Índice
Cálculo II
Sucessões de números reais – revisões
Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica
Mestrado Integrado em Engenharia Civil
António Bento
[email protected]
Departamento de Matemática
Universidade da Beira Interior
2013/2014
António Bento (UBI)
Cálculo II
2013/2014
1 / 74
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
António Bento (UBI)
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
António Bento (UBI)
2013/2014
3 / 74
1 – Definição e exemplos
Índice
1
Cálculo II
Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural n
faz corresponder um e um só número real.
Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,
uma sucessão é uma função
u : N → R.
Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação
un em vez de u(n).
Cálculo II
2013/2014
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António Bento (UBI)
Cálculo II
2013/2014
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1 – Definição e exemplos
1 – Definição e exemplos
Aos valores
Exemplos de sucessões
u1 , u2 , . . . , un , . . .
a) Façamos
chamamos termos da sucessão e
ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo
da sucessão;
ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo
da sucessão;
ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo da
sucessão;
isto é,
un = 1 para todo o n ∈ N,
(1, 1, . . . , 1, . . .)
é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c ∈ R e
fazendo
vn = c para qualquer n ∈ N,
temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso
etc
v(N) = {c} .
À expressão un chamamos termo geral da sucessão.
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António Bento (UBI)
1 – Definição e exemplos
Cálculo II
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1 – Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
Escreveremos
b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (−1)n .
(u1 , u2 , . . . , un , . . .),
O primeiro termo desta sucessão é u1 = (−1)1 = −1.
O segundo termo desta sucessão é u2 = (−1)2 = 1.
ou
(un )n∈N ,
O terceiro termo desta sucessão é u3 = (−1)3 = −1.
ou simplesmente
O quarto termo desta sucessão é u4 = (−1)4 = 1.
E assim sucessivamente.
(un )
para indicar a sucessão u.
Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 e
que os termos de ordem ímpar são todos iguais a −1. Assim, a lista
que se segue dá-nos todos os termos da sucessão
O conjunto
u(N) = {un : n ∈ N}
−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .
e o conjunto dos termos desta sucessão é
designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un )n∈N .
u(N) = {−1, 1} .
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2013/2014
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1 – Definição e exemplos
1 – Definição e exemplos
Observação
O exemplo a) mostra que
(un )n∈N
Exemplos de sucessões (continuação)
e
c) Seja u a sucessão definida por
u(N)
un = n.
são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem ser
confundidas. Neste exemplo tem-se
Então
u(N) = N.
(un ) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),
enquanto que
u(N) = {1} .
Algo de semelhante acontece no exemplo b).
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António Bento (UBI)
1 – Definição e exemplos
d) Seja
1
para todo o n ∈ N.
n
Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:
un =
ou
ou
1 1 1
1
1, , , , . . . , , . . . ,
2 3 4
n
1
n
António Bento (UBI)
,
n∈N
1
.
n
Neste exemplo temos u(N) =
1
:n∈N .
n
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12 / 74
Índice
Exemplos de sucessões (continuação)
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10 / 74
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
António Bento (UBI)
Cálculo II
2 – Sucessões limitadas
2 – Sucessões limitadas
Uma sucessão (un )n∈N diz-se limitada se existirem números reais a e b
tais que
a 6 un 6 b para todo o n ∈ N;
ou ainda, se existirem números reais a e b tais que
Exemplos (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral
un ∈ [a, b] para todo o n ∈ N.
un =
Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma
[−c, c], para algum c ∈ R, uma sucessão (un ) é limitada se existir um
número real c > 0 tal que
Como
n+2
.
n
n+2
n 2
2
= + =1+
n
n n
n
podemos concluir que
un ∈ [−c, c] para todo o n ∈ N,
1 6 un 6 3 para cada número natural n.
o que é equivalente a existe c > 0 tal que
Assim, esta sucessão é limitada.
|un | 6 c para todo o n ∈ N.
As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.
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António Bento (UBI)
2 – Sucessões limitadas
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15 / 74
2 – Sucessões limitadas
Exemplos (continuação)
Exemplos
c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,
a) A sucessão de termo geral
n
un = 4 + (−1) =
(
3
5
u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .
se n é ímpar;
se n é par;
pelo que a sucessão não é limitada superiormente.
d) A sucessão de termo geral vn = −n também não é limitada pois
é limitada pois
