No linguagem do dia-a-dia, o termo “sucessão” significa um
sequência de coisas que acontecem numa ordem definida - ordem
cronológica, ordem de tamanho ou ordem lógica, por exemplo.
Matematicamente o termo “sucessão” é habitualmente usado para
descrever uma sequência de números cuja ordem é determinada
por uma regra ou função.
Métodos Matemáticos I
Capı́tulo 5
Séries Numéricas
Nesta secção irei abordar alguns dos conceitos mais básicos sobre
sucessões.
2006/2007
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Definição
Chama-se sucessão de números reais a qualquer aplicação u do
conjunto N, dos naturais, em R, a qual pode ser representada por
(un )n∈N , (un )n ou simplesmente por (un ). A un chama-se termo
geral da sucessão.Ao contradomı́nio chama-se conjunto dos termos
da sucessão.
Exemplos
1. u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un
por recorrência.
n ≥ 1 - sucessão definida
2. 1, 2, 3, 4, ...
3. 1, 12 , 13 , 14 , ...
Nota: Podem-se definir sucessões sem explicitar o termo geral. É o
caso da definição por recorrência.
Por vezes dão-se apenas alguns termos da sucessão que induzem o
leitor a “inferir”os restantes uma vez que os termos dados sugerem
um “padrão”
4. un =
3
n
n+1
4
Exercı́cio
Considere a sucessão de termo geral: un =
Definição
n
n+1 .
Um subsucessão de u = (un )n∈N é uma sucessão que se obtém da
primeira por supressão de alguns termos.
1. Escreva os dois primeiros termos da sucessão e o termo de
ordem 21.
Sol. u1 = 12 u2 = 23 u21 = 21
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Exemplo
Consideremos a sucessão (un )n∈N tal que un = (−1)n .
Este termo geral pode representar-se por
−1, se n ı́mpar
un =
1,
se n par
2. Escreva o termo de ordem n + 3.
n+3
Sol. un+3 = (n+3)+1
= n+3
n+4 .
3. Verifique que 0, 9 é termo da sucessão e que 5 não é termo da
sucessão.
n
Sol. n+1
= 0, 9 ⇔ n = 9. Então pode concluir-se que 0, 9 é
termo da sucessão.
É o termo de ordem 9.
n
5
n+1 = 5 ⇔ n = − 4 que não é um número natural. Logo 5
não é termo da sucessão.
Esta sucessão pode “decompor-se”nas duas seguintes
subsucessões:
A dos termos de ordem ı́mpar −1, −1, −1, ...
A dos termos de ordem par 1, 1, 1, ...
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Definição
A sucessão (un ) é crescente ( em sentido estrito ) se e somente se,
para todo o n ∈ N, un+1 > un .
Simbolicamente
(un ) crescente em sentido estrito ⇔ ∀n ∈ N, un+1 > un
Observação
Definição
Um conceito mais amplo de monotonia - monotonia em sentido
lato - admite também a igualdade entre alguns termos. Assim,
A sucessão (un ) é decrescente ( em sentido estrito ) se e somente
se, para todo o n ∈ N, un+1 < un .
Simbolicamente
(un ) decrescente em sentido estrito ⇔ ∀n ∈ N, un+1 < un
(un ) crescente em sentido lato ⇔ ∀n ∈ N, un+1 ≥ un
(un ) decrescente em sentido lato ⇔ ∀n ∈ N, un+1 ≤ un
Definição
A sucessão (un ) é monótona ( em sentido estrito ) se e somente
se, para todo o n ∈ N for crescente (em sentido estrito) ou para
todo o n ∈ N for decrescente (em sentido estrito)
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Definição
Uma sucessão (un ) diz-se limitada se o conjunto dos seus termos é
limitado, isto é, quando existem números reais a, b tais que
a ≤ un ≤ b para todo o n ∈ N. Isto quer dizer que todos os termos
da sucessão pertencem ao intervalo [a, b].
Exemplos
1. un = n + 1 é estritamente crescente.
2. vn =
3. tn =
1
n
é estritamente decrescente.
(−1)n
Note-se que a condição anterior é equivalente à seguinte:
− 2n é decrescente em sentido lato.
(un ) é limitada ⇔ ∃c > 0 : ∀n ∈ N, |un | < c.
4. bn = (5 − n)2 é não monótona.
Definição
Quando uma sucessão (un ) não é limitada, diz-se que ela é
ilimitada.
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Definição
Uma sucessão (un ) diz-se limitada superiormente quando existe um
número real b tal que un ≤ b para todo o n ∈ N.
Exemplos
1. un = n2 é limitada inferiormente, mas não superiormente.
Definição
2. un = −n é limitada superiormente, mas não inferiormente.
Uma sucessão (un ) diz-se limitada inferiormente quando existe um
número real a tal que un ≥ a para todo o n ∈ N.
