Projeto: Ensinar
Matemática nas séries
iniciais
CENP - SEESP
1
Tema 5 – Unidade 5.4
Matemática
2
O cálculo e suas novas
demandas
3
Pauta
• Cálculo mental e escrito
• Cálculo exato e aproximado
• Compreensão das técnicas
operatórias
• Uso de materiais nas
operações
• Demandas atuais
4
Objetivos
• Refletir sobre a importância da
utilização de diferentes tipos
de cálculo: cálculo mental e
escrito, exato e aproximado;
• Discutir as técnicas
operatórias;
5
Objetivos
• Refletir sobre o uso de materiais
na realização das operações;
• Discutir possibilidades de
trabalho na aula de Matemática
tendo em vista novas demandas
apresentadas pela sociedade
atual.
6
Breve trajetória
histórica do ensino
de operações
7
Período de 1950-1965
• Ênfase nas técnicas
operatórias - sem justificativa;
• Prova real e prova dos noves
- formas de verificação de
resultados;
8
Período de 1950-1965
• Cálculos mentais e escritos treinamentos constantes para
decorar resultados;
• Aprendizagem das operações
por etapas – de acordo com
grandezas dos números e
dificuldades;
9
Período de 1950-1965
• Resolução de problemas - após
técnicas operatórias, como
aplicação;
• Os significados das operações
- trabalho restrito.
10
Período de 1966-1980
• Influência da “Matemática
Moderna” - as operações com
base na teoria dos conjuntos;
• A adição - união de dois
conjuntos distintos e a subtração
- conjunto complementar;
11
Período de 1966 -1980
• Diagrama de Venn - facilitar a
visualização;
• O cálculo mental não era
enfatizado.
12
Período de 1980 - 1995
• Em 1980, o National Council of
Teachers of Mathematics
(NCTM) - “Agenda para Ação”:
- ênfase em resolução de
problemas;
13
- importância na realização
das operações fundamentais;
- uso de computadores;
- utilização das relações com a
realidade.
14
No Brasil
• Os significados das operações
– materiais da Secretaria de
Educação de São Paulo
(Atividades Matemáticas);
15
• Procedimentos e as regras
das técnicas operatórias – uso
de materiais: dourado, fichas
coloridas, ábacos e de jogos
(crítica: variedade perceptiva
de materiais);
16
• Problemas contextualizados e
desafiadores - problemas “não
convencionais”;
• A importância da exploração
de vários procedimentos de
cálculo.
17
Tarefa 1 - Discussão
• Formar 5 grupos para
discussão;
• Em seguida, socialização das
discussões;
• ATP faz uma síntese da
socialização;
18
• Apresentação de 3 DEs;
• 10 minutos para discussão e
socialização e 10 minutos
para apresentação e
fechamento.
19
Pense no seu dia a dia: O que
você faz com mais freqüência e
o que você ensina na escola
com mais ênfase em termos de
cálculo?
• Cálculo mental ou escrito?
• Cálculo exato ou
aproximado?
• Cálculo com lápis e papel ou
com calculadora?
20
As novas demandas
do cálculo
Os cálculos com os números
naturais sempre tiveram grande
destaque nas aulas de
Matemática nas séries iniciais
do Ensino Fundamental.
21
Competências de cálculo
• Para Abrantes, as competências
matemáticas no domínio do
cálculo implicam utilizar cálculo
exato e aproximado, mental e
escrito, por calculadora e por
estimativa e, ainda, decidir num
determinado momento que tipo
de cálculo é mais adequado.
22
Um ponto importante
• A aprendizagem de um repertório
básico de cálculos não se dá pela
simples memorização de fatos de
uma operação, mas pela realização
de um trabalho que envolve a
construção, a organização e, como
conseqüência, a memorização
compreensiva desses fatos.
23
• Ao construírem e organizarem
um repertório básico, os
alunos começam a perceber,
intuitivamente, algumas
propriedades das operações,
tais como a associatividade
e a comutatividade.
24
• Também outras regularidades
começam a ser percebidas, tais
como observar que nas
multiplicações por dois todos
os resultados são pares; que na
tabuada do cinco os resultados
terminam em zero ou em
cinco; etc.; as operações se
relacionam entre si.
25
Tarefa 2 - Interação
• Elaborar uma atividade que
desenvolva:
- cálculo exato;
- cálculo mental;
- cálculo aproximado;
- cálculo com calculadora;
26
- cálculo escrito;
- cálculo por estimativa;
- 5 minutos para elaboração;
- 20 minutos para apresentação
e fechamento.
27
Nem sempre precisamos
fazer cálculos exatos
Comprei alguns itens em um
supermercado. Os preços são
os seguintes:
R$ 1,99, R$ 2,18, R$ 3,46 e R$ 1,50.
É possível pagar essa compra com
apenas uma nota de 10 reais?
28
Cálculo mental: 8 + 7 = ?