v1 = −1; v2 = −2; v3 = −3; . . .
3 6 un 6 5 para qualquer número natural n.
ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.
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3 – Sucessões monótonas
Índice
Exemplos de sucessões monótonas
1
Definição e exemplos
a) Consideremos a sucessão de termo geral un =
2n − 1
. Como
n+1
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
=
2n − 1
2n + 1
−
n+2
n+1
5
Operações com limites
=
(2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
6
Subsucessões
=
2n2 + 2n + n + 1 − (2n2 + 4n − n − 2)
(n + 1)(n + 2)
7
Infinitamente grandes
=
2n2 + 3n + 1 − 2n2 − 3n + 2
(n + 1)(n + 2)
=
3
>0
(n + 1)(n + 2)
8
9
un+1 − un =
A sucessão de termo geral an
Exercícios
2(n + 1) − 1
2n − 1
−
(n + 1) + 1
n+1
para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.
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3 – Sucessões monótonas
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20 / 74
3 – Sucessões monótonas
Uma sucessão (un )n∈N diz-se crescente se
Exemplos de sucessões monótonas (continuação)
un+1 > un para todo o n ∈ N
b) Para a sucessão de termo geral un =
2n + 1
, temos
n
2(n + 1) + 1
2n + 1
−
n+1
n
2n + 1
2n + 3
−
=
n+1
n
e diz-se decrescente se
un+1 − un =
un+1 6 un para todo o n ∈ N.
Equivalentemente, (un )n∈N é crescente se
un+1 − un > 0 para todo o n ∈ N
=
(2n + 3)n − (2n + 1)(n + 1)
n(n + 1)
=
2n2 + 3n − (2n2 + 2n + n + 1)
n(n + 1)
=
2n2 + 3n − 2n2 − 3n − 1
n(n + 1)
=
−1
60
n(n + 1)
e é decrescente se
un+1 − un 6 0 para todo o n ∈ N.
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.
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para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.
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4 – Sucessões convergentes
Índice
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado ε > 0 todos
os termos da sucessão estão na “faixa” limitada pela rectas y = a − ε e
y = a + ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra esse
facto.
b
4
Sucessões convergentes
a+ε
5
Operações com limites
a
6
Subsucessões
b
b
b
b
a−ε
b
7
b
Infinitamente grandes
b
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
1
2
3
4
N
N +1 N +2 N +3 N +4
b
Interpretação geométrica do limite de uma sucessão
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António Bento (UBI)
4 – Sucessões convergentes
lim un = a,
n→∞
limn→∞ un = a,
|un − a| < ε
lim un = a,
n
lim un = a,
e un ∈ ]a − ε, a + ε[.
Assim, uma sucessão (un ) converge ou tende para um número real a
se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
a − ε < un < a + ε para cada número natural n > N ;
ou se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
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un → a
é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un ) converge para a.
Uma sucessão (un )n∈N diz-se convergente se existe um número real a
tal que un → a.
As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.
un ∈ ]a − ε, a + ε[ para cada número natural n > N .
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Qualquer uma das notações
A condição
−ε < un − a < ε, a − ε < un < a + ε
2013/2014
4 – Sucessões convergentes
Dados uma sucessão (un )n∈N e um número real a, dizemos que (un )
converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal
que
|un − a| < ε para todo o número natural n > N .
é equivalente às condições
Cálculo II
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24 / 74
4 – Sucessões convergentes
Índice
As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquer
número natural n, temos |un − c|=0 para cada n ∈ N, pelo que, dado
ε > 0, tomando N = 1 vem
|un − c| < ε para qualquer n > N .
Logo (un ) converge para c.
1
A sucessão de termo geral un = converge para zero. De facto, dado
n
ε > 0, basta escolher um número natural N tal que N ε > 1 e, por
conseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N , temos
|un − 0| = 1/n < 1/N < ε,
o que prova que un → 0.
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25 / 74
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
António Bento (UBI)
4 – Sucessões convergentes
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27 / 74
5 – Operações com limites
Dadas duas sucessões u = (un )n∈N e v = (vn )n∈N de números reais,
define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujo
termo de ordem n é un + vn , isto é,
Unicidade do limite
(u + v)n = un + vn .
Sejam (un ) uma sucessão e a e b dois números reais. Se
De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente de
u e v (este último apenas na hipótese de se ter vn 6= 0 para todo o
n ∈ N):
(u − v)n = un − vn ,
(uv)n = un vn
un → a e un → b,
então
a = b.
e, na hipótese de vn 6= 0 para todo o n ∈ N,
u
v
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n
=
un
.
vn
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5 – Operações com limites
5 – Operações com limites
As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.
Assim, se u e v são as sucessões dadas por
2
1, 4, 9, . . . , n , . . .
