Matemática Essencial
Sequências Reais
Departamento de Matemática - UEL - 2010
Ulysses Sodré
http://www.mat.uel.br/matessencial/
Conteúdo
1 Sequências de números reais
1
2 Médias usuais
6
3 Médias versus progressões
6
4 Sequências e Progressões aritméticas
7
5 Sequências geométricas e PG
11
6 Propriedades dos limites das sequências
15
7 Alguns limites especiais
15
8 Exercícios
15
‘Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu o seu Filho unigênito,
para que todo aquele que nele crê não pereça, mas tenha a vida eterna.’
A Bíblia Sagrada, Livro de João 3:16
................................................................................................
Arq: sequencias.tex - Londrina-PR,25 de Maio de 2010.
Seção 1 Sequências de números reais
1 Sequências de números reais
1. Notação: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} será o conjunto dos números naturais.
2. Sequência real: Uma sequência real é uma função f : N → R que
associa a cada número natural n ∈ N um número real f (n) ∈ R.
3. Exemplos: f (n) = n, f (n) = n 2 , f (n) = 2n , f (n) = 1/n e f (n) = 10.
4. Elementos de uma sequência real:
(a) Termo geral é o termo f (n) de ordem n da sequência.
(b) Domínio Dom( f ) = N é o domínio da sequência f .
(c) Contradomínio é um conjunto finito ou conjunto infinito de R.
(d) Imagem: Im( f ) = {a 1 , a 2 , a 3 , ...} ou f (N ) = {a n : n ∈ N } ou ainda
Im( f ) = {a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n−1 , a n , ...} é a imagem de f (n) = a n , e esta
imagem é subconjunto do conjunto R dos números reais.
5. Notações: Embora seja errado, é usual pensar que uma sequência seja
um conjunto, ficando mais fácil o seu entendimento por iniciante em
1
estudos de Matemática. Se f : N → R é definida por f (n) = , o
n
conjunto imagem f (N ) de f = f (n) é dado por
1 1 1
1
f (N ) = {1, , , , ..., , ...}
2 3 4
n
às vezes, é mais fácil trabalhar com conjuntos que com funções,
e usamos o conjunto imagem como a própria sequência, mas não
devemos confundir uma função com uma de suas propriedades.
6. Exemplos importantes de sequências reais:
(a) Identidade: f : N → R definida por f (n) = n, pode ser plotada de
várias formas, sendo que uma delas é o diagrama de Venn-Euler e
outra é o gráfico cartesiano
(b) Números pares: f : N → R definida por f (n) = 2n. Neste caso,
Im( f ) = {2, 4, 6, 8, ...}.
(c) Números ímpares: f : N → R def. por f (n) = 2n − 1. Neste caso,
Im( f ) = {1, 3, 5, 7, ...}.
(d) Recíprocos dos naturais: f : N → R definida por f (n) = 1/n. Neste
caso Im( f ) = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ...}.
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Seção 1 Sequências de números reais
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(e) Constante: f : N → R definida, por exemplo, por f (n) = 3. Aqui
Im( f ) = {3}.
(f) Nula: f : N → R definida por f (n) = 0. A imagem é Im( f ) = {0}.
(g) Alternada: f : N → R definida por f (n) = (−1)n a n , onde a n ≥ 0. Os
valores desta sequência mudam de sinal, sendo um negativo e o
seguinte positivo, etc. e Im( f ) = {−a 1 , +a 2 , −a 3 , +a 4 , −a 5 , +a 6 , ...}.
(h) Aritmética: f : N → R definida por: f (n) = a 1 +(n −1)r . Neste caso
Im( f ) = {a 1 , a 1 + r, a 1 + 2r, ..., a 1 + (n − 1)r, ...}.
(i) Geométrica: f : N → R definida por: f (n) = a 1 q n−1 . Neste caso
Im( f ) = {a 1 , a 1 q, a 1 q 2 , ..., a 1 q n−1 , ...}.
