O Problema do Passeio mais Curto
23
2
s
3
9
18
14
30
15
6
2
6
11
5
5
19
4
6
16
20
7
44
Princeton University • COS 423 • Theory of Algorithms • Spring 2002 • Kevin Wayne
t
Grafo Direcionado
Directed graph: G = (V, E) .
V = conjunto de vértices


E  V  V = conjunto de arcos

n = |V|, m = |E|.

Caminho: s - 2 - 3 - 5 - t.

ciclo: 5 - 4 - 3 - 5.
2
3
1
6
4
5
7
8
2
Redes
Rede
Vértices
comunicação
computadores,
satélites
circuitos
Arcos
Fluxo
Cabos,fibras óticas
Voz,video,
pacotes
Processadores,
Portas lógicas
Fios
corrente
Hidraulica
reservatórios, lagos
dutos
fluido, óleo
Finanças
Ações, moedas
transações
dinheiro
3
O Problema do Passeio Mais Curto
Rede : (V, E, s, t, c) .
Grafo Direcionado (V, E).


Fonte s  V, destino t  V.

Custo dos arcos c(v, w).

Custo do caminho = soma dos
Custo do caminho
s-2-3-5-t=
9 + 23 + 2 + 16 = 48.
arcos do caminho
23
2
s
3
9
18
14
30
15
6
2
6
11
5
5
19
4
6
16
20
7
44
t
4
Passeio Mais Curto
Problema do passeio mais Curto (CLR 25.1-25.2)
Rede (V, E, s, t, c).


Encontrar o passeio mais curto de s a t.
Hipóteses:
Existe caminho de s aos demais nós do grafo


A Rede não contém ciclo com custo negativo
3
-6
-4
5
7
4
5
Caminho Mais Curto: Existencia
Existência. Se algum passeio de s a t contem um ciclo negativo, então
não existe passeio mais curto entre s e v. Caso contrário, o passeio
mais curto existe e é um caminho.
 Se o ciclo negativo existe, é possível gerar passeios
arbitrariamente negativos percorrendo o ciclo quantas vezes for
necessário.
s
v
C
c(C) < 0
 Se não existe ciclos negativos, podemos remover os ciclos sem
aumentar o custo.
6
Propriedades importantes
Todos os subcaminhos de um caminho mais curto são mais curtos.
P1 : subcaminho entre x e y do caminho mais curto P entre s e v.



P2 : subcaminho qualquer entre x e y
c(P1)  c(P2), caso contrário P
não é o caminho mais curto entre s e v
x
P1
s
y
v
P2
Desigualdade Triangular
(v, w): comprimento do caminho mais curto de v a w.


Então, (v, w)  (v, x) + (x, w)
v
w
x
7
Relaxação
Técnica chave para algoritmos de caminhos mais curtos
relaxation
Ideia: para todo v, manter d[v], cota superior para (s,v)

Relax(u,v,w) {
if (d[v] > d[u]+w) then
d[v]= d[u]+w
pred[v]<- u ;
}
5
2
9
5
2
Relax
5
2
6
Relax
7
5
2
6
8
Algoritmo de Bellman-Ford
BellmanFord()
for each v  V
d[v] = ;
d[s] = 0;
for i=1 to |V|-1
for each edge (u,v)  E
Relax(u,v, c(u,v));
for each edge (u,v)  E
if (d[v] > d[u] + c(u,v))
return “no solution”;
Inicializar d[]
Relaxation:
execute|V|-1 iterações,
relaxando cada arco
Verifica a existência de
Ciclos negativos
9
Algoritmo de Bellman-Ford
BellmanFord()
for each v  V
s
d[v] = ;
d[s] = 0;
for i=1 to |V|-1
for each edge (u,v)  E
Relax(u,v, c(u,v));
for each edge (u,v)  E
if (d[v] > d[u] + c(u,v))
return “no solution”;
B
-1
A
2
2
3
1
4
C
5
E
-3
D
Ex: quadro
Relax(u,v,w): if (d[v] > d[u]+w) then d[v]= d[u]+w
10
Bellman-Ford: Correção
Lemma: d[v]  (s,v) ao longo da execução

Verdade no início (base da indução)

Verdade após k relaxações (hipótese indutiva)

Considere a relaxação (k+1) onde a aresta (u,v) é relaxada
–
Caso 1) d[v] não é modificado. Como d[v]  (s,v) antes da
relaxação então d[v]  (s,v) após
–
Caso 2) d[v] é modificado. Logo, d[v]=d[u]+c(u,v) após a
relaxação. Entretanto,
d[u]+c(u,v) (s,u) +c(u,v) (hipótese em u)
(s,u) +c(u,v)  (s,v)
(desigualdade triangular)
11
Bellman-Ford: Correção
Teorema: após |V|-1 iterações, o vetor d esta correto
Considere o caminho mais curto de s a v:
s = v1  v2  v3  …  vl = v


Inicialmente d[v1] = 0 esta correto (base )

Após k-1 iterações d[vk] estão corretos (hipótese)