e
1
1 1
1, , , . . . , , . . . ,
2 3
n
O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um
infinitésimo.
respectivamente, então u + v é a sucessão dada por
1
1
1
1 + 1, 4 + , 9 + , . . . , n2 + , . . .
2
3
n
=
9 28
n3 + 1
,...
2, , , . . . ,
2 3
n
!
1
1
1
1 − 1, 4 − , 9 − , . . . , n2 − , . . .
2
3
n
António Bento (UBI)
=
Para todo o x ∈ R, temos lim
n→∞
e a diferença de u e v, u − v, é a sucessão
Exemplo
!
sen(nx)
1
= sen(nx)
n
n
7 26
n3 − 1
0, , , . . . ,
,... .
2 3
n
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é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,
converge para zero.
António Bento (UBI)
5 – Operações com limites
1, 4, 9, . . . , n2 , . . .
e
1
1 1
1.1, 4. , 9. , . . . , n2 . , . . .
2 3
n
e o quociente
9
n2
1 4
,
,
,...,
,...
1 1/2 1/3
1/n
1 1
1
1, , , . . . , , . . . ,
2 3
n
a) (un + vn )n∈N é convergente e
lim(un + vn ) = lim un + lim vn = a + b;
b) (un − vn )n∈N é convergente e
= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)
lim(un − vn ) = lim un − lim vn = a − b;
c) (un . vn )n∈N é convergente e
lim(un . vn ) = lim un . lim vn = a . b;
un
d) se b 6= 0 e vn =
6 0 para todo o n ∈ N,
é convergente e
vn n∈N
= 1, 8, 27, . . . , n3 , . . . .
lim
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Sejam (un ) e (vn ) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então
u
é a sucessão
v
!
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Álgebra dos limites
o produto uv é a sucessão
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5 – Operações com limites
Continuando a usar as sucessões u e v dadas por
sen(nx)
= 0. De facto,
n
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un
vn
=
lim un
a
= .
lim vn
b
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5 – Operações com limites
5 – Operações com limites
Suponhamos que
un → a
e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se f
é contínua em a, então
f (un ) → f (a).
Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.
Teorema da sucessão enquadrada
Sejam (un ), (vn ) e (wn ) sucessões e suponha-se que existe uma ordem
p ∈ N tal que
un 6 vn 6 wn para todo o número natural n > p.
Se un → a e wn → a, então
vn → a.
Seja (un ) uma sucessão convergente para a ∈ R e p > 0. Então
a) se un → a, então (un )p → ap ;
b) se un > 0 para todo o n ∈ N e un → a, então
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√
p
un →
√
p
a.
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5 – Operações com limites
35 / 74
5 – Operações com limites
Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada
Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos números
naturais. Se
lim f (x) = a,
Vejamos que
r
4+
x→+∞
Como
então
lim f (n) = a.
n→+∞
26
1
4+ 2 6
n
r
s
1
4+4 +
n
1
→ 2.
n2
1
n
2
=
s
1
2+
n
2
=2+
1
n
e
Exemplo
1
→ 2,
n
pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter
2+
Como
lim
1
1+
x
x
lim
1
n
n
x→+∞
temos
n→+∞
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1+
Cálculo II
= e,
r
4+
= e.
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34 / 74
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1
→ 2.
n2
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5 – Operações com limites
Índice
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
Exemplo
8
A sucessão de termo geral an
Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logo
não é convergente.
9
Exercícios
Toda a sucessão convergente é limitada.
Observação
O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un =
limitada, mas não é convergente.
(−1)n
é
Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.
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37 / 74
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5 – Operações com limites
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39 / 74
6 – Subsucessões
Se (un ) é uma sucessão e (nk ) é uma sucessão de números naturais
estritamente crescente, isto é,
n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,
As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.
a sucessão
(unk ) = (un1 , un2 , . . . , unk , . . .)
diz-se uma subsucessão de (un ).
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38 / 74
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40 / 74
6 – Subsucessões
Índice
As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para o
mesmo limite da sucessão.
Exemplo
A sucessão de termo geral
un = (−1)n
é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valores
diferentes.
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41 / 74
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
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6 – Subsucessões
2013/2014
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43 / 74
7 – Infinitamente grandes
Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,
merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamente
grandes.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Diz-se que uma sucessão (un ) tende para mais infinito ou que é um