7. Sequência recursiva é uma sequência cujo termo geral é combinação
linear (somas ou multiplicações por números reais) dos termos das
posições anteriores, como é o caso da sequência de Fibonacci:
f (n + 2) = f (n) + f (n + 1),
f (1) = 1,
f (2) = 1
8. Sequências de Fibonacci aparecem naturalmente em Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro “A divina proporção: Um
ensaio sobre a Beleza na Matemática”, H. E. Huntley, Editora Universidade de Brasília, 1985, trata do assunto. A sequência de Fibonacci,
definida acima, possui imagem Im( f ) = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...}. Tais
números são obtidos por:
f (1) =
f (2) =
f (3) =
f (4) =
f (5) =
f (6) =
f (7) =
f (8) =
... =
...
...
f (1) + f (2)
f (2) + f (3)
f (3) + f (4)
f (4) + f (5)
f (5) + f (6)
f (6) + f (7)
...
=1
=1
= 1+1 = 2
= 1+2 = 3
= 2+3 = 5
= 3+5 = 8
= 5 + 8 = 13
= 8 + 13 = 21
= ...
9. Gráfico de uma sequência: O gráfico de uma sequência não é formado por poligonais ligando os pares ordenados mas por uma coleção
discreta. Às vezes, usamos retas ou curvas para ligar pares ordenados
apenas para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar
tais linhas como elementos do gráfico da sequência.
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10. Conjuntos que representam imagens de sequências:
(a) As sequências f : N → R definidas por f (n) = 0, g (n) = (−1)n e
h(n) = cos(nπ/3) são finitas e as imagens são, respectivamente,
dadas por: Im( f ) = 0, Im(g ) = {−1, 1} e Im(h) = {1/2, −1/2, −1, 1}.
(b) As sequências f : N → R definidas por f (n) = 2n, g (n) = (−1)n n,
h(n) = sin(n) e k(n) = cos(3n) são infinitas, pois suas imagens
possuem infinitos termos.
(c) A sequência com imagem Im( f ) = {5, 10, 15, 20, ...} pode ser analisada com f (1) = 5(1), f (2) = 5(2), f (3) = 5(3), ..., f (n) = 5n. Esta
é uma sequência aritmética, com razão r = 5, e pode ser escrita na
forma geral f (n) = f (1) + (n − 1)r ou a n = a 1 + (n − 1)r .
(d) Números primos: Até hoje, ninguém conseguiu exibir uma sequência f : N → R tal que Im( f ) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}.
11. Limite de uma sequência: Uma sequência f : N → R tem limite L se, as
diferenças f (n) − L se tornam tão pequenas quanto se deseja, quando
o número natural n tende a +∞. Neste caso, escrevemos:
L = lim f (n) = lim f (n)
n→∞
12. A sequência mais importante é f (n) = 1/n. Para números naturais n
muito grandes, os valores de 1/n se tornam muito pequenos. Geramos
uma tabela contendo apenas as potências de 10, para mostrar como
funciona o processo:
n
1 10 100 1000 10000 100000 1000000 → ∞
f (n) 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 0, 00001 0, 000001 → 0
Neste caso, escrevemos:
1
=0
n→∞ n
lim
13. Observações sobre o limite de uma sequência:
(a) Se uma sequência tem limite, ela é dita convergente.
(b) Se uma sequência não tem limite, ela é dita divergente.
(c) Unicidade do limite: Se f = f (n) tem limite L, este limite é único.
(d) O limite da sequência depende dos últimos termos da sequência.
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14. Regra do sanduiche: Se f = f (n), g = g (n) e h = h(n) são sequências
reais tal que f (n) ≤ g (n) ≤ h(n) e além disso lim f (n) = L = lim h(n),
então lim g (n) = L.
