1
1- INTRODUÇÃO
O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir um
certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está
ocorrendo no presente.
O torcedor de certo time pode apostar contra ele porque sua “probabilidade” de ganhar é
pequena. O aluno poderá ficar contente porque acha que sua “probabilidade” de obter bons
resultados nas provas é grande.
A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvem
uma tomada de decisão. Suponhamos que um empresário deseja lançar um novo produto no
mercado. Ele precisará de informações sobre a “probabilidade” de sucesso para seu novo produto.
Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, tais
como: Administração de empresas, Economia, Psicologia, Biologia e outros ramos da ciência.
Para a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, poderemos
basear-nos em duas escolas de pensamento:
1) A escola objetiva ou clássica, onde as regras do cálculo das probabilidades devem ser
somente aplicadas a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições.
Tais fundamentos garantem que se duas pessoas isoladas e acuradamente, determinassem a
probabilidade
de certo evento, chegariam ao mesmo resultado. Há dessa forma, uma
“probabilidade” associada, por exemplo, ao evento receber duas figuras em um jogo de cartas; ou
ganhar numa loteria em que 15 000 pessoas possuam bilhetes, pois os ”experimentos” ( tirar duas
cartas de um baralho ou possuir um bilhete de loteria) podem ser repetidos sob as mesmas
condições e diferentes pessoas “provavelmente” obteriam os mesmos resultados nesses
experimentos. Adeptos dessa escola jamais cogitariam atribuir a “probabilidade” de que o
“Fluminense” ganhe no seu próximo jogo; de que “Ana Beatriz” seja a primeira mulher a pisar em
“Marte” ou que “Nilo” pague uma rodada de chopp no “Boi Zebú”. Tais eventos não resultam de
experimentos que possam ser repetidos sob as mesmas condições.
2) Para a avaliação desses experimentos, deveremos valer-nos dos fundamentos da “escola
subjetiva” ou personalista. Tal escola considera que a probabilidade de certo evento é medida pelo
grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. Evidentemente, neste caso,
teremos diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. Mesmo admitindo a dificuldade
originada por diferentes probabilidades ao mesmo evento, os defensores dessa escola crêem que as
pessoas que se utilizam sistematicamente das probabilidades subjetivas conseguem tomar decisões
acertadas. Evidentemente, caro aluno, você encontrará defensores das duas linhas de pensamento
que irão manifestar suas respectivas vantagens. Achamos que ambas possuem méritos e restrições.
Utilizaremos neste capítulo o conceito de probabilidade objetiva, que é ainda o mais popular.
Todavia, devemos afirmar que a escola subjetiva vem tendo um rápido crescimento e em breve se
tornará mais difundida.
2. CONCEITOS BÁSICOS
Fenômeno: É qualquer acontecimento natural.
Fenômeno determinístico: É um fenômeno que fornece um único resultado sob as mesmas
condições.
Fenômeno probabilístico, aleatório ou estocástico: É um fenômeno que fornece mais de um
resultado sob as mesmas condições.
Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições
indefinidamente.
1
2
Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, qual
será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, descrever todos
possíveis resultados: as possibilidades. O lançamento de um dado constituiu um experimento
aleatório, pois esse experimento poderá ser repetido quantas vezes desejarmos. Antes do
lançamento, não poderemos dizer qual será o resultado, mas somos capazes de relatar os possíveis
resultados: sair o número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Outro exemplo típico de um experimento aleatório e
simples de ser entendido é o lançamento de uma moeda ao ar e a verificação da fase mostrada ao
cair. Sabe-se que os resultados possíveis são “cara” ou “coroa”, mas não se sabe qual será a face
mostrada. Se este experimento for repetido um número grande de vezes, com uma moeda nãoviciada, verifica-se que as possibilidades de ocorrência de “cara” e de “coroa” são iguais: as
freqüências relativas de ocorrência tendem para 0,50.
Da mesma maneira, os experimentos abaixo são aleatórios:
E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.
E2: Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e seis pretas.