infinitamente grande positivo, e escreve-se
Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.
un → +∞,
ou
lim un = +∞,
se para cada L > 0, existe N ∈ N tal que
un > L para qualquer natural n > N .
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42 / 74
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44 / 74
7 – Infinitamente grandes
7 – Infinitamente grandes
Observações
Se −un → +∞ diz-se que (un ) tende para menos infinito ou que a
sucessão (un ) é um infinitamente grande negativo e escreve-se
un → −∞,
ou
a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandes
negativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral
lim un = −∞.
wn = (−1)n n
mostra que o contrário nem sempre se verifica.
b) Resulta imediatamente da definição que se un → +∞, então (un ) é
limitada inferiormente.
Diz-se ainda que (un ) tende para infinito ou que (un ) é um
infinitamente grande se |un | → +∞ e escreve-se
un → ∞
ou
c) Da definição resulta imediatamente que se (un ) e (vn ) são duas
sucessões tais que
lim un = ∞.
un 6 vn a partir de certa ordem e un → +∞,
então
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45 / 74
António Bento (UBI)
7 – Infinitamente grandes
vn → +∞.
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47 / 74
7 – Infinitamente grandes
Exemplos
A sucessão de termo geral
Sejam (un ) e (vn ) duas sucessões de números reais.
un = n
a) Se un → +∞ e (vn ) tende para a ∈ R ou para +∞, então
tende para mais infinito, a sucessão de termo geral
(un + vn ) → +∞.
vn = −n
b) Se un → −∞ e (vn ) tende para a ∈ R ou para −∞, então
tende para menos infinito e a sucessão de termo geral
(un + vn ) → −∞.
wn = (−1)n n
tende para infinito. A sucessão (wn ) é um exemplo de um infinitamente
grande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem um
infinitamente grande negativo.
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46 / 74
c) Se un → ∞ e (vn ) tende para a ∈ R, então
(un + vn ) → ∞.
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Cálculo II
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48 / 74
7 – Infinitamente grandes
7 – Infinitamente grandes
Sejam (un ) e (vn ) duas sucessões de números reais.
Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que se
adoptem as convenções
a) Se un → +∞ e se (vn ) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
un .vn → +∞.
b) Se un → +∞ e se (vn ) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
(+∞) + a = +∞ = a + (+∞)
(−∞) + a = −∞ = a + (−∞)
un .vn → −∞.
∞+a =∞=a+∞
c) Se un → −∞ e se (vn ) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
(+∞) + (+∞) = +∞
un .vn → −∞.
(−∞) + (−∞) = −∞
d) Se un → −∞ e se (vn ) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
onde a é um número real qualquer.
un .vn → +∞.
e) Se un → ∞ e (vn ) tende para a ∈ R \ {0} ou tende para ∞, então
un .vn → ∞.
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7 – Infinitamente grandes
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7 – Infinitamente grandes
Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar a
regra do limite do produto:
Observação
Se
un → +∞
e
vn → −∞,
(+∞) × a = +∞ = a × (+∞) onde a ∈ R+
(−∞) × a = −∞ = a × (−∞) onde a ∈ R+
então nada se pode dizer sobre (un + vn ) pois em alguns casos
(un + vn ) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemos
nenhuma convenção para o símbolo
(+∞) × a = −∞ = a × (+∞) onde a ∈ R−
(−∞) × a = +∞ = a × (−∞) onde a ∈ R−
∞ × a = ∞ = a × ∞ onde a ∈ R \ {0}
(+∞) + (−∞);
(+∞) × (+∞) = +∞ = (−∞) × (−∞)
este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo de
semelhante acontece com
∞ − ∞.
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Cálculo II
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(+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞)
∞×∞=∞
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7 – Infinitamente grandes
7 – Infinitamente grandes
A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem as
seguintes convenções
Observação
Não se faz nenhuma convenção para os símbolos
1
=0
∞
0 × (+∞),
1
= +∞
0+
1
= −∞
0−
onde 0+ significa que
0 × (−∞)
e
1
=∞
0
un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem
e 0− significa que
0 × ∞,
pois são símbolos de indeterminação.
un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem.
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7 – Infinitamente grandes
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7 – Infinitamente grandes
Seja (un ) uma sucessão de termos não nulos.
a) Se un → ∞, então
1
→ 0.
un
Observação
Os símbolos
b) Se un → 0, então
1
→ ∞.
un
c) Se un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então
e
1
→ +∞.
un
∞
∞
0
0
são símbolos de indeterminação.
d) Se un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então
1
→ −∞.
un
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8 – A sucessão de termo geral an
Índice
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
5
Operações com limites
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
Assim,
lim an =


