PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo A (Inf) - Profa. Dra. Virgínia M. Rodrigues
Limites
*** Leia sobre este tópico no livro-texto, seções 2.1 e 2.2.***
Consideremos uma função y= f  x.
1)
Se f for definida num intervalo aberto contendo um número real a, exceto possivelmente em
x=a (ou seja, f pode não existir em x=a), dizemos que um número real L é o limite de
f(x) quando x tende para a, e escrevemos
lim f  x=L ,
xa
se ...........................................................................................................................................
Se os valores de f(x) crescem (decrescem) ilimitadamente quando x tende para a,
escrevemos
lim f  x=∞
xa
2)
lim f  x=−∞
xa
Se f for definida “à direita” de um número real a, exceto possivelmente em x=a (ou seja, f
é definida em um intervalo a , b podendo ou não existir em x=a), dizemos que um número
real L é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita, e escrevemos
lim f  x=L ,
x  a
se ...........................................................................................................................................
Se os valores de f(x) crescem (decrescem) ilimitadamente quando x tende para a pela
direita, escrevemos
lim f  x=∞
xa
3)

 lim f  x=−∞
xa

Se f for definida “à esquerda” de um número real a, exceto possivelmente em x=a (ou
seja, f é definida em um intervalo b , a  podendo ou não existir em x=a), dizemos que um
número real L é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda, e escrevemos
lim f  x= L ,
x a
−
se ...........................................................................................................................................
Se os valores de f(x) crescem (decrescem) ilimitadamente quando x tende para a pela
esquerda, escrevemos
lim f  x=∞
x  a−
Teorema:
lim f  x= L
xa
⇔
lim f  x=∞
⇔
lim f  x=−∞
⇔
xa
xa
 lim f  x=−∞
x  a−
lim f  x= L e lim f  x=L ,
x  a
x  a−
lim f  x=∞ e lim f  x=∞ ,
xa
x  a
−
lim f  x =−∞ e lim f  x =−∞ .
xa

xa
−
4)
Se f for definida em um intervalo ilimitado à direita (ou seja, da forma a ,∞ ), dizemos
que um número real L é o limite de f(x) quando x tende para ∞ e escrevemos
lim f  x= L ,
x ∞
se ...........................................................................................................................................
Se os valores de f(x) crescem (decrescem) ilimitadamente quando x tende para ∞ ,
escrevemos
lim f  x=∞
x ∞
5)
 lim f  x=−∞
x ∞
Se f for definida em um intervalo ilimitado à esquerda (ou seja, da forma −∞ , b ),
dizemos que um número real L é o limite de f(x) quando x tende para −∞ e escrevemos
lim f  x= L ,
x −∞
se ...........................................................................................................................................
Se os valores de f(x) crescem (decrescem) ilimitadamente quando x tende para −∞ ,
escrevemos
lim f  x=∞
x −∞
 lim f  x=−∞
x −∞
Def:
(i) Uma reta horizontal y=L é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se
\
(ii) Uma reta vertical x=a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se
Teorema:
Se lim f  x= L1 e lim g  x= L2 , onde L1 , L2 ∈ℝ e os limites são calculados ao x
tender para um número (lateralmente ou não) ou para infinito, então:
(a)
lim [ f  xg  x]=
(b)
lim [cf  x]=
(c)
lim [ f  x g  x]=
(d)
lim [
(e)
lim  f  xn=
(f)
lim  f  x=
(g)
lim ∣ f  x∣=
f  x
]=
g  x
n