Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Aplicações do R
na Inferência Estatı́stica
Silvano Cesar da Costa
Departamento de Estatı́stica
Universidade Estadual de Londrina
10 de maio de 2013
Variáveis Aleatórias Discretas
Tópicos a serem abordados
I Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Tópicos a serem abordados
I Variáveis Aleatórias Discretas
I Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Tópicos a serem abordados
I Variáveis Aleatórias Discretas
I Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Modelo Binomial;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Modelo Binomial;
Modelo Poisson;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Modelo Binomial;
Modelo Poisson;
Modelo Geométrico;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Modelo Binomial;
Modelo Poisson;
Modelo Geométrico;
Modelo Hipergeométrico.
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Principais Modelos Discretos
Modelo Bernoulli;
Modelo Binomial;
Modelo Poisson;
Modelo Geométrico;
Modelo Hipergeométrico.
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Bernoulli
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Bernoulli
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I O experimento é realizado uma única vez;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Bernoulli
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I O experimento é realizado uma única vez;
I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou
Fracasso.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Bernoulli
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I O experimento é realizado uma única vez;
I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou
Fracasso.
A função de probabilidade é dada por:
P(Y = yi ) = p yi (1 − p)1−yi ,
yi = 0, 1.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Bernoulli
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I O experimento é realizado uma única vez;
I A variável resposta tem dois resultados possı́veis: Sucesso ou
Fracasso.
A função de probabilidade é dada por:
P(Y = yi ) = p yi (1 − p)1−yi ,
yi = 0, 1.
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre
constante e igual a p;
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre
constante e igual a p;
I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0
e n.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre
constante e igual a p;
I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0
e n.
A função de probabilidade é dada por
n y
P(Y = y ) =
p (1 − p)n−y ,
y = 0, 1, . . . , n.
y
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre
constante e igual a p;
I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0
e n.
A função de probabilidade é dada por
n y
P(Y = y ) =
p (1 − p)n−y ,
y = 0, 1, . . . , n.
y
I Notação: Y ∼ Bin(n, p).
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Realização de uma série de n experimentos independentes de
Bernoulli;
I A probabilidade de sucesso em cada experimento é sempre
constante e igual a p;
I O número de sucessos observado é um número inteiro entre 0
e n.
A função de probabilidade é dada por
n y
P(Y = y ) =
p (1 − p)n−y ,
y = 0, 1, . . . , n.
y
I Notação: Y ∼ Bin(n, p).
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
> rownames(moedas) = 0:5
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e
menor que 5?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e
menor que 5?
> sum(dbinom(2:4, 5, 0.5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Usando o R
Uma moeda é lançada cinco vezes. Qual a probabilidade de se
obter duas caras?
> dbinom(2, size=5, prob=0.5)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> moedas = data.frame(Pr=dbinom(0:5, size=5, prob=0.5))
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Qual a probabilidade do número de caras ser maior que 1 e
menor que 5?
> sum(dbinom(2:4, 5, 0.5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
Função de Distribuição
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
> (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
> (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE))
> moedas = data.frame(Acum)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
> (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
> (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Gráfico da Função de Probabilidade
> plot(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), xlab=’Número de
Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=, type=”h”, las=1,
bty=’l’)
> points(0:5, dbinom(0:5, size=5, prob=0.5), pch=19,
col=’blue’)
Função de Distribuição
> (Acum = pbinom(0:5, size=5, prob=0.5, lower.tail=TRUE))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
Gráfico da distribuição de probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
Gráfico da distribuição de probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
Gráfico da distribuição de probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Gráfico da distribuição de probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Gráfico da distribuição de probabilidade
> plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)),
xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”s”, las=1, bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Gráfico da distribuição de probabilidade
> plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)),
xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”s”, las=1, bty=’l’)
> points(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)),
pch=19, col=’blue’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Binomial
Função de Distribuição
> (Acum = cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)))
> moedas = data.frame(Acum)
> rownames(moedas) = 0:5
> moedas
Gráfico da distribuição de probabilidade
> plot(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)),
xlab=’Número de Sucessos’, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”s”, las=1, bty=’l’)
> points(0:5, cumsum(dbinom(0:5, size=5, prob=0.5)),
pch=19, col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a
informação sobre o número de ocorrências em um intervalo
nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a
informação sobre o número de ocorrências em um intervalo
nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) =
e −λ λy
,
y!
y = 0, 1, . . .
