Sistemas e Sinais (LEIC)
Carlos Cardeira
Sistemas e Sinais
As Engenharias (Electrotécnica,
Mecânica, etc) estão a perder o contacto
com o mundo físico.
 Microelectromecânica o que é ? Engª
Mecânica ? Electrotécnica ?
Processamento de Sinal ? Matemática ?
Redes ?

Onde existem sistemas ?
Sistemas aeronáuticos
 Mecânica estrutural
 Sistemas eléctricos
 Futuros e Opções
…

Circuitos
Os circuitos são o coração de um
Engenheiro (especialmente
electrotécnico)
 Mas hoje já existem técnicas analíticas
que evitam o desenho de circuitos
 Circuitos em si passaram a ser uma área
de especialização

Sinais
Tradicionalmente, um sinal é uma
tensão que varia ao longo do tempo.
 Actualmente é mais provável que seja
uma sequência de bits enviada pela
internet através de TCP/IP

Estado
O estado de um sistema poderia ser bem
determinado pelas variáveis de uma
equação diferencial
 Agora é mais provável que seja um
conjunto de registos de um computador.

Sistema
Um sistema era razoavelmente bem
modelizado por uma função de
tranferência linear e invariante no
tempo.
 Agora, parece ser mais adequadamente
descrito através de uma máquina de
Turing !

Sistemas e Sinais












Sinais, Sistemas e Funções
Noção de Estado
Não Determinismo e Equivalência
Composição de Máquinas de Estado
Sistemas Lineares
Resposta de Sistemas Lineares
Sistemas Híbridos
Resposta em frequência
Filtragem
Convolução
Transformadas de Fourier
Amostragem
Sinais e Sistemas
Os sinais transportam informação
 Os sistemas transformam sinais

Sinais
Som
 Imagem
 Sequência de comandos
 Lista de nomes
…
Funções

Sistemas
Realçar uma imagem
 Amplificar um som
…


Funções !
Matematicamente …
Um sinal é uma função que mapeia um
domínio (frequentemente tempo ou
espaço) num contradomínio
(frequentemente uma medida física
como pressão, intensidade de luz …)
 Um sistema é uma função que mapeia
sinais (entradas) em sinais (saídas). São
funções de funções.

Sinais

Sinais são funções que transportam
informação:
Radio e TV chegam-nos através de sinais
que são ondas electromagnéticas
 Imagens são sinais que transportam
informação através de pontos de
intensidade e cor variáveis

Sensores

Sensores de pressão, temperatura,
velocidade, convertem estas grandezas
físicas em tensão (sinais)
Funções


Sinais e Sistemas serão encarados como
funções.
Cada função é sempre constituída por:
Um nome
 Um domínio
 Um contradomínio
 A regra que converte cada elemento do domínio em
um e só um elemento do contradomínio
(ver apêndice A do livro de referência)

Exemplo:




Nome: Cube
Domínio: Reais
Contradomínio: Reais
Regra:
Sinais de Audio: Domínio e
Contradomínio
Sinusoide pura
Soma de Sinusoides
Onda sonora
A pressão não pode assumir valores
negativos.
 Na figura aparecem valores negativos
porque normalmente se subtrai a
pressão atmosférica (105 N/m2) uma vez
que os nossos ouvidos não “ouvem” a
pressão atmosférica

Exemplo
x=0:pi/8192:2*pi
 sound(sin(1000*x))
 sound(sin(10000*x))
 sound(sin(1000*x)+sin(10000*x))

Representação discreta




Mas num computador não se guardam sinais
contínuos (numa cassete sim, embora com
distorção…)
É usual guardá-los em palavras de 16 bit
gravadas a intervalos regulares
Com 16 bit é possível distinguir 65536 níveis
de intensidade diferentes
Guardando esses valores a um ritmo de 44
Khz obtém-se uma boa representação do sinal
contínuo (som) original
Representação Discreta
Representação Discreta (Exemplo)
Canal Esquerdo
Canal Direito
Bocelli 44.1 Khz
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
x 10
Se amostrado a 4.41 Khz:
[Bocelli44, SampleFreq, Bits]=wavread('bocelli');
siz=size(Bocelli44);
ratio=10
for i=ratio:ratio:siz(1)
Bocelli4(i/ratio) = (Bocelli44(i, 1) + Bocelli44(i, 2))/2;
i
end
Bocelli amostrado a 4.41 Khz
Bocelli 4.41 Khz
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
x 10
Comparação
Canal Esquerdo
Canal Direito
Bocelli 44.1 Khz
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
Bocelli 4.41 Khz
-0.1
0.15
-0.15
0.1
-0.2
20
40
60
80
100
120
140
0.05
0
-0.05
-0.1
2
4
6
8
10
12
14
Imagens