E3: Contar o número total de peças defeituosas da produção diária da máquina A.
E4: Jogar uma moeda dez vezes e observar o número de caras.
E5: Sortear um aluno de determinada classe.
Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento
aleatório.
Evento: Qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório.
Sendo evento um subconjunto de S, indicaremos os eventos por letras maiúsculas: A,B,C,...
Exemplo: Seja o experimento E = lançamento de um dado. O espaço amostral será o conjunto S=
{ 1,2,3,4,5,6 }. Seja o evento A = sair um número par. Assim, A = { 2,4,6 }.
Evento simples é aquele formado por um único do espaço amostral, ao passo que o evento
composto é aquele que possui mais de um elemento. No exemplo acima, o evento A é composto.
Diante das explicações sobre o conceito de eventos, notamos que S (espaço amostral) e Φ
conjunto vazio também são eventos, e são chamados respectivamente de evento certo e evento
impossível. Assim, o evento obter um naipe na retirada de uma carta é um evento certo, enquanto
que obter um sete no lançamento de um dado constitui um evento impossível.
Como evento é um conjunto, poderemos realizar com elas as operações costumeiras de
união e interseção de conjuntos. Assim:
1o diagrama: União: A ∪ B
A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem.
2o diagrama: Interseção: A ∩ B
A ∩ B é o evento que ocorre se A e B ocorrerem. A ∩ B corresponde à área escura do 2o diagrama
de Venn.
3o diagrama: Exclusão: A ∩ B = Φ
Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos A e B são denominados mutuamente
exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A intersecto B = conjunto vazio.
No exemplo anterior A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de A impede a ocorrência
de B e vice-versa: A ∩ B = Φ ( evento impossível).
2
3
o
4 diagrama: Negação ou evento complementar
A negação do evento A, denotada por Ac ou A ( lê-se A complementar ou A traço) é o evento
que ocorre se A não ocorrer. Corresponde à área em branco do 4o diagrama.
Exercício Resolvido:
1) Seja ε o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10. Sejam os
eventos A = {sair o número 7} e B = {sair um número par}, então, se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10}, teremos:
A = {7} e B = { 2, 4, 6, 8, 10}.
A ∪ B = {7, 2, 4, 6, 8, 10};
A ∩ B = Φ ( evento impossível)
O complementar de A será: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10};
O complementar de B será: B = { 1, 3, 5, 7, 9}
A ∪ A = S; A ∩ A = Φ; B ∪ B = S ; B ∩ B = Φ.
3. AVALIAÇÃO DA PROBABILIDADE
Nossa preocupação maior será avaliar a probabilidade dos eventos. Para tanto, iremos
admitir que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance, ou seja , os resultados são
igualmente prováveis. Isto significa que, se “n” for o número de elementos de S, então a
probabilidade de um evento simples será dada por 1/n.
Para avaliação da probabilidade de um evento composto, basta somarmos as
probabilidades individuais quantas vezes for o número de elementos do evento composto.
Simbolicamente, temos: S = { a 1, a 2, a 3,..., a n}
espaço amostral equiprovável. Então,
P { a i } = 1/n
probabilidade de cada evento simples.
Para A = { a 1, a 2,..., a r }, com r menor ou igual a n , que é um evento composto, teremos:
P ( A) = 1 / n + 1 / n + ... + 1 / n = r / n
r parcelas
Essa maneira de cálculo das probabilidades é enunciada da seguinte forma:
P(A)=
N .C.F .ao.evento. A
N .T .C.
Lê-se: A probabilidade do evento A é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis
ao evento A ( N.C.F. ao evento A ) e o número total de casos ( N.T.C. ).
Note que para avaliar a probabilidade de certo evento, você deve “contar “ o número de casos
favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis do experimento. Trata-se, em última
análise, de um problema de contagem.
Exercício Resolvido:
1) Qual a probabilidade de aparecer uma face ímpar no lançamento de um dado ?
Solução:
Seja A o evento: { aparecer um número ímpar }.
Então: A = { 1, 3, 5 }, ou seja, N.C.F. = 3.
