UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA
ANDRÉ DE LIMA ALVES
O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO
DO TEMPO
CAMPINA GRANDE
2014
ANDRÉ DE LIMA ALVES
O RELÓGIO ATÔMICO: UMA ANÁLISE DA FÍSICA ATÔMICA NA MEDIÇÃO
DO TEMPO
Monografia apresentada à banca examinadora do
Departamento de Física da Universidade Estadual
da Paraíba, em cumprimento ao Trabalho de
Conclusão de Curso (TCC), como exigência para
obtenção do grau de Licenciado em Física.
Orientadora: Profa Dra Tâmara Pereira Ribeiro de
Oliveira Lima e Silva / UEPB
CAMPINA GRANDE
2014
À minha família que, com muito carinho e apoio,
não mediram esforços para que eu chegasse até
esta etapa de minha vida, DEDICO.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço à minha orientadora, Profa Tâmara, pelo apoio, confiança e
empenho dedicado à elaboração deste trabalho.
À minha mãe dona Ana, pelo amor, incentivo e apoio incondicional nas horas difíceis.
Ao meu pai Severino Cassimiro, In memoriam; sua presença significou segurança e a
certeza de que não estou sozinho nessa caminhada e, apesar de todas as dificuldades, me
fortaleceu; você foi, em todos os momentos da minha vida, o meu maior mestre.
A meus irmãos Aelson e Adriano, pela alegria e felicidade que vocês me
proporcionam em todos os momentos. Aelson obrigado pela ajuda nas figuras.
A todos os meus familiares por acreditarem em mim, muito obrigado pela força e
carinho que todos vocês me transmitem.
À minha namorada Adriele, obrigado pela paciência e compreensão durante todos
esses semestres, obrigado por sua capacidade de me trazer paz na correria do dia-a-dia, com
você tenho me sentido vivo de verdade.
Aos meus amigos que conquistei no curso (aqui não comento o nome de todos para
não correr o risco de esquecer algum), por todos os momentos que passamos juntos ao longo
dessa vida acadêmica. A experiência adquirida com vocês foi única.
A meu amigo Sebastião Pinto, amizade construída durante o curso; aquele livro de
física que peguei com você não devolverei nem que você se converta.
Ao Professor Rafael (UFCG-Cuité), pela ajuda frequente no transcorrer do curso.
À professora Diana, diretora do colégio em que trabalho, pela confiança repassada
para assumir uma sala de aula; essa experiência que tive foi muito importante em minha
formação.
À turma do 3ºA (2012), turma em que ministrei minha primeira aula; aprendi muito
com vocês.
A todos os professores e funcionários da Universidade Estadual da Paraíba, que
oportunizaram a janela de onde hoje vislumbro um horizonte superior.
“O oposto de uma afirmação correta é uma
afirmação falsa. Mas o oposto de uma verdade
profunda pode ser outra verdade profunda".
Niels Bohr.
RESUMO
Desde a invenção do laser, suas aplicações na ciência e tecnologia foram ser tornando
cada vez mais importantes. Atualmente o laser, um dispositivo cujo princípio de
funcionamento está baseado nas leis da Física Atômica, vem sendo utilizado nas mais
diversas áreas de pesquisa. Neste trabalho de conclusão de curso destaca-se o comportamento
qualitativo do relógio atômico de césio
(
133
)
Cs , que tem por base o bombeamento óptico ou
uma armadilha por feixes de laser. Para isso, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre
Física Atômica, desde a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio até o conceito de
estrutura hiperfina. Neste ponto, destaca-se o caso do átomo de césio no estado fundamental,
62S1/ 2 , que se desdobra em dois estados hiperfinos, um com f = 3 e outro com f = 4 ( f é o
número quântico associado ao momento angular total do átomo). Como a frequência de
transição entre esses dois níveis é bem determinada, ela se torna um padrão essencial para ser
utilizada para marcar o tempo com precisão.
Palavras-chaves: Relógio atômico. Estrutura hiperfina. Lasers.
ABSTRACT
Since the invention of laser, its applications in science and technology have become
more and more important. Nowadays the laser, a device whose functioning principle is based
on the laws of Atomic Physics, has been used in various research fields. In this final paper, we
highlight the qualitative behavior of cesium
(
133
)
Cs atomic clock, which is based on optical
pumping or trap by laser beams. To this purpose, a literature review on Atomic Physics is
presented, from the Schrödinger equation of the hydrogen atom to the concept of hyperfine
structure. Based on this point of view, it is highlighted the case of cesium atom in the
2
fundamental state, i.e., 6 S1/ 2 , which spreads out in two hyperfine states, one with f = 3 and
another with f = 4 ( f is the quantum number associated with the total angular momentum of
the atom). Considering that a transition frequency between these two levels is well
established, it becomes an essential standard to be used in order to mark time accurately.
Keywords: Atomic clock. Hyperfine structure. Lasers.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação
incidente na cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida
curta para o metaestável (inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do
decaimento dos elétrons do estado metaestável (b). ................................................................. 13
Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.............................. 15
Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron. ........................ 21
Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de hidrogênio. ............................. 22
Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo de hidrogênio, mostrando
as transições que obedecem à regra de seleção para ∆l . ......................................................... 24
r
r
Figura 6: Elétron em uma órbita circular com µ e L antiparalelos. ......................................... 26
Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do momento magnético em torno de um
r
campo magnético B externo (b). ω L é a frequência de Larmor. .............................................. 28
Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético.
.................................................................................................................................................. 30
Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de l=2 para l=1. ............... 31
Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o desdobramento fino do césio. ........... 34
Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do elétron (b). 34
r
r
r
Figura 12: Precessão L de e S ao redor de J . ........................................................................... 36
r
r
r
Figura 13: Diagramas vetoriais para construções de J e µ J (a); e construção de µz (b). .. 39
Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado
6 2 S1 / 2
do césio, e a frequência
correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo relógio atômico. ............................ 45
Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo; relógio de Sol (a),
ampulheta (b) e clepsidra (c). ................................................................................................... 46
Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012]. .......... 48
Figura 17: Primeiro relógio atômico brasileiro. ....................................................................... 50
Figura 18: Diagrama do relógio atômico a feixe térmico de césio. .......................................... 51
Figura 19: Diagrama das transições envolvidas na detecção dos átomos. Somente os átomos
que saírem no estado 6 2S 1 ( f = 4) absorverão os fótons desta radiação e decairão emitindo
2
radiação espontaneamente. ....................................................................................................... 52
Figura 20: Franjas de Ramsey do relógio atômico de feixe térmico. ....................................... 52
Figura 21: Primeiro relógio atômico modelo chafariz do Brasil. ............................................. 53
Figura 22: Representação do funcionamento do relógio atômico de átomos frios. ................. 54
Figura 23: Poço de potencial infinito de largura L ................................................................... 62
Figura 24: Três primeiros níveis discretos de energia (a); três autofunções para a partícula em
um poço de potencial infinito (b). ............................................................................................ 64
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12
1.
O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .................................................. 14
1.1
SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL .............................................. 18
1.2
REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO................................................ 22
1.3
O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS ........................................................ 25
1.4
O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO ..................................................... 29
1.5
A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA ..................................... 34
1.6
O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO ........................................................................... 38
1.7
A ESTRUTURA HIPERFINA .................................................................................. 41
2.
O
RELÓGIO
ATÔMICO:
UMA
APLICAÇÃO
NA
CIÊNCIA
E
TECNOLOGIA ................................................................................................................... 46
2.1
EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO ............................................................ 46
2.2
O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO ................................... 49
2.3
O RELÓGIO ATÔMICO DE CHAFARIZ DE ÁTOMOS FRIOS .......................... 53
3.
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 56
APÊNDICE: UM POUCO DE FÍSICA MODERNA ...................................................... 57
A FUNÇÃO DE ONDA E A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER........................................ 58
EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO................................... 60
O POÇO DE POTENCIAL INFINITO E OS NÍVEIS DE ENERGIA ............................... 61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 66
INTRODUÇÃO
Einstein, em um artigo publicado em 1917, sustentou que um campo de radiação
obriga um átomo no estado de energia superior a fazer uma transição para um estado inferior
com uma taxa proporcional à densidade de radiação, um processo que chamou de emissão
estimulada [KLEPPNER, 2004]. Na verdade, os estudos de Einstein previam a Física de um
dispositivo, construído em 1960 primeiramente por Theodore H. Maimann, que emitia um
feixe de luz visível altamente concentrado: o laser, sigla formada pelas iniciais de Light
Amplification by Stimulated Emission of Radiation, ou amplificação de luz por emissão
estimulada de radiação [PIMENTA, 2010], cujo princípio básico de funcionamento está
baseado nas leis fundamentais da interação da radiação luminosa com a matéria [BAGNATO,
2005].
Um dispositivo laser é constituído por três partes principais: um meio ativo (material
cujos átomos são responsáveis pela emissão estimulada), a cavidade óptica (onde os fótons
que emergem do meio ativo sofrem sucessivas reflexões, servindo de fonte para produzir mais
emissão estimulada), um mecanismo de bombeamento (mecanismo pelo qual a inversão de
população é obtida) [BAGNATO, 2005].
Para que ocorra o efeito laser é necessário uma inversão de população no meio ativo
(quando levamos um meio a ter uma população n 2 de átomos no estado excitado maior que a
população
n1
de átomos no estado de equilíbrio térmico) [RESENDE, 1996]; para inverter
as populações desses níveis é preciso fornecer energia ao sistema através de um mecanismo
externo (lâmpada de flash, por exemplo). Assim, os elétrons passam de um estado
fundamental com energia E 1 para um estado excitado com energia E 3 (estado de vida curta)
[HALLIDAY e RESNICK, 1984], do qual decaem rapidamente para um estado de energia
E 2 (estado meta estável). Este processo continua até a inversão de população ser obtida entre
os níveis de energia E 1 e E 2 , como visto na Figura 1. Quando um desses elétrons retorna
para seu estado fundamental emite dois fótons, um devido à radiação incidente e outro devido
ao seu decaimento, desencadeando todo o processo de emissão. As radiações emitidas são
refletidas continuamente pela cavidade óptica e o processo se repete e se amplifica (efeito
cascata), havendo emissão de mais fótons e a produção da luz laser.
12
Figura 1: Representação dos níveis de energia dos átomos do meio ativo, que recebe radiação incidente na
cavidade óptica. Processo do decaimento rápido dos elétrons do estado de vida curta para o metaestável
(inversão de população) (a); emissão da luz laser a partir do decaimento dos elétrons do estado metaestável (b).
Essa luz produzida possui certas características em particular [PIMENTA, 2010]; ela é
monocromática uma vez que os fótons emitidos possuem a mesma energia
estimulante, onde
h
hυ
que o fóton
é a constante de Planck e υ é a frequência óptica da emissão,
relacionada ao comprimento de onda
λ
por υ = c [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. O feixe
λ
laser possui comprimento de onda definido pelo meio de geração (ou meio ativo), e é um
feixe coerente (todas as radiações emitidas estão em fase), polarizado (a energia dos fótons se
propaga numa direção específica), e colimado (o feixe se propaga por grandes distâncias sem
divergências), o que nos permite focalizá-lo com precisão e, dessa forma, aumentar sua
intensidade sem modificar sua potência de saída [HALLIDAY e RESNICK, 1984].
Nos próximos tópicos deste Trabalho de Conclusão de Curso serão discutidos tópicos
133
sobre Física Atômica, dando destaque à estrutura eletrônica do átomo de césio ( Cs) , e ao
funcionamento do relógio atômico (tema central deste trabalho), o qual representa uma
aplicação muito interessante da Óptica Quântica relacionada à medição do tempo.
13
1. O ELÉTRON NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Aqui será estudada uma das aplicações mais importante da mecânica quântica, o
átomo de hidrogênio. Este foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou com sua teoria
[RESNICK e EISBERG, 1979]. A concordância obitida com os autovalores de energia
previstos pela teoria para o átomo de hidrogênio estavam de acordo com os valores previstos
pelo modelo de Bohr. Isso constituiu o primeiro teste importante da validade do que previa
Schrödinger [RESENDE, 1996]. De acordo com a referência [TIPLER e LLEWELYN, 1978],
a quantização da energia e do momento angular são consequências naturais das condições de
aceitabilidade das funções de onda. Este problema é muito importante porque as soluções
obtidas servem como ponto de partida para soluções aproximadas para átomos de muitos
elétrons.
O átomo de hidrogênio é constituído de um elétron, de carga negativa, em torno de um
próton, de carga positiva, sobre a influência de uma força coulombiana atrativa.
A energia potencial eletrostática entre as cargas é dada por [GRIFFITHS, 2011]:
Ze 2
V (r ) = −
,
4πε 0 r
(1)
onde r é a distância que separa o elétron do núcleo, Z é número atômico, e é o módulo da
carga do elétron
(e = 1,6 ⋅10−19 C ) e
ε0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Como se trata de um sistema de duas partículas se movendo em um espaço
tridimensional, o potencial atrativo V (r ) faz com que o sistema apresente uma simetria
esférica. Para o átomo monoeletrônico pode-se escrever a equação de Schrödinger em
coordenadas esféricas (r,θ ,ϕ ) [TIPLER e LLEWELYN, 1978]. A Figura 2 ilustra a relação
entre as coordenadas cartesianas e esféricas.
14
Figura 2: Relações geométricas entre coordenadas esféricas e cartesianas.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em coordenadas esféricas, assume
a seguinte forma [RESENDE, 1996]:

