LIMITES
O limite de uma função y  f  x  , é o número real para o qual a função (os valores de y) está tendendo,
quando x se aproxima de um valor a, por exemplo. Ou seja, para dizer que um limite existe, ele deve ser
igual a um número real.
Observe que como x está sobre a reta dos Reais, x pode aproximar-se de a pela direita (por valores maiores
que a) ou pela esquerda (por valores menores que a). Assim, dizemos que o limite de uma função existe se,
e somente se, existirem os limites laterais e eles forem iguais.
 lim f  x  
x a
lim f  x   lim f  x 
x a
xa
Para determinar o limite lim f  x  , o primeiro passo é substituir x = a na função e observar o resultado:
xa
1) Se o resultado der um número real, o problema está resolvido.
 0 cte  0

,etc.  você deve tentar manipular a função
2) Se o resultado der uma indeterminação  ,
0
0

algebricamente para obter uma forma em que, substituindo o valor de x = a, obtenha como resultado
um número real.
3) Se não for possível manipular a função algebricamente, para eliminar a indeterminação, isso
significa que o limite não existe, ou seja,
f  x     ou f  x    
Se depois de substituir o valor de x = a, para o cálculo do limite lim
x a 
f  x
g  x
, encontrar como resultado
f  x
cte  0
  dependendo do sinal da função que zerou, ou seja, da função que está no
, então lim
0
x a  g  x 
denominador. Nesse caso, você deve estudar o sinal de g  x  e utilizar a regra de sinais no quociente, para
determinar se o limite é igual a +∞ ou -∞.
Agora, para determinar o limite lim
x 
f  x
g  x
, onde f  x  e g  x  são polinômios, o procedimento é dividir o
numerador e o denominador pelo termo de maior expoente, simplificar e calcular o limite da função obtida
depois da simplificação.
Se uma função tem um limite, ele geralmente pode se encontrado. Contudo, existem funções para as quais é
bastante complicado determinar o valor do limite. Nesse caso, se você dispuser de um programa gráfico
(Graphmatica, por exemplo), esboce o gráfico da função e verifique, a partir dele, se a função tem um
limite ou não.
Agora tente resolver os exercícios dados a seguir, para verificar se você compreendeu as idéias apresentadas
até aqui.
Profa. Lena Bizelli
Exercícios
Determine o valor do limite e, no caso dele não existir, verifique se a função tende para +∞ ou para -∞.
x2  5
x 2 x  3
5x
 6  2x
x 3
1) lim
2) lim
x 2  3x  10
x 5 x 2  10 x  25
6) lim
7) lim
x 1
x2  6 x  9
x 3
x 3
3) lim x x  3
4) lim
x 0
2x  8
x 4 x  x  12
5) lim
2
x 1
x 1
 x  1, x  3
, encontre o valor dos limites:
8) Sabendo que f  x   
3x  7, x  3
(a) lim f  x 
x 3
3x  5
x  6 x  8
9) lim
(c) lim f  x 
(b) lim f  x 
x 3
4x2  x
x  2 x 3  5
10) lim
x3
5 x3  2 x 2  1
x 
1  3x
11) lim
Algumas Respostas
1) 
1
5
2) -∞
3) Não existe
4) 0
5) 
2
7
6) f  x     quando x  5 e f  x     quando x  5
7) 2
8) (a) 2 (b) 2 (c) 2
9)
1
2
10) 0
11) -∞ (Neste caso, esboce o gráfico da função para obter o resultado)
Profa. Lena Bizelli