3. un = (−n)n não é limitada superiormente nem inferiormente.
4. un = sin(n) é limitada.
Uma sucessão diz-se limitada se, e somente se, é limitada superior
e inferiormente.
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Monotonia de uma progressão geométrica
Definição
Da definição resulta que uma progressão geométrica (un ) em que
u1 = 0 e
Uma sucessão (un ) é uma progressão geométrica se e somente se
existe um número real r , tal que:
un+1
= r , ∀n ∈ N.
un
r > 1 é monótona crescente ou decrescente, conforme u1 > 0
ou u1 < 0.
r = 1 é monótona constante ( todos os termos são iguais ao
primeiro ).
0 < r < 1 é monótona decrescente ou crescente, conforme
u1 > 0 ou u1 < 0.
r = 0 é uma sucessão com todos os termos nulos a partir do
primeiro.
r < 0 é não monótona ( os termos são alternadamente
positivos e negativos ).
Ao número r chama-se razão da progressão geométrica.
Termo geral de uma progressão geométrica
un = u1 r n−1
∀n ∈ N
onde u1 é o primeiro termo e r é a razão da progressão geométrica.
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Exemplo
Suponha que dispõe de uma figura com 20cm de largura e que ao
longo da animação (em cada segundo ) a figura aumenta em 5%
as dimensões da figura anterior. Ao fim de 10 segundos qual é a
largura da figura ?
Soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica
Se r = 1 a soma dos n primeiros termos vem:
Resolução:
A largura inicial é de 20cm, consideremos u1 = 20.
Ao fim de 1 segundo a largura é u2 = 20 + 0.05 × 20 = 21cm.
Ao fim de 2 segundos a largura é de
u3 = 20 × 1, 05 + 0, 05 × 20 × 1, 05 = 22, 05cm
Sn = u1
1 − rn
1−r
Se r = 1 então un = u1 1n−1 e Sn = nu1 .
Ao fim de n segundos a largura é un+1 = 20 × 1, 05n .Passados 10
segundos terá u11 = 20 × 1, 051 0 ≈ 32.58
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Definição
Diz-se que uma sucessão (un ) é um infinitamente grande positivo e
escreve-se un → +∞ se e somente se, qualquer que seja o número
positivo M, existe uma ordem p a partir da qual todos os termos
da sucessão são maiores que M.
Um estudante vai alugar um apartamento por 200 euros por mês
sendo a renda aumentada anualmente de 5%. Quanto pagará de
aluguer durante cinco anos ?
Definição
Diz-se que uma sucessão (un ) é um infinitamente grande negativo
e escreve-se un → −∞ se e somente se,(−un ) é um infinitamente
grande positivo.
Sol. Aproximadamente 13262 euros.
Definição
Diz-se que uma sucessão (un ) é um infinitamente grande positivo
em módulo e escreve-se un → ∞ se e somente se, a sucessão (|un |)
for um infinitamente grande positivo.
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Definição
Uma sucessão (un ) converge para um número real L, ou tende para
L e escreve-se un → L ou lim un = L, se e somente se, para todo o
número positivo δ, existe um número natural p tal que, qualquer
que seja o número natural n, se n > p, então |un − L| < δ.
Teorema
Se (un ) é um infinitamente grande, então ( u1n ) é um infinitésimo.
Teorema
Classificação das sucessões
Se (un ) é um infinitésimo, então ( u1n ) é um infinitamente grande.
Quanto à natureza e existência de limite as sucessões
classificam-se em convergentes e divergentes.
As sucessões que tendem para um número real são convergentes.
As que não são convergentes dizem-se divergentes.
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Teoremas sobre sucessões convergentes
Exemplos
1. Se a sucessão (un ) é convergente então não pode tender para
dois números diferentes.
2. Toda a sucessão constante é convergente: tem por limite a
própria constante.
3. Toda a subsucessão de uma sucessão convergente tende para
o mesmo limite.
4. Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
5. Toda a sucessão convergente é limitada.
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Como as sucessões são funções as propriedades dos limites são
semelhantes às das funções . Vejamos algumas dessas
propriedades:
Sejam lim an = L e lim bn = K e c ∈ IR então:
n→∞
n→∞
• lim [an ± bn ] = L ± K
• lim c · an = c · L
• lim (an · bn ) = L · K
• lim
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
an
L
= , bn = 0, K = 0
bn
K
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A sucessão de termo geral an = 3 + (−1)n é divergente.
n
A sucessão de termo geral bn =
é convergente e
1 − 2n
1
converge para 12 pois lim bn =
n→+∞
2
n
A sucessão de termo geral 1 + n1 é convergente e converge
para o número e. Assim,
1 n
lim
1+
=e
n→+∞
n
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