h 2 1  ∂  2 ∂Ψ 
2
−
r
 + Λ Ψ  + V ( r ) Ψ = EΨ ,
2 
2 µ r  ∂r  ∂r 

onde
(2)
µ é a massa reduzida do elétron e Λ2 é o operador que atua na função de onda Ψ e

2
representa a dependência angular desta função  Λ =

1
1 ∂ 
∂2
∂ 
+
 senθ
 .
2
2
senθ ∂θ 
∂θ  
sen θ ∂ϕ
Como o potencial V (r ) depende apenas da variável r, utilizando o método de
separação de variáveis, a função de onda pode ser escrita como o produto das funções
Ψ(r,θ ,ϕ) = R(r )Υ(θ ,ϕ ) [BREHM e MULLIN, 1989], onde R depende apenas de r, e
Υ depende de θ e ϕ de forma que Υ = Θ(θ ) Φ(ϕ ) . Com esse método, manipulando a
equação (2), chegamos a um conjunto de três equações diferenciais ordinárias, cada uma delas
dependendo somente de uma das coordenadas esféricas:
−
1 d 2Φ
= m2 ,
Φ dϕ 2
(3)
15
1 d
dΘ 
m 2 
senθ
+ λ−
Θ = 0,
senθ dθ
dθ 
sen 2 Θ 
d  2 dR  2 µ 2
r [V ( r ) − E ]R = l (l + 1) R,
r
−
dr  ∂r  h 2
(4)
(5)
onde m representa o número quântico azimutal, λ é uma constante de separação, E é o
autovalor de energia e l é o número quântico secundário .
Resolvendo essas equações, encontramos que a equação para Φ(ϕ ) só apresenta
soluções aceitáveis para certos valores de m . Usando esses valores de m na equação para
Θ(θ ), ocorre que essa equação também só apresenta soluções aceitáveis para certos valores
de l . E usando os valores de l na equação para R (r ), vemos que essa equação só tem
soluções aceitáveis para certos valores da energia total E ; isto é, a energia do átomo é
quantizada. [RESNICK e EISBERG, 1979].
A solução da equação (3) possui a forma dada por [EISBERG e RESNICK, 1988]
Φ (ϕ ) = e imϕ .
(6)
Matematicamente está função é válida para quaisquer valores de m . Entretanto,
fisicamente, deve-se considerar a imposição de que as autofunções sejam unívocas, uma vez
que os valores de
ϕ (ϕ = 0,2π ,4π ,6π ...) devem ser múltiplos pares de 2π [RESENDE,
1996]; isto requer que m tenha um dos seguintes valores:
m = 0,±1,±2,±3...,
(7)
isto é, m só pode ser um número inteiro positivo ou negativo; m é denominado número
quântico azimutal.
16
As soluções da equação (4) para a função Θ(θ ) são os chamados polinômios de
Legendre associados [AFKEN, 1995], e valem desde que l seja um número inteiro positivo,
com m ≤ l [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], ou seja:
(8)
m = −l ,−l + 1,..., l − 1, l .
Dessa forma a solução geral para a dependência angular da autofunção Ψ(r,θ ,ϕ ) é
(9)
Υlm (θ , ϕ ) = Θ lm (θ )e imϕ .
As funções Υlm são chamadas de harmônicos esféricos, com l representado o número
quântico secundário e m o número quântico azimutal [BREHM e MULLIN, 1989]. Essas
autofunções se referem a certos estados quânticos estacionários de átomos monoeletrônicos e
são normalizadas de forma que
∫ |Υ
Ω
lm
(θ , ϕ ) | 2 dΩ = 1,
(10)
onde d Ω é o elemento de ângulo solido dado por dΩ = senθ dθ dϕ , com 0 ≤ θ ≤ π e
0 ≤ ϕ ≤ 2π .
As soluções da equação radial (5) são os polinômios de Laguerre [AFKEN, 1995], e
somente são aceitáveis se a energia total tiver um dos valores En [EISBERG e RESNICK,
1988] como sendo
µ Z 2e4
En = − 2
.
2h ( 4πε 0 ) 2 n 2
(11)
onde n , número quântico principal, é um número inteiro dado por n = l + 1, l + 2, l + 3,..
Os valores de En na equação (11) representam os autovalores de energia da função de
onda do átomo de hidrogênio, o que significa que a energia do seu único elétron é quantizada
[BREHM e MULLIN, 1989].
17
Substituindo as constantes Z = 1,
hidrogênio),
h = 0,6582 × 10
− 15
µ = 9,10458 × 10 −31 Kg
eVs , e = 1,602 × 10
−19
(para o átomo de
C , ε 0 = 8,85 × 10
−12
C2
Nm 2
[HALLIDAY e ESNICK, 2009], na equação (41) a energia, em eV , é expressa como sendo
En = −
13,6
eV .
n2
(12)
Estes valores de energia são idênticos aos valores encontrados no modelo de Bohr.
A solução geral da equação de Schrödinger para o elétron no átomo de hidrogênio é
dado pelo produto das três funções nas variáveis (r,θ ,ϕ ) [GRIFFITHS, 2011]. Assim o
estado estacionário completo, Ψ(r,θ , ϕ, t ), de um átomo monoeletrônico depende dos
números quânticos n, l , m tal que:
Ψnlm = Rnl ( r ) Υlm (θ , ϕ )e iE nt / h ,
onde En aparece no termo de dependência temporal de
(13)
Ψnlm .
Embora os autovalores de energia só dependam do número quântico principal, as
autofunções de onda dependem também de l e m [BREHM e MULLIN, 1989]. Conclui-se
que vários estados de
Ψnlm degeneram-se numa mesma energia E n .
1.1 SOLUÇÃO GERAL PARA A EQUAÇÃO RADIAL
Nesta seção queremos completar o problema para o átomo de um elétron, encontrando
os estados estacionários do átomo (para isso resolvemos a equação radial dada pela equação
(5)), isto é, queremos encontrar
18
(14)
Ψnlm ( r , θ , ϕ , t ) = Rnl ( r ) Υlm (θ , ϕ )e iE nl t / h .
Para isto, partindo da situação com l = 0 e m = 0 uma vez que, nesse caso, o esférico
r
harmônico Υ00 (θ ,ϕ ) = 1/ 4π é a única possibilidade para o momento angular L constante
[BREHM e MULLIN, 1989], rescrevemos a equação (5) como sendo
−
h 2  d 2 R 2 dR  Ze 2

−
+
R = ER,
2λ  ∂r 2 r dr  4πξ 0 r
(15)
A solução desta equação deve se aproximar de zero quando r → ∞; para isto, ela deve
apresentar a forma de uma exponencial decrescente R(r ) = Ae − r / a [BREHM e MULLIN,
1989], onde a possui unidade de comprimento. Utilizando está condição na equação (15) e
impondo condições para que a energia E não tenda ao infinito quando r → 0, chegaremos à
energia para o estado fundamental ( n = 1) , dada por
E=
µ
m
z 2 E0 ,
(16)
2
 e2  m

