TEORIA DAS PROBABILIDADES
1.1 Introdução
Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a
necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático
associado ao mesmo, que permita explicá-lo da melhor forma
possível.
A teoria das probabilidades é um modelo matemático utilizado
para explicar fenômenos aleatórios coletivos e fornecem estratégias
para a tomada de decisão.
Estes fenômenos, mesmo em condições normais de experimentação,
seus resultados variam de uma observação para outra, dificultando a
previsão de um resultado futuro.
1.2 Tipos de Fenômenos
a) Determinísticos – Os resultados são sempre os mesmos,
quaisquer que sejam as n repetições.
Exemplo: a água submetida à temperatura de 100º, passará de líquido
para gasoso, sempre.
b) Aleatórios ou Não-determinísticos – Os resultados não são
previsíveis, mesmo que hajam “n” repetições.
Exemplo: Num pomar com centenas de laranjeiras, as produções da
cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo estando todas,
sob as mesmas condições de solo, temperatura, umidade, etc... sejam
as mesmas para todas as árvores
Obs.
1.Quando um fenômeno é ---------------- a teoria das probabilidades
não fornece um modelo matemático adequado para explicar o
fenômeno;
2. O objeto da teoria ----------------------, são os fenômenos aleatórios;
3. Para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos
matemáticos mais sofisticados, por ora, vamos restringir nosso estudo
a uma classe de fenômenos aleatórios chamados de experimentos.
1.3 Experimento Aleatório
E
Os experimentos são fenômenos aleatórios e mesmo que as
condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de
cada tentativa, serão diferentes e não previsíveis e possui as seguintes
características:
a) Poderá ser repetido indefinidamente sob as” mesmas condições”;
b) Não se conhece, a priori, um valor particular do experimento,
porém pode-se descrever todos seus possíveis resultados;
c) Quando for repetido um grande número de vezes, surgirá uma
regularidade, ou seja, haverá uma estabilidade da fração f = r/n ,
onde :
r = o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes
da realização do experimento
n = o número de repetições
f
1
n
1.3 Espaço Amostral Finito Equiprovável– S
Um Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis
resultados de um experimento aleatório.
Ele será Equiprovável ou Uniforme quando se associa a cada
ponto amostral a mesma probabilidade.
Exemplos
E1 =Lançar um dado não viciado e anotar o número de pontos;
S1 =
1, 2, 3, 4, 5, 6
Exemplos
E2 = Lançar uma moeda e anotar a face voltada para cima;
S2 =
E3 = Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, anotar o naipe
S3 =
E4 = lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima.
S4 =
E5 = Lançar uma moeda sucessivamente até que se obtenha a 1ª cara
S5 =
E6 = Escolha de um ponto no intervalo 3 , 12 e anote a distância do
ponto escolhido P ao ponto 5;
S6 =
E7 = Jogar uma moeda 4 vezes e anotar o número de caras obtidas
S7 =
E8 = O número de rebites utilizados na asa de um avião
S8 =
1.4 Evento e Operações com Eventos
É qualquer subconjunto do espaço amostral S.
Considere S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , o espaço amostral relativo ao
lançamento de um dado.
Note que, se A = 1, 2 ; B = 2, 4 e C =
e portanto são eventos. Dessa forma:
, são subconjuntos de S
O próprio espaço amostral S e o são eventos
S é dito o evento certo de ocorrer e o evento impossível
Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos
eventos:
I) A B = x S / x A ou x B
evento que ocorre se A ocorre
ou B ocorre, ou ambos ocorrem.
II) A B
x S / x A ou x B
evento que ocorre se A e B
ocorrerem.
III) A ou CA
evento que ocorre se A não ocorrer
Exemplo
Seja S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Se A = 1, 2, 3
B = 2, 3, 6
A B=
CB =
A
C (A
B)
C = 2, 3, 4
C=
=
C(A
CA =
C) =
1.4.1 Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a
ocorrência de um deles exclui a possibilidade da ocorrência do outro,
ou seja, eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é,
A
B =
Exemplo:
E : jogar um dado e observar o resultado
S =
1, 2, 3, 4, 5, 6
Sejam os eventos : A = ocorrer nº par
B = ocorrer nº ímpar
Logo, A B = . O que isto significa?
