X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
NEXOS CONCEITUAIS DE NÚMERO NATURAL COMO SUSTENTAÇÃO
PARA O DESENVOLVIMENTO DE ATIVIDADES DE ENSINO1
João Paulo Rezende
Universidade Federal de Lavras - UFLA
[email protected]
José Antônio Araújo Andrade
Universidade Federal de Lavras - UFLA
[email protected]
Resumo: Este trabalho conta com uma reflexão sobre a dialética Lógico-Histórico, as
formas de pensamento científico, os Nexos Conceituais e as atividades orientadoras de
ensino, e se propõe, a partir disso, desenvolver uma abordagem Lógico-Histórica do
conceito de número e identificar alguns de seus Nexos Conceituais, trazendo, dessa forma,
novas contribuições para a área da Educação Matemática e oferecendo subsídios para a
produção de atividades orientadoras de ensino que sejam mais significativas e que
explorem as potencialidades dos Nexos Conceituais.
Palavras-chave: Nexos Conceituais; Atividades de Ensino; Números; Lógico-Histórico.
INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, a pesquisa referente ao ensino de Matemática vem sofrendo uma
reviravolta, ao passo que a reprodução de técnicas e algoritmos predefinidos vem dando
lugar a novas tendências metodológicas de ensino como a Resolução de Problemas e a
Educação Conceitual, mas essa mudança ainda é tímida quando nos referimos à prática em
sala de aula. Este trabalho, motivado pelas grandes dificuldades de ensino e aprendizado da
disciplina, segue a tendência atual e tem a missão de oferecer subsídios a professores e
pesquisadores em Educação Matemática, porém trata de um assunto ainda pouco
pesquisado: Os Nexos Conceituais.
Ao pensar em Matemática, é inevitável pensar em números e operações. Embora a
Matemática não seja só número, sem dúvida esse é o principal conceito matemático e a
primeira grande invenção que possibilitou ao homem explorar, através de um estudo
quantitativo e consequentemente com maior grau de precisão, as maravilhas do que
chamamos hoje de ciência. Segundo Karlson (1961, p. 6) “certamente a descoberta do
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Apoio Financeiro FAPEMIG (Fundação de Apoio a Pesquisa do Estado de Minas Gerais).
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número puro, como abstração do caso particular e firmado de um modo conceitual, é o
primeiro feito da humanidade – o primeiro e, quem sabe, talvez o maior”. Entendemos que
o conceito de número carrega consigo o alicerce de toda a Matemática, logo, nada mais
natural que iniciemos nossos estudos por essa grandiosa invenção.
Entendemos que os Nexos Conceituais de um dado conceito são as estruturas
fundamentadoras do mesmo, por isso é que nos dedicamos, orientados pelas obras de
Sousa (2004), Caraça (1984), Karlson (1961), Ifrah (2001) e outros, a delinear o que são os
Nexos Conceituais de Número e quais suas potencialidades para o ensino de Matemática,
contextualizando o Lógico-Histórico, as formas de pensamento acerca dos conceitos
matemáticos, as práticas pedagógicas, a produção/organização e a análise de atividades
orientadoras de ensino.
LÓGICO-HISTÓRICO
E
NEXOS
CONCEITUAIS:
CONSTRUCTOS
IMPORTANTES PARA AS ATIVIDADES DE ENSINO
Todo conceito tem uma história, a história de sua criação. A história da Matemática
não é, assim, uma história abstrata e linear, como se imagina às vezes, e
erradamente, a história da Matemática: uma sucessão impecável de
conceitos encadeados uns aos outros. Ao contrário, é a história das
necessidades e preocupações de grupos sociais ao buscar recensear seus
membros, seus bens, suas perdas, seus prisioneiros, ao procurar datar a
fundação de suas cidades e de suas vitórias utilizando os meios
disponíveis, às vezes empíricos, como o entalhe, as vezes estranhamente
mitológicos, como no caso dos egípcios.