8+7
8+2+5
10 + 5 = 15
• 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15
• 8 + 7 = 1 + 7 + 7 = 15
29
Das operações indicadas a
seguir, escreva qual dos quatro
resultados é mais provável
30
Operações
Resultados
315 : 3
15 105 50 115
600 – 150
550 450 500 350
315 + 685
999 900 1000 1100
25 x 32
778 600 805 800
600 : 4
250 200 150 300
72 000 : 80
8
9
90 900
31
Porque ensinar
cálculo mental?
Cecília Parra e Irma Saiz
1. As aprendizagens no terreno
do cálculo mental influem na
capacidade de resolver
problemas.
32
2. Em nosso enfoque, as noções
matemáticas (números e
operações) devem atuar, em
princípio, como ferramentas
úteis para resolver
problemas. Só então elas
poderão ser estudadas em
si mesmas, tomadas como
objetivo.
33
3. O trabalho com o cálculo
mental habilita para uma
maneira de construção do
conhecimento que, ao nosso
entender, favorece uma
melhor relação do aluno
com a Matemática.
34
4. O trabalho com cálculo
pensado deve ser
acompanhado de um
aumento progressivo
de cálculo automático.
35
A aquisição de destrezas
de cálculo mental
• Promove o desenvolvimento
da compreensão numérica
porque encoraja a procura
de processos mais fáceis
baseados nas propriedades
dos números e das operações.
(Abrantes)
36
Características
• São variáveis: os procedimentos
utilizados podem ser diversos;
• São flexíveis e adaptam-se de
acordo com os números;
• São ativos: os alunos escolhem
um método consciente ou
inconscientemente;
37
• São holísticos, no sentido de que
usam o número como um todo, e
não como dígitos;
• Começam freqüentemente com
o primeiro número;
• Exigem compreensão;
• Dão uma aproximação inicial
da resposta porque os dígitos
da esquerda são considerados
primeiro.
38
No trabalho com os fatos
fundamentais da multiplicação
deve-se levar em conta:
• A regularidade das tabuadas
do 5 e do 10;
• A facilidade de dobrar;
• Multiplicar por 4 é dobrar duas
vezes seguidas;
39
• Multiplicar por 8 é dobrar
três vezes;
• A comutatividade;
• As curiosidades da tabuada
do nove.
40
Exemplos
41
Uso da calculadora
• A calculadora como
instrumento, e não como
substituição do cálculo escrito;
• Mesmo com o uso da
calculadora, é preciso desafiar
o aluno a raciocinar e a fazer
cálculos mentais.
42
Tarefa 3 - Interação
Agora você vai usar a calculadora e:
• Analisar quais os objetivos de
cada situação;
• Para que série vocês indicariam
essa proposta;
• Quais variações seriam possíveis.
43
Tarefa 3 - Interação
Agora você vai usar a
calculadora e analisar quais os
objetivos das situações:
1. No visor da calculadora está
o número 529. Que número
aparecerá se adicionarmos 1?
44
2. Usando apenas as teclas 1 e 0
e as teclas das operações,
faça aparecer no visor os
seguintes números: 347, 444
e 5398.
3. No visor de uma calculadora
está o número 374309. Como
substituir esse número por
324309 sem "apagá-lo"?
45
4. Quatro passos para o zero
Material: calculadora
Nº de participantes: duplas
Desenvolvimento:
• Escolha um número de
4 algarismos para os
alunos colocarem em suas
calculadoras.
46
- A tarefa deles é reduzir esse
número a zero em apenas
quatro passos.
- Eles podem usar todas as
quatro operações (+, -, x ou :)
e número de dois algarismos.
- Ganha quem primeiro atingir
o zero.
47
5. Usando sua calculadora,
determinar o quociente
inteiro e o resto da divisão:
1325 : 12.
48
6. Coloque o 1 no visor; agora,
usando a mesma divisão
sucessivas vezes, faça
aparecer no visor 0,5; 0,25;
0,125. Por quanto dividiu?
Quantas vezes?
49
Sobre o uso da
calculadora
• Até o final da década de 1970,
fazíamos todas as contas no
papel e, quando possível, as
resolvíamos “de cabeça”.
50
• Para construir uma calculadora
foi preciso dispor de
componentes eletrônicos de
tamanhos muito pequenos.
• A partir dos anos 80, as
calculadoras eletrônicas foram
se tornando cada vez menores e
mais rapidamente difundidas.
51
• O teclado de uma calculadora
simples é constituído de
pequenas teclas nas quais se
inscrevem diferentes símbolos:
- os algarismos de 0 a 9;
- o ponto que toma o lugar da
vírgula nas representações de
números decimais;
52
- os símbolos das operações
aritméticas: +, - , x e :;
- outros símbolos.
• Embora as calculadoras
facilitem nossa vida hoje, elas
não podem substituir nossa
capacidade de fazer contas
por escrito e, principalmente,
mentalmente.
53
• Muitas vezes, professores das
séries iniciais sentem-se
receosos em usar a calculadora
por temerem que seus alunos
fiquem "preguiçosos" para
realizarem cálculos escritos
ou mentais.