A=
B =
2, 4, 6
1, 3, 5
ANOTAÇÕES
1.5 Definição de Probabilidade
É uma função que associa a cada evento
satisfaz aos seguintes axiomas:
S
R
P
B
A
0 ,1
C
I) 0
P (A)
S um número real e
1
II) P(S) =1
III) Se A e B forem mutuamente exclusivos, (A
então P(A B) = P(A) + P(B)
B)=
,
1.6 Principais Teoremas
1. Se
é o conjunto vazio, então
P( ) = 0
1. S A é o complementar de A , então
2. Se A
B, então
P(A)
P(A) = 1
P(A)
P(B)
3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então
P(A
B) = P(A) + P(B)
P(A
B)
1.7 Eventos Equiprováveis
São aqueles que têm a mesma probabilidade de ocorrerem, ou seja
se o espaço amostral S contém “n” pontos e a probabilidade de cada
ponto será :
Pi = 1
np = 1
p = 1/n
Por outro lado, se um evento A contém “r” pontos, então:
P(A) = r . (1/n) . Este é o método de avaliar P(A). e é enunciado da
seguinte forma:
Enunciado
Nº de casos favoráveis
P(A) =
Nº de casos possíveis
Exemplo
Retira-se uma carta de um baralho comum, bem embaralhado de 52
cartas. Qual a probabilidade de:
a) A = Sair um rei
b) B = Sair uma carta de espadas
c) C = Sair um rei ou uma carta de espadas
P(A
B) = P(A) + P(B)
Logo, P(A
P(A
B)
P(A
P(A) = 4/52
P(B) = 13/52
P(A B) = ?
B) =
B) =
Tente outra vez. Praticando o que aprendeu
1. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação
da face superior. Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A: Sair face par
B: Sair face primo
C:Sair face maior que 3
Sair face maior que 6
Sair face múltipla de 3
Sair face menor ou igual a 4
2. Considere o espaço amostral S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e os seguintes
eventos:
A = 2, 3, 4 ; B = 1, 3, 5, 7, 9 ; C = 5 ; D = 1, 2, 3 ; E = 2, 4, 6
Determine:
a) A B =
b) A B =
c) A C =
e) CB =
f)C(A B) =
d) CA =
3. Se P(A) = ½ ; P(B) = ¼ , sendo A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) P(A)
d) P(A B)
b) P(B)
e) P(A B)
c) e) P(A
B)
2. determine a probabilidade de cada evento:
a) um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado;
b) um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho;
c) pelo menos uma cara aparece no lançamento de três moedas;
d) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho.
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4
b) a soma ser 9
c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo
d) o primeiro resultado ser igual ao segundo
4. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas.
Calcular a probabilidade de:
a) todas serem pretas
b) exatamente uma ser branca
c) ao menos uma ser preta
5. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos
graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) ela não tenha defeitos graves
b) ela não tenha defeitos
c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves
6. Um experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença
entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento,
Explicite esse espaço amostral.
7. Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agência de viagens, 100
viajam para Petrolina e 80 para Juazeiro e 30 viajam para as duas cidades
simultaneamente. Qual a probabilidade de um turista escolhido ao acaso
estar de viagem para:
a) Petrolina
b) Juazeiro
c) Petrolina ou Juazeiro
1.8 Probabilidade Condicional – P(A/B)
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicionada do evento
A, quando B tiver ocorrido será dada por:
P(A
B)
P(A/B) =
com P(B)
0
com P(A)
0
P(B)
Também:
P(B
A)
P(B/A) =
P(A)
P(A / B)
Lê-se P de A dado B
Exemplo :
Sendo P(A) = 1/3 P(B) =3/4 e P(A
P(A
Como P(A/B) =
B) = 11/12, calcular P(A/B)
B)
, devemos calcular:
P(B)
P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
Daí, P(A B) = 1/6 . Logo P(A/B) =
1.9 Teorema do Produto
Sejam A e B dois eventos contidos em S, então:
P(A
P(A
B) = P(B) P(A/B) ou
B) = P(A) P(B/A)
Exemplo: Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas
brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
a) sejam verdes;
b) sejam brancas;
c) sejam da mesma cor.