+∞






1



se a > 1
se a = 1
0
se −1 < a < 1





não existe





se a = −1
se a < −1
∞
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8 – A sucessão de termo geral a
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8 – A sucessão de termo geral a
n
59 / 74
n
Exemplos
Dado a ∈ R, consideremos a sucessão de termo geral un =
an .
a) Calculemos lim (3n − 2n ). Como lim 3n = +∞ e lim 2n = +∞,
temos uma indeterminação do tipo
Se a > 1, então temos an → +∞.
Quando a = 1, então un =
1n
∞ − ∞.
= 1 pelo que a sucessão tende para 1.
No entanto, pondo em evidência 3n temos
Se a < −1, então an → ∞.
n
n
n
lim (3 − 2 ) = lim 3
n
Para a = −1 obtemos a sucessão (−1) que já vimos anteriormente.
Esta sucessão é divergente.
n
= lim 3
2n
1− n
3
1−
n 2
3
= +∞ × (1 − 0)
Se −1 < a < 1, então an → 0.
= +∞ × 1
= +∞
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8 – A sucessão de termo geral an
9 – Exercícios
Exemplos (continuação)
1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral
2n + 5n+1
b) Calculemos lim n+1
. Temos uma indeterminação pois
2
+ 5n
lim
a) un =
+∞ + (+∞)
+∞
2n + 5n+1
=
=
.
n+1
n
2
+5
+∞ + (+∞)
+∞
b) un = (−1)n
Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma
lim
2n
+
5n+1
2n+1 + 5n
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c) un =
2n 5n × 5
+
+ ×5
5n
5n
= lim n
=
lim
n
n
5n
2
×
2
2 ×2+5
+
5n
5n
n
2
+5
0+5
5
=
= lim n
=5
2
0×2+1
×2+1
5
2n
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n
n+1
2 + (−1)n n
n
d) un = (−2)n
5n
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2 − 3n
2
e)

u1 = 1
un+1 = 1 +
f ) un =
61 / 74
un
10
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2
3
1.2 2.2
3.2
n.2n
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9 – Exercícios
Índice
1
Definição e exemplos
2
Sucessões limitadas
3
Sucessões monótonas
4
Sucessões convergentes
b) 2, −2, 2, −2, 2, −2, . . .
5
Operações com limites
c) −2, 2, −2, 2, −2, 2, . . .
6
Subsucessões
7
Infinitamente grandes
8
A sucessão de termo geral an
9
Exercícios
2) Determine o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeiros
termos a seguir listados
a) 8, 16, 24, 32, . . .
d) 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .
e) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .
f ) 2, 5, 8, 11, 14, . . .
g) 4, 16, 64, 256, 1024, . . .
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9 – Exercícios
9 – Exercícios
3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões definidas por
recorrência:
a)
(
b)


u1 = 1
c)
5) Mostre que são limitadas as sucessões:
a) an = 1 +
u1 = 4
un+1 = 2un

un+1 = un +
1
n
c) cn = (−1)n
n
1
2
e) fn = 2 −



u1 = 1
g) hn = −
u =1
n+2 = un + un+1
2


u
António Bento (UBI)
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b) bn = 5
1
n
5
n2
4n
n+3
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9 – Exercícios
d) en =
3n + 10
n
f ) gn = √
h) dn =
1
n2
+3