Foto a preto e branco
Exemplo de imagem
Imagens a cores
Olhos e ouvidos
O ouvido consegue distinguir sons de
frequências diferentes quando somados
 O olho não consegue distinguir cores
diferentes quando somadas


O ouvido pode ser modelizado por um
sistema linear enquanto que o olho não
Filme: Domínio e Contradomínio
Filme: Domínio e Contradomínio

Alternativamente:
Sequência de imagens forma um
filme
Sequência de imagens forma um
filme
Olhos e ouvidos
Uma amostragem de 30 Hz é suficiente
para reconstruir um filme
 Uma amostragem de 8 KHz ainda é
insuficiente para reconstituir um som


Conclusão: não fossem os volumes de
informação a tratar serem bem
diferentes, dir-se-ia que somos muito
melhor a “ouvir” do que a “ver”.
Qual a representação mais
favorável ?

Video:TempoDiscreto → Imagens
DiscreteTime={0, 1/30, 2/30, …}
Video(t)  Imagens
Video(t)(i,j)  Intensidade3
(é o pixel i,j da frame t)
Qual a representaçao mais
favorável


AltVideo: TempoDiscreto x Linhas x Colunas →
Intensidade3
AltVideo(t,i,j) é a intensidade do pixel i, j da
frame t

AltVideo(t,i,j) = Video(t)(i,j)

A representação mais favorável dependerá do
que pretendemos caso a caso. Depende do
Engenho …
Sinais que representam atributos
físicos


Posição de um avião
Posição e velocidade
de um avião
Sinais que representam atributos
físicos

Posição de um
pêndulo
Sinais compostos por eventos


Sequência de eventos que ocorre durante a
realização de uma chamada telefónica
Sequência de comandos para uma impressão
Domínio e Contradomínio
Exemplo: Condução
Condução: Indices→ Eventos
Índices = {0,1,2,…,N}
Eventos: {Ligar, Acelerar, Travar, 1ª, 2ª,
3ª, 4ª, 5ª, Marcha-Atrás, Virar Esquerda,
Virar Direita, Parar}
Domínio e Contradomínio
Exemplo: Entrada e Saída de Pessoas na sala
Porta_de_entrada: Indices→ Eventos
Índices = {0,1,2,…,N}
Eventos: {Entrada, Saída}
Exemplo: Número de Pessoas na sala
Pessoas_na_sala: Índices → Inteiros
Os índices representam uma sucessão ou ordem
de eventos e não o tempo
SISTEMAS
Entradas (u)
Sistema
Sinais
Saídas (y)
DTMF

DTMF:{0,1,2,3,…,9,*,#}→sound
SISTEMAS: Pessoas_na_sala
Pessoas_na_sala:
[Índices→{entrada,saída}] →
[Índices →N.Pessoas_na_sala]
u=(e,e,e,s,e,…)
y=(2,3,4,3,4,…)
Sala
(1 p. início)
Sistema : Função

O sistema “Pessoas na sala” pode ser descrito
através da funcão:


y(0)=1+1(u(0)==e)-1(u(0)==s)=2
…
y (n)  1  1(u (k )  e)  1(u (k )  s)
n
k 0
1 : verdadeiro, falso  1,0
1(verdadeiro)  1,1( falso)  0

(Sistemas deste tipo têm a ver com o
dimensionamento de buffers)
Sistema Contínuo


Velocidades:[0,5]→Reais, Posição:[0,5]→Reais
S:Velocidades→ Posição
u  Velocidades
S
y  Posição
y(0)= pos. ini.
u  Velocidades, t  0,5
t
S (u )(t )  y (t )  y (0)   u ( )d
0
Sistemas que dependem do
passado
y(n)  1  1(u (k )  e)  1(u (k )  s)
n
k 0
t
S (u )(t )  y(t )  y(0)   u( )d
0

