7. ANÁLISE COMBINATÓRIA – Professor Fernando Vargas
É a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Estuda problemas que
envolvem o cálculo do número de agrupamentos que podem ser feitos com os
elementos de um conjunto, submetidos a certas condições.
7.1 Fatorial
Sendo n um número inteiro maior que 1, define-se fatorial de n como o produto dos
n números naturais consecutivos de n a 1. Sua representação é n ! (Lê-se: n fatorial
ou fatorial de
n ).
n! n.n  1
. n  2
. n  33.2.1, sendo n N e n  1
Cuidado
1! 1

0! 1
Exemplos
1) Calcule:
a)
b)
2!
c)
3!
d)
6!
7!
4!
e)
12!
10! 9!
f)
6!3!
4!
Exercícios
1) Calcule:
a)
4!
b)
5!
c)
9!
d)
9!
7!
e)
6!5!
f)
4!  2 ! 0!
1!
g)
6! 3! 2!
5!
7.2 Princípios de Contagem
7.2.1 Princípio aditivo
Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si,
temos que o número de possibilidades é: m  n .
7.2.2 Princípio multiplicativo
Se um evento é composto por duas ou mais etapas dependentes entre si, temos que a
1ª etapa tem m possibilidades e a 2ª etapa tem n possibilidades, logo o número de
possibilidades é: m  n .
Exemplos
1) Uma pessoa deseja ir de Florianópolis ao Rio de Janeiro e está indecisa quanto ao
meio de transporte. Pode ir por três vias, pela via marítima tem duas opções, pela via
aérea tem três opções e pela via terrestre tem cinco opções. Sendo assim, quantas
possibilidades no total essa pessoa tem de chegar ao Rio de Janeiro?
1
2) Uma pessoa deseja ir de Porto Alegre a Joinville, passando obrigatoriamente por
Florianópolis. Para viajar de Porto Alegre a Florianópolis existem 3 meios de
transporte, de Florianópolis para Joinville são 2 meios. Quantas maneiras diferentes
existem para a realização desta viagem?
3) Com os algarismos
0, 2, 3, 4, 5 e 6 , formaremos números de três algarismos.
Calcule:
a) números com repetição;
b) números sem repetição;
c) números pares sem repetição;
d) números ímpares sem repetição.
Exercícios
2) Numa estação de metrô, há 3 bilheterias, 6 “borboletas” receptoras de bilhete e 2
escadas de acesso à plataforma de embarque. De quantos modos uma pessoa pode
comprar um bilhete e tornar o trem, usando uma “borboleta” e uma escada?
3) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 8 cores diferentes, 3 tipos de
acabamento (superluxo, luxo e especial) e com motor de quatro, seis ou oito cilindros.
Quantas são as alternativas de escolha de um comprador?
4) Lançando-se um dado de 6 faces e, em seguida, um dado de 4 faces, quantos
resultados são possíveis?(Cada resultado é um par ordenado onde o primeiro elemento
é o número obtido no primeiro dado e o segundo elemento é o número obtido no
segundo dado).
5) Quantos resultados são possíveis lançando-se:
a) Dois dados (6 faces)?
b) Três dados (4 faces)?
6) Quantos números de três algarismos podem ser formados usando os algarismos 1,
3, 4, 5 e 9?
7) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os
algarismos 2, 4, 6, 7, 8 e 9? E de seis algarismos distintos?
8) Um país A está ligado a um país B por vias ferroviária, rodoviária, marítima e aérea.
Os países B e C estão ligados apenas por vias marítima e aérea. De quantos modos
uma pessoa pode viajar, sempre passando pelo país B,
a) De A para C, utilizando quaisquer das vias citadas?
b) De A até C e voltar para A, de modo que, na volta, não utilize as mesmas vias
utilizadas na ida?
9) Ao cume de uma montanha conduzem 10 caminhos diferentes e um teleférico
(bondinho) que aqui consideramos ser um caminho aéreo. De quantos modos uma
pessoa pode subir e descer por:
a) caminhos quaisquer?
b) caminhos terrestres?
c) caminhos quaisquer, não utilizando na descida o mesmo utilizado na subida?
d) caminhos terrestres, não utilizando na descida o mesmo utilizado na subida?
2
10) Numa cidade, os números de telefone são formados de um prefixo de 3
algarismos, seguidos de outros 4 algarismos. O primeiro algarismo do prefixo é sempre
um elemento do conjunto 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 , os demais algarismos são quaisquer.


Nessas condições, quer-se saber:
a) quantos telefones podem ser instalados nessa cidade?
b) quantos números de telefone têm quatro algarismos finais distintos?
c) quantos números de telefone têm o primeiro dos quatro últimos algarismos
diferente de zero?
d) quantos números de telefone têm os quatro algarismos finais distintos e o primeiro
desses quatro diferente de zero?
11) Quantos números há em nosso sistema de numeração de:
a) 4 algarismos?
b) 4 algarismos distintos?
12) Quantos números ímpares, de 4 algarismos distintos, há em nosso sistema de
numeração?
13) Num país, as placas de automóveis são constituídas de duas letras, seguidas de
quatro algarismos. Sendo usado um alfabeto de 23 letras, quantas placas podem ser
formadas se é permitida a repetição:
a) apenas dos algarismos?
b) apenas das letras?
c) das letras e dos algarismos?
14) Dispõe de 7 cores para pintar uma bandeira de 7 faixas. Cada faixa deve ser
pintada com uma só cor e, na bandeira, não deve haver duas faixas da mesma cor.
Quantos modos há de se realizar a pintura?
15) Dispõe de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser
pintada com uma só cor e duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De
quantos modos podem ser feita à pintura?