54
• Esse problema se resolve
quando combinamos com as
crianças em que momentos
vamos usar a calculadora e
em que momentos vamos
prescindir dela.
• Além disso, é importante criar
atividades desafiadoras de uso
da calculadora.
55
Tarefa 4 - Interação
• As próximas telas apresentam
alguns procedimentos de
cálculo.
56
• As DEs farão a análise de um
procedimento de acordo com a
indicação do formador e depois a
apresentarão. As outras DEs
podem concordar ou não com
a explicação dos colegas e
apresentar sua posição.
• Tempo: 5 minutos para discussão
e 20 minutos para apresentação
57
1. Explique os procedimentos
utilizados no cálculo de 957 – 198
DEs:
_
8
¹4
9
5
¹7
1
9
8
7
5
9
58
2. Explique os procedimentos
utilizados no cálculo de 2000 – 458
DEs:
2 0 0 0
-1
_ 4 5 8
1 5 4 2
1 9 9 9
_ 4 5 8
+1
1 5 4 1
59
3. Explique os procedimentos
utilizados no cálculo do produto
de 96 por 28.
DEs:
90
+
6
1800
1800
+
+
20
720
120
840
+
+
8
48
+
48
2688
60
4. Explique os procedimentos
utilizados no cálculo do
produto 96 x 28
9
6
DEs:
x
2
8
4
8
+
7
2
0
1
2
0
1
8
0
0
2
6
8
8
61
Com relação ao cálculo
escrito
• Quando tratamos de
cálculo escrito, nos
referimos a procedimentos
usados para se chegar ao
resultado de uma operação.
62
Exemplo: 426 + 385
400 20
+300 80
700 100
6
5
11
63
• Em seguida, são feitas as
conversões, ou seja, 11
unidades correspondem a uma
dezena e uma unidade, e 110
dezenas correspondem a uma
centena e uma dezena.
• Conversão das unidades em
dezenas: 700 + 100 +10 + 1 =
700 +110+ 1.
64
• Conversão das dezenas em
centenas: 700 + 100 + 10 + 1
= 800 + 11
• Visualizando com material
dourado:
65
345 – 158
300 40 5
-100 50 8
Ou seja:
300 30
- 100 50
15
8
7
66
Ou seja
200 130
- 100
50
100
80
15
8
7
Visualizando com material
dourado:
67
3 4 5
-1 5 8
Ou seja
3 4 15 (acrescentaram-se 10 unidades)
- 1 6 8 (acrescentaram-se 1 dezena)
7
3
- 2
- 1
14 15 (acrescentaram-se 10 dezenas)
6 8 (acrescentaram-se 1 centena)
8 7
68
14 x 13=
10 + 4
X 10 + 3
30 + 12
100 + 40
100 + 70 + 12
182
14
X13
42
140
182
69
623
500
123
100
23
20
3
5
100
20
4
124
70
Uso do material dourado
• A importância do quadro de
valor de posição.
• A importância do registro após
o uso do material.
• Uso do material dourado no
sentido da compreensão do
algoritmo e do SND.
71
Outra demanda atual
Problema: Os alunos de uma
escola participaram de uma
pesquisa. Em uma das
questões eles tiveram que
escolher o esporte favorito.
O gráfico, a seguir, indica as
preferências pelos esportes
indicados. Veja:
72
50
nº de alunos
40
30
20
10
0
futebol
basquete
basquete
vôlei
volei
outros
outros
73
Agora responda às
questões:
• Quantos alunos participaram da
pesquisa?
• Quantos alunos escolheram o vôlei?
• Qual a porcentagem dos alunos que
escolheram o vôlei?
74
Retomando o Problema
• Que outras questões você faria
aos seus alunos a respeito
desse gráfico?
75
• Como essa atividade pode
levar os alunos a compreender
a correspondência entre
o número de alunos e
o percentual?
• E se o número de pessoas
fosse 1200 em vez de 100,
como vocês calculariam 20%?
76
O uso de um gráfico
permite:
• Comunicar mais facilmente
os dados de uma pesquisa;
• Apresentar globalmente uma
informação;
77
• Possibilidade de leitura rápida;
• O destaque de aspectos
relevantes da informação;
• A produção de textos escritos.
78
Para ensinar porcentagem
• O significado de 10% como a
décima parte de ...
• Se calculados 10%, como
determinar 20%, 30% ou 5%?
79
• Como calcular 50%? e 25%?
• O significado de 1% como
a centésima parte de...
• E para calcular 3%?
80
Proposta ATP - Tarde
• Leitura e síntese do texto de
Cecília Parra e Irma Saiz sobre
cálculo mental.
• Elaborar junto com o grupo de
professores de cada série um
jogo que envolva cálculo
mental e/ou calculadora.
81
Proposta Professores
para a próxima vídeo
• Desenvolver com as crianças
o jogo elaborado hoje à tarde,
fazer uma análise e trazer para
a discussão com o grupo da
Diretoria.
82
Bom trabalho e até o
próximo encontro.
83