µ ¶
1
1
1
Exemplo: Como − ≤ sin
≤ , segue que
n
n
n
µ ¶
1
1
1
≤ lim
− lim ≤ lim sin
n→∞
n→∞ n
n→∞ n
n
µ ¶
1
1
= 0.
e como lim = 0, então lim sin
n→∞ n
n→∞
n
15. Para calcular cada limite lim a n devemos analisar cada valor de a ∈ R.
n→∞
(a) a > 1: lim a n = ∞
(e) a = −1, n ímpar: lim a n = −1
n→∞
n→∞
n
n
(b) a < −1, n par: lim a = ∞
(f) a = 1: lim a = 1
(c) −1< a, n ímpar: lim a n =−∞
(g) a = 0: lim a n = 0
(d) a = −1, n par: lim a n = 1
(h) −1 < a < 1: lim a n = 0
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
p
16. Limite da sequência f (n) = n a onde a ≥ 0 e n ∈ N .
p
p
(a) Se a = 0, então lim n a = 0.
(b) Se a > 0, então lim n a = 1.
n→∞
n→∞
17. É possível demonstrar que lim
n→∞
p
n
n = 1.
18. Observação importante: o símbolo ∞ não é um número real, mas representa algo muito grande que não pode ser mensurado precisamente
pela mente humana.
19. Limites infinitos: Uma sequência f = f (n) possui limite infinito, se
lim f (n) = +∞ ou lim f (n) = −∞.
n→∞
n→∞
Exemplos: As sequências f (n) = n e g (n) = −n 2 possuem limites
infinitos.
20. Sequência oscilante: Uma sequência é oscilante, se ela não possui
limite infinito e nem mesmo limite finito.
Exemplos: f (n) = (−1)n e g (n) = cos(nπ) são sequências oscilantes,
mas h(n) = sin(nπ) não é uma sequência oscilante, pois h(n) = 0.
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Seção 1 Sequências de números reais
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1
possui limite
n
0. Trocando os cinco primeiros termos desta sequência pelos números
10, 20, 30, 40, 50, obtemos uma outra sequência g = g (n) com imagem:
21. Mudanças nos primeiros termos: A sequência f (n) =
g (N ) = {10, 20, 30, 40, 50, 1/6, 1/7, 1/8, ..., 1/n, ...}
mas ainda assim, a nova sequência g = g (n) tem limite 0 pois a
alteração de um número finito dos termos da sequência ou a troca dos
primeiros termos da sequência, não altera o valor limite da mesma,
pois este limite depende apenas dos termos finais da sequência.
22. Exercícios: Mostrar que se
(a) f (n) = C (constante), então lim f (n) = C .
(b) f (n) = 3n + 4, então lim f (n) = +∞.
(c) f (n) = −3n + 4, então lim f (n) = −∞.
(d) f (n) = 2n 2 + bn + c, então lim f (n) = +∞.
(e) f (n) = −5n 2 + bn + c, então lim f (n) = −∞.
23. Termos dominantes: Para obter o limite de uma função racional:
f (n) =
p(n)
q(n)
onde p = p(n) e q = q(n) são funções polinomiais na variável n, basta
calcular o limites sobre os termos dominantes (termos de mais alto
grau da expressão polinomial) do numerador e do denominador.
an a
an + b
= lim
=
n→∞ cn
n→∞ cn + d
c
2
an + bn + c
an 2 a
(b) lim
= lim
=
n→∞ d n 2 + en + f
n→∞ d n 2
d
(a) lim
an 2 + bn + c
an 2
a
(c) lim
=
lim
=
lim
=0
n→∞ d n 3
n→∞ d n
n→∞ d n 3 + en + f
an 3 + bn + c
an 3
an
(d) lim
=
lim
=
lim
=∞
n→∞ d n 2 + en + f
n→∞ d n 2
n→∞ d
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Seção 2 Médias usuais
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2 Médias usuais
1. A Média aritmética entre m e n é definida por
A(m, n) =
m +n
2
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ≥ 0, definimos a média aritmética entre eles por
A(x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) =
x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n
n
2. A Média geométrica entre m ≥ 0 e n ≥ 0 é definida por
p
G(m, n) = mn
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ≥ 0, definimos a média geométrica entre eles por
G(x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) =
p
n
x 1 · x 2 · x 3 · ... · x n
3. A Média harmônica entre m > 0 e n > 0 é definida por
1 1
2
= +
H (m, n) m n
Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n > 0, definimos a média harmônica entre eles por
1
1
1
1
n
= + + + ... +
H (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 1 x 2 x 3
xn
3 Médias versus progressões
Os números a, b, c > 0, nesta ordem, formam uma progressão aritmética
(PA), geométrica (PG) ou harmônica (PH), se respectivamente, o termo b
do meio é a média aritmética, geométrica ou harmônica dos termos a e c.
