PROBABILIDADE
PROFESSOR: ANDRÉ LUIS
1. Experimentos
Experimento
determinístico:
são
aqueles em que o resultados são os
mesmos, qualquer que seja o número
de ocorrência dos mesmos.
Exemplo:
Um determinado sólido a uma certa
temperatura passará para o estado
líquido.
Experimento
aleatório:
experimento cujo resultado
exclusivamente do acaso.
qualquer
depende
Exemplos:
Lançar uma moeda e observar as sequências de
caras e coroas.
Lançar um dado e observar o número da face de
cima.
Lançar duas moedas e observar a sequência de caras
e coroas obtidas.
De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar
10 peças e observar o número de peças defeituosas.
2. Espaço amostral de um experimento aleatório
É o conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório.
Exemplos:
a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.
E = {k, c}, c = cara e k = coroa
b) Lançar um dado e observar a face de cima.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V),
2 brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma
bola e observar a sua cor.
E = { V, B, A}
d) Lançar uma moeda duas vezes e observar a
sequência de caras e coroas.
E = { (k, k), (k,c), (c, k), (c, c) }
e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o
número de caras.
E = { 0, 1, 2}
TREINAMENTO DE SALA
1) Dê o espaço amostral para cada experimento abaixo.
a) Uma letra escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.
E = {P, R, O, B, A, I, L, D, E}
b) Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolas
são extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequência
em que foram extraídas.
E = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)}
c) Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas pessoas são escolhidas para
formarem uma comissão. Observam-se os elementos dessa comissão.
E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}
3. Evento de um espaço amostral
É qualquer
amostral.
subconjunto
de
um
espaço
a) Um dado é lançado e observa-se o número
da face de cima.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: ocorrência de um número ímpar.
A = {1, 3, 5 }
B: Ocorrência de um número primo.
B = {2, 3, 5 }
C: Ocorrência de um número menor que 4.
C = {1, 2, 3 }
D: Ocorrência de um número menor que 7.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E: Ocorrência de um número maior ou igual a 7.
E= 
F: Ocorrência de um número par e primo.
F={2}
Atenção!
O evento D é o próprio espaço amostral (D = E),
dizemos que é EVENTO CERTO.
O evento E (E =  ) é chamado de EVENTO
IMPOSSÍVEL.
O evento F ( F = { 2 } ) é um conjunto unitário,
dizemos que é um EVENTO SIMPLES ou
ELEMENTAR.
TREINAMENTO DE SALA
1) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é
escolhida e observado seu número. Seja E = {1, 2, 3, ..., 30}. Descreva os
eventos:
a) o número obtido é primo.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
b) o número não é múltiplo de 6.
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27,
28, 29}
c) O número é múltiplo de 2 e de 5.
{10, 20, 30}
d) O número é múltiplo de 3 ou de 8.
{3, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30}
2) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:
E = {(k,1); (k,2); (k,3); (k,4); (k,5); (k,6); (c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5);
(c,6)}
Descreva os eventos:
a) B: ocorre número par.
{ (k, 2); (k, 4); (k, 6); (c, 2); (c, 4); (c, 6) }
b) C: ocorrência do número 3.
{ (k, 3), (c, 3) }
B∩C

4. Espaço amostral equiprovável
Exemplo: Uma moeda é lançada várias vezes. As
tabelas seguintes mostram as frequências de cada
face nos lançamentos.
Em vinte lançamentos:
FACE
FREQUÊNCIA
C
12
K
8
Em cinquenta lançamentos:
FACE
FREQUÊNCIA
C
23
K
27
Em cem lançamentos:
FACE
FREQUÊNCIA
C
49
K
51
Se aumentarmos indefinidamente o número de lançamentos,
as frequências tenderão a um mesmo número. Por isso
dizemos que o espaço amostral E = { c, k } é equiprovável.
Generalizando, temos que:
Um espaço amostral E = {a1, a2, a3, ... , an} de um
experimento aleatório é equiprovável se, e somente
se, as frequências dos elementos tendem a um
mesmo valor quando o número de vezes que o
experimento é realizado tende ao infinito.
5. Probabilidade
Seja e um espaço amostral finito e nãovazio; e seja A um evento desse espaço
amostral. Chama-se probabilidade de A, e
n( A)
indica-se por P(A), o número n(E) , onde
n(A) e n(E) indicam os números de
elementos de A e E, respectivamente. Isto é:
n( A)
P( A) 
n( E )
TREINAMENTO DE SALA
1) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se
obter, na face voltada para cima um número de pontos
menor que 3?
⅓ ou 33,333...%
2) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de
se obter nas faces voltadas para cima, pelo menos uma
cara?
¾ ou 75%
3) Sorteando-se um anagrama da palavra TESOURA, qual é
a probabilidade de se obter um anagrama que comece e
termine por vogal?
2/7 ou 28,57%
4) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao
acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos
abaixo?
a) Ocorre dama de copas.
1/52 ou 1,92%
b) Ocorre dama.
1/13 ou 7,69%
c) Ocorre carta de naipe paus.
¼ ou 25%
d) Ocorre dama ou rei ou valete.
3/13 ou 23,07%
6. Eventos complementares
Seja E o espaço amostral de um
experimento aleatório e seja A um evento de
E. Chama-se evento complementar de A,
que se indica por A , o evento que satisfaz
as seguintes condições:
A A  E
A A  
Complementar de A através de diagrama:
Exemplos:
a) No lançamento de um dado, considere o evento A
formado pelos resultados menores do que 3. O
complementar de A é formado por todos os
resultados maiores ou iguais a 3.
A = {1, 2}
A  3, 4,5,6
b) No lançamento de duas moedas, considere o
evento A = {(c, c), (k, k)}. O complementar de A é o
evento A   c, k  ,  k , c .
7. Propriedades das probabilidades
Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e
sendo A um evento de E, tem-se que:
I) P(  ) = 0
II) P(E) = 1
III) 0  P( A)  1
IV) P( A)  1  P  A e
( P( A)  1  P( A))
TREINAMENTO DE SALA
1) Uma urna contém exatamente dez etiquetas, numeradas de 1 a 10.
Retira-se uma etiqueta da urna. Qual é a probabilidade de se obter:
a) A: um número maior que 10?
P(A) = 0 ou P(A) = 0%
b) B: um número menor que 11?
P(B) = 1 ou P(B) = 100%
2) Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas.
Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bola
vermelha é 5/17. Qual a probabilidade de sair uma bola que não seja
vermelha?
12/17 ou 70,58%
8. Probabilidade da união de dois eventos (adição de probabilidades)
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio. Para
quaisquer eventos A e B de E, tem-se que:
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
Atenção!
Se A ∩ B = 
, os eventos A e B são chamados de
mutuamente exclusivos.
Exemplos:
a) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a10. Uma
bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de seu
número ser par ou maior que 4?
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A : número par
n(E) = 10
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B: número maior que 4
B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B: número par e maior que 4
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) =
5 6 3
 