(IFRAH, 2001, p.10)
Por trás dessa história, há um desenvolvimento lógico no qual se consolidam os
conceitos até então elaborados. Entendemos que tanto o lógico quanto o histórico crescem
juntos, concomitante e interdependente, e a essa dialética denominamos Lógico-Histórico.
Um estudo embasado nessa perspectiva, não tem a intenção de, necessariamente, reportar a
história do conceito, mas entender o movimento do pensamento que culminou na sua
formalização teórica, ou seja, possibilitar que os estudantes se apropriem das
particularidades do histórico que fundamentam o lógico.
Na sala de aula, o ensino apoiado na perspectiva Lógico-Histórica, possibilita ao
estudante o entendimento de um conceito em seu cerne. Por este viés, é dado ao estudante
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a oportunidade de (re)elaborar suas concepções sobre o conceito ao invés de simplesmente
decorá-lo. É sobre esse entendimento que pretendemos fundamentar nosso trabalho na
tentativa de romper com certas práticas cristalizadas no ensino de Matemática e trazer uma
nova abordagem, mais humanística do conceito de número.
Ao trabalharmos com atividades de ensino que contenham a dialética LógicoHistórico queremos que os estudantes estruturem as formas de pensamento na construção
do conceito estudado numa dinâmica de criação semelhante a da história do conceito. Para
tanto podemos, de acordo com Sousa (2004), dividir as qualidades de pensamento
científico em três categorias: pensamento empírico-discursivo, pensamento teórico e
pensamento flexível. O pensamento empírico-discursivo considera os aspectos externos,
perceptíveis do objeto, e o pensamento teórico considera a formalização científica. Para
preencher o vazio conceitual existente entre ambos, temos o pensamento flexível, que é o
elo entre os outros e contém o Lógico-Histórico do movimento do pensamento na busca
incansável da verdade. Contém a dúvida, a hesitação a incerteza e o dilema. Não é tão
organizado formalmente quanto o pensamento teórico nem tão sensorial quanto o
pensamento empírico-discursivo.
Sousa (2004) define nexo conceitual como elo entre as formas de pensar o conceito.
Eles fundamentam os conceitos, contém a lógica, a história, as abstrações, as formalizações
do pensar humano no processo de constituir-se humano pelo conhecimento. Portanto,
podemos considerar que o pensamento flexível contém os Nexos Conceituais que também
são chamados de Nexos Internos. Pensar o conteúdo sem se apropriar do pensamento
flexível é pensá-lo de forma fragmentada, em que não percebemos as conexões, a
interdependência entre os conceitos, o processo de formalização, isto é, pensamos o
conteúdo de forma superficial e desconexa, e o “entendemos” apenas por definições e
propriedades as quais parecem ter sempre sido construídas alheias às necessidades
humanas, não havendo um movimento do pensamento. Essas características superficiais do
conceito são apresentadas por Sousa (2004) como nexos externos onde ela traz a
comparação entre nexos internos e externos:
os nexos externos se limitam aos elementos perceptíveis do conceito
enquanto os internos ao lógico histórico do conceito. Os nexos externos
ficam por conta da linguagem. São formais. Exemplo disso é a
classificação dos ângulos em retos, agudos e obtusos.
(SOUSA, 2004, p. 61)
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Por tanto, os Nexos Conceituais de um conceito são todas as relações presentes no
percurso histórico da sua criação e que tem como conseqüência a sua formalização lógica.
Uma vez entendido nosso objeto de estudo, e as estruturas que o fundamentam, o trabalho
se encontrará a ponto de iniciarmos a segunda etapa que consiste na (re)elaboração,
desenvolvimento e avaliação de atividades de ensino que contenham e potencializem a
exploração dos Nexos Conceituais de número.