Harmônico global: Se m, n > 0, definimos o harmônico global entre m e n,
denotado por h = h(m, n) satisfazendo à relação harmônica:
1 1
1
= +
h(m, n) m n
A média harmônica é o dobro do harmônico global, i.e., H (m, n) = 2h(m, n).
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Seção 4 Sequências e Progressões aritméticas
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Se x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n > 0, definimos o Harmônico global entre eles por
1
1
1
1
1
= + + + ... +
h(x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) x 1 x 2 x 3
xn
Na Página Matemática Essencial você encontra muitos materiais didáticos
com aplicações da Matemática. Na pasta Alegria, existem alguns passatempos matemáticos e um link sobre Harmonia e Matemática, onde usamos
o harmônico global em aplicações no cálculo de tempos, resistências,
capacidades elétricas, capacidades motivas, lentes, geometria, etc.
4 Sequências e Progressões aritméticas
Sequências aritméticas aparecem em processos lineares e são conhecidas
no Ensino Médio, como Progressões Aritméticas infinitas. Uma Progressão
Aritmética (PA) finita não é uma sequência, pois seu domínio é um conjunto
finito {1, 2, 3, ..., m} contido no conjunto N dos números naturais.
1. Progressão Aritmética finita é uma coleção finita de números reais,
de modo que cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do
anterior com um número fixo r denominado razão da PA.
2. Elementos básicos de uma Progressão Aritmética: Seja uma PA finita
da forma: C = {a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ..., a m−1 , a m }.
(a) m é o número de termos da PA.
(b) n é a posição e índice do termo geral a n no conjunto C .
(c) a n é o n-ésimo termo da PA, que se lê: a índice n.
(d) a 1 é o primeiro termo da PA, que se lê: a índice 1.
(e) r é a razão da PA e é possível observar que
a 2 = a 1 + r,
a 3 = a 2 + r,
...,
a n = a n−1 + r,
...,
a m = a m−1 + r
3. Razão de uma PA: A razão de uma Progressão Aritmética, é obtida,
subtraindo cada termo do termo seguinte, ou seja:
r = a 2 − a 1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ... = a n − a n−1
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Seção 4 Sequências e Progressões aritméticas
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4. Razões de Progressões Aritméticas finitas definidas por conjuntos:
(a) C = {2, 5, 8, 11, 14} tem razão r = 3, pois 2+3 = 5, 5+3 = 8, 8+3 = 11
e 11 + 3 = 14.
(b) M = {1, 2, 3, 4, 5} tem razão r = 1, pois 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 e
4 + 1 = 5.
(c) M (3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18} tem razão r = 3, pois 6−3 = 9−6 = 12−9 =
15 − 12 = 3.
(d) M (4) = {0, 4, 8, 12, 16} tem razão r = 4, pois 4 − 0 = 8 − 4 = 12 − 8 =
16 − 12 = 4.
5. Fórmula do Termo geral: Para a PA com razão r , definida por
P = {a 1 , a 2 , ..., a n−1 , a n }, existe uma fórmula do termo geral, dada por
a n = a 1 + (n − 1)r
Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma
Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrever toda a PA. Além
disso, a razão r pode ser obtida por
an − a1
r=
n −1
6. Detalhes sobre os termos de uma PA:
(a) Seja a PA com razão r=5, dada por C = {3, 8, ..., a 30 , ..., a 100 }. Os
termos a 30 e a 100 desta PA podem ser obtidos, substituindo os
dados da PA na fórmula do termo geral a n = a 1 + (n − 1)r . Assim:
a 30 = 3 + (30 − 1)3 = 90
a 100 = 3 + (100 − 1)3 = 300
Qual é o termo de ordem n = 220 desta PA?