[EISBERG e RESNICK, 1988].
onde E0 é a energia de Rydberg, E0 = 
2
 4πε 0  2h
A equação (16) é semelhante à de Bohr para o estado fundamental, onde consideramos
o raio atômico de Bohr como parâmetro para que a energia E não tenda ao infinito quando
r → 0 [GASIOROWICZ, 1979]. Para o caso dos números quânticos do momento angular
l = 0 e m = 0 temos a solução
Ψ100 =
e −r / a
πa
3
e −iE10t / h .
(17)
Para chegamos à solução geral da equação radial, admite-se uma solução da forma [BREHM
e MULLIN, 1989]
19
R( ρ ) = e
onde η e
− p /η
F (ρ )
ρ
(18)
,
ρ = r / a são, respectivamente, um autovalor e uma variável adimensional.
A função F ( ρ ) satisfaz a condição F (0) = 0 para que a função radial R( ρ )
permaneça finita na origem; isso só é possível quando F (r / a) = 0 . A função da equação
(18) é representada por uma série de potências, em que
η = 1 / n com n = 1,2,3... Esta
condição não só serve para l = 0 mas para qualquer l ≠ 0 , implicando que os valores de
energia não dependem do número quântico l , somente do número quântico principal n
[BREHM e MULLIN, 1989].
Temos agora todas as soluções radiais da equação (5) escritas como
Rnl = e − p / η
com
Fnl ( ρ )
ρ
,
(19)
ρ = r/a.
No caso do átomo de hidrogênio ( Z = 1, n = 1 e a = a0 ), o estado estacionário
Ψ100 (r,θ ,ϕ, t ) é dado por:
Ψ100 =
2
a
3
e − r / a0 e −iE0t / h .
(20)
0
Para outros átomos, temos:
Ψnlm = e − r / na
Fnl ( r / a )
Υlm (θ ,ϕ )e −iEnt / h ,
r/a
(21)
20
 n = l + 1, l + 2 , l + 3 ,...

com  l = 0 ,1, 2 , 3 ,..., n − 1 .
 m = − l , − l + 1,..., l − 1, l .

Os átomos de um elétron são todos aqueles da família 1A da tabela periódica: H, Li,
Na, K, Rb, Cs e Fr. Para o átomo de Césio (Cs), que apresenta número atômico Z= 55
[ATKINS
e
JONES,
2011],
a
distribuição
eletrônica
de
Pauli
é
dada
por
Cs( z = 55) : 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 4s 2 3d 10 4 p 6 5s 2 4d 10 5 p 6 (6s 1 ) .
Vemos que no césio só existe um elétron na última camada, ou seja, na camada de
valência, com número quântico principal n = 6 e subnível s, correspondendo ao número
quântico orbital l = 0 . A Figura 3 mostra uma representação de níveis de energia e
degenerescência para os átomos de um elétron de valência
Figura 3: Níveis de energia e degenerescência para os átomos de um elétron.
A introdução do número quântico principal n, para nivelar cada uma das possíveis
soluções
Rnl
associadas a l = 0 , garante soluções aceitáveis para a equação radial, como foi
21
dito anteriormente. Os estados estacionários de um átomo monoeletrônico dependem dos três
números quânticos (n, l , m) . As degenerescências de
Ψnlm ,
decorrentes dos números
quânticos (n, l ) aparecem devido à simétrica esférica do potencial coulombiano V (r ) .
1.2 REGRAS DE SELEÇÃO DO DIPOLO ELÉTRICO
Os estados de um átomo revelam sua existência através da radiação emitida ou
absorvida em transições entre pares de níveis de energia. As transições estão associadas a
frequências discretas que constituem as linhas do espectro de emissão e absorção do átomo
[BREHM e MULLIN, 1989]. A Figura 4 mostra o espectro de emissão e absorção do átomo
de hidrogênio.
Figura 4: Espectro de emissão (a) e absorção (b) do átomo de
hidrogênio [OLIVEIRA, 2006].
A quantização observada nos espectros de emissão e absorção tem origem nas
transições entre pares de energia que obedecem a regras de seleção, que estabelecem para
quais valores de números quânticos dos estados inicial e final do átomo as transições são
permitidas. Para determinar essas regras de transição eletrônica considera-se uma função de
onda constituída a partir da superposição de dois estados estacionários [NUSSENZVEIG,
1998].
Ψ = cΨnlm e − iEnt / h + c ' Ψn 'l 'm ' e − iEn 't / h ,
sendo
En > En´ e
c e c'
(22)
sendo constantes.
22
A função de onda Ψ dada pela equação (22) descreve um átomo em transição entre os
estados com energia
En
e
En´ . As regras de seleção do dipolo elétrico estão associadas à
parte angular da função Ψ (equação (22)) da seguinte forma:
 Υ * l 'm ' sen θ cos ϕΥlm dΩ,
∫
∞
 *
*
3
∫0 R n 'l ' R Rnl dr ∫ Υ l 'm ' senθ senϕΥlm dΩ,
 *
 ∫ Υ l 'm ' cos θ Υlm dΩ,
(23)
A equação (23) representa a amplitude de transição (n l m) → (n' l ' m' ) do dipolo
elétrico e cada uma das três componentes é responsável por uma transição radioativa. As
integrais das partes angulares só não são nulas se os números quânticos (n l m) e (n' l ' m' ) se
relacionarem por regras de seleção do dipolo elétrico [GOHEN-TANNOUDJI, 1977].
Considerando a função (9) e rescrevendo sen ϕ e cosθ nas suas formas complexas, a
solução das integrais da equação (23) diz que, para que o valor esperado do momento de
dipolo não se anule, é necessário que as transições eletrônicas satisfaçam a seguinte regra de
seleção [EISBERG e RESNICK, 1988]:
∆m = 0
ou
∆ m = ±1.
(24)
A regra de seleção para ∆m expressa a mudança permitida para o número quântico
azimutal do átomo em uma transição acompanhada da emissão de radiação de um dipolo
elétrico.
A regra de seleção para as transições associada à coordenada polar θ da equação (23)
é obtida a partir das seguintes integrais [BREHM e MULLIN, 1989]:
23
π
∫Θ
l 'm '
senθ Θ lm senθdθ ,
(25.a)
cos θ Θ lm senθdθ .
(25.b)
l 'm '
0
π
∫Θ
0
O cálculo destas integrais envolvem os polinômios de Legendre, Plm cosθ ; as integrais só são
nulas se l e l ' diferirem de uma unidade, ou seja, a segunda regra de seleção para o dipolo
elétrico é dada por:
∆l = ±1
(26)
O fato de que o número quântico l deve variar de ± 1 quando o átomo emite ou
absorve um fóton está relacionada à conservação do momento angular, já que o fóton possui
um momento angular intrínseco igual a 1h [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. A Figura 5
mostra o diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio.
Figura 5: Diagrama de níveis de energia (série de Balmer) do átomo
de hidrogênio, mostrando as transições que obedecem à regra de
seleção para
∆l .
24
No diagrama da Figura 5 são mostradas as transições que obedecem à regra de
transição ∆l = ±1 . Os estados com o mesmo valor de n, mas com valores diferentes de l ,
têm a mesma energia, e são indicados separadamente. Na Figura 7 existem três transições
distintas com o mesmo comprimento de onda: de ( n = 3, l = 0 ) para ( n = 2, l = 1 ), de
( n = 3, l = 1 ) para ( n = 2, l = 0 ), de ( n = 3,
comprimentos de onda da linha
l = 2 ) para ( n = 2, l = 1 ). São os
α da série de Balmer [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. As
transições dos estados com subníveis s, d e f são proibidas para n = 1.
1.3 O SPIN E AS INTERAÇÕES MAGNÉTICAS
Quando as linhas do hidrogênio ou de outros átomos são observadas em alta resolução
percebe-se que as mesmas são alargadas de forma a se observar multipletos, ou seja, as linhas
são constituídas por duas ou mais linhas muito próximas, mesmo na ausência de um campo
magnético aplicado. Tal comportamento ficou conhecido como estrutura fina [BREHM e
MULLIN, 1989].
Para explicar a estrutura fina W. Pauli sugeriu que, além dos números quânticos
n, l , m, o elétron possuía um quarto número quântico que poderia assumir apenas dois valores
[LLEWELLYN e TIPLER, 1978]. Ele observou que átomos da mesma família da tabela
periódica apresentavam multipletos de estrutura semelhantes que só podiam ser explicados
quanticamente. Pauli ainda não sabia, mas estava prevendo o quarto número quântico: o spin
eletrônico.
Para compreender os desdobramentos dos níveis de energia associados à estrutura fina,
trataremos o átomo como um sistema de partículas carregadas e associamos um momento
r
magnético µ a uma energia de interação magnética [GRIFFITHS, 2011], dada por:
r r
VM = − µ ⋅ B.
(27)
r
r
O momento magnético µ relaciona-se à estrutura magnética do átomo e B é o campo
r
r
magnético externo aplicado. O comportamento de µ é influenciado por L (momento angular
25
orbital eletrônico); essa relação é determinada usando como exemplo o átomo de um elétron.
Considerando o elétron movendo-se em uma órbita circular e o núcleo atômico praticamente
fixo em relação a esse elétron a massa reduzida, nesse caso, equivale à massa do elétron,
me
[EISBERG e RESNICK, 1988].
O módulo do momento magnético é dado por
órbita e
υ
magnético
r
| µ |= π r 2 eυ ,onde r é
o raio da
é a frequência do movimento. Como o elétron tem carga negativa, o momento
r
µ
é antiparalelo a seu momento angular orbital, cujo módulo é
r
| L |= 2π r 2 meυ [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como indica a Figura 6.
Figura 6: Elétron em uma órbita circular
r r
com µ e L antiparalelos.
r
Isto nos permite escrever
µ
como uma equação vetorial da forma
r
µ=−
e r
L.
2m
(28)
A equação (28) é válida para qualquer sistema de partículas e qualquer movimento,
r
r
contanto que a razão entre | µ | e | L | seja a mesma para todo o sistema [BREHM e
26
MULLIN, 1989]. Para uma distribuição de cargas Q e massa M em rotação, a equação (28)
pode ser reescrita como:
r
µ=
gQ r
L,
2M
(29)
onde g é o fator orbital. Aplicando este resultado ao átomo de hidrogênio (g=1, Q= -e e
r
M=me) e substituindo o modulo de L pelos seus autovalores temos:
r
(30)
µ = − gµ B l (l + 1),
onde
µB =
eh
2me
24
é conhecido como magneton de Bohr, cujo valor é 9,27 ⋅ 10 J / T e me é a
massa do elétron. Levando em conta apenas a componente z do momento angular (em
termos do número quântico m) temos:
r
µ z = − gµ B m
(31)
Para permitir que a equação (28) seja usada em situações mais complexas, o momento
r
magnético é expresso em termos de µ B e do fator orbital g , de forma que [GASIOROWICZ,
1972]:
(32)
gµ r
µ = − B L.
h
r
r
r
O sinal negativo nas equações (31) e (32) se devem ao fato dos vetores µ e L serem
antiparalelos. As equações (30) e (32) mostram que a quantização do momento angular leva à
quantização do momento magnético.
27
r
r
Na presença de um campo magnético externo B , o momento magnético µ sofre um
r
r
r
τ = µ × B,
torque
r
que reflete na variação de L no tempo (da mesma forma como o eixo de
rotação de um pião ou de um giroscópio precessiona em torno da direção do campo
gravitacional) [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], como mostra a Figura 7.
Figura 7: Ilustração da precessão de Larmor (a) e do
r
momento magnético em torno de um campo magnético B
externo (b).
ωL
é a frequência de Larmor.
Assim:
r
r
dL r
= ω L × L,
dt
r
onde ω L =
(33)
e r
B (para o caso de g=1).
2me
r
O efeito descrito pela equação (33) é conhecido como precessão de Larmor, sendo ωL
denominado de frequência de Larmor. Considerando um intervalo de tempo dt, e um
r
correspondente incremento angular dϕ , o módulo da velocidade angular processional de µ é
[BREHM e MULLIN, 1989]:
28
ωL =
dϕ
.
dt
(34)
r
r
A precessão de µ em torno do campo B faz com que a órbita eletrônica funcione
r
como uma espira que se movimenta com o campo B , como mostra a Figura 9(b).
1.4 O EFEITO ZEEMAN E O SPIN ELETRÔNICO
O desdobramento das linhas espectrais do átomo por ação de campos magnéticos
externos foi observado pela primeira vez por Zeeman e, por essa razão, ficou conhecido como
efeito Zeeman.
De acordo com a teoria quântica, a mudança da frequência associada a uma linha
espectral indica que houve uma variação do nível de energia de um dos estados, ou de ambos,
envolvida na transição [BREHM e MULLIN, 1989]. Na seção anterior, foi visto que o
momento magnético determina o comportamento de um átomo na presença de um campo
r r
r
magnético externo aplicado através da interação − µ ⋅ B, e que a quantização de µ é
r
consequência da quantização de L .
r
Na presença de um campo magnético B orientado ao longo do eixo z , a energia de
interação magnética VM pode ser reescrita como [TANNOUDJI, 1991]:
< VM > = gµ B mB ,
(35)
r
onde B é o modulo de B na direção do eixo z .
r
O efeito do campo B aplicado é produzir um shift discreto na energia para cada 2l +1
valores de m em qualquer configuração orbital nl, ou seja, cada nível de energia é desdobrado
29
em 2l +1 subníveis; devido a isso, m também é chamado de número quântico magnético. Esse
shift de energia vale
(36)
δ E M = g µ B B.
r
A Figura 8 mostra um exemplo para o átomo de césio (Cs) . O campo B aplicado
quebra a degenerescência dos estados no que diz respeito ao número quântico azimutal m . A
distância entre níveis com m adjacentes é sempre δEM , independente dos valores de n e l .
O símbolo ↑ denota spin-up correspondente a ms = 1/ 2 , e o símbolo ↓ denota spin-down e
corresponde a ms = −1/ 2 [BREHM e MULLIN, 1989].
Figura 8: Desdobramento dos níveis de energia do césio na presença de um campo magnético.
r
Na presença de B , além da regra de seleção para o número quântico secundário
∆l = ±1, existe a regra para o numero quântico magnético, ∆m = 0, ± 1. A Figura 11
30
mostra o desdobramento dos níveis de energia no caso de uma transição de um estado inicial
l = 2 para l = 1. A regra de seleção para ∆m limita as transições nas nove linhas mostradas.
Figura 9: Desdobramento de níveis de energia para uma transição de
l=2 para l=1.
Na Figura 9, verificam-se que os desdobramentos do estado inicial e do estado final
são os mesmos, e existe somente três diferentes energias de transição (independentemente dos
r
valores de l no estado inicial e final). Na presença de B aplicado, temos fótons emitidos
relacionados às energias ∆E + δ EM e ∆E −δ EM , devido à quebra de degenerescência de L .
No caso mais geral, um elétron em um átomo tem um momento angular orbital,
caracterizado pelo número quântico l , e um momento angular intrínseco, ou spin,
caracterizado pelo número quântico s . Se o átomo estiver num estado quântico genérico, os
r
r
vetores correspondentes aos momentos angulares orbital (L) e do spin (S ) do elétron devem
r
ser considerados para formar um momento angular total (J ) dado por [GASIOROWICZ,
1972]:
r r r
J = L + S.
r
r
(37)
r
Da mesma forma que L e S , o vetor J é um momento angular quântico; assim as
r
r
quantidades J e J z obedecem a regras de quantização similares a L e S . Nesse caso, o
31
módulo do momento angular total é
J = j( j +1)h. Cada valor de
está associado a 2 j + 1 números quânticos
mj
j do momento angular total
[BREHM e MULLIN, 1989],ou seja,
m j = − j ,− j + 1,..., j − 1, j.
(38)
onde j é dado por:
1
j=l+ .
2
A equação (39) representa o valor máximo de
priori como o número quântico máximo do sistema, e
spin
s . Os valores de
j
(39)
j
uma vez que o valor de
l
é dado a
1
é o valor fixo do número quântico de
2
devem diferir de um número inteiro, pertencendo a uma série
1
2
1
2
3
2
decrescente [NUSSENZVEIG, 1998], do tipo j = l + , l − , l − ,... . O limite desta série
r r
r
pode ser determinado utilizando as desigualdades entre os módulos dos vetores L , S e J ,
2