Nestes sistemas, o sinal de saída
depende não apenas do valor do sinal de
entrada nesse instante, mas de todo o
passado do sistema
Nota:
t
S (u )(t )  y(t )  y (0)   u ( )d
0
S(u)(t) faz sentido porque S(u) é uma
função de t.
 S(u(t)) não faz sentido porque u(t) é
apenas um número e a função S
depende de todo o passado de u(t)

Nota:
t  Re als,


S u t   yt   u t 
2
Neste sistema, y(t) só depende do valor de
u(t) no mesmo instante.
Neste caso, S(u)(t) e S(u(t)) já fazem
sentido.
Composição de sistemas
S2
a
v
v
S1
v(0)
y
y(0)
S S  : aceleração posição
S S  a t   y t   y 0   v sds
1
2
t
1
2


0
 y 0  0 v 0  0 a d d s
t
s
Máquinas de estados
Sinais de entrada e de saída são eventos
 Representa-se graficamente a
dependencia do passado

Reconhecedor de Sequências
Máquina de estados
Máquina de estados
Tem um número de círculos igual ao
número de estados
 De cada estado saem tantas setas
quantos os diferentes símbolos de
entrada
 Cada seta tem o símbolo de entrada /
valor da saída que produz caso o
sistema esteja nesse estado e receba
essa entrada

Máquina de estados

No caso do reconhecedor:
Update (init, ‘0’) = (a, f)
 Update (a, ‘1’) = (init, f)
…

Máquina de Estados
Reconhecedor
O reconhecedor de sequências anterior
detecta uma sequência de 3 símbolos ‘0’
seguidos
 Aceita um alfabeto maior que o primeiro
reconhecedor apresentado

Reconhecedor com 4 estados
Reconhecedor com 4 estados
Embora tenha mais estados este
reconhecedor produz exactamente o
mesmo resultado
 Apenas os nomes dos estados são mais
intuitivos

Definição formal de máquina de
estados

StateMachine = (States, Inputs, Outputs,
update, initialState)





States é o espaço de estados
Inputs é o conjunto de símbolos de entrada
(alfabeto de entrada)
Outputs é o conjunto dos símbolos de saída
(alfabeto de saída)
initialState ∈ States é o estado inicial
update: States x Inputs → States x Outputs é a
função que mapeia os sinais de entrada nos sinais
de saída
Entradas e Sinais de entrada
Não confundir Entradas com Sinais de
entrada.
 Um sinal de entrada é uma sequência de
elementos do conjunto de entradas
 Analogamente em relação às saídas.

Reconhecedor
Máquinas de estado

Por vezes é conveniente separar a
função update em duas:
update = (nextState, output),
 nextState: States x Inputs → States
 output: States x Inputs → Outputs


Ou:
update(s(n), x(n)) = (s(n+1), y(n))
 nextState(s(n), x(n)) = s(n+1)
 output(s(n), x(n)) = y(n)

Funcionamento da ME



S = (States, Inputs, Outputs, update, initialState)
InputSignals = [Nats0 → Inputs]
OutputSignals = [Nats0 → Outputs]

Um sinal de entrada x = (x(0), x(1), … , x(n), …) provoca
mudanças de estado s: Nats0 → States e mudanças nas saídas
y: Nats0 → Outputs

s(0) = initState, and n ≥ 0, e recursivamente teremos (s(n+1),
y(n)) = update (s(n), x(n))


Assim S define um sistema
F: InputSignals → OutputSignals
Exemplo
Reconhecedor:
 InputSignals = [Nats0 → {0,1}]
 OutputSignals = [Nats0 → {t,f}]
 F: ∀x ∈ InputSignals, ∀ n ∈ Nats0
 y(n) = F(x)(n)

= t, se (x(n-2), x(n-1)), x(0)) = (0,0,0)
 = f, se não

Símbolo ‘Absent’
absent ∈ Inputs and absent ∈ Outputs
  s ∈ States, update(s, absent) = (s,
absent)

Reconhecedor Modificado
Reconhecedor Modificado

O reconhecedor modificado produz
apenas a saída “true” quando encontra a
sequência e não produz nada (absent)
enquanto não encontrar a sequência.
Simplificações (else e absent
implícitos)
Guardas
Em cada estado, as guardas devem ser
disjuntas
 Diz-me que se trata de uma máquina
determinística porque a cada entrada só
pode corresponder um estado seguinte.
 A união de todas as guardas em cada
estado deve ser igual ao conjunto das
entradas

