prova. Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever
y = 14V =
eV •
ln
u
Portanto, y = (g f)(x), onde g(w) = ew e w = f(x) = v ln u.
Como existem as derivadas
g' (w) = ew e
f' (x) = (v ln
= v' • ln u + v u u
188
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
pela regra da Cadeia, temos
y' = g' (w) • f ' (x)
v ' ln u + v •
u '
u
u'
ev • ln u [12 ' ln u + v • —
u
= uv • lnu • v' + vuv -1 • u'.
Se u(x) é uma função derivável, aplicando a regra da Cadeia podemos generalizar as proposições da Seção 4.14. Acrescentamos as seguintes fórmulas em nossa
tabela de derivadas.
(8) y = a" (a > O, a 1)
y' = a"• ln a - u'
(9) y = e"
y' = e'• u'
(10) y = ioga u
y' =
(11) y = ln u
,
u
log e
u'
u
y' = v - u
(12) y =
a
-1 •u'
4.14.4 Exemplos. Determinar a derivada das funções:
y
3 2X2 + 3x - 1
+ uv - ln u• v', u > O .
Derivada
Fazendo u = 2x2 + 3x - 1, temos y = 3". Portanto,
y' = 3" ln 3 •
u'
32x2 + 3x -
(i
1
\"`-/
Y=
1 j onde u
2
Temos y =
y'
•ln 3 • (4x + 3).
1
(2
(
2
ui
1
2 •u
In 21
)
. Assim,
=
21
1x
x+1
(iii) y = e
x-1
Fazendo y = e" com u -
x
+x 1
-1
, temos
= e" u'
x+I
= e
x
-1
(x - 1)•1 - (x + 1) - 1
- 1) 2
x +
= e
x
-1
• -2
(x - 1) 2
189
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(i v ) y eX
ln x
.
Neste caso fazemos y = eu, onde u = x In x.
Então,
y' =
e" • u'
=
ex -lnx
cx xr
ex" inx
x • 1+ lnx
11
= ex • inx (1 + lnx).
(v) y = log 2 (3x2 + 7x
—
1).
Temos y = log 2 u, onde u = 3x2 + 7x
y' =
u'
—
1. Portanto,
• log 2 e
6x + 7
• log e .
2
3x2 + 7 x — 1
(vi) y = In
ex
+1
Ternos y = ln u , onde u —
Y' =
ex
x+ 1
• Logo ,
Derivada
(x + 1)?
-
191
ex 1
(x + 1) 2
et
x+1
(vii) y = (x2 + 1) 2
1
.
Temos y = uv, onde u = x2 + 1 > O e v = 2x - 1. Assim,
y' = (2x -1) (x 2 + 1) 2x -1-1 .(x2 + 1)' + (x2 + 1) 2x -1 • ln (x2 + 1) • (2x - 1)'
= (2x - 1) (x 2 + 1)2'
2
2x + (x 2 + 1) 2'
1
• ln (x2 + 1)•2.
Derivadas das funções trigonométricas
4.14.5 Proposição (Derivada da função seno). Se y sen x então y' = cos x.
Prova. Seja y = sen x. Aplicando a definição 4.3, temos
y' = lim
Ax--“)
sen (x + Ax) - senx •
Ax •
Para desenvolvermos o limite aplicaremos a fórmula trigonométrica:
sen
p
-
p + q
sen q = 2 sen P • cos
2
2
-
Então,
2 sen
=
x + Ax - x
x + Ax + x
• cos
2
2
Ax
192
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Ax
2 sen —
Em
--> O
2x + Ax
2
Ax
Ax \
2
Ar
2
2 sen
lim
Ax
-o
cos
2
2
•
1 • cos x
•
cos
—
lim cos
Ax -*o
2x + Ax
2
4.14.6 Proposição (Derivada da função cosseno).
y ' = — sen x.