 j( j + 1) ≥  l(l + 1) − 3   ,onde mostra que somente os dois primeiros termos da série satisfaz


2  



a essa desigualdade [NUSSENZVEIG, 1998], isto é
j = 1/ 2
, para l=0
(40.a)
, para l ≠ 0 .
(40.b)
e
j = l + 1 / 2, l − 1 2
32
Essas regras de quantização podem ser representadas por regras de adição vetorial,
cujos comprimentos dos vetores são proporcionais aos valores dos números quânticos
e
l, s
j.
Os estados quânticos para um átomo de um elétron têm sido organizados pelos
n, l , ml
números quânticos
e
ms ;
e suas funções de onda expressa por
Ψn l ml ms
[EISBERG e RESNICK, 1988]. Esses estados podem ser representados adotando-se os
números quânticos
j e m j em vez de ml e ms . Assim os estados quânticos se baseiam em
uma função de onda da forma Ψn l j m j . Nessa nova descrição, é conveniente introduzir a
notação espectroscópica de Russel-Saunders [LLEWELLYN e TIPLER, 1978] para
representação dos níveis de energia En e estados degenerados de Ψn l j m j . Assim, por
exemplo, o estado fundamental do césio é representado pela notação
n
62 S1 2 , onde o valor de
é escrito como prefixo e o valor do número quântico associado ao momento angular
total
j , como índice inferior. O spin total (2s+1) aparece como índice superior. Neste caso,
para um elétron no nível
modo
que
n = 6 , o momento angular orbital l , pode ser igual a 0, 1 ou 2, de
existem
cinco
2
2
2
2
6 2S 1/ 2 , 6 P1/ 2 , 6 P 3/ 2 , 6 D5/ 2 , 6 D3/ 2
estados
possíveis:
[LLEWELLYN e TIPLER, 1978].
Figura 10 mostra o desdobramento fino do átomo de césio; verifica-se que o nível com j =
tem energia ligeiramente maior que o nível j =
A
3
2
1
. Em consequência, a linha espectral
2
associada à transição de 6S para 6P também se desdobra em duas linhas de comprimentos
de onda ligeiramente diferentes.
33
Figura 10: Diagrama de níveis de energia mostrando o
desdobramento fino do césio.
1.5 A INTERAÇÃO SPIN-ÓRBITA DA ESTRUTURA FINA
Na seção anterior foi discutido que estados atômicos com os mesmos valores de
l , mas diferentes valores de
n,
e
j , possuem energias ligeiramente diferentes por causa da
interação do spin do elétron com seu movimento em torno do núcleo. Como o campo
magnético interno é consequência do momento angular orbital do elétron, essa interação é
conhecida como interação spin-órbita. Essa interação está associada ao shift de energia devido
à estrutura fina e explica o desdobramento fino associado às transições
6P→6S do átomo de
césio na Figura 10.
O efeito spin-órbita pode ser compreendido a partir do modelo simples de Bohr,
mostrado na Figura 11.
Figura 11: Movimento orbital atômico em dois referenciais: do núcleo (a); e do
elétron (b).
34
Na Figura 11(a) o elétron está em movimento em uma órbita circular com velocidade
r
v no sentido anti-horário em torno do núcleo. No referencial fixo do elétron, Figura 11(b), é o
r
núcleo que se move em uma orbita circular com velocidade −v , de modo que o elétron fica
r
r
sujeito a um campo magnético B criado pelo núcleo. Lembramos que o campo B está
r
E
associado a um campo elétrico (no referencial da Figura 11(a), a carga ze está em repouso,
r
r vr×E
r
isto é, ela é a carga fonte geradora do campo E) por B = − 2 [GRIFFITHS, 2011].
c
r
r
No referencial do elétron, o campo B é campo magnético interno Bint que pode ser
escrito como [EISBERG e RESNICK, 1988]:
Bint
r
Ze
L
=
,
4πε 0 me c 2 r 3
(41)
onde m e é a massa do elétron, c é a velocidade da luz e r é a distância do elétron ao núcleo.
r
O momento magnético de spin do elétron, µ S , interage com o campo magnético
interno,
r
Bint ,
r r
V
=
−
µ
de forma que a interação spin-órbita é dada por SL
s ⋅ Bint , com
r
r S
µ s = − g s µ B e g s = 2 . Da equação (41) obtém-se [EISBERG e RESNICK, 1988]:
h
r
VSL
r r
Ze 2 S ⋅ L
=
.
4πε 0 me2 c 2 r 3
(42)
A equação (42) está relacionada ao referencial fixo no elétron; para reescrevê-la no
referencial fixo do núcleo, um termo relativístico adicional deve ser adicionado a ela. Isso
permite que o elétron passe a ter um movimento acelerado; esse termo é conhecido como
precessão de Thomas, que se diferencia da precessão de Larmor pela presença de um fator 1 ,
2
denominado de fator de Thomas [BREHM e MULLIN, 1989]. Como a interação spin-órbita é
35
um dos efeitos relativísticos que contribui para a estrutura fina, a equação (42) pode ser
reescrita em função da constante da estrutura fina, α , de forma [TANNOUDJI, 1991] que:
V SL
onde
α=
e2
4π ε0 h c
r r
Zα h S ⋅ L
=
,
2m e2 c r 3
(43)
.
r r
Como os vetores L e S precessionam em torno do eixo z, a interação spin-órbita está
r
r r
relacionada à precessão de L e S ao redor de J , como mostra a Figura 12. Isto faz com que o
momento angular total corresponda a diferentes valores de energia causando, assim, a
degenerescência dos estados
de
j
Ψnl j mj
para átomos de mesmo
n
e l , para diferentes valores
[BREHM e MULLIN, 1989]. É o que explica o diagrama de energia da Figura 10.
r
r
Figura 12: Precessão L de e S ao redor de
r
J.
r2
r r
2
2
Usando a relação J = L + 2 L ⋅ S + S , a equação (43) pode ser escrita como:
V SL =
Zα h ( J 2 − L2 − S 2 )
.
4 mc2 c
r3
(44)
Calculando o valor esperado da interação spin-órbita obtém-se:
36
< VSL
Z 4α 4
[ j ( j + 1) − l (l + 1) − 3 / 4]
> =
E0
,
3
l (l + 1)( 2l + 1)
n
(45)