Máquina de Estados - Tabela

Se o número de entradas e de estados
for finito, a função update pode ser dada
por uma tabela
Exemplo : Parquímetro
Parquímetro
InputSequence = coin25, tick 20, coin5, tick 15, ...
StateResponse = 0, 25, 24, ..., 6, 5, 10, 9, 8, ..., 2, 1, 05
OutputSequence = expired, safe, safe, ..., safe, safe, safe, safe,
safe, ..., safe, safe, expired5
Formas de representar máquinas
de estados
Modelo de conjuntos / funções
 Diagrama de estados/transições
 Tabela


As duas últimas formas não permitem
representar máquinas infinitas
Exemplo: Gravador de Chamadas
Uma empresa quer especificar um
gravador de chamadas.
 Normalmente especifica em linguagem
natural (português), que pode ser
ambígua.
 Se especificasse em Máquinas de
Estados não haveria ambiguidade.

Especificação e Implementação
Normalmente especifica-se as relações
entre as entradas e saídas, só que esse
conjunto pode ser infinito.
 Passar de máquinas de estados a uma
implementação é cada vez mais
automático

Gravador de Chamadas
Gravador de Chamadas
Entrada: ring, ring, ring, end greeting , end message, …
Estado: idle, count1, count2, play greeting, recording , …
Saída: absent, absent, answer, record, recorded, …
Gravador de Chamadas
Se alguém atender, a máquina vai para
idle.
 As máquinas normais continuam a
gravar porque não reconhecem o evento
“levantar do auscultador”.
 Funções como gravar, etc, não são feitas
pela máquina de estados. Alguém se
encarrega disso.

Exemplo: Delay
Delay unitário
Delay 2
Delay n
Delay 2 implica 4 estados
 Delay n implica 2n estados

Se ligarmos dois delays e os
combinarmos o número total de estados
é quanto ?
 Atenção que o estado passa a ser a
combinação dos estados.

Máquinas de Estados Não
Determinísticas



São máquinas em que a uma entrada pode
corresponder mais do que um estado ou saída.
Exemplo: parquímetro em que se reduz o
número de estados. Fica não determinística
mas bastante simplificada.
No entanto a máquina não determinística deve
manter o mesmo comportamento da máquina
determinística.
Máquinas não Determinísticas

As guardas já não são disjuntas.

A um sinal de entrada podem corresponder muitos
sinais de saída. Exemplo: x(n)= 0, 1, 0, 1, 0, 1
Transição de estados
Se a máquina for não determinística,
pode haver uma probabilidade de ir para
um ou para outro estado.
 Se assim for estamos perante “Cadeias
de Markov”.
 No nosso caso, o não determínismo
pode ser usado para situações não
modeladas.

Update

Em máquinas não determinísticas, a função
update não gera um estado mas um conjunto
de estados. Não deixa de ser uma função.
Estados Possíveis
possibleUpdates(a, 0) = { (a, 0) }
possibleUpdates(a, 1) = { (b, 1) }
possibleUpdates(b, 0) = { (a, 0), (b, 1) }
possibleUpdates(b, 1) = { (b, 1) }
Função
Possibleupdate continua a ser uma
função, porque gera sempre um
elemento do contradomínio.
 Em contrapartida, a relação entre os
sinais de entrada e os sinais de saída
deixa de ser uma função.

Funções e Comportamentos
Uma máquina determinística pode ser
definida por uma função.
 Uma máquina não determinística define
um comportamento
 Behaviors = {(x,y) | y is a possible
output signal corresponding to x} ⊂
InputSignals x OutputSignals

Parquímetro Não Determinístico
Comparação
A máquina não determinística é mais
simples.
 No entanto, as saídas possíveis da
máquina não determinística, incluem as
da máquina deterministica.
 A máquina não determinística pode fazer
o que a máquina determinística faz e
possívelmente algo mais.