16) Num país, as placas de automóveis são constituídas de duas letras, seguidas de
dois algarismos, sendo permitida a repetição de letras e de algarismos. É utilizado um
alfabeto de 26 letras. Zeros podem aparecer em qualquer posição, mas placas com
dois zeros são excluídas. Além disso, nesse país, os veículos de aluguel têm placas de
cor vermelha e os particulares, de cor amarela. Nessas condições, quantas placas
podem ser formadas?
17) De quantos modos podemos pintar 7 casas enfileiradas, dispondo de 4 cores,
sendo que cada casa é pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não são pintadas
com a mesma cor?
18) Um salão de baile tem 6 portas. De quantos modos esse salão pode estar aberto?
19) Num quadro de controle eletrônico há 5 dispositivos de segurança enfileirados.
Cada um deles pode estar apagado, estar emitindo luz amarela ou estar emitindo luz
vermelha. Quantos sinais diferentes podem ser emitidos pelo conjunto de dispositivos
se pelo menos um deles estiver aceso?
3
20) Um código para leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas.
Nenhum código tem barras de uma só cor. Quantos desses códigos, distintos entre si,
podem ser formados?
21) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos onde cada caracter é
formado por uma matriz de 6 pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação
aos outros. Assim, qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser
representados neste sistema de escrita?
7.3 Arranjo Simples
Arranjo simples de
n elementos tomados p a p  p  n são agrupamentos
p elementos escolhidos dos n
ordenados diferentes que se podem formar com
elementos disponíveis.
An, p  Anp 
n!
n  p !
Importante: Os elementos diferem entre si pela ordem e pela natureza.
Exemplos
1) Numa empresa, 10 de seus diretores são candidatos aos cargos de presidente e
vice-presidente. Quantos são os possíveis resultados da eleição?
2) Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim, quantos números de:
a) três algarismos distintos podem escrever?
b) três algarismos distintos maiores que 350 podemos formar?
3) Para ter acesso a um certo arquivo de um computador, o usuário deve realizar duas
operações: digitar uma senha composta de três algarismos distintos e, se for aceita,
digitar uma segunda senha composta de duas letras distintas escolhidas do alfabeto de
26 letras. Quem não conhece as senhas pode fazer tentativas. Qual o número máximo
de tentativas necessárias para ter acesso ao arquivo?
Exercícios
22) (FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos
de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma
salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a
pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 120
b) 144
c) 14
d) 60
e) 12
23) (FGV) As placas de automóveis constam de duas letras e quatro algarismos.
O número de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos O,
1, 7 e 8 é:
a) 2412
b) 2 304
c) 144
d) 216
e) 1 536
4
24) (FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve chegar à cidade D, passando
obrigatoriamente pelas cidades B e C.
Para viajar de A para B existem 3 meios de transporte: avião, navio e trem; de B para
C, 2 meios: táxi e ônibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e bicicleta.
Quantas maneiras diferentes existem para viajar de A para D?
a) 8
b) 3
c) mais de 15
d) menos de 10
e) 20
25) (PUC-SP) Um dia pode ter uma de 7 classificações: MB (muito bom), B (bom), R
(regular), O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e T (terrível). Os dias de uma semana
são: domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira,
sábado. Considerando os dias da semana e
as classificações dadas, de quantas formas distintas podemos classificar os dias da
semana de forma a não repetir uma mesma classificação a um outro dia durante uma
mesma semana. Quantas semanas diferentes podem existir, segundo o critério acima?
a) 7!
b) 72
c) 7 . 7!
d) 77
e) 77!
26) (UFGO) No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984,
as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto, Caso o sistema fosse
implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria:
a) 20
b) 60
c) 120
d) 125
e) 243
N  P1  P2  P3  P4 , onde P1 , P2 , P3 e P4
são fatores naturais primos distintos. O número de divisores naturais de N é:
27) (FCMSTACASA) Seja o número natural
a) 4
b) 5
c) 8
d) 12
e)16
28) (UFCE-9I) Um botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03, ...,99. O
segredo dele é uma seqüência de 4 números do botão. Assim, 15-11-18-97 ou 11-1518-97 ou 00-00-43-62 são exemplos de segredos. O número total dos possíveis
segredos é igual a:
a) 104
b) 105
c) 106
d) 107
e) 108
29) (UFRPE) Qual o número de placas de carros que poderiam ser registradas (cada
uma contendo apenas três letras) fazendo uso das letras A , B, C, D?
a) 34
b) 72
e) 96
d) 64
e) 102
30) (CESGRANRIO-80) Seja A um conjunto de 4 elementos. O número de funções
f : A  A tais que a equação f ( x)  x não tenha solução é:
a) 4
b) 23
c) 72
d) 81
e) 256
31) (PUC-RS) Com os algarismos significativos formam-se todos os números de 4
algarismos distintos, sendo que "x" deles possuem um algarismo ímpar na ordem das
centenas. O valor de "x" é:
a) 336
b) 567
c) 1680
d) 3335
e) 3 403
32) (UFRN) A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que
podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:
a) 720
b) 1440
c) 2160
d) 2880
e) 3600
5
Gabarito
1) a) 24
b) 120
4) 24
5) a) 36
c) 110
d) 90
b) 4536
b) 64
26) D
d) 72
6) 125
10) a) 7000000
12) 2240
16) 133848
25) A
c) 362880
27) E
18) 720
28) E
f) 21
7) 120 e 720
b) 3528000
13) a) 5060000
17) 2916
e) 86400
29) D
8) a) 8
b) 24
c) 6300000
b) 2666160
19) 242
g) 181/30
30) D
31) C
21) 63
3) 72
9) a) 121
d) 3175200
c) 5290000
20) 62
2) 36
11) a) 9000
14) 5040
22) A
b) 100
15) 750
23) B
24) C
32) B
6