(b) Interpolação de múltiplos: Para inserir os múltiplos de 5, que
estão entre M = 21 e N = 623, montaremos a tabela:
21
M
25 30 ... 615 620
a1 a2 a3
... a n
623
N
O primeiro múltiplo de 5 é a 1 = 25, o último múltiplo de 5 é
a n = 620 e a razão é r = 5. Substituindo os dados na fórmula do
termo geral, obtemos
620 = 25 + (n − 1)5
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Seção 4 Sequências e Progressões aritméticas
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assim, n = 120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é
igual a 120. O conjunto de tais números é dado por
C 5 = {25, 30, 35, 40, 45, ..., 600, 605, 610, 615, 620}
7. Progressões Aritméticas monótonas: Quanto à monotonia, uma PA
pode ser:
(a) crescente se para todo n ∈ N : r > 0 e a n < a n+1 .
(b) constante se para todo n ∈ N : r = 0 e a n+1 = a n .
(c) decrescente se para todo n ∈ N : r < 0 e a n+1 < a n .
Exemplos: A progressão aritmética (PA) finita definida pelo conjunto
(a) C = {2, 4, 6, 8, 10, 12} é crescente, pois r = 2 e a 1 < a 2 < ... < a 5 < a 6 .
(b) G = {2, 2, 2, 2, 2} é constante e r = 0.
(c) Q = {2, 0, −2, −4, −6} é decrescente, r = −2 e a 1 > a 2 > ... > a 4 > a 5 .
8. Extremos e Meios em uma PA: Em uma Progressão Aritmética (finita)
dada pelo conjunto:
C = {a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ..., a m−1 , a m }
os termos a 1 e a m são os extremos e os demais: a 2 , a 3 , ..., a m−2 , a m−1
são os meios aritméticos.
Exemplo: Na PA definida por C = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, os números 1 e 11 são
os extremos e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.
9. Termos equidistantes dos extremos: Em uma PA com m termos, dois
termos são equidistantes dos extremos se a soma de seus índices é
igual a m + 1.
Exemplo: Para a PA definida pelo conjunto C = {a 1 , a 2 , ..., a n , ..., a m−1 , a m },
são equidistantes dos extremos os pares de termos:
a1 e am ,
a 2 e a m−1 ,
a 3 e a m−2 ,
... e ...
Exemplo: Se m é par, temos m/2 pares de termos equidistantes dos
extremos, como vemos na PA definida por C = {4, 8, 12, 16, 20, 24}, que
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Seção 4 Sequências e Progressões aritméticas
possui um número par de termos e os extremos são a 1 = 4 e a 6 = 24,
assim:
a 1 + a 6 = a 2 + a 5 = a 3 + a 4 = 28
Exemplo: Se m é ímpar, temos (m −1)/2 pares de termos equidistantes
e ainda teremos um termo isolado, de ordem (m + 1)/2, que é equidistante dos extremos, como vemos na PA de C = {4, 8, 12, 16, 20} onde 4 e
20 são os extremos da PA e os números 8, 12 e 16 são os meios da PA.
a 1 + a 5 = a 2 + a 4 = a 3 + a 3 = 24
10. Interpolação aritmética: Interpolar k meios aritméticos entre números
a e b, é obter uma PA com n = k +2 termos tal que a 1 = a e a n = b. Para
realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA.
Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre a = −9 e b = 19,
am − a1
basta gerar uma PA tal que a 1 = −9, a m = 19 e m = 8. Como r =
,
m −1
19 − (−9)
então r =
= 4 e assim a PA ficará na forma do conjunto:
7
C = {−9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19}
11. Soma dos n primeiros termos de uma PA finita: Em uma PA (finita), a
soma dos n primeiros termos é dada pela fórmula:
(a 1 + a n )n
Sn =
2
Exemplo: Seja a PA dada por C = {2, 5, 8, ..., 89}. Obtemos a soma dos 30
primeiros termos da PA, com a 1 = 2, r = 3, n = 30, e a fórmula da soma:
(a 1 + a n )n (2 + 89)(30) 91(30)
Sn =
=
=
= 1365
2
2
2
12. Exercício:
(a) Calcular o número ímpar positivo de ordem n.