Abstracção
A máquina ND esconde detalhes da
máquina D
 As duas máquinas não são equivalentes.
 A máquina ND é uma abstracção da
máquina D

Interesse das Máq. ND


Por outro lado, se se provar que a Máquina
não Determinística não pode ter um certo
comportamento, então, garantidamente, a
Máquina Determinística também não o poderá
ter.
Se a ND for segura, a D também o será,
admitindo que, por segura se entende que
determinados estados não sucederão.
Exemplos: Deadlock. Livelock, etc.
Equivalência

Máquina
determinística

Máquina não
determinística
Equivalência e Simulação





Ambas respondem com (1, 0, 1, 0 …) à entrada (1,
1, 1, 1 …)
Consideram-se máquinas bisimilares (mutuamente
similares) porque uma máquina simula a outra e
reciprocamente.
Considera-se que uma máquina simula outra quando
consegue fazer o mesmo que a outra e talvez mais.
A máquina não determinística para o parquímetro
simulava a máquina determinística do mesmo
parquímetro.
A e B são mutuamente similares se A simula B e B
simula A
Simulação


Uma máquina simula outra se conseguir
ganhar o jogo da igualdade (matching game)
Regras do jogo da igualdade:



Inicialmente ambas as máquinas estão prontas no
seu estado inicial.
Apresenta-se uma entrada a ambas. B simula A se
for capaz de produzir a mesma saída sempre.
Se B não for capaz, perdeu o jogo e não simula A
Simulação (formal)

Considere as seguintes máquinas não determinísticas
Simulação (formal)
Ilustração da Simulação
Teorema
Se B simula A
 ComportamentosB ‫ כ‬ComportamentosA

exemplo
ComportamentosB = ComportamentosA
 Mas B não simula A !

Combinações de ME
Tendo um sistema descrito por uma
máquina A
 Um sistema descrito pela máquina B
 Se as saídas de A forem ligadas a B deve
ser possível conhecer o sistema final
com base nos seus componentes.
 Se a saída realimentar para a entrada,
também deverá ser possível fazer a
mesma análise.

Hipótese de funcionamento




Quando uma entrada chega ao sistema ela é
imediatamente consumida e é gerada a saída
correspondente.
Essa saída é consumida no mesmo instante
pelo sistema a jusante.
Cada componente só reage uma vez ao sinal
de entrada.
Se houver realimentação, o sinal de saída
aparece à entrada no mesmo instante.
Trivial: Composição paralela
Composição paralela
Composição paralela
Composição em cascata
Composição em cascata
Composição em cascata: exemplo
Composição em cascata: exemplo
No exemplo anterior, os estados (1,0) e
(0,1) não são alcançáveis.
 Numa composição em cascata, podem
existir estados não alcancáveis.

Composição: Produto de
Entradas/Saídas
Composição: Produto de
Entradas/Saídas
Como no caso do atendedor, há sinais
que podem ter proveniências diferentes
e saídas que podem ter destinos
diferentes.
 O sinal de play e o de record podem ser
destinados a máquinas diferentes.
 O Sinal de Chamada (ring) pode provir
de uma entrada diferente do sinal de fim
de chamada (end message)

Composição: Produto de
Entradas/Saídas
Composição: Produto de E/S

Por vezes, há entradas específicas para
determinados elementos do alfabeto.
Feedback
O Problema consiste em calcular a função update.
Ponto Fixo

A função update define-se através de
iterações que conduzam ao “ponto fixo”.
O que é o ponto fixo (Fixed Point)
O que é o ponto fixo (Fixed Point)
O que é o ponto fixo (Fixed Point)
Ponto Fixo: Hipóteses
Não há soluções: significa que não há
sinais que possam colocar o sistema a
funcionar. O sistema não funciona.
 Há mais do que uma solução: significa
que o problema não é “bem formado” e
não pode ser resolvido (not well formed)
 Há uma solução única: significa que o
sistema é “bem formado” (well formed)

Ponto Fixo: Exemplo



X=Y=Reais
f(x)=2x-1
Solução do ponto fixo:





X=f(x)
2x-1 = x
Tem uma solução única: x = 1
Se f(x) = x2 o sistema tem duas soluções (seria no
máximo, uma máquina não determinística)
Se f(x) = x+1 não tem solução
Realimentação sem entradas
externas: exemplo 1
Sistema “bem formado”





Se estiver no estado 1 e a entrada for verdadeiro, o
sistema não tem solução.
Se estiver no estado 1 e a entrada for falsa, ele
consome a entrada e passa ao estado 2 gerando a
saída falsa que é igual à entrada.
Se estiver no estado 2 e a entrada for falsa, o sistema
não tem solução.
Se estiver no estado 2 e a entrada for verdadeira, ele
consome a entrada e passa ao estado 1 gerando a
saída verdadeira que é igual à entrada.
O sistema é bem formado porque para cada estado há
uma única solução x=f(x)
Realimentação sem entradas
externas
Sistema “bem formado”
O sistema não tinha entradas.
 A entrada react é criada artificialmente
para representar que quando surge a
máquina pode avançar para o estado
seguinte (correr a sua função update).
 As duas máquinas são equivalentes
porque quando a entrada react surge, as
únicas hipóteses de evolução são as
indicadas na máquina inferior.