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a
informação sobre o número de ocorrências em um intervalo
nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) =
e −λ λy
,
y!
I Notação: Y ∼ Poi(λ).
y = 0, 1, . . .
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a
informação sobre o número de ocorrências em um intervalo
nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) =
e −λ λy
,
y!
y = 0, 1, . . .
I Notação: Y ∼ Poi(λ).
I λ é igual ao número médio de ocorrências do evento.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto
é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do
tempo;
I intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a
informação sobre o número de ocorrências em um intervalo
nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) =
e −λ λy
,
y!
y = 0, 1, . . .
I Notação: Y ∼ Poi(λ).
I λ é igual ao número médio de ocorrências do evento.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
> rownames(nao.imunes) = 0:10
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
> rownames(nao.imunes) = 0:10
> nao.imunes
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
> rownames(nao.imunes) = 0:10
> nao.imunes
Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser
maior que 5 e menor que 10?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
> rownames(nao.imunes) = 0:10
> nao.imunes
Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser
maior que 5 e menor que 10?
> sum(dpois(6:9, lambda=5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a
0, 001 de não imunizar um animal. Se forem vacinados cinco
mil animais, qual a probabilidade de não ficarem imunes:
a) seis animais
> dpois(6, lambda=5)
b) dois animais ou mais
> 1-sum(ppois(0:1, lambda=5))
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> nao.imunes = data.frame(Pr=dpois(0:10, lambda=5))
> rownames(nao.imunes) = 0:10
> nao.imunes
Qual a probabilidade do número animais não imuzinados ser
maior que 5 e menor que 10?
> sum(dpois(6:9, lambda=5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10)
> axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10)
> axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1)
> box(bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> nao.imunes = 0:10
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5),
xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades”, axes=“F”, main=’ ’, col=’blue’,
type=“h”)
> points(nao.imunes, dpois(nao.imunes, lambda=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10)
> axis(2, seq(0, 0.18, .03), las=1)
> box(bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’))
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’))
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’))
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1)
> box(bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Poisson
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> nao.imunes = 0:10
> naoimunes.acum = data.frame(Pr = ppois(nao.imunes,
lambda=5))
> rownames(naoimunes.acum) = 0:10
> cbind(naoimunes.acum)
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> F = ppois(nao.imunes, lambda=5)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(nao.imunes, F, xlab=“Número de Animais Não Imunes”,
ylab=“Probabilidades Acumuladas”, main=”, type=“S”,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1, bty=’l’, axes=’F’))
> abline(h=0, col=’gray’, cex=2)
> axis(1, 0:10) ; axis(2, seq(0, 1, .05), las=1)
> box(bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
I as tentativas são sucessivas e independentes, com
probabilidade de sucesso p;
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
I as tentativas são sucessivas e independentes, com
probabilidade de sucesso p;
I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
I as tentativas são sucessivas e independentes, com
probabilidade de sucesso p;
I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1
y = 1, 2, . . .
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
I as tentativas são sucessivas e independentes, com
probabilidade de sucesso p;
I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1
I Notação: Y ∼ G (p).
y = 1, 2, . . .
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I Y é o número de tentativas necessárias para obter o primeiro
sucesso;
I as tentativas são sucessivas e independentes, com
probabilidade de sucesso p;
I experimento realizado até que ocorra o primeiro sucesso.
A função de probabilidade é dada por
P(Y = y ) = p × (1 − p)y −1
I Notação: Y ∼ G (p).
y = 1, 2, . . .
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y) = 0:30
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y) = 0:30
> Y
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito
numa esquina é 0, 20. Qual a probabilidade de que seja
necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
a) P(Y = 5) = 0, 20 × (1 − 0, 20)5
> dgeom(5, prob=0.20)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> Y = data.frame(Pr=dgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y) = 0:30
> Y
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número
de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’,
lwd=1.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número
de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’,
lwd=1.5)
> points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número
de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’,
lwd=1.5)
> points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Y = 0:30
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, dgeom(Y, prob=0.20), type=’h’, las=1, xlab=’Número
de Tentativas’, ylab=’Probabilidades’, bty=’l’, col=’blue’,
lwd=1.5)
> points(Y, dgeom(Y, prob=0.20), pch=16, col=’blue’, cex=.5)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
> Y.acum
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
> Y.acum
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
> Y.acum
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
> Y.acum
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, pgeom(Y, prob=0.20), type=’S’, xlab=’Número de
Tentativas’, ylab=’Probabilidade Acumulada’, bty=’l’,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Geométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> Y.acum = data.frame(Pr = pgeom(0:30, prob=0.20))
> rownames(Y.acum) = 0:30
> Y.acum
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Y, pgeom(Y, prob=0.20), type=’S’, xlab=’Número de
Tentativas’, ylab=’Probabilidade Acumulada’, bty=’l’,
col=’blue’, lwd=1.5, las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Hipergeométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência
e se baseia em amostragem feita sem reposição.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência
e se baseia em amostragem feita sem reposição.