(b) Calcular a soma dos n primeiros números ímpares positivos.
(c) Calcular a soma dos 500 primeiros números ímpares positivos,
isto é, calcular S = 1 + 3 + 5 + ... + 999.
(d) Construir uma aplicação de sequências aritméticas no estudo de
juros simples em Matemática Financeira.
(e) Construir uma aplicação de sequências aritméticas em sua área
de estudo.
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10
Seção 5 Sequências geométricas e PG
5 Sequências geométricas e PG
As importantes sequências geométricas, são conhecidas no Ensino Médio
como Progressões Geométricas (PG) infinitas, mas uma Progressão Geométrica finita não é uma sequência pois o domínio da PG finita é um
conjunto finito {1, 2, 3, ..., m} que é um subconjunto próprio de N. Tais
sequências aparecem em Matemática Financeira, na análise de montantes,
taxas de juros, financiamentos e prestações, e em estudos de decaimento
radioativo (teste do Carbono 14 para estimar a idade de objetos antigos).
No Ensino Superior tais sequências aparecem em estudos de sequências
e séries de números e de funções, sendo a série geométrica (um tipo
de sequência obtida pela soma de termos de uma sequência geométrica)
muito importante para obter outras séries numéricas e séries de funções.
1. Progressão Geométrica (PG) finita é uma coleção finita de números
com as mesmas características que uma sequência geométrica, mas
com um número finito de elementos. As Progressões Geométricas
(PG) são caracterizadas pelo fato que a divisão do termo seguinte pelo
antecessor seja um quociente fixo.
2. Elementos de uma Progressão Geométrica finita: Seja uma PG finita
dada pelo conjunto com m elementos: G = {a 1 , a 2 , , ..., a n , ..., a m−1 , a m }.
(a) m é o número de termos da PG.
(b) n indica a e índice de ordem do termo geral a n .
(c) a n é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice n.
(d) a 1 é o primeiro termo da PG, que se lê a índice 1.
(e) q é a razão da PG, obtida pela divisão de cada termo pelo seu
antecessor, isto é:
a2 a3 a4
am
=
=
= ... =
=q
a1 a2 a3
a m−1
3. Observação: Em uma Progressão Geométrica (PG), cada termo é a
média geométrica entre o anterior e o posterior ao termo tomado, daí
a razão de tal denominação para este tipo de sequência.
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11
Seção 5 Sequências geométricas e PG
12
4. Fórmula do termo geral da PG: A fórmula do termo geral de uma PG
com n termos, razão q, primeiro termo a 1 e a n como n-ésimo termo, é
a n = a 1 q n−1
5. Progressões geométricas finitas: Para a PG definida pelo conjunto
(a) G = {2, 4, 8, 16, 32}, a razão é q = 2, obtida pela divisão do termo
seguinte pelo anterior, isto é,
32 16 8 4
=
= = =2
16
8
4 2
(b) G = {8, 2, 1/2, 1/8, 1/32}, a divisão de cada termo pelo seu anterior
é q = 1/4, pois:
1/32 1/8 1/2 2 1
=
=
= =
1/8
1/2
2
8 4
(c) T = {3, 9, 27, 81}, temos que
q=
9 27 81
=
=
=3
3
3
3
(d) A = {10, 100, 1000, 10000}, temos que
q=
100 1000 10000
=
=
= 10
10
100
1000
(e) E = {4, 16, 64, ...}, obtemos o termo geral da sequência tomando
a 1 = 4 e a 2 = 16. Assim q = 16/4 = 4. Substituindo estes dados
na fórmula do termo geral da sequência geométrica, obtemos:
f (n) = a 1 · q n−1 = 41 · 4n−1 = 4(n−1)+1 = 4n
(f) M = {5, 25, 125, ...}, temos que a 1 = 5 e q = 5, e usamos a fórmula
do termo geral da PG, para escrever:
a n = a 1 .q n−1 = 5.5n−1 = 51 .5n−1 = 51+(n−1) = 5n
6. PG monótonas: Quanto à monotonia, uma PG pode ser:
(a) Crescente, se para todo n ∈ N : q > 1 e a n < a n+1 .