Considere a iteração k (k < l )
–
Quando a aresta vkvk+1 é relaxada :
d[vk+1]<=d[vk]+c(vk,vk+1 )
d[vk]+c(vk,vk+1 ) = (s, vk)+c(vk,vk+1 ) (hipótese)
(s, vk)+c(vk,vk+1 ) = (s, vk+1) ( mais curto)
12
Ciclos Negativos
Teorema: Se G tem um ciclo negativo o algoritmo retorna ‘no
solution’
Prova:
Seja C=(v0,v1,...,vk) um ciclo negativo 
c(v0,v1)+c(v1,v2)+ ... +c(vk,v0) < 0
Assuma que o agoritmo NÃO retorna ‘no solution’. Logo,
d[v1] <= d[v0]+ c(v0,v1)
d[v2] <= d[v1]+ c(v1,v2)
.
.
.
d[v0] <= d[vk]+ c(vk,v0)
Somando as equações acima obtemos
c(v0,v1)+c(v1,v2)+ ... +c(vk,v0)>= 0 (Contradição)
13
Algoritmo de Dijkstra
Pesos Não Negativos
14
Algoritmo de Diksjtra
Ao término
d(v) = custo do caminho mais curto entre s e v.


pred(v): predecessor no caminho mais curto
Algoritmo de Dijkstra
for each v  V
d(v)  
pred(v)  nil
d(s)  0
S  
(utilizado na correção)
Q V
for each v  V
insert(v, Q)
while (Q  )
v  vértice com menor d[] em Q
Q  Q - {v}
S  S  {v} (utilizado na correção)
for each u  Adj[v]
relax(v,u)
15
Algoritmo de Dijkstra
PQueue
a1
d
b
c
gg
f
f‘
f
e
0
1 2
3
5
6 8
9
12
2
a
4
b
3
1
10
2
2
d
c
e
4
8
6
5
f
g
1
No
improvement
V6
isdv
already
Update
dv
and
pv
Queue
is
now
Update
and
pv
No
improvement
No
improvement
to
v4
skip
known
soso
ignore
tov7
reflect
Enqueue
Vo
empty
so
stop
reflect
tototo
v1
so
skip
v4 so skip
improvement
improvement
v known d pred
a=v0
01
0
1
a
2
b
0 MaxInt
d
3
c
01 MaxInt
1
a
d
01 MaxInt
b
12
e
01 MaxInt
986
f
01 MaxInt
cdg
5
d
g
01 MaxInt
16
Algoritmo de Dijkstra: Correção
y
Invariant. For each vertex v  S, d(v) = (s, v).
Indução em |S|.
P*



Caso Base: Para |S| = 0 é trivial.
Passo indutivo:
x
s
S
v
–
Assuma que o algoritmo adicione o vértice v a S
– se d(v)<> (s, v) então seja P* o caminho mais curto entre s e v
– P* utiliza arco (x, y) que deixa S
– Então
d(v)>(s, v)
hipótese
= (s, x) + c(x, y) + (y, v)
subcaminhos curtos
 (s, x) + c(x, y)
custos não-negativos
= d(x) +c(x, y)
indução
 d(y)
algoritmo
então Dijkstra teria selecionado y em vez de v
17
Priority Queues and Heaps (CLR 20, 21)
Heaps
Operation
Linked List
Binary
Binomial
Fibonacci *
Relaxed
make-heap
1
1
1
1
1
insert
1
log N
log N
1
1
find-min
N
1
log N
1
1
delete-min
N
log N
log N
log N
log N
union
1
N
log N
1
1
decrease-key
1
log N
log N
1
1
delete
N
log N
log N
log N
log N
is-empty
1
1
1
1
1
n (n) + m(1) = O(n2)
Dijkstra
1 make-heap
n (log n) + m(log n) =
n insert
O(m log n)
n delete-min
m decrease-key
n (log n) + m(1) =
O(m + n log n)
18
Shortest Path Extensions
Variants of shortest path:
Undirected graph.

–

O(m + n) using Thorup's algorithm
Unit weights.
–

O(m + n) using breadth first search
Integer weights between 0 and constant C.

DAGs.
–

O(m + n) using topological sort
All-pairs.
–
O(n3) using Floyd-Warshall
19
DAG Shortest Paths
Problem: finding shortest paths in DAG
Bellman-Ford takes O(VE) time.


How can we do better?

Idea: use topological sort
–
If were lucky and processes vertices on each shortest path
from left to right, would be done in one pass
– Every path in a dag is subsequence of topologically sorted
vertex order, so processing verts in that order, we will do
each path in forward order (will never relax edges out of
vert before doing all edges into vert).
– Thus: just one pass. What will be the running time?
20
Shortest Path: Extra Slides
Princeton University • COS 423 • Theory of Algorithms • Spring 2002 • Kevin Wayne
Shortest Path: Proving Optimality
How can we verify that a given solution is really optimal?
9
32
23
2
0
s
3
9
18
14
14
30
15
20
15
11
5
5
7
6
2
6
34
44
4
45
19
6
16
t
50
22
Shortest Path: Proving Optimality
How can we verify that a given solution is really optimal?
Easy if all weights nonnegative, and there exists a zero cost path.

0
2
s
3
0
0
0
10
0
19
0
6
0
5
4
1
4
1
0
1
7
1
t
23