Representação decimal de números racionais
A representação decimal de um número racional, p/q, é obtida recorrendo ao
algoritmo da divisão.
Exemplo:
19
= 1.1875
16
(Dízima finita)
A divisão termina com resto 0 ao fim de um número finito de passos, fornecendo uma
representação finita e exacta para o número 19/16.
Na generalidade dos casos a divisão de dois inteiros p e q arrasta-se indefinidamente
sem nunca se obter resto igual a 0.
Neste caso uma representação decimal exacta para o número p/q só é possível se
considerarmos dizimas infinitas como o resultado limite de uma divisão continuada
indefinidamente.
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Representação decimal de números racionais
Exemplo:
349
= 31.727272... = 31.(72)
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(Dízima infinita periódica )
Todo o número racional, p/q, é representado por uma dízima finita ou infinita
periódica.
Reciprocamente, toda a dízima finita ou infinita periódica é representada como uma
fracção p/q (p, q inteiros).
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Representação decimal de números reais
Todo o número real pode ser representado no sistema decimal por uma parte inteira
seguida de uma dízima infinita.
Seja x ∈IR.
Notação científica:
x = ±0.a1a2 L an L × 10t
Se a1≠ 0, o número diz-se normalizado.
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Tipos de erros num processo de cálculo
Erros inerentes:
Os dados e parâmetros dum problema são muitas vezes resultados de medições
experimentais, e portanto afectados de alguma incerteza.
Impossibilidade de representar exactamente certas constantes matemáticas.
Erros do método:
Resultam do uso de fórmulas.
Erro computacional:
É devido ao facto de o computador usar apenas um número finito de dígitos para
representar os números reais
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Erro absoluto e erro relativo
Seja X o valor exacto duma grandeza real e
eX = X − X
δX =
X−X
,X ≠0
X
100 δ X
X uma aproximação de X
.
Erro absoluto
Erro relativo
(expresso em percentagem ) Percentagem de erro
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Erro absoluto e erro relativo
Exemplo: Considere os números X =
1
1
e as aproximações
eY=
3
3000
X = 0.3333 e Y = 0.0003
Verifique que X e Y
mesmo erro absoluto.
são valores aproximados de X e Y, respectivamente, com o
Determine as percentagens de erro em cada um dos casos. Comente.
Observação: Em geral, apenas o valor X
é conhecido, e neste caso é impossível
obter o valor exacto do erro absoluto. O que se faz é obter um limite superior ou uma
estimativa para o erro absoluto.
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Erro absoluto e erro relativo
Exemplo: Sabendo-se que π ∈ ]3.14,3.15[ tomaremos para π
deste intervalo. Determine um limite superior para o erro absoluto.
um valor dentro
Exemplo: Sejam X e Y números reais representados por
X = 2112.9 e Y = 5.3, respectivamente, de tal forma que
e X < 0.1 e eY < 0.1
Determine os intervalos de números reais a que pertencem estes números.
Determine
δ X e δ Y . Comente os resultados.
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