(b) Constante, se para todo n ∈ N : q = 1 e a n = a n+1 .
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Seção 5 Sequências geométricas e PG
13
(c) Decrescente, se para todo n ∈ N : 0 < q < 1 e a n > a n+1 .
(d) Alternada, se para todo n ∈ N : q < 0.
Exemplos: A progressão geométrica (PG) finita, definida pelo conjunto
(a) U = {5, 25, 125, 625} é crescente, pois q = 5 e a 1 < a 2 < a 3 < a 4 .
(b) V = {3, 3, 3} é constante, pois q = 1 e a 1 = a 2 = a 3 = 3.
(c) W = {−2, −4, −8, −16} é decrescente, pois q = 2 e a 1 > a 2 > a 3 > a 4 .
(d) X = {−2, 4, −8, 16} é alternada, pois q = −2 < 0.
7. Interpolação geométrica: Interpolar k meios geométricos entre os
números a e b, é obter uma PG com k + 2 = n termos, em que a = a 1 ,
b = a n . Para obter esta interpolação, basta obter a razão da PG.
Exemplo: Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta
tomar a 1 = 3, a n = 48, k = 3 e n = 5 para obter a razão da PG. Como
a n = a 1 q n−1 , então 48 = 3q 4 e segue que q 4 = 16, assim a razão é q = 2
e temos a PG: R = {3, 6, 12, 24, 48}.
8. Fórmula da soma dos termos de uma PG finita: Seja uma PG finita,
definida pelo conjunto Y = {a 1 , a 1 q, a 1 q 2 , ..., a 1 q n−1 }. A soma dos n
primeiros termos desta PG é dada por
S n = a1
1 − qn
1−q
Exemplos de somas dos termos em uma PG: Obtemos a soma dos
termos da PG definida pelo conjunto
(a) W = {3, 9, 27, 81}, com q = 9/3 = 3, a 1 = 3 e n = 4, usando a fórmula
da soma dos termos de uma PG finita, para obter:
34 − 1
81 − 1
80
S4 = 3
=3
= 3 = 120 = 3 + 9 + 27 + 81
3−1
2
2
(b) X = {2, 2, 2, 2, 2}, com a razão q = 1 e a 1 = 2, gera S 5 = 2(5) = 10.
9. Observação: Uma sequência geométrica é semelhante a uma PG
infinita, mas nesse caso ela possui infinitos elementos, pois o domínio
desta função é o conjunto N.
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Seção 5 Sequências geométricas e PG
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10. Série geométrica: Uma série geométrica é um somatório da forma:
∞
X
aq n−1 = a + aq + aq 2 + ... + aq n−1 + ... = a(1 + q + q 2 + ... + q n−1 + ...)