Prova. Seja y = cos x. Aplicando a definição 4.3, temos
cos (x + Ax) — cosx
y' = lim
Ax
Ax-->0
Aplicaremos a fórmula trigonométrica:
cosp — cos q = —2 sen
p +q
Pq
sen
•
2
2
Então,
=
•
—2 sen
Em
Ax
*o
x + Ax + x
x + Ax
sen
•
2
2
Ax
lim (-2 sen
est o
2x + Ax)
2
—
sen. Ax/2
hm
Ax —>o 2. Ax
x
Se y = cos x, então
Derivada
193
1
—2 • sen x — • 1
2
— sen x.
4.14.7 Derivadas das demais funções trigonométricas.
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e
cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.
Por exemplo,
se y = tg x =
sen x
cos x
, então y' = sec2 x .
De fato, usando a regra do quociente, obtemos
=
cos x • cos x — sen x (— sen x)
cos 2X
cos e x + sen2 x
cos e x
cos e x
sec 2 x.
Similarmente, encontramos:
Se
y = cotg x
então
y' = — cosec 2 x ;
se
y = sec x
então
y' = sec x • tg x
se
y = cosec x
então
y' = — cosec x • cotg x.
e
•
194
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais. Acrescentamos os
seguintes itens na tabela de derivadas.
,
(13) y = sen,u
=
y' = cos •/‘ - u'
(14) y = cos u
=3
y' = - sen u - u'
(15) y = tg u
=3
y' = sec 2 u -u'
(16) y = cotg u
=,
y' = - cosec 2 u • u'
(17) y = sec u
=
y' = sec u - tg u • u'
(18) y = cosec u
y' = - cosec u • cotg u • u'.
4.14.8 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções:
(i) y = sen (x2).
sen u, u x2 .
y' = (cos u) u'
•
[cos (x2)] • 2x
•
2x cos (x2 ).
(ü) y cos (1/x).
•
cos u, u = (1/x).
y' = (- sen u) • u'
•
[- sen ( 1/x)] - 1/x 2
1
x2
sen (1/x) .
Derivada
(iii) y = 3 tg \rx + cotg 3x .
.
y' = (3 tg
+ (cotg 3x)'
3 - sec2(G)'
+ (—
coseu 3x) • (3x)'
3 sec2 -\/. • 1 — ( cosec2 3x) 3 .
2L
(iv)
y' =
cos x
1 + cotgx
— cos x (1 + cotg x)'
(1 + cotg x) (cos
(1 + cotg x) 2
(1 + cotg x) (—sen x) — cos x (—cosec 2 x)
(1 + cotg x) 2
— sen x — sen x cotg x + cos x cosec 2 x
(1 + cotg x) 2
(v) y = sec (x2 + 3x + 7).
y = secu,u=x 2 +3x+7.
y' = sec u • tg u • u'
[sec (x2 + 3x + 7) • tg (x2 + 3x + 7)] • (2x + 3)
(2x + 3) sec (x2 + 3x + 7) • tg (x 2 + 3x + 7).
i) y = cosec
y = cosec u , u —
x+1
x—1
195
196
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
y' = — cosec u• cotg u- u'
= [— cosec
x+1
— 1 • cotg
x
x + 1
1
x
—
—2
(x — 1) 2
2x +[ 1x + 1
cotg
1
x—1•
(x — 1)2 cosec x
-
—
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
4.14.9 Proposição (Derivada da função arco seno).
Seja f: [- 1, 1] —>[- 7c/2, n/2]
definida por f(x) = arc sen x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e
1
y' — N1 —x2
Prova. Sabemos que
y = arc sen x <=> x = sen y , y E [- na, 7C/2].
Como (sen y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (-7t12, vc/2),
aplicando o teorema 4.13, vem
1
Y = (sen y) '
1
cos y
(1
)
Como para y E (-7C/2, n/2) temos cos y =
— sen2 y , substituindo em (1),
vem y' — ,1
Como sen y — x temos y' — , 1, para x E (-1, 1).