Moura (1996, p. 155) afirma que: “atividade orientadora de ensino é aquela que se
estrutura de modo a permitir que os sujeitos inerajam mediados por um conteúdo
negociando signficados, com o objetivo de solucionar coletivamente uma situação
problema”. Nesse sentido, entendemos que atividades que contenham os Nexos
Conceituais de número natural, através do processo Lógico-Histórico, proporcionam aos
estudantes uma dinâmica de criação e descoberta conceitual, de modo que todo o processo
tenha significado e seja inteiramente, ou em grande parte, compreendido por ele. Assim,
concebemos que
a atividade, (...), é do sujeito, é problema, desencadeia uma busca de
solução, permite um avanço do conhecimento desse sujeito por meio do
processo de análise e síntese e lhe permite desenvolver a capacidade de
lidar com outros conhecimentos a partir dos conhecimentos que vai
adquirindo à medida que desenvolve a sua capacidade de resolver
problemas. A atividade é desse modo um elemento de formação do aluno
e do professor.
(MOURA, 2000, p. 35)
Logo, esse entendimento nos fornece plenas condições de trabalhar, apoiados sobre
o Lógico-Histórico e a fluência característica do pensamento flexível, de modo a permitir
que os sujeitos envolvidos no processo, construam o conceito de número natural a partir de
seus alicerces: os Nexos Conceituais.
NEXOS CONCEITUAIS DE NÚMERO
Através de estudos das obras de Caraça (1984) e Ifrah (2001), conseguimos, aliados
ao desenvolvimento Lógico-Histórico de número natural, identificar os seguintes Nexos
Conceituais:
SENSO NUMÉRICO
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Mesmo sem saber contar ou mesmo saber qualquer tipo de numeração o homem é
capaz de distinguir e qualificar numericamente conjuntos quanto ao singular, dupla e
plural. De acordo com Ifrah (2001), ainda hoje há povos que concebem apenas duas
grandezas numéricas.
Eles só concebem dois “nomes de números” propriamente ditos: um para
a unidade e outro para o par. (...) quando se trata de mais de 3 ou 4,
alguns deles se contentam em mostrar a cabeleira, como se dissessem: “É
tão inumerável quanto os cabelos da minha cabeça!”.
(IFRAH, 2001, p. 16)
Mas, o homem também é capaz de controlar um conjunto com vários elementos,
sem contá-los (desde que não extrapole seu campo de visão e sua capacidade de
memorização), pois, de acordo com Kalrson (1961), um pastor num simples relance é
capaz de perceber que em seu rebanho falta um animal e até dizer o nome dele, pois notará
que há algo diferente do habitual. Porém, quando se trata de um conjunto estranho de
objetos o homem é capaz de distinguir sua quantidade de elementos, sem erro, num só
golpe de vista, sem contar os elementos um por um, apenas quando não ultrapassam
quatro, pois acima disso, se o fizer, certamente encontrará alguma dificuldade.
A essa capacidade, denominamos sentido numérico e a consideramos como um
nexo conceitual de número, pois a partir dessa percepção e da necessidade do homem de
qualificar conjuntos quanto “maior que” ou “menor que” é que nos lançamos a encontrar
alternativas para fazê-lo e assim resolver o problema inicial da contagem.
CORRESPONDÊNCIA UM-A-UM
Historicamente, uma idéia fabulosa foi relacionar dois conjuntos completamente
diferentes. A correspondência um-a-um resolveu o problema do homem de fazer controle
de algumas coleções e consiste em relacionar a cada elemento de um conjunto um
elemento de outro conjunto. Foi assim que surgiu a milenar idéia de fazer entalhes em
madeiras, ossos ou pedras para efetuar a contagem e o registro de algumas coleções, além
de outros métodos como a utilização de coleções com pequenas pedras.
Esse método, além de constituir-se como alicerce da numeração utilizada até hoje,
permite que, por exemplo, um cristão que não tenha nenhum conhecimento de número
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consiga recitar as orações do rosário, que são repetidas várias vezes e em número
determinado, sem que haja erro, simplesmente fazendo corresponder a cada oração uma
conta do rosário até que se esgotem todas as contas.