2 B
3 P
4 V
a) P(V
V) = P(V) P(V/V) = 4/9 3/8 = 1/6
b)
c) P(MC) =
1.10 Eventos Independentes
Intuitivamente se A e B são independentes é porque:
P(A/B) = P(A)
e
P(B/A) = P(B)
Definição : Dois eventos A e B são independentes se:
P(A
B) = P(A) P(B)
Exemplo: Lançam-se 3 moedas. Os eventos A e B são independentes
:
A = Saída de cara na 1ª moeda
B = Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas
E=
c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k c), (k,c,k), (c,k,k), (k,k,k)
A=
B=
A B=
P(A) =
P(B) =
P(A B) =
P(A) . P(B) =
Conclusão:
Importante
1 – 3 eventos A, B, e C serão independentes,
proposições abaixo forem satisfeitas:
se todas as 4
– P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)
– P(A B) = P(A) . P(B) P(A C) = P(A) . P(C) P(B
P(B) . P(C)
C)=
2 – Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são
dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de
um evento condiciona a não-ocorrência do outro.
Teste seus conhecimentos
1. determinar a probabilidade p, ou sua estimativa, para cada um dos
eventos:
a) de aparecer um número ímpar em um único lançamento de um dado
honesto.
b) de ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda
honesta.
c) de surgir um ás, um dez de ouros ou um dois de espadas na retirada
de uma carta única de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas
d) de aparecer o total 7 em um único lançamento de dois dados
1. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas
vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade de ela:
a) ser vermelha
b)ser branca
c) ser azul
d) não ser vermelha
e) ser vermelha ou branca
2. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
a)
b)
c)
d)
e)
Três caras
Duas caras e uma coroa
Uma cara
Pelo menos uma cara
Nenhuma cara
3. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
obter-se um par de pontos iguais;
um para de pontos diferentes
um par em que o 1º > 2º
a soma dos pontos ser um número par;
obter-se a soma 7, se o par de pontos é diferente;
obter-se a soma 6, dado que o par de pontos é igual;
a soma ser 14
4. A probabilidade Manoel resolver um problema de estatística é de 3/5 e
de Anne resolver esse mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade
de que o problema seja resolvido?
5. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou
um número par?
7. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a e
sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo;
8. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e
20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas.
Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas as três;
b) Duas partidas terminarem empatadas;
c) A e B ganharem alternadamente.
9. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se
simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:
a. nenhuma seja vermelha;
b. exatamente uma seja vermelha;
c. todas sejam da mesma cor.
10. As probabilidades de 3 jogadores A, B, e C marcarem um gol quando
cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar
uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol.
a) todos acertarem
b) apenas um acertar
c) todos errarem
11. A tabela abaixo descreve os hóspedes registrados pelo período de uma
semana num hotel de Petrolina. A distribuição segue de acordo com o sexo e
a idade.
Sexo
Idade
Abaixo de 20 anos
Entre 20 e 40 anos
Acima de 40 anos
Total
Total
Feminino
20
65
50
135
Masculino
15
150
95
260
35
215
145
395
Se um hóspede é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade:
a) de ser mulher?
b) de ser mulher e ter acima de 40 anos?
c) de ser homem e ter menos de 20 anos?
d) de ser mulher entre 20 e 40 anos?
e) de ser homem e ter menos de 40 anos?
f) ter entre 20 e 40 anos?