Quanto ao número total de casos (N.T.C.) será igual a seis, pois o espaço-amostral desse
experimento é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Portanto:
N .C.F .ao.evento. A
3
1
P(A)=
=
= = 0,5 = 50%
N .T .C.
6
2
3
4
Logo, a probabilidade de aparecer um número ímpar no lançamento de um dado é ½ , 0.50, ou
50%. A primeira maneira (½) de expressar a resposta é a mais comum.
2 ) Qual a probabilidade de se tirar um “rei “ de um baralho com 52 cartas ?
Solução:
Seja A o evento: aparecer um rei quando se tira uma carta do baralho. Relembrando seus
“amplos” conhecimentos dos jogos de cartas você irá concluir que N.C.F. = 4 ( existem 4 reis num
baralho) e que N.T.C. = 52, pois existem 52 cartas possíveis de serem sorteadas. Assim:
P(A) =
4
1
=
= 0,07692 ≅ 0,077
52 13
7,7 %
4. REGRA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Para maior facilidade na solução dos problemas de cálculo das probabilidades, devemos
aprender as propriedades e regras seguintes:
P 1)
0 < P(A) < 1
P 2)
P(S) = 1
A probabilidade do evento certo é igual a 1.
P 3)
P(Φ) = 0
A probabilidade do evento impossível é igual a zero.
A probabilidade de um evento A deve ser um número
maior ou igual a zero e menor ou igual a 1.
P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B)
Regra da soma das probabilidades, se A e B forem dois
eventos mutuamente exclusivo ( A ∩ B = Φ ).
NOTA: Tal propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde que
eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos:
(A ∩ B = Φ; A ∩ C = Φ; B ∩ C = Φ), então:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A ) + P(B) + P(C).
P 4)
P 5) P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
1) Regra da soma das probabilidades, se A e B NÃO forem dois eventos mutuamente
exclusivos :
P 6) P(A) = 1 - P(A)
Se A ( traço ) é o evento complementar de A.
Exercício Resolvido: Aplicação das regras P4, P5 e P6:
1) Seja o experimento E : lançamento de um dado e os eventos A, B, e C:
A = { sair o número 3 };
B = { sair um número par };
C = { sair número ímpar }.
Avaliar P(A); P(B); P(C); P(A ∪ B); P(A ∩ C); P(A ∪ C); P(A).
Solução:
S = { 1,2,3,4,5,6}; A = {3}; B = {2,4,6}; C = { 1,3,5}
P(A) =1/6 ; P(B) = 3/6 = ½ ; P(C) = 3/6 = ½ ;
P(A ∪ B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
4
5
(A ∩ B = Φ ) ;
P(A ∩ C) = 1/6 ;
P(A ∪ C) = 1/6 + 1/2 - 1/6 = 1/2 ;
P(A) = 1 - 1/6 = 5/6. Observe que A = { 1, 2, 4, 5, 6}.
P 7) PROBABILIDADE CONDICIONAL
P( A ∩ B )
P( A / B ) =
P (B )
Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) diferente de zero, então a
probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por P(A/B) e definida
pela relação acima.
Para o cálculo da probabilidade condicional de A em relação a B, P(A/B), basta contarmos
o número de casos favoráveis ao evento A ∩ B e dividirmos pelo número de casos favoráveis do
evento B:
P( A / B ) =
N .C.F a A ∩ B
N . C. F . a B
Exercícios Resolvidos: Aplicação da Probabilidade Condicional
1) Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,...,15. Se o número sorteado for par, qual a
probabilidade de que seja o número 6 ?
Solução:
S = { 1, 2, 3,...,15}
A = { o número ser o 6 }
B = { o número ser par }
Notem que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é :
P(A) = 1/15 = 0,0666... ≅ 0,067
6,7 %
Dado porém, a informação de que o número sorteado foi par, o espaço-amostral reduz-se para
S* = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, e é neste espaço-amostral que iremos avaliar a probabilidade do
evento A.