α2

me c 2  .
onde E 0 é a energia de Rydberg  dada por E0 =
2


O valor esperado < VSL > é interpretado como sendo um shift dos níveis de energia.
Nota-se que o termo entre colchetes na equação (45) se anula para o estado l = 0 pois, nesse
caso,
j = 1/ 2 e, portanto, j( j + 1) = 3 / 4 ; ou seja, nesse estado a interação spin-órbita não
traz influência à energia do sistema [EISBERG e RESNICK, 1988]. No caso em que l ≠ 0 os
estados com j = l −1/ 2 e
j = l +1/ 2
levam a um desdobramento de cada nível de energia
em dois outros níveis [BREHM e MULLIN, 1989]. Aplicando estas condições à equação (45)
temos:
< VSL > =
< VSL
O shift de energia
Z 4α 2 E 0
, para j = l + 1/ 2 e
n 3 (l + 1)( 2l + 1)
Z 4α 2 E 0
> =− 3
,
n l ( 2l + 1)
δESL
para j = l + 1/ 2
(46)
.
(47)
associado à interação spin-órbita é obtido pela diferença
entre as equações (46) e (47), isto é:
δE SL
Z 4α 2 E 0
=− 3
.
n l ( 2l + 1)
(48)
37
Se o átomo estiver imerso num campo elétrico muito mais intenso que
r
Bint (isto é,
r
r
Bext >> Bint ), a interação spin-órbita é negligível, e temos o efeito Zeeman normal (já
abordado). Neste caso, o conjunto de números quânticos n, l , s, ml e ms são convenientes para
descrever a função de onda
(Ψ
n l ml ms
); caso contrário, a interação spin-órbita assume papel
de destaque e os números quânticos n, l , s, j, m j definem a melhor base para se representar a
função de onda
(Ψ ) [BREHM e MULLIN, 1989].
nl j mj
1.6 O EFEITO ZEEMAN ANÔMALO
O efeito Zeeman anômalo ocorre quando o spin de um dos estados envolvidos na
transição é diferente de zero. Este efeito está relacionado à existência de um campo magnético
r r
forte, que interage com o átomo de acordo com VM = −µ ⋅ B, e o momento magnético total é
r r
r
µ =µL + µS [GASIOROWICZ, 1972]. O efeito Zeeman associa-se a dois casos distintos: um
caso em que o campo magnético externo aplicado é muito mais intenso que o campo
magnético associado à interação spin-órbita, ou seja,
magnético é
r
r
r
Bext < Bint, mas Bext
No caso onde
vetores
r
r
Bext >>Bint,
e outro, onde o campo
não é desprezível.
r
r
Bext >> Bint , a interação spin-órbita pode ser desprezada. Neste caso os
r r
r
L e S são desacoplados e precessionam independentemente em torno de B. Dessa
forma, a interação magnética é representada na base dos números quânticos n, l , s, ml , ms ,
que descrevem um estado atômico correspondente a uma função de onda
Ψnl ml ms , e os
valores esperados < Lz > = h ml e < S z > = h ms [TANNOUDJI, 1991] são usados para se
obter:
< VM > = µ B Bext ( ml + 2 m s ).
(49)
38
Assim o desdobramento é semelhante ao que ocorre no efeito Zeeman normal e apenas
três linhas são observadas. Em uma dada configuração orbital, com os números quânticos n e
l , têm-se 2(2l +1) subestados magnéticos diferentes. O shift nos estados de energia,
associados à equação (79), só podem ser considerados se a interação spin-órbita for dominada
por
VM , isto é, VM >> VSL ; esse efeito em campos magnéticos elevados é conhecido como
efeito Paschen-Back e é um caso especial do efeito Zeeman [BREHM e MULLIN, 1989].
r
r
No caso em que Bext < Bint (com o campo magnético externo não sendo desprezível)
a interação spin-órbita impede que as precessões dos vetores momento magnéticos,
r
µL
r
e µ S , sejam independentes. Neste caso, as interações magnéticas devem ser representadas na
base de números quânticos n, l , s, j , m j , associada a
Ψn l j m j [GASIOROWICZ,
1972].
r
Nesse problema, o momento magnético total µ aponta numa determinada direção, e o estado
r
associado a Ψn l j m j , representado pelo momento angular total, tem o vetor J apontando
numa direção diferente, como mostra a Figura (13a)
(a)
(b)
r
r
r
J
e µ J (a); e construção de µz (b).
r
A componente de µ na direção de J é dado por [GASIOROWICZ, 1972]:
Figura 13: Diagramas vetoriais para construções
r de
r
µJ = −
r
µB
2 hJ
(3J
3
)
+ S 2 − L2 ,
(50)
39
onde
r
µ B é o magneton de Bohr.
r
Como
µJ
precessiona mais rapidamente em torno de
tomamos a componente
r
r
r
J do que em torno de B ,
r
r
µ Z na direção de Bext , como indicado na Figura 13(b). Notamos que
r
r
µ Z e µ J são distinguíveis, e para encontrar o valor de µ Z leva-se em conta os efeitos da
interação spin-órbita. A componente
r
µ Z pode ser escrita de forma [BREHM e MULLIN,
1989]:
< µ z >= − g
onde g =1+
µB
h
< J z >,
(51)
j( j +1) +s(s +1) −l (l +1)
, denominado fator de Landé [TANNOUDJI, 1991].
2 j( j +1)
O desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman anômalo é obtido usando a
equação (51) na equação (49); assim temos:
< VM > = gµ B m j Bext .
(52)
A equação (52) possui uma estrutura similar a equação (35), relacionada ao
desdobramento da energia resultante do efeito Zeeman normal, e são equivalentes quando o
átomo no estado
Ψn l j m j
não sofre a ação de um campo magnético externo, isto é,
r
Bext = 0 [BREHM e MULLIN, 1989]. A equação (52) representa o efeito Zeeman anômalo e
r
mostra que, num campo magnético Bext ≠ 0 , cada nível de energia n L j será desdobrado em
r
(2 j +1) componentes, uma para cada valor de m j , com magnitude não muito maior que Bint ,
associado à interação spin-orbita e à estrutura fina. O efeito Zeeman anômalo também é
40
chamado de efeito de campo fraco associado à estrutura fina [TANNOUDJI, 1991]. O campo
r
r
r
fraco não é Bint , é o Bext , que é dito fraco porque não é muito mais intenso que Bint .
1.7 A ESTRUTURA HIPERFINA
Nesta
seção,
vamos
nos
concentrar
na
interação
hiperfina
para
átomos
monoeletrônicos, para enfim compreendermos o funcionamento do relógio atômico e a
definição do atual padrão de tempo.
O próton, assim como o elétron, é uma partícula de spin 1, que possui um momento
2
magnético intrínseco
r
µ I , também chamado de momento magnético nuclear, o qual
estabelece um campo magnético permanente dentro do átomo e promove uma interação
r
Zeeman fraca com o momento magnético do elétron, µ
J
[PIZA, 2001]. Essa interação
magnética adicional no interior do átomo, identificada por um acoplamento entre o spin
nuclear e o spin eletrônico, é conhecida como estrutura hiperfina, também associada ao efeito
Zeeman. Na estrutura hiperfina, o desdobramento dos níveis de energia são ordens de
magnitude menores que os desdobramentos spin-órbita associados à estrutura fina dos átomos
[TANNOUDJI, 1991].
Vamos considerar a interação hiperfina para o estado com l = 0 e, depois, para o
átomo de césio no estado fundamental. O núcleo atômico tem um spin nuclear representado
r
por um momento angular I [GASIOROWICZ, 1972], cujos estados são identificados por um
número quântico de spin nuclear i = 0,
1
3
, 1, , 2,... de forma que
2
2
(53)
I 2 = h 2 i (i + 1).
r
r S
Analogamente ao momento magnético de spin eletrônico, µs = −gs µB , a expressão
h
r
para o momento magnético devido ao spin nuclear é escrito como:
41
r
I
µI = gI µN ,
h
r
onde
µ N=
(54)
eh
2 MP
, denominado magneton nuclear (com MP sendo a massa do próton),e
é o fator nuclear. Para o caso em que Z = 1 e i =
gI
gP
1
= 2,792847386 ,onde gp é
tem-se
2
2
o fator g do próton [PIZA, 2001].
A interação hiperfina é do tipo spin-spin, pois envolve os momentos magnéticos de
spin do núcleo e do elétron. Para um átomo no estado l = 0 essa interação é dada por
[BREHM e MULLIN, 1989]:
V SS
 e
2
=−
g s g I 
2
4πε 0 c 3
 2me
1
2
 me r r 2 1