1
n

−1
se n é par
se n é ímpar
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67 / 74
9 – Exercícios
6) Estude, quanto à monotonia, as sucessões cujos termos gerais são:
a) un = n2 − n
c) un = (−1)n n
4) Defina, por recorrência, as sucessões sugeridas pelos primeiros
termos listados a seguir
a) 1,
e) un =
1 1 1 1
, , ,
, ...
2 4 8 16
n+1
n2 + 3
n
3
2
i) un =
n!
g) un =
1 1
1 1
b) − , , − ,
, ...
2 4
8 16
k)
António Bento (UBI)
1
2n − (−1)n
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(
u1 = 1
√
un+1 = 25 + 3un
António Bento (UBI)
b) un = 2n + (−1)n
d) un = (−1)n + (−1)n−1
f ) un = 1 −
h) un =
j)
(
n2 + 3
3n + 2
u1 = 1
un+1 = n(1 + un )
l) un =
Cálculo II
n+1
2n

1


2n −
5

1

5 −
2n
se n 6 15
se n > 15
2013/2014
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9 – Exercícios
9 – Exercícios
7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral
a) an = 1 − n
b) bn = n − 3
−3n + 2
2
3
n−1
g) dn =
−2n
d) dn =
j) an =
1−n
n
e) en =
h) an =
2n + 3
4n
k) un =
7n
1
−
3
n
n
p) cn = n3 − n2

3

2 +
n
s) an = 2n2 + n


n2
2
6 + (−1)n
7n
2n2 + 1
n2
a)
2
n+1
2
1
1
l) vn = − −
2 n+1
i) an =
2
n) an = (n + 1) + n3 o) an = −n2 − n3 ;
m) an =
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9) Calcule
c) cn = −n + 1
2
1−n
f ) an =
n
q) dn = n2 − n3
r) en = n3 + n2
 3

√ + 1
se n é par
n
t) bn =
1


2− √
se n é ímpar
n
c)
lim
lim
n→+∞
n→+∞
2013/2014
k)
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1
1+
n
n−1
b)
8n
d)
1 −3n
e) lim
1+
n→+∞
n
1 n
g) lim
1−
n→+∞
2n
lim
n−1
n+2
lim
5n − 2
5n + 3
n→+∞
n→+∞
f)
h)
n
se n é par
Cálculo II
1
n
i)
se n é ímpar
1+
j)
3n
l)
António Bento (UBI)
9 – Exercícios
lim
lim
lim
lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
1+
1
1+
n
4
1+
3n
n
n
n2 + 1
n2 + 5
! n2
1
1+ n
2
2n +1
lim
lim
n
n/2
1
1+
3n
n→+∞
n→+∞
1
n+3
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71 / 74
9 – Exercícios
8) Calcule
a)
c)
e)
g)
i)
2n
lim
b)
n→+∞ 4n+1
lim
2n
1 + 5n+1
d)
lim
2n + 3
4n + 8
f)
n→+∞
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
2n+1 − 2n
1−
António Bento (UBI)
h)
n 3
2
Cálculo II
10) Dê exemplos de sucessões (an ) e (bn ) tais que an → +∞, bn → +∞ e
lim
6n
4n+1
lim
3n+1 + 7
3n − 1
n→+∞
n→+∞
lim
2n − 3n
6n
lim
n→+∞
n→+∞
1−
n 2
3
a) (an − bn ) → −∞
b) (an − bn ) → +∞
c) (an − bn ) → 0
d) (an − bn ) → 3
e) (an − bn ) não tem limite
f)
an
→0
bn
h)
an
→5
bn
g)
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70 / 74
an
→ +∞
bn
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2013/2014
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9 – Exercícios
11) Das seguintes sucessões, indique as que são convergentes.
a)
800
+ (−1)n
n
b) 800 +
(−1)n
n
c) 800 + (−1)n × n
d) n2 [(−1)n + 1]
e) 3n + (−1)n
f)
António Bento (UBI)
3 + (−1)n
n2
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2013/2014
74 / 74
9 – Exercícios
12) Calcule cada um dos seguintes limites:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
lim
(−1)n
n2 + 1
lim
n→+∞
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
lim
n→+∞
1+
2
n
b)
−n−2
d)
3 − n5
2 + n4
√
n2 + n + 3
n+1
f)
h)
3 + (−1)n n
n2
p
n3 + 1 −
António Bento (UBI)
j)
n
+1
lim
r
lim
3n + 2n
5n
lim
lim
7−n
2−n
lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n2
n+3
3n + 1
2n
8n + 1
3
2n
p
n2 + 2
Cálculo II