O que você deve saber sobre
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria
começa pelo estudo do triângulo retângulo e das razões entre as
medidas de seus lados. Uma possibilidade de obter as razões, usada
neste tópico, é partir da semelhança entre triângulos retângulos com
um dos vértices coincidente.
I. Semelhança de triângulos retângulos
Observe esta construção:
• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares
• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”
Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes
e lados correspondentes proporcionais
Tendo como referência o ângulo :
• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a  em cada triângulo
• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a  em cada triângulo
• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente
Razões entre dois lados de cada
um dos triângulos:
Para qualquer triângulo retângulo
semelhante a ABC, as razões
correspondentes serão iguais às
razões obtidas anteriormente. Essas
três razões trigonométricas recebem
os nomes de cosseno, seno e tangente
do ângulo  e são definidas como:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Trigonometria no Triângulo retângulo
Clique na imagem a baixo para ver a animação.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):
a) o quadrado de lados l e sua diagonal:
Os ângulos assinalados medem 45º:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
b) o triângulo equilátero de lados l e altura
O ângulo  mede 60º.
Valores de seno, cosseno e tangente:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
O ângulo denominado  na figura do
eslaide anterior mede 30º. Valores de
seno, cosseno e tangente:
• Os valores das razões trigonométricas
de ângulos quaisquer são dados em
calculadoras científicas.
• Ângulos complementares: valor do
seno de um deles é igual ao do cosseno;
o valor da tangente de um deles é o
inverso do valor da tangente do outro.
• Os valores da tangente desses dois
ângulos são inversos um do outro.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
IV. Relação fundamental da trigonometria
Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Razões trigonométricas do ângulo  assinalado:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
IV. Relação fundamental da trigonometria
Triângulo retângulo em que
a hipotenusa mede 1 unidade:
Triângulo ABC:
Reescrevendo o teorema de Pitágoras:
Relação que surge dessa nova
configuração do triângulo ABC:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(Ufla-MG)
Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua
deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada , conforme a figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a
1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2.
Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da árvore.
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(Ufes)
Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Quando ele se
aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60º.
Qual a altura do edifício?
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
6
(UFMG)
Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O:
Sabe-se que:
• os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm;
• a reta AB tangencia a circunferência no ponto B;
• o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC;
• E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF.
Calcule o comprimento do segmento OF.
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(UFC-CE)
A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo.
Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo.
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
10
(Fuvest SP)
Na figura a seguir, as cincunferencias têm centros A e B. O
raio da maior é
5
4
do raio da menor; P é um ponto de
intersecção delas e a reta AQ é tangente à cincunferência
menor no ponto Q.
Calcule:
^
a) cos ABQ
RESPOSTA:
^
b) cos ABP
^
c) cos QBP
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
11
(UFRJ)
A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor
tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e a OB.
Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60º, calcule a medida do raio R da
circunferência maior. Justifique.
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
(UFScar-SP)
Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir.
a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB)
e do ângulo  (formado pelos lados AC e AB).
b) Deduza a fórmula que dá a área SABC do triângulo, em função de b e c
(comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo Â.
RESPOSTA:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR