UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
Campus Universitário do Araguaia
Instituto de Ciências Exatas e da Terra
Curso: Bacharelado em Ciência da Computação
Disciplina: Geometria Analítica e Vetorial
2a Lista de Exercícios
1. Verifique se os pontos A(2, 7), B(2, −6) e C(5, −6) são vértices de um triângulo
retângulo.
2. Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados do
quadrilátero ABCD, sendo A(0, 1), B(−4, −1), C(5, −3) e D(7, 0).
3. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2, −5),
sabendo que sua origem é o ponto A(−1, 3).
4. Dados os vetores ~u = (3, −1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor w
~ tal que:
1
a) 4(~u − ~v ) + w
~ = 2~u − w
~
3
b) 3w
~ − (2~v − ~u) = 2(4w
~ − 3~u)
−→ −→ −→ −−→
5. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, −1), calcular OA − AB, OC − BC e
−→
−−→
3BA − 4CB.
9
6. Dados os vetores ~u = (3, −4) e ~v = − , 3 , verificar se existem números a e b
4
tais que ~u = a~v e ~v = b~u.
7. Dados os vetores ~u = (2, −4), ~v = (−5, 1) e w
~ = (−12, 6), determinar k1 e k2 tal
que w
~ = k1~u + k2~v .
−−→ −→
8. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2, −1), determinar D tal DC = BA.
9. Dados A(−1, 1) e B(3, 5), determine C tal que:
−→ 1 −→
a) AC = AB
2
−→ 1 −→
−→ 2 −→
−→ 3 −→
b) AC = AB
c) AC = AB
d) AC = AB
4
3
5
−→ −−→
10. Determine x para que se tenha AB = CD, sendo A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2)
e D(2x, x + 6).
11. Determine a extremidade da seta que representa o vetor ~v = (3, −7), sabendo que
sua origem é o ponto A(2, 1).
√
−→
12. Dados A(2, y) e B(3, 3), detemine y para que o módulo do vetor AB seja 5.
−→
13. Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que AC seja paralelo
−→
−→
ao vetor ~u = (2, 1) e |AC| = |AB|.
14. Represente graficamente os vetores:
a) ~u + 2~v
b) −~u
c) ~u − ~v
d) 3~u − 2~v + w
~
e) −~u − ~v + 2w
~
sendo ~u = (2, 3), ~v = (−1, 4) e w
~ = (−2, −1).
15. O três vetores da figura abaixo possuem módulos |u| = 3, |v| = 4 e |w| = 10.
a) Quais são as coordenadas de u, v e w?
b) Se w = k1 u + k2 v, quais são os valores de k1 e k2 ?
16. Dados os vetores u = (1, 1), v = (1, 0) e w = (0, 1), obter o ângulo entre os
vetores u − w e w − v.
17. Dados u = (3, 0) e v = (2, 2), determine o valor de k para que os vetores v e
u + kv sejam ortogonais.
18. Dados A(1, 0), B(4, 1) e C(4, k), calcule k de modo que se tenha B ÂC = 60o .
√
19. Calcule o ângulo entre u + v e u − v, sabendo que |u| = 3, |v| = 1 e que o
ângulo entre u e v é 30o .
20. Mostre que se os vetores u e v têm o mesmo comprimento então u + v e u − v são
ortogonais.
21. Se dois vetores u e v são unitários e formam um ângulo de 30o , determine o módulo
do vetor soma u + v.
22. Dados os pontos A(2, −3, 1) e B(4, 5, −2), determinar o ponto P tal que
−→ −→
AP = AB.
23. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determinar o ponto P tal que
−→
−→
AP = 3AB.
24. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 2) + 2~v = (6, 10, 4) − ~v .
25. Encontrar o números a1 e a2 tais que w
~ = a1~v1 + a2~v2 , sendo ~v1 = (1, −2, 1),
~v2 = (2, 0, −4) e w
~ = (−4, −4, 14).
26. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1, −3) e ~v = (6, a, b) sejam
colineares.
27. Qual o valor de α para que os vetores v = (α, 5, −4) e w = (α + 1, 2, 4) sejam
ortogonais?
π
28. Sabendo que o ângulo entre os vetores v = (2, 1, −1) e w = (1, −1, m + 2) é ,
3
determinar m.
29. Dados os vetores u = (2, 1, α), v = (α + 2, −5, 2) e w = (2α, 8, α), determinar o
valor de α para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w − u.
30. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) são vértices de um
triângulo retângulo.
31. Dados os pontos A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para
−→ −−→
que |v| = 7, sendo v = mAC + BC.
32. Num determinado instante t as posições de duas partículas P e Q são dadas,
respectivamente, por (1 + 2t, 1 + t) e (4 + t, −3 + 6t). Elas se chocam?
33. Determine as equações paramétricas da reta definida pelos pontos A(3, 7) e B(5, 2).
34. Determine a projeção ortogonal do ponto P (2, 4) sobre a reta cujas equação
paramétricas são x = 1 + 2t e y = −1 + 3t.
35. Obter a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 1) e B(5, 2).
36. Dados os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, −1), determinar a equação da reta que
passa por A e pelo ponto médio do segmento BC.
37. Calcular k para que a reta r : 2x + ky + k = 0 passe pelo ponto P (−3, 2).
38. Determinar o valor de m para o qual a reta que passa por A(1, 1) e B(m + 1, 2m)
tem inclinação de 60o em relação ao eixo dos x.
x
39. Calcular o valor de k que torna as retas r : y = + k 2 e s : y = 2k 2 x − 1
k
perpendiculares.
a−2
2+a
x + 1 e s : y = 3x −
40. Calcular o valor de a que torna as retas r : y =
2−a
a+2
paralelas.
41. Obter um ponto A na reta r : 2x − y = 0 e equidistante dos pontos B(0, 1) e
C(6, 3).
42. Obter um ponto A na reta r : y = x e um ponto B na reta s : y = 4x tais que o
ponto médio do segmento AB seja M (1, 2).
43. Calcular o perímetro do triângulo cujos lados estão nas retas r : x − 2y = 0,
s : 2x − y = 0 e t : x + y − 6 = 0.
44. Obter a equação da reta s perpendicular à reta r : 2x + 5y − 1 = 0 e que passa
pelo ponto P (1, 1).