Exercı́cios 1 - Inteiros
MA148 - Fundamentos da Matemática
prof. Fernando Torres
Exercı́cio 1. Sejam p, q e r números naturais. Prove ou exiba um contra-exemplo para cada uma das
seguintes afirmações:
(a) Se p e q são divisı́veis por r, então p + q é divisı́vel por r.
(b) Se p é divisı́vel por r e q não é divisı́vel por r, então p + q não é divisı́vel por r.
(c) Se p e q não são divisı́vel por r, então p + q não é divisı́vel por r.
(d) Se p é divisı́vel por r, então pq é divisı́vel por r.
(e) Se p é divisı́vel por r, então pq é divisı́vel por r.
(f) Se p + q é divisı́vel por r, então p e q são divisı́veis por r.
Exercı́cio 2. Sejam p, q e r números naturais. Prove que:
(a) 10p + q é divisı́vel por 3 se e somente se p + q é divisı́vel por 3.
(b) 100r + 10p + q é divisı́vel por 3 se e somente se r + p + q é divisı́vel por 3.
(c) Inspirado nos itens anteriores, deduza um critério de divisibilidade por 3.
Exercı́cio 3. Inspirado no exercı́cio anterior, crie um critério de divisibilidade para:
(a) 2, 4 e 8
(b) 5, 6 e 25
Exercı́cio 4. Se n é um número natural, define-se n! = 1 × 2 × · · · × n. Prove ou dê um contra-exemplo
às seguintes afirmações:
(a) n! é divisı́vel por todos os números pares menores que n
(b) n! é par, para qualquer n ∈ N
(c) Para todo n ≥ 100, temos n! divisı́vel por 3
(d) Para todo n ≥ 30, existe um número primo p tal que n! é divisı́vel por p
(e) Para todo n ∈ N, (n!)2 é divisı́vel por n!
Exercı́cio 5. Prove ou exiba um contra-exemplo para as seguintes afirmações:
(a) Se x ∈ Z e 4x é par, então x é par.
(b) Se x ∈ Z é par, então 4x é par.
(c) Se x ∈ Z e 3x é par, então x é par.
(d) Se x ∈ Z é par, então 3x é par.
(e) Se x ∈ Z e x2 é par, então x é par.
(f) x ∈ Z é par se e somente se x2 é par.
(g) x ∈ Z é ı́mpar se e somente se x2 é ı́mpar.
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Exercı́cio 6. Prove, por indução em n, as seguintes fórmulas:
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
(b) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
6
(c) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
(a) 1 + 2 + · · · + n =
(d) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ≤ n3
(e) 1 + 2−1 + 2−2 + · · · + 2−n ≤ 2
(f) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2
1
1
1
1
n
(g)
+
+
+ ··· +
=
1×2 2×3 3×4
n × (n + 1
n+1
n(n + 1)(n + 2)
3
(i) O número de subconjuntos de um conjunto de n elementos é 2n
(h) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) =
Exercı́cio 7. Prove, por indução, que o número de maneiras diferentes nas quais pode ser ordenado um
conjunto de n elementos é igual a n!.
Exercı́cio 8. Suponha um campeonato de futebol com n times em que todos jogam contra todos uma
n(n − 1)
única vez. Prove por indução que o número total de jogos é
.
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Exercı́cio 9. Prove, por indução, que para todo n ∈ N, n3 − n é divisı́vel por 6.
Exercı́cio 10. Fixe n ∈ N e seja {a1 , a2 , · · · , an } um conjunto com n números naturais. Prove que existe
um subconjunto de {a1 , a2 , · · · , an } tal que a soma de seus elementos é divisı́vel por n.
Sugestão: convença-se, primeiro, de que esta proposição é verdadeira escrevendo vários
exemplos. Para fazer a prova, inspire-se no conjunto {a1 , a1 + a2 , · · · , a1 + a2 + · · · + an }.
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