Realimentação sem entradas
externas: exemplo 2
Sistema “mal formado” (not wellformed)





Se estiver no estado 1 e a entrada for verdadeiro, o
sistema não tem solução.
Se estiver no estado 1 e a entrada for falsa, ele
consome a entrada e passa ao estado 2 gerando a
saída falsa que é igual à entrada.
Para o estado 1 há portanto uma solução única e o
sistema está no bom caminho para ser considerado
“bem-formado”
Se estiver no estado 2 e a entrada for verdadeira ou
falsa, a saída gerada é diferente da entrada.
O sistema é mal formado porque há um estado em
que não há solução para x=f(x)
Realimentação sem entradas
externas: exemplo 3
Sistema “mal formado” (not wellformed)



Se estiver no estado 1 e a entrada for
verdadeiro, a máquina consome a entrada e
gera uma saída igual.
Se estiver no estado 1 e a entrada for falsa,
ele consome a entrada e passa ao estado 2
gerando a saída falsa que é igual à entrada.
O sistema é mal formado porque há um
estado em que há mais do que uma única
solução x=f(x).
Máquinas em que a saída
depende apenas do estado
Máquinas em que a saída
depende apenas do estado
Nestes casos, qualquer que seja a
entrada, a saída é sempre a mesma para
cada estado.
 output(s, y) = y terá sempre uma única
solução que corresponderá à guarda
cuja entrada for igual a y
 Desta forma, estas máquinas são
sempre “bem formadas”.

Interesse das máquinas “bem
formadas”
Máquina B bem formada
(saída depende do estado)
y
w
A
B
z
C
Se uma máquina é Bem formada (as saídas dependem apenas do
estado), então sistema é bem formado
Máquinas em que a saída
depende apenas do estado





Suponhamos que a máquina B está num certo
estado e gera a saída y.
A máquina C (que pode não ser bem
formada), gera z.
A máquina A gera w.
Mas w será uma das guardas desse estado da
máquina B. Então ela continuará a gerar y.
O sistema todo é bem formado porque um dos
seus elementos o era.
Delay

A máquina delay tem saídas determinadas
pelo estado. É bem formada.
Bem formado ou mal formado ?
Método geral
Bem formado ou mal formado ?
Método geral


Começa-se com uma saída algures
Para cada máquina



Se a saída puder ser determinada, produzi-la
Se a mudança de estado puder ser determinada,
fazê-la
Repetir até dar a volta


Se todas as saídas estão determinadas – Bem
formado
Se alguns sinais estiverem indefinidos – Mal
formado
Bem formado ou mal formado ?
Exemplo
Bem formado ou mal formado ?
Exemplo





Começar com o estado A
O estado A gera sempre a saída y2=1
Como y2 é realimentada, teremos update (a,
1) = (b, (1,1))
O estado B gera sempre a saída y2=0
Como y2 é realimentada, teremos update (b,
0) = (b, (0,0))
Realimentação com entradas
Realimentação com entradas
A máquina tem dois portos de saída,
outputM1 e outputM2. Escolher um
estado s.
 ∀x1 ∈ Inputs1, resolver: outputM2 (s,
(x1, y2)) = y2; se y2 for única, então

nextState (s, x1) = (nextStateM(s, (x1, y2))
 output(s, x1) = outputM1(x1, y2)


Passará a haver uma equação de ponto
fixo para cada valor da entrada.
Sumário dos Caps. I a IV

Vimos até agora:
Sinais que são funções com domínio e
contradomínio: exemplo: sons, imagens
 Sistemas que transformam sinais, são
funções de funções: exemplo: filtros,
máquinas de fax
 Máquinas de estado (determinísticas ou
não) que descrevem a evolução dos
sistemas.