O sentido numérico e a correspondência um-a-um juntamente com a prática do
entalhe, foram os elementos primordiais para a construção dos algarismos romanos.
Através da correspondência um-a-um, um pastor, por exemplo, efetuava vários entalhes em
uma madeira para controlar seu rebanho. No entanto, o sentido numérico limitava a sua
capacidade de leitura da quantidade representada obrigando-o a criar alternativas. Segundo
Ifrah (2001)
(...) a origem dos algarismos romanos e etruscos não deixam margem a
nenhuma dúvida hoje em dia: eles foram uma sobrevivência da prática
ancestral do entalhe... Imaginemos um pastor que costuma registrar o
numero de seus animais de acordo com essa técnica simples vinda dos
tempos pré-históricos. Até então ele operou como seus antepassados,
gravando sem interrupção em um pedaço de osso ou de madeira tantos
entalhes quantas unidades há no número considerado. Mas esse processo
não é muito prático, pois obriga este pastor a recontar o conjunto de
entalhes de seu bastão cada vez que deseja descobrir o número total de
cabeças de seu rebanho.
(IFRAH, 2001, p. 189)
A solução para o problema foi criar um entalhe diferente a cada vez que a leitura do
número se tornasse complicada, ou seja, exatamente a cada grupo de cinco entalhes, pois
mais que isso, de acordo com o senso numérico, temos dificuldade de identificar. Assim, a
prática continuava com o mesmo princípio, fazendo corresponder cada unidade a um
entalhe, porém havia entalhes diferentes para o cinco, o dez, o cinqüenta e outros. Dessa
forma, representava-se o número oito, por exemplo, com os seguintes oito entalhes, onde o
quinto se diferencia dos outros: IIIIVIII. Posteriormente, o homem percebeu que poderia
escrever somente um símbolo (V) para representar o cinco, por exemplo, ao invés de
utilizar cinco símbolos (IIIIV) constituindo assim os algarismos romanos.
Logo, a correspondência um-a-um é um dos Nexos Conceituais de número e é
amplamente utilizada na Matemática atual, podendo ser talvez, o principal nexo conceitual
de número.
QUALIDADE E QUANTIDADE
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Ao utilizarmos da correspondência uma-a-um estamos comparando dois conjuntos
distintos e obtendo dessa forma uma representação precisa da quantidade de objetos desses
conjuntos. Segundo Caraça (1984, p. 7) uma pessoa de posse do conjunto dos números
naturais procede da seguinte forma para efetuar uma contagem: “aponta um dos objetos e
diz: um; aponta outro e diz dois, e vai procedendo assim até esgotar os objetos da coleção;
se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos.” Quando
tratamos dos números dessa maneira, estamos diante da noção de quantidade. Porém,
frequentemente utilizamos os números para identificar um objeto. É o que acontece com o
número de nossas residências, por exemplo. Além disso, temos, de acordo com o nosso
senso numérico, a capacidade de comparar duas coleções distintas e dizer, essa é maior que
a outra, ou essa é melhor que a outra sem, necessariamente, contar os elementos do
conjunto. Nesse caso estamos diante da noção de qualidade. Esses dois aspectos dos
números se confundem, dependendo às vezes, da interpretação que damos a ele. No
entanto, são eles que justificam o uso dos números, pois é do interesse do homem
quantificar e qualificar seus objetos de estudo ou controle. Logo, as noções de quantidade e
qualidade são Nexos Conceituais de números.