S ⋅ I∇ ,
M
r
P

(55)
onde c é a velocidade da luz, me e a massa do elétron, M P é a massa do próton g s é o fator
orbital, g I é o fator nuclear.
A equação (55) é uma analogia à interação spin-órbita VSL . Assim, um momento
r
r
r
r
r
angular total F pode ser definido agora como F = L + S + I . Para casos de estados com
l = 0 temos [PIZA, 2001]:
r r r
F = S + I,
(56)
Dessa forma a interação VSS pode ser reescrita como
VSS
1
gs gI
=−
4πε 0 c 2 3
 e

 2me
2
 me
1

F 2 − S 2 − I 2 ∇2 ,
r
 MP
(
)
(57)
42
2
2
com F = h f ( f + 1) , onde f é o número quântico associado ao momento magnético total
r
F . Assim os estados da estrutura hiperfina para l = 0 são especificados por um número
quântico principal n, um numero quântico orbital l = 0 , e um número quântico de momento
angular total j = s =
1
, de forma que [GASIOROWICZ, 1972]:
2
1
f =i+
2
f =i−
ou
1
.
2
(58)
Os dois valores para f correspondem a dois estados distintos do átomo, com energias
diferentes, desdobradas pelo efeito da interação hiperfina. Para estados em que l = 0 os
valores de < VSS > , que representa o shift da energia hiperfina [BREHM e MULLIN, 1989],
são dados pela equação (59):
< V SS
e2
gS gI
> =
4πε 0 3

2
 e  me 
3



f ( f + 1) − − i (i + 1)  | R n 0 (0) | 2 ,

4

 2me c  M P 
3
4

2
2
2
2
com F −S −I = h f (f +1 ) − − i (i +1 ) e


∇2
(59)
1
= − | Rn 0 ( 0 )|2.
r
Para o estado fundamental ( n = 1) de átomos monoeletrônicos, temos:
3
 Zα m e c 
 ,
R10 (0) = 4 
h


2
(60)
43
onde o raio de Bohr a é dado em termos da constante de estrutura fina α , isto é,
α=
h
. Agora a equação (59) pode ser reescrita como [GASIOROWICZ, 1972]:
Z a me c
< V SS
g S g I m e2 2 
3