Assim: A ∩ B = {6}
e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; logo,
P(A/B) =
N . C. F . a A ∩ B 1
P(A ∩ B )
= = 0,142857... = 14,29%
=
P(B )
N . C. F . a B
7
P(A/B) lê-se: probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par.
2) De um baralho comum de 52 cartas, retirou-se uma e verificou-se que ela era vermelha. Qual a
probabilidade de essa carta ser uma figura ?
Solução:
A = { a carta é uma figura }
B = { a carta é vermelha }; então:
Observem que há 6 cartas que são figuras e vermelhas, bem como 26 cartas vermelhas.
P(A/B) =
P(A ∩ B )
N .C. F . a A ∩ B
6
3
=
=
=
= 0,23076... = 23,01%
26 13
P( B )
N .C. F . a B
Neste exemplo P(A/B) lê-se: probabilidade de sair uma figura, dado que a carta retirada tenha sido
vermelha.
5
6
.
P 8) REGRA DO PRODUTO
A partir da definição de probabilidade condicional
P( A ∩ B )
, poderemos “explicitar” P(A ∩ B) e encontrar a regra do produto:
P( A / B ) =
P (B )
P(A ∩ B) = P(B). P(A/B)
ou
P(A ∩ B) = P(A). P(B/A)
Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo espaçoamostral é igual a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro, dado
o primeiro.
Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto.
1) Retira-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas. Qual a
probabilidade de que ambas sejam defeituosas ?
Solução: Sejam os eventos:
A = {a primeira peça ser defeituosa };
B = {a segunda peça ser defeituosa }.
Precisamos, então, avaliar P(A ∩ B).
P(A ∩ B) = P(A). P(B/A)
P(A ∩ B) = 6/10 . 5/9 = 1/3 = 0,3333...
33,33 %
Observem que P(B/A) é a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, dado que a primeira foi
defeituosa.
P 9) REGRA DO PRODUTO PARA DOIS EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não
depende ou não está vinculada com a ocorrência do outro, isto é, P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B).
Logo, a regra do produto para dois eventos independentes é dada por:
P (A ∩ B) = P(A) . P(B)
Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto.
1) Retira-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade de que
ambas sejam de “paus”?
Solução: Sejam os eventos:
A = {a primeira carta é de “paus”}
B = {a segunda carta é de “paus”}
Como A e B são independentes, a ocorrência de um deles não está vinculada à ocorrência do
outro.
Observem que, como o processo é com reposição, o espaço-amostral não é alterado para o
cálculo da probabilidade do outro evento. Assim:
P (A ∩ B) = P(A). P(B) = 13/52 . 13/52 = 1/16 = 0,0625
6,25%
P 10) REGRA DE BAYES
Sejam A1, A2, A3, ... , An , n eventos mutuamente exclusivos tais que
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S. Sejam P( Ai ) as probabilidades conhecidas de todos os
eventos Ai e B um evento qualquer de S tal que conhecemos todas as probabilidades condicionais
P( Ai ). Então para cada “i” teremos:
P( Ai / B ) =
P( Ai ). P(B / Ai )
P( A1 ). P(B / A1 ) + P( A2 ). P(B / A2 ) + ... + P( An ). P(B / An )
O resultado acima é bastante importante, pois, como vimos, relaciona probabilidades a priori:
P( Ai ) com probabilidades a posteriori: P( Ai / B ) , probabilidade de Ai depois que ocorrer B.
6
7
Exercício Resolvido: Aplicação da regra de Bayes.
1) Suponhamos a seguinte configuração:
Cor
Urna 1
Urna 2
Urna 3
Total
Preta
3
4
2
9
Branca
1
3
3
7
Vermelha
5
2
3
10
Total
9
9
8
26
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola
é branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna 2?
