Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
UnED Petrópolis - Curso de TELECOMUNICAÇÕES/TV Digital
Disciplina: Matemática para Telecomunicações Prof. Felipe Henriques
2012-2
AULA 6
ROTEIRO:
1.
2.
Cap. 2 – Plano Cartesiano;
Vetores.
Capítulo 2 – Plano Cartesiano / Vetores:
Plano Cartesiano
Foi criado pelo matemático René Descartes, associando a geometria à álgebra. Desse modo, ele
pôde representar graficamente suas expressões algébricas.
A sua utilização mais simples é a de representarmos graficamente a localização de pontos em um
determinado plano. Através dele também podemos representar um segmento de reta ou um triângulo, por
exemplo. O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal e
outra vertical. Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos
de eixo y ou eixo das ordenadas.
Representação de pontos no plano cartesiano:
A representação de pontos nesse plano é feita com pares ordenados, onde o primeiro número se
refere à abcissa (eixo x), e o segundo à ordenada (eixo y). Por exemplo o ponto (3,2) tem abcissa 3, e
ordenada 2, e o símbolo (3,2) é um par ordenada.
OBS: Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são diferentes, apenas se a = c, e b = d.
Na figura abaixo, temos a representação do ponto P(-6,5).
O ponto que representa o cruzamento dos eixos é chamado de origem do sistema de coordenadas
cartesianas, sendo ele o ponto O(0,0).
Quadrantes do plano cartesiano:
Podemos ver na figura acima que os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões, chamadas de
quadrantes, dendo eles: o primeiro quadrante, o segundo quadrante, o terceiro quadrante e o quarto
quadrante.
• todos os pontos no primeiro quadrante possuem x e y (ordenadas e abcissas) positivos. Ex.: (2,4);
•
todos os pontos do segundo quadrante possuem x negativo e y positivo. Ex.: (-3,10);
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•
todos os pontos no terceiro quadrante possuem ordenadas e abcissas negativas. Ex.: (-5,-7);
•
todos os pontos do quarto quadrante possuem x positivo e y negativo. Ex.: (23,-9).
Exercícios:
1) Represente os seguintes pontos no plano cartesiano:
a) P(-6,5) b) Origem do sistema c) P(3, 1,5) d) P(5,-7) e) P(-5,5 -3,3)
2) Responda em quais quadrantes encontram-se os seguintes pontos:
a) P(3,3) → primeiro quadrante
b) P(-3,-3) → terceiro
c) P(-3,3) → segundo
d) P(3,-3) → quarto
e) P(0,0) → origem
f) P(-1,0) → sobre o eixo x
g) (0,-2) → sobre o eixo y
OBS: Observe que os três últimos pontos não pertencem a nenhum dos quatro quadrantes.
Vetores:
Uma grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Grandezas físicas são aquelas que
podem ser medidas. Elas podem ser escalares ou vetoriais.
• grandezas escalares → são totalmente expressas por um valor e uma unidade. Ex.: temperatura,
pressão, massa, calor, tempo, etc;
• grandezas vetoriais → não são totalmente determinadas por um valor e uma unidade, havendo a
necessidade de um módulo (número com unidade de medida), direção e sentido. Ex.: velolcidade,
força, aceleração.
Portanto, vetores são entes matemáticos, definidos por um valor real (módulo ou intensidade),
associado a uma direção e um sentido.
Representação gráfica de um vetor:
Representamos um vetor por um segmento de reta orientado.
⃗
AB
•
•
•
O módulo do vetor representa o comprimento da seta. Representamos o vetor acima como V⃗ ou
.
módulo: comprimento da seta. Representado como ∣⃗A∣ ;
direção: reta que contém o vetor;
sentido: orientação da seta.
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Vetor oposto:
É aquele que possui o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentido diferente.
Soma de vetores:
A soma de vetores gera um vetor chamado de resultante, e pode ser feita pelo modo gráfico ou pelo
modo analítico.
Método gráfico:
1) Regra do polígono:
Ligam-se os vetores origem com a extremidade. O vetor soma / resultante, R, é o que tem origem
na origem do primeiro vetor e extremidade na extremidade do último vetor.
2) Regra do paralelogramo:
Os dois vetores a serem somandos devem estar unidos pela origem.
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Método analítico:
Podemos encontrar o módulo da resultante de dois vetores sabendo-se apenas o módulo dos dois
vetores, e o ângulo entre eles. Sejam dois vetores A e B, que formam um ângulo θ entre si .
1) Se θ=0 ° , os vetores são paralelos, e têm mesma direção e sentido.
O módulo do resultante entre A e B será a soma dos módulos de A e de B. → R = A + B.
2) Se θ=180° , os vetores são paralelos, e têm mesma direção e sentidos opostos.
O módulo da resultante entre A e B será o módulo da diferença entre eles.
R=∣A− B∣ .
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3) Se θ=90 ° , os vetores são perpendiculares.
O módulo da resultante pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras.
R²= A² + B² .
4) Se tiverem um ângulo qualquer:
O vetor resultante será:
R²= A² + B² +2 .∣A∣.∣B∣. cos(θ) .
OBS: Subtração de dois vetotes V1 e V2. A subtração de V1 e V2 é o mesmo que a soma de V1 com (V2).
Decomposição vetorial:
Dado um vetor A, podemos decompor, ou projeta-lo nos eixos x e y do plano cartesiano, onde:
A x =∣A∣. cos (α) ;
•
•
A y =∣A∣. sen (α) .
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Multiplicação de um vetor por um escalar:
Se o escalar for positivo, multiplica-se o módulo do vetor pelo escalar, e mantém-se o sentido; se o
escalar for negativo, multiplica-se o módulo do vetor pelo escalar, e muda-se o sentido.
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