A função de probabilidade é dada por:
m n−m
P(Y = k) =
k
r −k
n
r
,
k = 0, 1, . . . , min(r , m)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência
e se baseia em amostragem feita sem reposição.
A função de probabilidade é dada por:
m n−m
P(Y = k) =
k
r −k
n
r
,
k = 0, 1, . . . , min(r , m)
I Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo
tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto
contendo dois tipos de objetos.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Função de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I a distribuição hipergeométrica não necessita de independência
e se baseia em amostragem feita sem reposição.
A função de probabilidade é dada por:
m n−m
P(Y = k) =
k
r −k
n
r
,
k = 0, 1, . . . , min(r , m)
I Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo
tipo, retirados ao acaso e sem reposição, de um conjunto
contendo dois tipos de objetos.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 4:6
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 4:6
> YY
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
A notação usada no R é:
P(Y = k) =
m
x
n
k−x
m+n
k
Usando o R
Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da
mega-sena?
6
5
54
1
60
6
a) P(Y = 5) =
> dhyper(x=5, m=6, n=54, k=6)
Calculando todas as probabilidades e melhorando a saı́da:
> YY = data.frame(Pr=dhyper(4:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 4:6
> YY
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Probabilidades da Mega-sena
Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8
números?
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Probabilidades da Mega-sena
Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8
números?
> dhyper(5, m=6, n=54, k=8)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Probabilidades da Mega-sena
Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8
números?
> dhyper(5, m=6, n=54, k=8)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5),
xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5),
xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’)
> points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16,
col=’blue’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5),
xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’)
> points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5),
xlab=”Número de Acertos”, ylab=”Probabilidades”, main=,
type=”h”, bty=’l’, las=1, col=’blue’)
> points(Acertos, dhyper(Acertos, m=6, n=54, k=5), pch=16,
col=’blue’)
> abline(h=0, col=’gray’, cex=1.5)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Acertos = 0:6
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos)))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Acertos = 0:6
> Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos)))
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
>
>
>
>
Acertos = 0:6
Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos)))
par(mai=c(1, 1, .2, .2))
plot(Acertos[-1], phyper(Acertos, m=6, n=54,
k=5)[-length(Acertos)], xlab=”Número de Acertos”,
ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”,
col=’blue’, lwd=1.5, bty=’l’, las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Hipergeométrico
Usando o R
Tabela de Distribuição de Probabilidade Acumulada
> YY = data.frame(Pr = phyper(0:6, m=6, n=54, k=6))
> rownames(YY) = 0:6
> YY
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
>
>
>
>
Acertos = 0:6
Acertos = rep(Acertos, rep(2, length(Acertos)))
par(mai=c(1, 1, .2, .2))
plot(Acertos[-1], phyper(Acertos, m=6, n=54,
k=5)[-length(Acertos)], xlab=”Número de Acertos”,
ylab=”Probabilidades Acumuladas”, main=, type=”l”,
col=’blue’, lwd=1.5, bty=’l’, las=1)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Principais Modelos Contı́nuos
Modelo Uniforme;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Principais Modelos Contı́nuos
Modelo Uniforme;
Modelo Exponencial;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Principais Modelos Contı́nuos
Modelo Uniforme;
Modelo Exponencial;
Modelo Logı́stico;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Principais Modelos Contı́nuos
Modelo Uniforme;
Modelo Exponencial;
Modelo Logı́stico;
Modelo Normal;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Principais Modelos Contı́nuos
Modelo Uniforme;
Modelo Exponencial;
Modelo Logı́stico;
Modelo Normal;
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
I f (y ) → 0 quando y → ±∞.
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
I f (y ) → 0 quando y → ±∞.
I o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ.
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I
I
I
I
f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
f (y ) → 0 quando y → ±∞.
o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ.
os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I
I
I
I
f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
f (y ) → 0 quando y → ±∞.
o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ.
os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ.