10 10 10
P(A U B) =
8 4
  80%
10 5
n(A) = 5
n(B) = 6
A ∩ B = {6, 8, 10}
n(A ∩ B) = 3
Considerando a mesma situação anterior, vejamos qual a probabilidade
de a bola retirada ser um número primo ou maior que 8.
n(E) = 10
A: número primo
A = {2, 3, 5, 7}
B: número maior que 8
A∩B= 
n(A ∩ B) = 0
P(A U B) = P(A) + P(B)
P(A U B) =
P(A U B) =
B = {9, 10}
4
2

10 10
6 3
  60%
10 5
n(A) = 4
n(B) = 2
TREINAMENTO DE SALA
1) Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos
e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que
esta seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?
n(E) = 8 + 12 + 15 = 35
A: peças perfeitas
n(A) = 15
B: peças com pequenos defeitos
A∩B=

P(A U B) = P(A) + P(B)
15 8 23


P(A U B) =
35 35 35
P(A U B) = 65,71%
n(B) = 8
2) Qual a probabilidade de , no lançamento simultâneo de dois dados, a
soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois dados?
n(E) = 6 . 6 = 36
A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)}
B = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)}
A ∩ B = {(3, 3)}
n(A ∩ B) = 1
P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)
P(A U B) =
5
6 1 10 5
  

36 36 36 36 18
P(A U B) = 27,77%
n(A) = 5
n(B) = 6
9. Probabilidade condicional
Chama-se probabilidade condicional de um evento B
a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se
que já ocorreu um evento A.
P(B/A) = n  A  B 
n( A)
Atenção!
•P(B/A): lê-se “probabilidade de B, dado A”.
•Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(B/A) = 0.
Exemplo:
Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola
sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10.
Número é par : n(A) = 50
Número é múltiplo de 10: n(B) = 10
Número é par e múltiplo de 10: n(A ∩ B) = 10
10
P(B/A) = 100  1  20%
50 5
100
10. Multiplicação de Probabilidades
Eventos Independentes
Chamamos de eventos independentes os eventos
cuja probabilidade de ocorrer um deles não depende de
ter ou não ocorrido o outro.
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)
Exemplo:
Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a
probabilidade de:
a) obtermos cara no segundo lançamento.
E = {(c, c); (c, k); (k, c), (k, k)}
A = {(c, c); (k, c)}
P(A) =
n( A) 2 1
   50%
n( E ) 4 2
n(A) = 2
n(E) = 4
b) Obtermos cara no segundo lançamento, sabendo que
obtivemos cara no primeiro lançamento.
Cara no primeiro lançamento(B)
B = {(c, c); (c, k)}
Cara no segundo lançamento(A)
A = {(c, c); (k, c)}
A ∩ B = {(c, c)}
n(A ∩ B) = 1
Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A
só pode ter ocorrido na intersecção de A e B:
P( A / B) 
n( A  B ) 1

n( B )
2
Observando as respostas dos itens a e b, temos que P(A/B) = P(A) = ½
Por isso, dizemos que os eventos A e B são eventos
independentes.
Produto de probabilidades
Vimos que:
P( B / A) 
n( A  B )
n( A)
Dividindo o numerador e o denominador da fração por
n(E), temos que:
n( A  B )
P( A  B)
n( E )
P( B / A) 
 P( B / A) 
n( A)
P( A)
n( E )
Portanto:
P( A  B)  P( A)  P( B / A)
Atenção!
Se A e B forem eventos independentes, então:
P( A  B)  P( A)  P( B)
Exemplo:
Uma urna contém precisamente sete bolas: 4 azuis e 3
vermelhas. Retira-se ao acaso, um bola da urna,
registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir,
retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua
cor. Calcular a probabilidade de:
a) Sair uma bola azul e depois outra vermelha.
AeVé
4 3 12
P  
7 7 49
b) saírem 2 bolas de cores diferentes.
Temos duas sequências possíveis, com as respectivas
possibilidades:
A e V,
4 3 12
P1   
7 7 49
ou
V e A,
+
12 12 24
P  P1  P2 


49 49 49
3 4 12
P2   
7 7 49