Variáveis Aleatórias Discretas
Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello
UFES – Universidade Federal do Espı́rito Santo
DI – Departamento de Informática
CEUNES – Centro Universitário Norte do Espı́rito Santo
DCEL – Departamento de Computação e Eletrônica
Variáveis Aleatórias Discretas
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Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória (VA – random variable)
Uma variável quantitativa cujo resultado (valor) depende de
fatores aleatórios.
Exemplos
a
b
Número de coroas obtidas ao se lançar 2 moedas.
Número de defeitos em uma amostra retirada aleatoriamente
de um lote.
c
Número de visitas em um site num certo perı́odo de tempo.
d
Tempo de resposta de um servidor web.
Variáveis Aleatórias Discretas
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Variáveis Aleatórias
Definição Formal
Uma variável aleatória X é uma função que associa elementos do
espaço amostral ao conjunto dos números reais.
Assinatura: X : Ω → R.
Exemplo
X : número de coroas obtidas ao se lançar 2 moedas – item (a).
Ω = {(H, H), (H, T ), (T , H), (T , T )}
X:
0
Variáveis Aleatórias Discretas
1
2
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Tipos de Variáveis Aleatórias
Discretas
Resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável.
Exemplos: itens (b) e (c).
0
1
2
3
4
número de defeitos/visitas em ...
Contı́nuas
Resultados abrangem um intervalo dos números reais.
Exemplo: item (d).
0
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tempo de resposta de...
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Notação
Probabilidade: P : 2Ω → [0, 1].
VA contı́nua: X : Ω → R.
VA discreta: X : Ω → Z.
X = x define um subconjunto (evento) de Ω.
Formalmente usa-se X = x para representar X −1 (x ).
Logo, X = x define um evento.
Então, P(X = x ) é uma notação bem-definida.
Alternativamente usa-se P{X = x } (livro do Ross).
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Função de probabilidade – probability mass function
Seja X uma VA discreta com possı́veis valores x1 , x2 , . . .
A função de probabilidade p associa cada valor possı́vel xi à
sua probabilidade de ocorrência p(xi ), isto é:
p(xi ) = P(X = xi )
i = 1, 2, . . .
Assinatura: p : Z → [0, 1].
A função de probabilidade deve satisfazer as seguintes
condições:
p(xi ) > 0 i = 1, 2, . . .
p(x ) = 0 para todos os outros valores de x .
∞
X
p(xi ) = 1
.
i=1
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Distribuição de Probabilidade
Definir uma VA discreta ⇒ define o que pode ocorrer no
experimento aleatório. Tem-se:
quais resultados podem ocorrer; e
qual a probabilidade de cada resultado ocorrer (a função de
probabilidade p).
Exemplo
X : número obtido com um dado honesto
Valores possı́veis (x )
1
2
3
4
5
6
Variáveis Aleatórias Discretas
X : Ω → [1, 6].
Probabilidade p(x )
1
⁄6
1
⁄6
1
⁄6
1
⁄6
1
⁄6
1
⁄6
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Exemplo (cont.)
Pode-se escrever:
p(x ) = 1/6
x = 1, . . . , 6
.
Graficamente:
p(x )
1/6
1
Variáveis Aleatórias Discretas
2
3
4
5
6
x
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Função de Distribuição Acumulada
Definição
Descreve a probabilidade de ocorrer um valor até b:
F (b) = P(X ≤ b),
∀b ∈ R .
Assinatura: F : R → [0, 1].
b
Propriedades de F
a
F (b) é uma função não-decrescente de b.
b
limb→∞ F (b) = F (∞) = 1.
c
limb→−∞ F (b) = F (−∞) = 0.
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Função de Distribuição Acumulada (cont.)
Exemplo
X : número obtido na rolagem de um dado honesto.
F (x )
F (x ) =