A função densidade de probabilidade é dada por:
f (y ) = √
1
2πσ 2
1
−
e 2
y −µ
σ
2
, para − ∞ < Y < ∞.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I
I
I
I
f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
f (y ) → 0 quando y → ±∞.
o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ.
os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ.
A função densidade de probabilidade é dada por:
f (y ) = √
1
2πσ 2
1
−
e 2
y −µ
σ
I Notação: Y ∼ N(µ, σ 2 ).
2
, para − ∞ < Y < ∞.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Função Densidade de Probabilidade
Principais caracterı́sticas:
I
I
I
I
f (y ) é simétrica em relação à media (µ);
f (y ) → 0 quando y → ±∞.
o valor de máximo de f (y ) se dá para y = µ.
os pontos de inflexão da função são: y = µ ± σ.
A função densidade de probabilidade é dada por:
f (y ) = √
1
2πσ 2
1
−
e 2
y −µ
σ
I Notação: Y ∼ N(µ, σ 2 ).
2
, para − ∞ < Y < ∞.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Z
1,70
a) P(Y < 1, 70 m) =
−∞
1
p
2π(0, 15)2
1
e 2
−
y − 1, 75
0, 15
2
dy
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Z
1,70
a) P(Y < 1, 70 m) =
−∞
1
p
2π(0, 15)2
1
e 2
−
y − 1, 75
0, 15
2
> pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
dy
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Z
1,70
a) P(Y < 1, 70 m) =
−∞
1
p
2π(0, 15)2
1
e 2
−
y − 1, 75
0, 15
2
> pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
b) P(1, 70 < Y < 1, 85)
dy
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Z
1,70
a) P(Y < 1, 70 m) =
−∞
1
p
2π(0, 15)2
1
e 2
−
y − 1, 75
0, 15
2
dy
> pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
b) P(1, 70 < Y < 1, 85)
> pnorm(c(1.85), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
A estatura média dos alunos da UEL é de µ = 1, 75 m e
desvio padrão σ = 0, 15 m. Assumindo-se que a variável
estatura (Y ) seja normalmente distribuı́da, calcule a
probabilidade de um aluno aleatoriamente selecionado ter
estatura inferior a 1, 70 m.
Z
1,70
a) P(Y < 1, 70 m) =
−∞
1
p
2π(0, 15)2
1
e 2
−
y − 1, 75
0, 15
2
dy
> pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
b) P(1, 70 < Y < 1, 85)
> pnorm(c(1.85), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE) pnorm(c(1.70), mean=1.75, sd=0.15, lower.tail=TRUE)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”,
col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”,
col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
> abline(h=0, col=”gray”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, dnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Densidades”, main=, type=”l”,
col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
> abline(h=0, col=”gray”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”,
main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”,
main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
> abline(h=0, col=”gray”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Usando o R
Gráfico da Função de Distribuição de Probabilidade
> Estaturas = seq(1.256, 2.244, length.out=100)
> par(mai=c(1, 1, .2, .2))
> plot(Estaturas, pnorm(Estaturas, mean=1.75, sd=0.15),
xlab=”Estaturas (m)”, ylab=”Probabilidades Acumuladas”,
main=, type=”l”, col=’blue’, lwd=2, las=1, bty=’l’)
> abline(h=0, col=”gray”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
> colnames(zc) = 0:9
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
> colnames(zc) = 0:9
> rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4),
sep=“ ”)
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
> colnames(zc) = 0:9
> rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4),
sep=“ ”)
> zc
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
> colnames(zc) = 0:9
> rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4),
sep=“ ”)
> zc
> xtable(zc, caption=”Probabilidades p = P[0 ≤ Z ≤ Zt ] da
Distribuição Normal padrão com valores de Zt dados nas
margens da tabela”, dig=c(1,rep(5,ncol(zc))))
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contı́nuas
Modelo Normal
Construção da Tabela da Normal Usando o R
> x = seq(0, 3.99, by=0.01)
> zc = pnorm(x) - 0.5
> zc = matrix(zc, nc=10, byrow=T)
> colnames(zc) = 0:9
> rownames(zc) = paste(rep(0:3,each=10), ”,”, rep(0:9,4),
sep=“ ”)
> zc
> xtable(zc, caption=”Probabilidades p = P[0 ≤ Z ≤ Zt ] da
Distribuição Normal padrão com valores de Zt dados nas
margens da tabela”, dig=c(1,rep(5,ncol(zc))))