AGRUPAMENTO
Retomando nossa discussão sobre números romanos, percebemos que ao abandonar
os antigos entalhes, em que cada um deles correspondia a um elemento do conjunto a ser
contado e utilizar apenas um símbolo para representar um número como o cinco, por
exemplo, o qual é representado pelo símbolo V, estamos diante de um grande avanço nos
métodos de representação numérica, pois surge a idéia do agrupamento. Aqui, o símbolo V
passa a representar um grupo de cinco unidades ao invés de uma. O mesmo acontece com
outros símbolos como o X, o L, o D e o M, por exemplo, que são algarismos romanos, e
outros utilizados por diferentes povos como os egípcios, os maias e os babilônios. Esse
avanço aperfeiçoou a representação numérica ao passo que, com um único símbolo
conseguia-se representar grandes quantidades.
A noção de agrupamento está presente em vários outros momentos, como quando
nos referimos, por exemplo, a quatro caixas de cerveja ou três dúzias de ovos,
representamos quatro agrupamentos de vinte e quatro unidades e três agrupamentos de
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doze unidades respectivamente. Assim, estamos diante de outro nexo conceitual de
número: o agrupamento.
ORDENAÇÃO
Ao realizarmos a contagem de um determinado conjunto, listamos uma sequência
de nomes de números que, desde o início de nossas vidas, geralmente decoramos e
utilizamos para esse fim. Essa sequência é rigorosamente ordenada, o que faz com que
cada número tenha seu lugar predeterminado, logo, quando pensamos em um número
natural temos em nossa mente todos os outros que o antecedem e sabemos a posição
ocupada por ele. Graças a isso conseguimos abandonar métodos concretos de contagem
como o entalhe para utilizar conjuntos de números caracterizados por suas propriedades
abstratas. A ordenação, dessa forma, se mostra como um importante recurso que permitiu a
contagem de forma abstrata. Logo a consideramos como nexo conceitual de número.
Como conseqüência da ordenação, o número natural pode ser caracterizado de
acordo com sua cardinalidade, que diz respeito à quantidade representada e está
relacionado à noção de quantidade, e de acordo com sua ordinalidade, que diz respeito à
posição ocupada pelo número e está relacionada à noção de qualidade.
VALOR POSICIONAL, BASE E COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO
Vimos em discussões anteriores que a idéia de agrupamento facilitou o processo de
registro e leitura dos símbolos numéricos e que, quando o homem esteve diante da noção
de ordenação, pode considerar o número de forma abstrata. No entanto, a necessidade de
representar números cada vez maiores se fazia problemática, pois não se podia utilizar de
pedras, entalhes, símbolos gráficos ou palavras para representar todos os números segundo
a sua vontade.
A solução desse problema surgiu da idéia de agrupamento, pois até então era
possível representar um grupo de números com apenas um símbolo como X em algarismos
romanos que representa o número dez e o hieróglifo egípcio da flor de lotos que representa
o número mil. No entanto, esses símbolos se faziam ineficazes quando se queria
representar, cada vez mais, números maiores, condicionando a criação de novos símbolos.
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A idéia foi utilizar um número finito de símbolos que, de acordo com a posição que
ocupavam na escrita do número, teriam um valor diferente. Como acontece com o número
151, por exemplo. Aqui o símbolo 1 representa do lado direito, uma unidade, e do lado
esquerdo cem unidades. Nesse momento havia-se criado o valor posicional.
Encontramos na obra de Ifrah (2001) o seguinte trecho que ilustra nossa discussão:
há pouco tempo ainda certas tribos guerreiras de Madagascar tinham um
costume bem prático para avaliar suas tropas. Eles faziam guerreiros
desfilarem em “fila indiana” por uma passagem bem estreita. Quando
cada um saia, depositava uma pedra num fosso cavado no chão. Com a
passagem do décimo homem, substituía-se as dez pedras desse fosso por
uma delas apenas, depositada numa segunda fileira reservada para as
dezenas. Depois se recomeçava a amontoar pedras no primeiro fosso, até
a passagem do vigésimo indivíduo, quando se colocava uma segunda
pedra no na segunda fileira. Quando esta última contava, por sua vez,
com dez pedrinhas, estas eram substituídas por uma pedra colocada no
terceiro fosso, reservado para as centenas. Ao atingir, por exemplo, 465
guerreiros, havia seis pedras na primeira fileira, cinco na segunda e
quatro na terceira.