Solução:
P( U1 ) = 1/3;
P( U2 ) = 1/3;
P( U3 ) = 1/3;
Probabilidades a priori:
Probabilidades a posteriori : P( br/U1 ) = 1/9; P( br/U2 ) = 1/3; P( br/U3 ) = 3/8;
Desejamos calcular P( U2 / br ), Assim:
P(U 2 / br ) =
P(U 2 / br ) =
P(U 2 ). P(br / U 2 )
P(U 1 ). P(br / U 1 ) + P(U 2 ). P(br / U 2 ) + P(U 3 ). P(br / U 3 )
1 .1
24
3 3
=
= 0,4067966 = 0,4068
1 .1 + 1 .1 + 1 .3
59
3 9
3 3
3 8
40,68%
Obs: O que é a probabilidade “a posteriori”?
É a probabilidade de ser escolhida a urna 2 dada a informação de que a bola retirada foi
branca
Exercícios
Propostos
1º) Dar o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos:
a) Lançamento simultâneo de duas moedas;
b) Lançamento simultâneo de três moedas;
c) Distribuição de sexo de uma família com três filhos;
d) Lançamento simultâneo de um dado ( não viciado );
e) Lançamento simultâneo de dois dados ( não viciados );
f) Retirada de duas cartas de um baralho com 8 cartas, sendo 4 damas e 4 valetes;
g) Retirada de duas bolas sucessivamente, de uma urna com cinco bolas, sendo três brancas e duas
amarelas.
2º) Respectivamente aos espaços amostrais do exercício anterior, enumere os eventos:
a) Faces idênticas;
b) Uma cara ( pelo menos uma cara );
( obs: é diferente de exatamente uma cara)
c) No máximo duas meninas;
d) Um número primo;
e) Um par cuja soma seja um número maior do que 8;
f) Todos valetes;
g) A primeira bola é branca.
3º) Dois dados são lançados. Pede-se:
a) enumere o evento A={ a soma dos pontos é 9};
b) enumere o evento B={ a soma dos pontos é 7};
c) enumere o evento C={ a soma dos pontos é menor do que 10};
d) calcule a probabilidade do evento A;
7
8
e) calcule a probabilidade do evento B;
f) calcule a probabilidade do evento C;
g) qual a probabilidade da soma NÃO dar 7;
h) calcule a probabilidade de ocorrer A ou B;
i) calcule a probabilidade de ocorrer B ou C;
j) calcule a probabilidade de ocorrer A e B;
l) calcule a probabilidade de ocorrer A e C;
m) dado que as duas faces mostram números diferentes, calcule a probabilidade de a soma ser 4;
n) determine
P (C/A);
P (B/C);
o) determine
p) determine a probabilidade de a soma ser 5, visto que o primeiro dado mostra um número maior
do que o segundo;
q) determine a probabilidade de a soma ser um número maior do que 8, visto que o primeiro
dado mostra um número menor do que o segundo;
4º) São dadas duas urnas:
Cor
Preta
Branca
Vermelha
Total
Urna A
2
5
3
10
Urna B
3
12
5
20
Total
5
17
8
30
a) Calcular a probabilidade de retirar um bola branca da urna “A”;
b) Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna “B”;
c) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna “A”;
d) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca e vermelha da urna “A”;
e) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou preta da urna “B”;
f) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna “B”;
g) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas vermelhas da urna “A”, com reposição?;
h) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas brancas da urna “B”, com reposição?;
i) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da urna “A”? (* sem reposição);
j) São retiradas uma bola de cada urna; qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor? (
sempre sucessivamente, nunca ao mesmo tempo )
l) Uma bola preta é retirada aleatoriamente de uma das urnas e trazida para você, qual a
probabilidade dela ter vindo da urna “B”?
5º) Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obter-se:
a) exatamente duas caras; b) duas caras; c) somente uma coroa; d) pelo menos uma coroa;
e) no máximo duas caras; f) nenhuma cara; g) uma coroa.
6º) São lançados dois dados. Qual a probabilidade de se obter-se:
a) um par de pontos diferentes?
b) um par de pontos iguais?
c) um par de pontos onde o primeiro número é menor que o segundo?
d) a soma dos pontos ser um número par?
e) de obtermos soma sete, se o par de pontos é diferentes?
f) de obtermos soma seis, dado que o par de pontos é igual?
g) de a soma dos pontos ser menor do que 18
h) de a soma dos pontos ser maior do que 13?