n=0
11. Soma de uma série geométrica: Seja uma sequência geométrica
definida por f (n) = aq n−1 , cuja imagem é o conjunto infinito:
F = {a, aq, aq 2 , aq 3 , ..., aq n−1 , ...}
Podemos obter a soma de uma série geométrica, com o limite abaixo:
S=
∞
X
aq n−1 = lim S n
n→∞
n=0
onde
1 − qn
Sn = a
1−q
Se −1 < q < 1, então lim q n = 0 e a soma S dos termos desta sequência
n→∞
geométrica, é a soma da série geométrica
S=
∞
X
aq n−1 = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n−1 + ... =
n=0
a
1−q
Exemplos de somas de séries geométricas:
(a) A soma de todos os termos da sequência geométrica S = {2, 4, 8, 16, ...},
cuja razão é q = 2, S n = 2(2n − 1) e o valor da soma é:
S = 2 + 4 + 8 + 16 + ... = lim S n = lim 2(2n − 1) = ∞
n→∞
n→∞
(b) A soma dos termos da sequência geométrica Y = {5, 5/2, 5/4, 5/8, ...},
é obtida com a razão é q = 1/2 e a 1 = 5, e a fórmula da soma de
uma série geométrica com razão tal que −1 < q < 1:
S=
5
1 − 12
= 10
(c) Para obter a soma dos termos da sequência geométrica dada pelo
conjunto Y = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...}, q = 1/2 e a 1 = 1, logo:
S=
1
1 − 12
=2
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Seção 6 Propriedades dos limites das sequências
15
6 Propriedades dos limites das sequências
Se lim f (n) = A, lim g (n) = B e c é uma constante real, então
1. lim[ f (n) + g (n)] = lim f (n) + lim g (n) = A + B
2. lim[ f (n) − g (n)] = lim f (n) − lim g (n) = A − B
3. lim[ f (n) · g (n)] = lim f (n) · lim g (n) = A.B
4. lim[c · f (n)] = c · lim f (n) = c.A
5. Se B 6= 0 então, lim
f (n) lim f (n) A
=
=
g (n) lim g (n) B
7 Alguns limites especiais
1. Se −1 < a < 1 então lim a n = 0
n→∞
2. Se a > 0 então lim
p
n
n→∞
4. lim
sin( n1 )
1
n
n→∞
a =1
=1
x ´n
5. lim 1 +
= ex
n→∞
n
p
3. lim n n = 1
³
n→∞
8 Exercícios
1. Seja a sequência f (n) = 2n − 1 dos números ímpares positivos. Obter:
(a) S = f (1) + f (2) + f (3) + f (4).
(b) A soma dos n primeiros ímpares positivos.
2. Para a sequência com imagem f (N ) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}, obter:
(a) f (1)
(b) f (2)
(c) f (4) − f (3)
(d) f (n)
3. Para a sequência com imagem f (N ) = {3, −6, 12, −24, 48, ...}, obter:
(a) f (1)
(b) f (2)
(c) f (4) − f (3)
(d) f (n)
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Seção 8 Exercícios
16
4. Seja a sequência f (n) =
1 + 3n
.
2n
(a) S = f (1) + f (2) + f (3) + f (4).
30 31
e
são termos da sequência, indique as suas ordens.
(b) Se
19 20
(c) Analisar se esta é uma sequência geométrica.
5. Exibir o conjunto imagem da sequência f que indica a altura de um
avião que levanta vôo do solo à razão de 3 metros por minuto.
6. Exibir a sequência aritmética f tal que f (N ) = {2, 7, 12, ...}.
7. Obter a 5 na sequência aritmética dada por C = {a + b, 3a − 2b, ...}.
8. Calcular o número de termos da PA definida por W = {5, 10, ..., 785}.
9. Exibir uma aplicação de sequência geométricas na sua área de estudo.
10. Para cada f = f (n), calcular o limite lim f (n).
n→∞
n
n +1
n +1
f (n) =
n
(−1)n
f (n) =
n
n
f (n) = 2
n +1
f (n) = n[1 − (−1)n ]
(a) f (n) =
(b)
(c)
(d)
(e)
sin(n)
n
s
n2 − 1
(k) f (n) =
n2 + 1
n
(l) f (n) = p
n2 + 1
(1 + n1 )2 − 1
(m) f (n) =
1
(j) f (n) =
n
1 − (−1)
n
2
n +1
(g) f (n) = 2
2n − 3
n!
(h) f (n) = n
n
p
p
(i) f (n) = n + 1 − n
(f) f (n) =
(n) f (n) =
(o) f (n) =
(p) f (n) =
n
1 2
(a + n ) − a 2
1
n
(a + n1 )3 − a 3
1
n
sin(a + n1 ) − sin(a)
1
n
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