(IFRAH, 2001, p.117)
Dessa forma o símbolo, em cada posição ocupada, com seu respectivo valor,
representa um agrupamento. No trecho acima, uma pedra colocada no segundo fosso
representa um agrupamento de dez pedras colocadas no primeiro fosso. E uma pedra
colocada no terceiro fosso representa um agrupamento de dez pedras no segundo fosso ou
cem pedras no primeiro fosso. Assim estamos diante de outro nexo conceitual de número:
a base. No entanto é preciso que atentemo-nos a não confundir qualquer agrupamento com
uma base, pois toda base é uma agrupamento, mas nem todo agrupamento é uma base. Para
ser base é preciso ter valor posicional.
Ao ponto que chegamos, no processo Lógico-Histórico de criação dos números
naturais, temos condições de conceber o sistema de numeração indu-arábico que é utilizada
na atualidade e carrega consigo todos os Nexos Conceituais a que referimos, além de outro,
não menos importante: a composição e decomposição. Quando representamos o número
465, temos 4 centenas, 6 dezenas e 5 unidades e podemos escrever da seguinte forma: 400
+ 60 + 5 ou 4.10² + 6.10¹ + 5.100. Desse modo estamos decompondo o número 465, ou
seja, representando-o como soma de agrupamentos de potências de 10 e assim deixamos
evidentes algumas características como a base decimal e o valor posicional. O processo de
composição é exatamente o inverso. Outros tipos de composição e decomposição podem
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ser feitos como a decomposição de um número em fatores primos. No entanto, essa
discussão ficará para um próximo trabalho onde discutiremos operações com os números
naturais.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Muitos autores, no campo da produção científica em Educação Matemática, vêm
discutindo novas formas de se ensinar e aprender Matemática. Acreditamos que este
trabalho segue essa tendência, ao passo que apresentamos uma abordagem LógicoHistórica do conceito de número natural e destacamos alguns de seus Nexos Conceituais,
para assim, fornecer subsídios à produção, exploração e avaliação de atividades
orientadoras de ensino que explorem as potencialidades dos Nexos Conceituais de número
natural.
Compreendemos que uma atividade de ensino deve estar inserida dentro de um
contexto, de um planejamento, onde o professor tenha em mente todos os passos do plano
a ser seguido. Dessa forma, se faz necessário que haja um entendimento, por parte do
professor, do conteúdo a ser explorado na atividade de ensino. Acreditamos que uma
abordagem Lógico-Histórica possibilita tal entendimento e, nesse sentido, este trabalho
apresenta subsídios para o planejamento de atividades orientadoras de ensino que explorem
o conteúdo abordado.
REFERÊNCIAS
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. 1.ed. Lisboa: Livraria
Sá da Costa Editora, 1984.
IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 10.ed. São Paulo, SP:
Editora Globo, 2001.
KARLSON, Paul. A magia dos números: a Matemática ao alcance de todos. 1.ed. Coleção
Tapete Mágico, Editora Globo, 1961.
MOURA, Manuel Oriosvaldo de. O educador matemático na coletividade de formação:
uma experiência com a escola pública. 2000. Tese (Livre Docência em Metodologia do
Ensino de Matemática) – Faculdade de Educação. Universidade de São Paulo, São Paulo.
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MOURA, Manuel Oriosvaldo de. A atividade de ensino como ação formadora, In:
CASTRO, Amélia Domingues; CARVALHO, Ana Maria Pessoa de (org.) Ensinar a
ensinar: didática para a escola fundamental e média. 1. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. cap.
8, p. 143-162.
SOUSA, Maria do Carmo de. O ensino de álgebra numa perspectiva Lógico-Histórica: um
estudo das elaborações correlatas de professores do ensino fundamental. 2004. Tese de
doutorado Campinas, SP: (UNICAMP).
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