> = Z α
c  f ( f + 1) − − i (i + 1) .
3 MP 
4

3
4
(61)
O desdobramento das energias hiperfinas depende dos valores do número quântico f .
As duas possibilidades para o termo entre colchetes na equação (61) são [GASIOROWICZ,
1972]:
i, para
f =i+
1
2
−i −1, para
f =i+
1
.
2
e
(62.a)
(62.b)
Assim, a diferença de energia entre os dois estados determina o desdobramento hiperfino
(δEHF ) :
g S g I me2 2
δE = z α
c ( 2i + 1).
3 MP
3
2
O nível fundamental 6 S 1
nuclear i =
4
2
(63)
do átomo de césio, com número quântico de spin
7
, apresenta dois estados hiperfinos, um com f = 4
2
e outro com f = 3 ,
representado na Figura 14. De acordo com a equação (63), o desdobramento hiperfino em
termos de frequência, é:
υ
HF
=
δE HF
h
= 9,192631770 GHz ,
(64)
44
que corresponde a um comprimento de onda
λ ≈ 3,3 cm . O tempo que o elétron leva para
9
efetuar 9,192631770 × 10 oscilações entre os estados hiperfinos f = 3 e f = 4 do estado
fundamental do átomo de césio é a atual definição de segundo.
Figura 14: Efeito da interação hiperfina para o estado 6 2 S1 / 2 do césio, e
a frequência correspondente ao intervalo de tempo de 1s, medida pelo
relógio atômico.
45
2. O RELÓGIO ATÔMICO: UMA APLICAÇÃO NA CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Neste tópico será abordado o comportamento qualitativo do relógio atômico, uma
aplicação da Física Atômica muito importante na medição do tempo.
2.1 EVOLUÇÃO DAS MEDIDAS DE TEMPO
Desde muito cedo o homem teve a necessidade de contar o tempo. Os primeiros
relógios do mundo surgiram da sua necessidade de se localizar no tempo e no espaço e de
organizar suas tarefas. Antes da invenção dos relógios as pessoas se baseavam em eventos
regulares e naturais para manter o controle do tempo [OLIVEIRA, 2014]. Os primeiros
relógios construídos tinham o movimento do sol como referência natural, onde um bastão era
fincado no centro de uma superfície circular projetando uma sombra para indicar a hora,
desde o nascer até o pôr do sol [ALLEN; 2014], como visto na Figura 15. A necessidade de
medir a passagem do tempo com maior precisão, na área cientifica e em muitas necessidades
humanas conforme a sociedade foi se organizando, permitiu o desenvolvimento de novos
instrumentos capazes de dividir o dia em partes menores que se tornaram os minutos e
segundos; assim foram surgindo novos dispositivos secundários que eram calibrados usando o
Sol como padrão de tempo [BAGNATO, 2012]. Durante anos novos tipos de relógios foram
desenvolvidos baseados em diferentes medidas de passagem de tempo, muitos deles
utilizavam o escoar dos líquidos, areia ou a queima de fluidos para a contagem do tempo; no
entanto, nenhum deles apresentava uma técnica mais apurada.
Figura 15: Primeiros relógios construídos para marcação do tempo;
relógio de Sol (a), ampulheta (b) e clepsidra (c) [IMAGENS GOOGLE].
46
O estabelecimento de padrões de medidas mais precisos data de pouco mais de três
séculos. Avanços mais significativos surgiram entre os séculos XVI e XVII, onde
exploradores navegavam em busca de riquezas em viagens que iam cada vez mais distantes.
Tal fato exigia a melhoria do sistema de navegação marítima para que a posição do navio
fosse determinada com menor margem de erro. Essa necessidade levou ao surgimento de
relógios mecânicos mais precisos [BEBEACHIBULI, 2013].
Com o desenvolvimento tecnológico dos sistemas de radar e das telecomunicações, a
demanda pela uniformidade nos padrões de medida cresceu, tornando a precisão dos relógios
mecânicos insuficiente, levando ao desenvolvimento dos relógios de quartzo. Seu grande
diferencial é a precisão; enquanto os antigos relógios mecânicos perdiam um décimo de
segundo por dia, os de quartzo não erram mais do que um milésimo [DIMAS, 1976]. A
substituição das oscilações mecânicas por oscilações eletrônicas, baseadas em certas
propriedades elétricas desses cristais, permitiu tal aumento na precisão das medidas de tempo.
Com o desenvolvimento da Física Atômica, notou-se que as frequências derivadas das
transições ressoantes de átomos e moléculas oferecem larga vantagem sobre os demais
métodos até então utilizados. A principal vantagem do relógio atômico é que qualquer
transição não perturbada é idêntica de átomo a átomo e, dessa forma, relógios baseados na
mesma transição podem gerar a mesma frequência sem alterar suas propriedades físicas com o
tempo.
Em 1949 foi desenvolvido, por Harold Lyons (no Instituto de Padrões e TecnologiaNIST), o primeiro relógio que utilizava o átomo como elemento básico para a contagem do
tempo, usando moléculas de amônia [BAGNATO, 2012]. Em meados da década de 50, uma
versão aprimorada baseada na transição do átomo de césio, construído por Louis Essen e John
Parry (do Laboratório Nacional Britânico de Física), levou a uma nova definição aceita
internacionalmente acerca do “segundo”. Em 1967, na 13ª Conferência Geral de Pesos e
Medidas, o “segundo” foi definido na transição hiperfina do átomo de césio
[BEBEACHIBULI, 2013]:
47
O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos correspondentes à transição entre
os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio
133
Cs [BEBEACHIBULI,
2013], isto é, o segundo é o padrão de medida do tempo.
A margem de erro de um relógio desses é de apenas alguns segundos em milhões de
anos, contra um segundo por dia em um relógio de pulso comum [BAGNATO; 2012]. A
Figura 16 apresenta a precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia. Para algumas
aplicações exatidão da ordem de segundos em até alguns mil anos pode ser suficiente. Para
outras, é necessário manter os relógios com precisão superiores.
Figura 16: Precisão de diferentes relógios utilizados no dia a dia [BAGNATO 2012].
Um dos mais importantes usos dos relógios atômicos ocorre no sistema de navegação.
Na localização geográfica via satélite, as frações de segundos são imprescindíveis ao Sistema
de Posicionamento Global (GPS), composto por 24 satélites que orbitam o planeta
[BERNARDI e LANDIM, 2002]. Cada satélite contém um par de relógios atômicos;
emissores de localização emitem sinais sincronizados e, em qualquer ponto na superfície da
Terra, um receptor capta os sinais e mede a diferença de chegada de cada um deles; e por
triangulação a posição do receptor é determinada. O relógio atômico é fundamental nesses
sistemas, pois é a única maneira de medir com precisão a localização do receptor [SANTOS,
2008].
48
Nas telecomunicações a sincronização do tempo é uma necessidade fundamental da
rede, pois controla o tráfego de informações via fibras ópticas, mensura os fluxos de dados,
mede a duração das transmissões e ajuda a direcionar as ligações. Na troca de dados e de voz
o sincronismo garante o bom funcionamento do sistema. Sem tal sincronismo, corre-se o risco
de erros que comprometem as ligações [OLIVEIRA, 2006].
Na indústria, os relógios atômicos são usados para calibrar geradores de frequência,
sintetizadores, contadores e outros instrumentos que dependem de padrões de frequência.
Vários países mantêm transmissão constante de tempo, com base em relógios atômicos, para
que instrumentos e relógios públicos sejam calibrados, permitindo sincronismo em todo o seu
território [BAGNATO 2012]. O panorama atual dos padrões de frequência torna realidade
testes de Física Fundamental. Os cientistas do laboratório do NIST conseguiram, pela
primeira vez, observar o fenômeno da dilatação do tempo previsto pela Teoria da
Relatividade, em dimensões de cerca de 33cm, usando dois dos mais precisos relógios
atômicos já construídos [WINELAND; 2010].
Atualmente diversos países dominam a tecnologia envolvida na construção dos
padrões de frequência atômica. Os Estados Unidos, por exemplo, anunciaram, em 2013, a
criação do relógio atômico mais preciso do mundo, que utiliza como matéria-prima o
elemento químico itérbio (Yb), dez vezes mais preciso do que outros dispositivos já
desenvolvidos, apresentando uma variação de menos de um segundo em 13,8 bilhões de anos,
a idade estimada do universo [LUDLOW, 2013]. O Brasil, em 1998, iniciou um programa de
metrologia de tempo e frequência quando o grupo de Óptica do Instituto de Física de São
Carlos, e a atual CePOF (Centro de Pesquisa em Óptica e Fotônica), deram início à
construção do primeiro relógio atômico com feixe de césio, e em seguida, à construção de um
relógio tipo chafariz [BEBEACHIBULI 2013].
2.2 O RELÓGIO ATÔMICO DE FEIXE EFUSIVO DE CÉSIO
Nesta seção discutiremos o princípio de funcionamento do relógio atômico de feixe
térmico de césio, primeiro modelo construído pelo Programa Brasileiro de Metrologia de
49
Tempo e Frequência, e primeiro da América Latina operado a laser, baseado no efeito de
bombeamento óptico e detecção de fluorescência. Este relógio está representado na Figura 17.
Figura 17: Primeiro relógio atômico brasileiro [ALVES, 2012].
O processo começa em um forno efusivo de césio, esquematizado na Figura 18,
operando a uma temperatura em torno de 375 K (102 ºC). Nele, os átomos emergem em dois
2
estados quânticos (da estrutura hiperfina) do estado fundamental 6 S 1 [BAGNATO e
2
MAGALHÃES, 2002]. Ao emergir do forno, os átomos podem estar em um de seus dois
estados energéticos de spin, e passam por uma região chamada região de preparação. Nesta
2
região todos os átomos de césio são preparados opticamente no estado 6 S 1 , com f = 3 ,
2
por
um
feixe
laser
ressonante
com
transição
62S 1 ( f = 4) → 62P3 ( f ' = 4) [BEBEACHIBULI; 2013]. Dessa forma, os átomos que saem
2
2
do forno no estado f = 3 (bolas azuis do diagrama da Figura 18) não interagem com o laser,
mas aqueles com f = 4 (bolas vermelhas na Figura 18), sofrem a transição e podem decair
para 6 S1 ( f = 3) .
2
2
50
Figura 18: Diagrama do relógio atômico a feixe térmico de césio [BAGNATO 2012].
Uma vez preparado, o feixe de césio penetra em uma cavidade de microondas,
chamada de cavidade Ramsey, e interage com um campo magnético perpendicular à direção
de propagação dos átomos e paralelo à radiação de microondas. A cavidade de microondas é
alimentada
por
um
gerador
de
9,192631770 GHz , correspondente à transição
62S 1 ( f = 3) ↔ 62S 1 ( f = 4) , capaz de fazer os átomos passarem para o estado f = 4
2
2
[BAGNATO, 2012].
Após a passagem dos átomos pela cavidade de microondas, alguns átomos continuam
no estado f = 3 , mas muitos deles emergem em f = 4 e são analisados opticamente por um
segundo laser, ressonante com a transição 6 S 1 ( f = 4) → 6 P3 ( f ' = 4) ; os átomos que
2
2
2
2
absorvem energia desse laser transitam para o estado excitado emitindo fótons ao decaírem
para o estado fundamental [BAGNATO, 2012], como ilustra a Figura 19. Essa emissão de
fótons produz uma fluorescência que indica que os átomos, ao atravessar a cavidade,
passaram de f = 3 para f = 4 . O sinal obtido é uma função de frequência do sinal do
gerador de microondas conhecido como franja de Ramsey [SILVA, 1998], e é mostrado na
Figura 20.
51
Figura 19: Diagrama das transições envolvidas na detecção dos
átomos. Somente os átomos que saírem no estado 6 2S 1 ( f = 4 )
2
absorverão os fótons desta radiação e decairão emitindo radiação
espontaneamente.
Quanto mais intensa a fluorescência, maior o número de átomos que mudaram de
estado; a intensidade da fluorescência reflete diretamente a interação dos átomos com a
radiação eletromagnética. Variando a frequência υ dessa radiação, a máxima fluorescência
ocorre quando υ é exatamente de 9.192.631.770 Hz. O relógio atômico procura manter
inalterada a radiação que produz o máximo de fluorescência, para garantir o fator da
frequência. Para isso, é preciso todo um sistema que analise o processo e introduza correções
de modo a manter a frequência no valor exato, aquele que define a unidade do “segundo”
[BAGNATO, 2012].
Figura 20: Franjas de Ramsey do relógio atômico de feixe
térmico [BAGNATO, 2012].
52
Os primeiros resultados obtidos, pelo grupo de Óptica do Instituto de Física de São
Carlos permitiram estimar uma precisão de
1
para o relógio, o que implica em uma
109
margem de erro inferior a um segundo em mais de um século. A avaliação correta de um
relógio atômico é feita comparando-o com outros relógios do mesmo tipo, o que permite
avaliar desvios relativos e prescrever correções.
2.3 O RELÓGIO ATÔMICO DE CHAFARIZ DE ÁTOMOS FRIOS
O modelo chafariz é o segundo relógio atômico construído pelo Instituto de Física de
São Carlos (visto na Figura 13); esse modelo opera de forma vertical e semelhante ao relógio
de feixe térmico, porém trabalha com átomos frios (átomos resfriados e armadilhados por
feixes de laser) e apresenta maior precisão.
Figura 21: Primeiro relógio atômico modelo chafariz do
Brasil [ALVES, 2012].
O funcionamento do relógio atômico de átomos frios, representado na Figura 22,
começa com um vapor de átomos de césio resfriados, a uma temperatura de alguns
milionésimos de grau acima do zero absoluto, e aprisionados em um sistema de vácuo por
uma armadilha óptica de feixes de laser [OLIVEIRA, 2006]. Em seguida são lançados
verticalmente, todos de um só nível do estado fundamental (nível utilizado para a transição
óptica de aprisionamento), até o interior de um tubo metálico, que possui uma cavidade de
microondas com 9.192.631.770 Hz de frequência (idêntica à oscilação da radiação do césio).
53
Sob a influência da gravidade, o grupo de átomos cai de volta interagindo novamente com as
microondas [Magalhães, 2004]. O ideal é que quando a cavidade de microondas estiver
alimentada com um sinal exatamente na ressonância atômica, e com intensidade correta, todos
os átomos sofram uma transição de nível de energia [ALVES, 2012].
Figura 22: Representação do funcionamento do relógio
atômico de átomos frios [OLIVEIRA, 2006].
Durante a viagem, os estados atômicos dos átomos podem ou não ser alterados à
medida que interagem com o sinal de microondas. Quando a viagem é concluída, a nuvem de
átomos interage com dois feixes de laser; o primeiro feixe detecta os átomos no estado f = 4
e, em seguida, a amostra passa pelo segundo feixe, que detecta os átomos no estado f = 3 e
f = 4 [ALVES, 2012].
Os átomos cujo estado atômico foram alterados pelo sinal de microondas emitem luz,
e os fótons são medidos por um detector de fluorescência. Este processo é repetido várias
vezes, enquanto o sinal de microondas no interior da cavidade é sintonizado para frequências
54
diferentes. Eventualmente, uma frequência de microondas que altera os estados da maior parte
dos átomos de césio e maximiza a sua fluorescência é encontrada [JEFFERTS, 2013]. Esta
frequência é a frequência de ressonância natural do átomo de césio (9.192.631.770 Hz), ou a
frequência usada para definir o “segundo”.
Os estudos sobre a técnica de armadilhamento óptico, usada nos relógios atômicos,
deram o prêmio Nobel de Física de 2012 para Dave Wineland (Estados Unidos) e Serge
Haroche (França), que desenvolveram seus trabalhos independentemente.
55
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
•
A Física Atômica e os conceitos de Mecânica Quântica explicam a estrutura dos
átomos;
•
É possível usar o laser como uma ferramenta auxiliar para se medir o tempo;
•
Os átomos de césio apresentam frequência de transição hiperfina bem definida (que
estabelece a definição do “segundo”) e, por isso, são usados hoje como instrumento na
medição do tempo;
•
Os relógios atômicos são fundamentais nos sistemas de navegação, nas redes de
telecomunicações e na indústria, pois representam a única maneira de manter esses
sistemas operando de forma precisa;
•
Na ciência esses relógios permitem a realização de testes de Física Fundamental e
possibilitam o estudo de padrões cada vez melhores de frequência.
56
APÊNDICE: UM POUCO DE FÍSICA MODERNA
No final do século XIX, a Física parecia ter atingido seu ponto máximo de compreensão.
As leis de Newton para a mecânica e para a gravitação descreviam com precisão o
comportamento dos corpos celestes e terrestres [ROSA, 2004]. No começo do século XX,
foram descobertos fenômenos vinculados à estrutura atômica que eram inexplicáveis do ponto
de vista clássico, como a distribuição de energia da luz na radiação do corpo negro e o efeito
fotoelétrico. Em 1900, Max Planck postulou que a energia emitida por corpos irradiantes era
composta por pacotes de energia; essa radiação emitida se dava de forma quantizada, ou seja,
por múltiplos inteiros de um quantum de energia [NUNES, 2007], definido como E = hυ onde
υ é a frequência da radiação e h é a constante universal, conhecida como constate de Planck.
Em 1905, Einstein apresentou uma explicação para o efeito fotoelétrico baseada nas ideias de
Planck sobre quantização. Einstein propôs que a quantização da energia no problema do corpo
negro fosse uma característica universal da luz [LLEWELLYN e TIPLER, 1978], e que
radiação eletromagnética associada a uma determinada frequência consiste em um quantum
de energia, a qual é transferida para um único elétron.
Em 1912, Bohr propôs seu modelo atômico para o átomo de hidrogênio levando em
consideração regras de quantização. Em seu modelo o elétron não poderia estar em qualquer
órbita em torno do núcleo. Como para cada órbita existe uma energia associada, Bohr
verificou que as energias da radiação emitida nas mudanças de órbitas seriam discretas, ou
seja, as energias irradiadas seriam quantizadas.
Levando em consideração os postulados de Bohr e Einstein, o físico francês Louis de
Broglie formulou a hipótese de que a matéria que possui características corpusculares deveria,
em certas circunstâncias, apresentar comportamento ondulatório [MONTEIRO, 2014]. Louis
de Broglie expressou sua hipótese matematicamente através das equações da frequência e
comprimento de onda das ondas de matéria, hoje conhecidas como relações de de Broglie
[LLEWELLYN e TIPLER, 1978],
υ=
E
,
h
(65)
57
p=
h
λ
,
(66)
onde E é a energia relacionada à frequência, p o momento linear e λ o comprimento de
onda de de Broglie da partícula. No final de 1925, essas ideias foram ampliadas e
transformadas em uma teoria mais completa por Erwin Schrödinger.
A FUNÇÃO DE ONDA E A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
A equação de Schrödinger descreve a evolução espacial e temporal de uma partícula em
um sistema físico. Para encontrar a equação de Schrödinger consideremos a função de onda
para uma partícula livre, ou seja, aquela aquela que não sofre a ação de nenhuma força
resultante da forma [RESENDE, 1996]:
Ψ ( x , t ) = Ae i ( kx −ω t ) ,
(67)
onde A é a amplitude, k representa o módulo do vetor de onda e ω é a frequência angular.
Derivando a equação (67) em relação a x obtemos
∂Ψ ( x , t )
= ikAe i ( kx − wt ) .
∂x
(68)
A equação (68) pode ser escrita da seguinte forma:
∂Ψ ( x , t )
p
= i Ψ ( x, t ),
∂x
h
onde
(69)
p
=k.
h
58
Da equação (69) obtemos
pˆ = −ih
∂
,
∂x
(70)
que representa o operador momentum em uma dimensão. Derivando a função de onda em
relação a t obtemos a seguinte relação
(71)
∂Ψ ( x , t )
= −iωAe i ( kx −ωt ) ,
∂t
ou ainda
E
∂Ψ ( x , t )
= −i Ψ ( x, t ),
h
∂t
onde ω =
(72)
E
. Dessa forma temos que:
h
∂
Eˆ = ih ,
∂t
(73)
que representa o operador energia. A equação de Schrödinger mostra que a energia total de
uma partícula, em termos de operadores atuando sobre a função de onda, é a soma das
energias cinética e potencial (V ), podendo ser escrita da seguinte forma [RESENDE, 1996]
p2
Ψ + VΨ = EΨ .
2m
(74)
Substituindo, na equação (74), as grandezas momentum e energia pelos seus respectivos
operadores, obtemos a equação de Schrödinger para uma partícula que se movimenta em uma
única dimensão:
59
h 2 ∂ 2Ψ
∂Ψ
−
+
V
Ψ
=
i
h
.
2 m ∂x 2
∂t
(75)
EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO
Para casos em que a energia potencial não depende do tempo, as funções de tempo e
espaço podem ser separadas e escritas como o produto de duas funções de variáveis
independentes; esse método leva a uma das ideias fundamentais da Física Quântica: o
conceito de estados estacionários. Assim, temos para a função de onda [EISBERG e
RESNICK, 1988]:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) f (t ).
(76)
Substituindo a equação (76) na equação (75) e dividindo por ψ f obtemos
h 2 1 d 2ψ
1 df
−
+ V = ih
.
2
2m ψ dx
f dt
(77)
O lado esquerdo da equação (77) é uma função apenas de x , e o lado direito é função
apenas de t . Isto significa que variações de t não afetam o lado esquerdo e variações de
x
não afetam o lado direito da equação (77). Dessa forma os dois lados da equação devem ser
iguais à uma única constante, que vamos chamar de
λ ; assim, da equação (77):
h 2 d 2ψ
−
+ Vψ = λψ
2m dx 2
(78)
e
ih
df
= λf .
dt
(79)
60
A solução da equação (79) é dada por [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]
f (t ) = e
onde ω =
separação
λ
h
λ
é a
− iλ
t
h
(80)
,
frequência angular. Comparando com a equação (65), a constante de
é igual à energia associada à função de onda,
λ = E ; e a equação (79) se torna
h 2 d 2ψ
−
+ Vψ = Eψ ,
2m dx 2
(81)
que é conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. As soluções
independente do tempo, ψ = (x) , determinam a dependência espacial das soluções ψ = ( x, t )
[EISBERG e RESNICK, 1988], através de
Ψ ( x, t ) = ψe
−iE
t
h
.
(82)
O POÇO DE POTENCIAL INFINITO E OS NÍVEIS DE ENERGIA
Nesta seção vamos encontrar a função de onda
ψ = ( x, t ) para uma partícula num
poço infinito, representado na Figura 23. Este é um exemplo da aplicação da equação de
Schrödinger.
61
Figura 23: Poço de potencial infinito de largura L
A energia potencial em um poço de potencial infinito é dada por [RESENDE, 1996]:

 0 →
V ( x)
∞ →

L
L 
< x <
2
2 

L
L 
−
> x >
2
2 
−
(83)
A solução geral da equação de Schrödinger independente do tempo no interior de um
poço infinito é dada por:
ψ ( x ) = A cos( kx ) + Bsen ( kx ) ,
com k =
(84)
2mE
[RESENDE, 1996] e A e B sendo constantes.
h
Como o potencial é infinito do lado de fora do poço, a equação de Schrödinger só tem
sentido em seu interior, ou seja, no intervalo − L < x < L . Atendendo à condição de que a
2
função de onda deve ser contínua,
2
ψ (x) deve ser nula em x = ± L , condição de contorno.
2
Aplicando este conceito na equação (84) obtemos
 kL 
 kL 
A cos  ± Bsen   = 0.
 2 
 2 
(85)
Como as constantes A e B não podem ser simultaneamente nulas (pois assim
zero), a equação (85) é satisfeita escolhendo
ψ (x) seria
k de forma que cos 
kL 
 seja zero ou A = 0 ;
2
62
também fazendo B igual a zero ou escolhendo
k de forma que sen 
kL 
 seja zero
2
[EISBERG e RESNICK, 1988]. Assim, temos:
A=0
 kL 
cos   ,
2
ou
(86)
e
B=0
Os valores possíveis de
 kL 
sen   .
2
ou
(87)
k que satisfazem a equação (86) são
kL
= π ,2π ,3π ...
2
Para a equação (87) os valores de
(88)
k são
kL π 3π 5π
= , , ...
2
2 2 2
(89)
Dessa forma as soluções espaciais da equação de Schrödinger independente do tempo
para um poço de potencial infinito são [LLEWELLYN e TIPLER, 1978]:
 nπ 
x
 L 
n = 1,3,5...
(90)
 nπ
 L
n = 2,4,6... ,
(91)
ψ n ( x ) = A cos
e
ψ n ( x ) = Bsen 

x

onde n representa o nível de energia associado à função à função de onda ψ .
63
Os valores de energia quantizados, ou autovalores de energia, podem ser obtidos a
partir de E =
h2k 2
[RESENDE, 1996] substituindo k pelos seus respectivos valores, dados
2m
pelas equações (88) e (89). Assim, as energias possíveis são dadas por [RESENDE, 1996]:
En =
h 2π 2 2
n ,
2 mL2
(92)
onde n é chamado número quântico principal, pois representa os níveis de energia. As
constantes A e B podem ser encontradas usando a condição de normalização da função de
onda [EISBERG e RESNICK, 1988]:
∫
L/2
−L / 2
Assim,
obtemos
Ψn ( x, t ) = ψ e−iEnt / h ,
A= B =
2
.
L
2
(93)
ψ n ( x ) = 1.
As
funções
de
onda
normalizadas,
representam as soluções deste problema e são conhecidas como
autofunções. A Figura 24 mostra os autovalores e as autofunções para três estados de uma
partícula em um poço de potencial infinito.
Figura 24: Três primeiros níveis discretos de energia (a); três
autofunções para a partícula em um poço de potencial infinito (b).
64
As formas das funções que aparecem na Figura 24 fazem sentido quando observamos
a partícula como uma onda. Neste caso, somente certos comprimentos de onda podem existir
dentro da caixa em decorrência das condições de contorno impostas no problema, da mesma
forma como uma corda esticada com ambas as extremidades fixas (as cordas de um violão,
por exemplo) só pode vibrar em certas frequências discretas [ATKINS e JONES, 2011]. A
forma matemática da função de onda obedece à descrição de uma onda estacionária:
 2   nπx 
ψ n ( x ) =   sen
, com n = 1,3,5...
L  L 
(94)
Outra consequêcia da equação (92) é que uma particula confinada não pode ter energia
total nula [RESNICK e EISBERG]. Como o menor valor de n é 1 a energia mais baixa é
h 2π 2
E1 =
. Este é a menor energia possível e é chamada de energia do ponto zero, sendo
2mL2
consistente com o princípio da incerteza. A energia de ponto zero prevê que uma partícula não
pode estar perfeitamente imóvel, devendo haver um extado mínimo de movimento
[LLEWELLYN e TIPLER, 1978].
65
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