"V 1 — sen2 y
.‘11 — x2
4.14.10 Proposição (Derivada da função arco cosseno). Seja f.• [-1, 1] —> [0, n]
definida por f(x) = arc cos x. Então y = f(x) é derivável em (-1, 1) e
—1
Y—
"\/1 — x2
Derivada
197
Prova. Usando a relação
arc cos x = — arc sen x e a proposição 4.14.9, obtemos
2
y =
— arc sen x
1
x2
, para x E (— 1, 1).
4.14.11 Proposição (Derivada da função arco tangente).
definida por f (x) = arc tg x. Então y = f (x) é derivável e
--> (- na, 7c/2)
1
1 + x2
Prova. Sabemos que
y = arc tg x <=> x = tg y , y E (— n/2, n/2).
Como (tg y)' existe e é diferente de zero para qualquer y E (—n/2, n/2),
aplicando o teorema 4.13, vem
Y' —
1
(tg y)'
1
sec2 y
Como sec 2 y = 1 + tg2 y, obtemos
y'
1
1 + tg 2 y
Substituindo tg y por x, temos
y—
1
1 + x2
198
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
4.14.12 Derivadas das Demais Funções Trigonométricas Inversas.
As de-
mais funções trigonométricas inversas possuem derivadas dadas por:
(i) Se y = arc cotg x então y' =
(ii)
Se y = arc sec x, Ix 1
1 + x2
1, então y' -
1
lx 1 "Vx2 - 1
(iii) Se y = arc cosec x, Ix 1 _ 1, então y' -
-1
lx I "Nix 2 - 1
lx 1 > 1 .
lx 1 > 1 .
A implicação (i) pode facilmente ser verificada se usarmos a relação
arc cotg x = 2
- - arc tg x e a proposição 4.14.11.
Provaremos a implicação (ii).
Seja y = arc sec x = arc cos (1/x) para lx1
1. Então y ' = [arc cos (1/x)]'.
Usando a proposição 4.14.10 e a regra da Cadeia, temos
-1
-‘11 - (1/42
.\/
x2
x2
ir )9
x
x2
1
x2 -Jx2 -42
-
lx 1
x2 1ix2 - 1
1
Ix1 N1x2 .
onde lx 1> 1.
Acrescentamos os seguintes itens na tabela de derivadas:
(19) y = arc sen u
y' — '\11 — u2
(20) y = arc cos u
y' — -V1 — u 2
—u'
u'
y = 1 + u2
(21) y = arc tg u
r
(22) y= arc cotg u
—
u'
1 + u2
(23) y = arc sec u
.Y' —
iul 1
(24) y = arc cosec u
y' —
¡ui 1
u'
lu I .‘11£2
lul> 1
- 1'
— u'
, lul >
lu I 1/u2 — 1
4.14.13 Exemplos. Encontre a derivada das segii~mMes;
-
(i)
y = arc sen
(x + 1).
y = arc sen u, u = x + 1.
u'
\11 — u 2
—
(ii)
1
— (x + 1) 2
y = arc tg
1
• X2
1 +x2
y = arc tg u , u —
1—
1 +x2
200
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
y'
1 + u2
( 1 + X2 ) • (-2x) - 1 - X 2) •
(1 + x2)2
y' =
1+
2x
[ 1+x2
1 x:
-2x
4.14.14 Derivadas das funções hiperbólicas.
Como as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial,
podemos facilmente determinar suas derivadas, usando as regras de derivação já estabelecidas.
Por exemplo, se y = senh x, então
Y
=
=
{
-
2
1
-
2
(e' - e x)'
-
1
(ex + e x)
2
-
-
= cosh x.
Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas.
Podemos acrescentar na tabela de derivação as seguintes fórmulas.
(25) y = senh u
y' = cosh u u'
(26) y = cosh u
y' = senh u•u'
•
Derivada
(27) y = tgh
u
(28) y = cotgh
-
y' = sech2
u
u • u'
y' = — cosech2
u • u'
(29) y = sech u
y' = — sech u- tgh
(30) y = cosech u
y' = — cosech
u • u'
u • cotgh u • u'.