7º) Duas cartas são retiradas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas.
Qual a probabilidade de obter-se: { 13 cartas de paus
♦ ; 13 cartas de ouro
♥ ;
13 cartas de copas
♠ ; 13 cartas de espada
↔}
8
9
a) dois reis? b) a primeira carta é um valete e segunda uma dama? c) duas cartas vermelhas?
d) uma figura e uma carta preta
obs: duas respostas ... e) um número e uma carta preta
( com reposição )
f) um número e uma carta preta ( sem posição );
obs: duas
respostas ...;
g) um valete e uma dama?( obs: J e Q ou Q e J ).
8º) A probabilidade de um aluno da turma “A” resolver este problema é de 4/5 ( ou seja 80%).
Qual a probabilidade de que o problema não seja resolvido por um aluno qualquer da turma?
9º) A probabilidade de o aluno “X” resolver este problema é de 3/5, e de o aluno “Y” é de 4/7.
Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido por eles?
10º) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 5 ou um número par?
11º) Um inteiro é escolhido ao acaso dentre { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 28, 29, 30}.
Qual a probabilidade de o número escolhido ser:
a)divisível por 6 ou 8; b) divisível por 5 ou 8; c) divisível por 5 ou 7;
12º) De um baralho de 52 cartas, uma carta é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de sair:
a) um “As” ou uma carta de copas?;
b) uma figura ou uma carta vermelha?.
13º) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
.
Homens Mulheres .
.Menores
5
3
.
a) Qual a probabilidade de ser homem?
.Adultos
5
2
.
b) Qual a probabilidade de ser adulto?
c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher?
d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem?
e) Sabendo-se que o elemento escolhido é mulher, qual a probabilidade de ser menor?
14º) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e qualificação a seguinte
composição:
Sexo
Homens
Mulheres
Total
Especializados
21
14
35
Não-especializados
39
26
65
Total
60
40
100
Calcular:
a) a probabilidade de um escolhido ser Homem.
b) a probabilidade de um escolhido ser Mulher e não especializada.
c) qual a porcentagem dos não especializados?
d) qual a porcentagem dos Homens não especializadas?
e) se o sorteado é especializado, qual a probabilidade de ser mulher?
f) se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser não especializado?
15º) Uma urna contém quatro bolas brancas, cinco azuis e seis pretas em uma outra temos cinco
bolas brancas, seis azuis e duas pretas. Extrai-se uma bola de cada urna, na seqüência estabelecida
anteriormente, qual a probabilidade:
a) de que ambas sejam da mesma cor?
b) da primeira ser azul e a segunda ser preta?
c) de uma ser azul e a outra ser preta?
d) da primeira ser branca e a segunda não ser branca?
9
10
16º) Numa caixa de oito lâmpadas, três são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas sem
reposição. Calcule a probabilidade de:
a)ambas serem perfeitas; b)ambas serem defeituosas; c)pelo menos uma ser boa;
17º) Temos duas caixas: Na primeira há três bolas brancas e sete pretas, e na segunda uma bola
branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é
preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja:
a) a primeira caixa?
b) a segunda caixa?
18º) A probabilidade da classe "A" comprar um carro é 3/4, da "B" é 1/6 e da "C", 1/20.
A probabilidade de o indivíduo da classe "A" comprar um carro da marca "W" é 1/10; de B
comprar da marca "W" é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou um carro da marca "W".
Qual a probabilidade de que o indivíduo:
a)da classe "A" o tenha comprado?;
b)da classe "B" o tenha comprado?;
c)da classe "C" o tenha comprado?.
19º) Três máquinas M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças
de uma fábrica. As porcentagem de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%.
19.1) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a
peça tenha vindo da máquina:
a) M1? b) M2? e c) M3?
19.2) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é perfeita. Qual a probabilidade de que a peça
tenha vindo da máquina:
a) M1? b) M2? e c) M3?
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