0 se x < 1




1/6 se 1 ≤ x < 2





 2/6 se 2 ≤ x < 3
3/6
se 3 ≤ x < 4


4/6 se 4 ≤ x < 5





5/6 se 5 ≤ x < 6



 1
se x ≥ 6
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
1
Variáveis Aleatórias Discretas
2
3
4
5
6
x
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Função de Distribuição Acumulada (cont.)
Probabilidade de uma VA estar em um intervalo
Sabe-se que a < b ⇒ {X ≤ a} ⊆ {X ≤ b}.
Logo
P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
para todo a < b
.
Probabilidade estritamente menor que b
P(X < b) =
=
Variáveis Aleatórias Discretas
lim P(X ≤ b − h)
h→0+
lim F (b − h)
h→0+
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Medidas de Sı́ntese de Informação
Valor esperado de uma VA discreta
Seja X uma VA discreta com valores possı́veis xi
(i = 1, . . . , k) e função de probabilidade p(xi ).
A média ou valor esperado (expected value) de X é definida
como
µ = E [X ] =
k
X
xi · p(xi )
.
i=1
Em palavras: o valor esperado de X é a média ponderada dos
possı́veis valores de X , onde os pesos são as probabilidades
deste valores.
E é a média dos resultados para infinitos experimentos.
E não precisa ser um valor de X : centro de gravidade da
distribuição de probabilidade.
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Valor Esperado
Exemplo
Seja uma função de probabilidade definida como
p(1) =
1
= p(2)
2
,
então
1
1
3
+2· =
.
2
2
2
Ou seja, a média usual dos valores de X . Por outro lado, se
E [X ] = 1 ·
p(1) =
1
3
então
E [X ] = 1 ·
Variáveis Aleatórias Discretas
p(2) =
2
3
1
2
5
+2· =
3
3
3
,
.
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Variância
Definição
σ 2 = V (X ) = E [(X − E [X ])2 ]
=
k
X
(xi − µ)2 · p(xi )
i=1
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Variância
Alternativamente
V (X ) =
=
k
X
(xi − µ)2 · p(xi )
i=1
k
X
(xi2 − 2xi µ + µ2 ) · p(xi )
i=1
=
=
k
X
i=1
k
X
xi2
· p(xi ) − 2µ
k
X
xi · p(xi ) + µ
i=1
2
k
X
p(xi )
i=1
xi2 · p(xi ) − 2µ2 + µ2
i=1
= E [X 2 ] − µ2 = E [X 2 ] − (E [X ])2
Variáveis Aleatórias Discretas
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Desvio Padrão
Definição
σ = DP(X ) =
q
√
V (X ) =
σ2
Exemplo
X : número no dado
E [X ] = 1 ·
1
6
E [X 2 ] = 12 ·
91
6
+2·
1
6
p(x ) = 1/6 x = 1, . . . , 6
+3·
1
6
+4·
+ 22 · 16 + 32 ·
= 15.166 . . .
1
6
V (X ) = E [X 2 ] − (E [X ])2 =
Variáveis Aleatórias Discretas
91
6
1
6
−
1
6
+5·
+ 42 ·
7 2
2
=
1
6
35
12
+6·
1
6
+ 52 ·
1
6
1
6
=
21
6
+ 62 ·
= 3.5
1
6
=
= 2.9166 . . .
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Propriedades da Média e Variância
Seja c uma constante e X e Y VAs.
a) E [c] = c
b) E [X + c] = E [X ] + c
c) E [cX ] = cE [X ]
d) E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ]
e) E [X − Y ] = E [X ] − E [Y ]
f) V (c) = 0
g) V (X + c) = V (X )
h) V (cX ) = c 2 V (X )
i) DP(cX ) = |c|DP(X )
Prova de (b):
E [X + c] =
X
(xi + c) · p(xi )
i
=
X
xi · p(xi ) + c
i
X
p(xi )
i
= E [X ] + c
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Propriedades da Média e Variância – Gráficos
p(x )
p(y )
Y =X +c
X
y
x
E [X ]
p(z)
E [X ] + c
Z = cX
z
cE [X ]
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VAs Independentes
Definição
Dados quaisquer conjuntos E1 , . . . , En e VAs X1 , . . . , Xn , as
variáveis são independentes se e somente se
P(X1 ∈ E1 , . . . , Xn ∈ En ) = P(X1 ∈ E1 ) × . . . × P(Xn ∈ En ) .
Propriedades
Se X e Y são VAs independentes, então para quaisquer funções g
e h:
E [g(X ) · h(Y )] = E [g(X )] · E [h(Y )] e
V (X + Y ) = V (X ) + V (Y )
V (X − Y ) = V (X ) − V (Y )
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