4.14.15 Exemplos. Determinar a derivada das seguintes funções:
(i)
y
senh (x 3 + 3).
senh u,
y' = cosh
u = x3 + 3.
u • u'
= cosh (x3 + 3) 3x2 .
(ii)
y
sech (2x).
sech
u, u = 2x.
y' = — sech
•
u tgh -u'
— sech (2x) tgh (2x) • 2.
(iii) y = ln [tgh (3x)].
y = ln
u, u = tgh (3x).
u'
u
sech2 (3x) 3
tgh (3x)
201
202
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
3
cosh2 (3x)
senh (3x)
cosh (3x)
= 3 sech (3x) - cosech (3x).
(iv)
cotgh(1 - x 3 ).
y
•
y'
cotgh u, u = 1 - x3 .
-cosech2 u - u'
•
-cosech 2 (1 - x3 ) • ( -3x2 )
•
3x2 cosech 2 (1 - x3 ).
4.14.16 Derivadas das funções hiperbólicas inversas.
Na Seção 2.15.6 vimos que y = arg senh x pode ser expresso na forma
y = ln (x + -gx2 + 1) .
Assim, fazendo u = x + 11x2 + 1 e aplicando a regra da cadeia, obtemos
Y' -
(X -I- '\/X2
1)'
x +
2+ 1
1
1 + - (x2 + 1) -1/2 • 2x
2
X \x2
1+
X
x
.VX2 ± 1
VX2 ± 1
+1
Derivada
1lx2 + 1 + x
1- 1
203
1
x + .\f x2 ± 1
1
Portanto, se y = arg senh x então y' —
1
•Nix2 + 1
De maneira similar podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiperbólicas.
Apresentamos as fórmulas que completam nossa tabela de derivadas.
(31) y = arg senh u
y
'
(32) y = arg cosh u
(33) y = arg tgh u
"\itê + 1
-‘1/42
u
—
u>1
1
,
y' = 1 — u2
lul < 1
(34) y = arg cotgh u
y'
u,
1 _ u2lul > 1
(35) y = arg sech u
Y' —
,0<u<1
u "\11 — u2
(36) y = arg cosech u
—u '
Y' —
lu I "\11 +u 2
—u'
u
O.
4.14.17 Exemplos. Determinar a derivada de cada uma das funções dadas.
(i) y = x2 arg cosh x2.
204
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos,
2x
= x2 -vx4
= 2x [ ‘x
+ 2x arg cosh x2
x2
4
- 1
+
arg cosh x2
(ii) y = arg tgh (sen 3x
(sen 3x)'
1 - (sen 3x) 2
cos (3x) 3
cose 3x
3
cos 3x
= 3 sec 3x.
(iii) y = x arg senh x - •Nix2 + 1 .
..v
x2 +
y' = x • 1
,
1arg senh x - 1
2
(x2
- ,
+ arg senhx - Nx2 + 1
"Vx2 + 1
= arg senh x.
+ 1)-1/2 2x
Derivada
205
4.14.18 Tabela Geral de derivadas.
Reunindo todas as fórmulas obtidas, formamos a tabela de derivadas que
apresentamos a seguir. Nesta tabela u e v são funções deriváveis de x e c, a e a são
constantes.
y' = O
(1)
y = c
(2)
y=xy'=1
(3)
y = c - u
(4)
y = u + v
y' = c • u'
' = u' + v'
y' = u • v' + v u'
(5) y = u • v
y'=
v u' - u • v'
v2
(6)
y=
(7)
y = u (a O)
(8)
y = a" (a > O, a 1)
(9) y = e"
y' = a•u
1
• u'
y' = a" • ln a•u'
,1
1
y' = e" u'
(10),y -= log a u
y' =
u'
—
u
\u'
(11) y = ln u
y' =
logo
e
u
(12) y =
uv
(u > o)
y' = cos u • u'
(14) y = cos u
y' = -sen u • u'
(15) y = tg u
\
y' = v • uv - 1 •u' + te • ln u • v'
(13) y = sen u
.
__-
y' = sec 2 u • u'
(16) y = cotg u y' = - cosec 2 u u'
1